2025届新高考数学精准冲刺复习概率分布

2025届新高考数学精准冲刺复习概率分布

考点梳理考情回顾高考预测复杂事件分解

为简单事件的

和与积的概率2022全国甲卷

（理）第19题1.离散型随机变量：重点考查概率模型

的构建，会用随机变量表示事件等.2.概率分布及其期望：重点考查随机变

量的分布列，会求随机变量的数学期

望，能应用数学期望进行决策.离散型随机变

量分布列及其

数字特征（均

值、方差）2023新高考Ⅰ

卷第21题

（2022·全国甲卷）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项

目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束

后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分

别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立.（1）

求甲学校获得冠军的概率；

（2）

设乙学校的总得分为

X

分，求随机变量

X

的分布列与数学期望

E

（

X

）.解：（2）

由题意，得随机变量

X

的所有可能取值为0，10，20，30.因

为

P

（

X

＝0）＝0.5×0.4×0.8＝0.16，

P

（

X

＝10）＝（1－0.5）

×0.4×0.8＋0.5×（1－0.4）×0.8＋0.5×0.4×（1－0.8）＝0.44，

P

（

X

＝20）＝（1－0.5）×（1－0.4）×0.8＋0.5×（1－0.4）×（1－

0.8）＋（1－0.5）×0.4×（1－0.8）＝0.34.

P

（

X

＝30）＝（1－0.5）

×（1－0.4）×（1－0.8）＝0.06，所以随机变量

X

的分布列如下表：X0102030P0.160.440.340.06所以

E

（

X

）＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13.

热点

概率分布

[思维导图]

X234P

（2）

若现在是小明6∶2领先，记结束比赛还需打的局数为

X

，求

X

的

分布列及数学期望.

X2345P

[思维导图]

总结提炼

以离散型随机变量的数字特征为决策依据的问题在这类实际问题中，通常有两个随机变量

X

，

Y

，分别求出两个随

机变量

X

，

Y

的概率分布列，再求数学期望，最后依据实际问题，进行

决策.如果两者的期望相等或较为接近时，就需要计算两个变量的方

差，来比较两个随机变量的稳定程度.一般将期望最大（或最小）的方

案作为最优方案，若各方案的期望相同，则选择方差最小（或最大）

的方案作为最优方案.

[典例设计]例3

（2022·恩施州模拟）某地区鼓励农户利用荒坡植树.某农户考察了

A，B，C三种不同的树苗，经引种试验后发现，树苗A的自然成活率为

0.8，树苗B，C的自然成活率均为

p

（0.7≤

p

≤0.9）.（1）

任取A，B，C三种树苗各一棵，记成活的棵数为

X

，求

X

的分布

列及

E

（

X

）.（2）

将（1）中的

E

（

X

）取得最大值时

p

的值作为B种树苗的自然成

活率.该农户决定引种

n

棵B种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75

％的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的

树苗不能成活.①

求一棵B种树苗最终成活的概率.②

已知每棵B种树苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每棵树苗

亏损50元.若该农户只引种B种树苗，且为了获利不低于20万元，求该农

户至少应引种B种树苗多少棵.[思维导图]

X0123P0.2（1－p）20.4p2－1.2p＋0.8－1.4p2＋1.6p0.8p2所以

E

（

X

）＝0×0.2（1－

p

）2＋1×（0.4

p

2－1.2

p

＋0.8）＋2×（－

1.4

p

2＋1.6

p

）＋3×0.8

p

2＝2

p

＋0.8.

总结提炼

预测问题现实中，某些经济活动有有限个可能的结果，且能获得各个结果

对应的概率，那么预测此类经济活动的结果，可以通过建立概率模

型，转化为研究离散型随机变量的数学期望，用数学期望代替经济活

动的结果.主要过程有以下几步：（1）

确定随机变量，建立模型；

（2）

求概率分布列；（3）

求数学期望；（4）

构建方程或不等式，

并求解；（5）

在实际问题中，解释所获得的结果.[对点训练]3.（2022·永州三模）某游乐场开展摸球有奖活动，在一个不透明的盒

子中放入除颜色外其他完全相同的10个小球，其中红球4个，黑球6个，

游客花10元钱，就可以参加一次摸球有奖活动，从盒子中一次随机摸取

4个小球，规定摸取到两个或两个以上的红球就中奖.根据摸取到的红球

个数，设立如下的中奖等级：摸