专题02 圆与方程（解析版）

专题02圆与方程求圆的标准方程1.（2023·江苏南京外国语中学期末）已知圆的圆心在轴上，且经过，两点，则圆的方程是（）．A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】设圆心坐标为，利用圆过两点的坐标求出及半径，从而得圆标准方程．【详解】由题意，设圆心坐标为，∵圆过，两点，∴，解得，则圆半径为．∴圆方程为．故选：C．【点睛】本题考查圆的标准方程，解题关键是求出圆心坐标和半径．2.（2023·江苏宿迁沭阳期末）已知以为圆心的圆与直线相切，则圆C的标准方程为______．【答案】【解析】【分析】根据直线与圆C相切可求得圆C的半径，进而求解即可.【详解】由题意，圆C的半径为，所以圆C的标准方程为.故答案为：.3.（2023·江苏苏州期末）在平面直角坐标系中，已知圆，写出满足条件“过点且与圆相外切”的一个圆的标准方程为__________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】设满足条件的圆的标准方程为（），由点在圆上及外切关系可得方程组，化简取值即可得其中一个符合的结果.【详解】设满足条件的圆的标准方程为（），则有，即，两式相减化简得.不妨取，则，故满足条件的圆的标准方程为.故答案为：（答案不唯一）4.（2023·江苏徐州铜山期末）以点为圆心，与轴相切的圆的方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据圆与轴相切得出半径，再根据圆心和半径写出圆的标准方程.【详解】由题知，圆心为，因为圆与轴相切，所以圆的半径，所求圆的方程为.故选：C.5.（2023·江苏常州第三中学期末）已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，．（1）求圆A的标准方程；（2）求直线l的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由圆与直线相切结合点线距离公式可得半径，即可求得标准方程；（2）分别讨论直线l与x轴垂直与否，设出直线方程，结合垂径定理、点线距离公式列方程即可解得参数.【小问1详解】设圆A半径为R，由圆与直线相切得，∴圆A的标准方程为.【小问2详解】i.当直线l与x轴垂直时，即，此时，符合题意；ii.当直线l不与x轴垂直时，设方程为，即，Q是MN中点，，∴，即，解得，∴直线l为：.∴直线l的方程为或.6．（2023·江苏淮安期末）已知圆C过两点，，且圆心在直线上．（1）求圆C的方程；（2）过点作直线l与圆C交于M，N两点，若，求直线l的方程．【答案】（1）；（2）或．【分析】（1）设出圆的标准方程，利用待定系数法求解；（2）根据弦长及圆的半径求出弦心距，据此分直线斜率存在与不存在两种情况求解即可.【小问1详解】设圆C方程为，则，解得，所以圆C的方程为．【小问2详解】设圆心到直线l的距离为d，则，则．当直线l的斜率不存在时，直线l：，满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，所以，解得，此时，直线l的方程为，即．综上所述，直线l的方程为或．7.（2023·江苏南大附中期末）已知圆圆心为原点，且与直线相切，直线l过点．（1）求圆的标准方程；（2）若直线l被圆所截得的弦长为，求直线l的方程．【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）直接由圆心到直线的距离求出半径，即可求出圆的方程；（2）先由弦长公式求出，斜率不存在时符合题意，斜率存在时，设出直线方程，由解出直线斜率，即可求解.【小问1详解】设圆的半径为，则，故圆的标准方程为；【小问2详解】设圆心到直线到的距离为，则，解得；当直线l斜率不存在时，易得，此时圆心到的距离，符合题意；当直线l斜率存在时，设，即，则，解得，即，故直线l的方程为或.8.（2023·江苏南京励志中学期末）已知圆C的圆心坐标为,且与y轴相切，直线l过与圆C交于M、N两点．且．（1）求圆C的标准方程；（2）求直线l的方程．【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）由圆与y轴相切及圆心坐标，得到半径，从而得到圆的标准方程；（2）由弦长及垂径定理得到圆心到过的直线l的距离，分直线斜率不存在和斜率存在两种情况，结合点到直线距离公式得到方程，求出斜率，得到直线方程.【小问1详解】∵圆C的圆心坐标为，且与y轴相切，∴圆心到y轴的距离d＝2＝r，∴圆C的标准方程为；【小问2详解】∵圆C的弦长，又由（1）知半径r＝2，∴圆心到过的直线l的距离，若过的直线l的斜率不存在，则直线l的方程为，此时直线与圆相切，显然不满足题意；∴当过的直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即，∴，解得k＝－1或－7，∴直线l的方程为或．9.（2023·江苏南京秦淮中学期末）已知圆C过两点，，且圆心在直线上．（1）求圆C的方程；（2）过点作直线l与圆C交于M，N两点，若，求直线l的方程．【答案】（1）；（2）或．【解析】【分析】（1）设出圆的标准方程，利用待定系数法求解；（2）根据弦长及圆的半径求出弦心距，据此分直线斜率存在与不存在两种情况求解即可.【小问1详解】设圆C的方程为，则，解得，所以圆C的方程为．【小问2详解】设圆心到直线l的距离为d，则，则．当直线l的斜率不存在时，直线l：，满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，所以，解得，此时，直线l的方程为，即．综上所述，直线l的方程为或．点与圆的位置关系1．（2023·江苏连云港期末）设为实数，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系是（）A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定【答案】A【分析】根据题意，由点到直线的距离公式可得，从而得到点在圆上.【详解】因为圆的圆心为，半径为，且直线与圆相切，则圆心到直线的距离，即，所以点坐标满足圆的方程，所以点在圆上，故选:A圆的一般方程的辨析1.（2023·江苏奔牛高级中学期末）圆的圆心坐标和半径分别为（）A.，3 B.，3 C.，9 D.，9【答案】A【解析】【分析】将圆方程化为标准方程，即可求得圆心坐标和半径.【详解】由方程可得，故圆心坐标为，半径为3．故选：A.2.（2023·江苏盐城伍佑高中期末）方程表示一个圆，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】运用配方法，结合圆的标准方程的特征进行求解即可.【详解】由，得，解得.故选：B3.（2023·江苏盐城实验高中期末）若方程表示的曲线为圆，则的取值范围是（）．A. B.或 C. D.【答案】C【解析】【分析】根据圆的一般式满足关系即可求解.【详解】若方程表示的曲线为圆，则，即，解得：，故选:C．4.若直线经过第一、二、四象限，则有（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】由一次函数的性质判断详解】直线即，经过第一、二、四象限，则，得，.故选：B5.（2023·江苏苏州期末）在平面直角坐标系中，关于曲线的说法正确的有（）A.若，则曲线表示一个圆B.若，则曲线表示两条直线C.若，则过点与曲线相切的直线有两条D.若，则直线被曲线截得弦长等于【答案】AC【解析】【分析】根据各选项参数的值代入依题意验证即可.【详解】由曲线，对于A：当，则曲线，即，表示圆心为，半径为的圆，故A正确；对于B：当，则曲线，即，表示点，故B错误；对于C：当，则曲线，即，表示圆心为，半径为的圆，因为，所以点在圆外，则过点与曲线相切的直线有两条，故C正确；对于D：圆心到直线的距离，所以直线与圆相交所得弦长，故D错误.故选：AC求圆的一般方程1.（2023·江苏南京大厂高中期末）已知圆过点，，，则圆的方程为___．【答案】【解析】【分析】设圆的一般方程，然后将点代入组成方程组解出即可.【详解】根据题意，设圆的方程为，又由圆过点，，，则有，解可得，，，即圆的方程为：，故答案为：.2.（2023·江苏徐州铜山期末）在以下三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行求解：①圆经过点；②圆心在直线上；③圆与直线相切；已知圆经过点，且__________（1）求圆的方程；（2）已知点，问在圆上是否存在点，使得？若存在，求出点的个数；若不存在，说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）答案见解析；（2）存在，符合题意的点的个数是2个．【解析】【分析】（1）若选①，设圆的方程为，由条件列方程求可得结论；若选②，先求直线的垂直平分线方程，与直线联立可求圆心坐标，再求圆的半径，由此可得圆的方程；若选③，设圆的方程为，由条件列方程求可得圆的方程；（2）设，由条件求点的轨迹方程，再求该方程与圆的交点个数即可.【小问1详解】若选①，设圆的方程为，由已知可得，解得，所以圆的方程为，若选②，由已知的中点为的斜率为，所以的中垂线方程为：，即，又因为圆心在直线上，联立，可得，所以圆心的坐标为，半径为，所以圆的方程为：；若选③，设圆的方程为，因为圆经过点，所以，因为圆与直线相切，所以，解得，所以圆的方程为；【小问2详解】设，由已知，，即，点在圆上，圆的圆心的坐标为，半径，又因点在圆上，圆的圆心的坐标为，半径，又，，所以，圆与圆相交，两圆有两个公共点，符合题意的点的个数是2个．求动点的轨迹方程1.（2023·江苏南京大厂高中期末）当点在圆上运动时，连接它与定点，线段的中点的轨迹方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】设出的坐标，根据中点坐标关系用的坐标表示出的坐标，结合在圆上得到的坐标所满足的关系式，即为的轨迹方程.【详解】设，因为的中点为，所以，所以，又因为在圆上，所以，所以的轨迹方程即为，故选：C.2.（2023·江苏南京宁海中学期末）在平面直角坐标系中，三点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，7)，动点P满足PA=PB，则以下结论正确的是（）A.点P的轨迹方程为(x－3)2+y2=8 B.△PAB面积最大时，PA=2C.∠PAB最大时，PA= D.P到直线AC距离最小值为【答案】ACD【解析】【分析】根据可求得点轨迹方程为，A正确；根据直线过圆心可知点到直线的距离最大值为，由此可确定面积最大时，由此可确定B不正确；当最大时，为圆的切线，利用切线长的求法可知C错误；求得方程后，利用圆上点到直线距离最值的求解方法可确定D正确.【详解】对于A：设，由得：，即，化简可得：，即点轨迹方程为，故A正确；对于B：直线过圆的圆心，点到直线的距离的最大值为圆的半径，即为，，面积最大为，此时，，故B不正确；对于C：当最大时，则为圆的切线，，故C正确；对于D：直线的方程为，则圆心到直线的距离为，点到直线距离最小值为，D正确.故选：ACD.3.（2023·江苏盐城伍佑高中期末）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点.（1）求圆的方程；（2）若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹方程.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）求出圆心的坐标和圆的半径，即得解；（2）设点，，由得，代入圆的方程即得解.【小问1详解】由题意可知，的中点为，，所以的中垂线方程为，它与轴交点为圆心，又半径，所以圆的方程为；【小问2详解】设，，由，得，所以，又点在圆上，故，所以，化简得的轨迹方程为圆的方程的实际应用1.（2023·江苏苏州期末）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的门洞．如图，某园林中的圆弧形挪动高为2.5m，底面宽为1m，则该门洞的半径为（）A.1.2m B.1.3m C.1.4m D.1.5m【答案】B【解析】【分析】设半径为R，根据垂径定理可以列方程求解即可.【详解】设半径为R，,解得,化简得.故选：B.2.（2023·江苏盐城大丰期末）已知点P在圆上，点，．（1）求点P到直线AB距离的最大值；（2）当∠PBA最小时，求线段PB的长．【答案】（1）；（2）3【解析】【分析】（1）根据圆上的点到直线的距离最大值为圆心到直线的距离与半径和求解即可；（2）由题意当直线与圆相切时，最小，再根据勾股定理求解即可.【小问1详解】直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，故圆与直线相离，点到直线距离的最大值为；【小问2详解】当直线与圆相切时，最小，由勾股定理可得，此时线段的长为3.（2023·江苏盐城伍佑高中期末）若直线与圆交于，两点，当最小时，劣弧的长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化简直线方程化为，得到直线恒过定点，结合圆的性质和圆的弦长公式，即可求解.【详解】由题意，直线可化为，当且，即且时，等式恒成立，所以直线恒过定点，由圆的方程知，圆心为，半径，当直线时，取得最小值，且最小值为，如图，此时弦长对的圆心角一半的正切值为，故圆心角为，所以劣弧长为.故选：B.直线与圆的位置关系1.（2023·江苏响水灌江高中期末）直线和圆的位置关系是（）A.相离​ B.相切或相离 C.相交​ D.相切【答案】CD【解析】【分析】直线恒过点（1，1），且点（1，1）在圆上，直线的斜率不存在或存在且不为0，结合图形判断直线和圆的关系．【详解】∵圆可化为，∴圆心为（0，1），半径为1，∵直线恒过点（1，1），且点（1，1）在圆上，当时，直线与圆相切，当时，直线与圆相交，∴直线和圆的关系是相交或相切，故选：CD．2．已知直线l：，圆C：，若圆C上恰有三个点到直线l的距离为1，则（）A．1 B．3 C． D．4【答案】B【分析】由数形结合结合点线距离即可求【详解】由题意得，，则点C到直线l的距离为，圆C上恰有三个点到直线l的距离为1，则如图所示，直线l交圆于A、B垂直半径于，.故，故.故选：B3.（2023·江苏灌云期末）已知直线，圆，则（）A.圆的圆心为 B.直线过定点C.圆心到直线的最大距离为 D.无论取何值，直线与圆相交【答案】BCD【解析】【分析】将圆的标准方程转化为一般方程可判断A,求出直线恒过的定点可判断B,C,D.【详解】由题可得，所以圆的圆心为，故A错误；由的，联立解得，所以直线过定点，故B正确；直线过定点为，当时，圆心到直线的距离最大为，故C正确；因为，所以直线过定点在圆内，所以无论取何值，直线与圆相交，故D正确；故选:BCD.4.（2023·江苏南大附中期末）若直线与圆交于，两点，且，关于直线对称，则实数的值为（）A.3 B.2 C.1 D.0【答案】A【解析】【分析】先对圆的方程配方，求出圆心，再根据两直线以及圆之间的关系求解.【详解】由圆的方程：得：，圆心坐标为，直线与圆交于，两点，且，关于直线对称，则直线必定经过圆心，，，又根据垂径定理：直线与直线垂直，可得，即，所以，故；故选：A.5.（2023·江苏如皋期末）若直线与圆相切，则实数取值的集合为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，由直线与圆相切可得，结合点到直线的距离公式，代入计算，即可得到结果.【详解】由圆可得，表示圆心为，半径为的圆，则圆心到直线的距离，因为直线与圆相切，所以，即，解得或，即实数取值的集合为.故选:B6.（2023·江苏南京秦淮中学期末）“”是“直线与圆相切”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】结合直线和圆相切的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】若直线与圆相切，则圆心到直线的距离，即，，即，∴“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件，故选：A．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线与圆相切的等价条件是解决本题的关键，比较基础．7.（2023·江苏南京外国语中学期末）已知直线过点，且斜率为1，若圆上恰有3个点到的距离为1，则的值为__________.【答案】【解析】【分析】由于圆上恰有3个点到的距离为1，则圆心到直线的距离等于半径减去1，列方程即可求解．【详解】由于直线过点且斜率为1，则直线，圆上恰有3个点到的距离为1，圆心到直线的距离等于半径减去1，圆心到直线的距离为，解得，因为，所以.故答案为：.8.（2023·江苏盐城高中期末）已知直线过点，且斜率为，若圆上有4个点到的距离为1，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先由点斜式求出直线方程，再确定圆心，由题意知圆心到直线的距离小于1，即可求出的取值范围.【详解】因为圆上有4个点到的距离为1，所以圆心到直线的距离小于1，设圆的圆心到直线的距离为，又因为过点，且斜率为的直线方程为，即，所以，解得，即.故选：C.9.（2023·江苏南京燕子矶中学期末）已知点及圆：.(1)若直线过点且与圆心的距离为，求直线的方程．(2)设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）或；（2）见解析【解析】【分析】【详解】试题分析:(1)当直线斜率存在时,设出直线方程,利用圆心到直线的距离等于建立方程,解出子线的斜率,由此求得直线方程.当直线斜率不存在时,直线方程为,经验证可知也符合.(2)将直线方程代入圆的方程,利用判别式大于零求得的取值范围,利用”圆的弦的垂直平分线经过圆心”,求出直线的斜率,进而求得的值,由此判断不存在.试题解析:(1)设直线l的斜率为k(k存在)，则方程为y－0＝k(x－2)，即kx－y－2k＝0.又圆C的圆心为(3，－2)，半径r＝3，由＝1，解得k＝.所以直线方程为，即3x＋4y－6＝0.当l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，经验证x＝2也满足条件(2)把直线y＝ax＋1代入圆C的方程，消去y，整理得(a2＋1)x2＋6(a－1)x＋9＝0.由于直线ax－y＋1＝0交圆C于A，B两点，故Δ＝36(a－1)2－36(a2＋1)>0，解得a<0.则实数a的取值范围是(－∞，0)．设符合条件的实数a存在．由于l2垂直平分弦AB，故圆心C(3，－2)必在l2上．所以l2的斜率kPC＝－2.而kAB＝a＝－，所以a＝.由于，故不存在实数a，使得过点P(2,0)的直线l2垂直平分弦AB【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系,考查直线和圆相交时的代数表示方法.第一问由于题目给出圆心到直线的距离,故可利用点到直线的距离公式,建立方程,求的直线的斜率.由于直线的斜率可能不存在,故必须对直线斜率不存在的情况进行验证.直线和圆相交,那么直线和圆方程联立所得一元二次不等式的判别式要大于零.10.（2023·江苏响水灌江高中期末）已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，．（1）求圆A的标准方程；（2）求直线l的方程．【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）由圆与直线相切结合点线距离公式可得半径，即可求得标准方程；（2）分别讨论直线l与x轴垂直与否，设出直线方程，结合垂径定理、点线距离公式列方程即可解得参数.【小问1详解】设圆A半径为R，由圆与直线相切得，∴圆A的标准方程为.【小问2详解】i.当直线l与x轴垂直时，即，此时，符合题意；ii.当直线l不与x轴垂直时，设方程为，即，Q是MN中点，，∴，即，解得，∴直线l为：.∴直线l的方程为或.11.（2023·江苏盐城高中期末）已知圆．（1）若一直线被圆C所截得的弦的中点为，求该直线的方程；（2）设不过圆心的直线与圆C交于A，B两点，把的面积S表示为m的函数，并求S的最大值．【答案】（1）；（2），；.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出圆心坐标，再利用圆的性质求解作答.（2）利用点到直线的距离公式，求出边AB上的高，再求出弦AB长即可求解作答.【小问1详解】圆圆心，半径，显然点在圆C内，由圆的性质知，当为圆C弦的中点时，该弦所在直线垂直于直线，直线的斜率，则有所求直线斜率为1，方程为：，即，所以该直线的方程为.【小问2详解】直线与圆相交时，圆心C到直线l的距离，解得，又直线l不过圆心，即，因此且，，的面积，因为且，则，当，即或时，，所以，，当或时，.直线与曲线的交点问题1.（2023·江苏常州第一中学期末）若直线与曲线有两个公共点，则实数b的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】画出直线与圆的图象，根据直线与曲线有两个公共点，利用数形结合法求解.【详解】如图所示：当直线与曲线相切时，圆心到直线的距离等于半径，即，解得，因为直线与曲线有两个公共点，所以实数b的取值范围为，故答案为：.2.（2023·江苏南京师范大学附中期末）直线与曲线恰有两个交点，则实数取值范围（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据已知条件及直线与圆相切的充要条件，结合点到直线的距离公式即可求解.【详解】曲线表示圆在轴的上半部分，当直线与圆相切时，，解得，当点在直线上时，，可得,所以实数取值范围为.故选：B.3.（2023·江苏南通立发中学期末）曲线C：与轴围成图形的面积是______.【答案】【解析】【分析】将曲线C方程两边平方，化简为，它的图像是以为圆心，以2为半径的上半圆周（包括圆与轴的交点），用圆的面积公式乘以即可得出答案.【详解】由同时平方可得，即，化简为：，它的图像是以为圆心，以2为半径的上半圆周（包括圆与轴的交点），曲线C：与轴围成图形的面积是.故答案为：.求圆的切线方程1.（2023·江苏灌南高级中学期末）垂直于直线且与圆相切的直线的方程是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】令所求直线为，根据与圆的相切关系求参数m，即可得方程.【详解】由题设，与垂直的直线为，又与圆相切，则，可得，经检验满足题设.∴所求直线方程为或.故选：BD.2.（2023·江苏盐城大丰期末）过点作圆的切线，则切线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求，由切线与MC垂直可得切线斜率，由点斜式即可得切线方程.【详解】由题可知点在圆上，，则切线的斜率为，所以切线方程为，化简可得.故选：B3.（2023·江苏盐城伍佑高中期末）由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为______.【答案】【解析】【分析】切点与圆心连线垂直切线，利用勾股定理，切线段长转化为直线上点与圆心连线和半径关系，求圆心与直线上点距离的最小值，即可求解.【详解】圆的圆心为，在直线上取一点P，过P向圆引切线，设切点A．连接．在中，．要使最小，则应最小．又当PC与直线垂直时，最小，其最小值为．故的最小值为．故答案为：.4.（2023·江苏扬州高中期末）已知圆，点.（1）求过点的圆的切线方程；（2）求的最小值.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根据已知条件及点与圆的位置关系的判断方法，利用直线的点斜式方程及直线与圆的相切的条件，结合点到直线的距离公式即可求解；（2）根据圆的方程求出范围，利用代入法和不等式的性质即可求解.【小问1详解】由，得，所以圆的圆心坐标为，半径，所以,所以点在圆外，当切线的斜率不存在时，切线方程为，圆心到切线的距离为，所以，符合题意，当切线的斜率为，则切线的方程为，即，由圆心到切线的距离等于圆的半径，得，解得，所以，故过点的圆的切线方程为或.【小问2详解】由（1），得，即，解得，由，得，所以，因为，所以，故的最小值为.5.（2023·江苏扬中第二高中期末）在平面直角坐标系中，过点作圆的两条切线，切点分别为、，且，则实数的值是（）A.3 B.或 C.或2 D.2【答案】B【解析】【分析】实质上是一个斜率与另一个斜率的倒数和，进而得到四点共线，即可求解.【详解】设中点为，，圆心，根据对称性，则，因为，所以，即，因共线，所以，即，化简得，解得或.故选B.【点睛】本题考查圆与直线应用；本题的关键在于本质的识别，再结合图形求解.6.（2023·江苏扬中第二高中期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（2，4），直线l：，设圆C的半径为1，圆心在直线l上，圆心也在直线上.（1）求圆C的方程；（2）过点A作圆C的切线，求切线的方程.【答案】（1），（2）或【解析】【分析】（1）直接求出圆心的坐标，写出圆的方程；（2）分斜率存在和斜率不存在进行分类讨论，利用几何法列方程，即可求解.【小问1详解】由圆心C在直线l：上可设：点，又C也在直线上，∴，∴，又圆C的半径为1，∴圆C方程为.【小问2详解】当直线垂直于x轴时，与圆C相切，此时直线方程为.当直线与x轴不垂直时，设过A点的切线方程为，即，则，解得.此时切线方程为，综上所述，所求切线为或7．（2023·江苏连云港期末）已知圆经过两点，且圆心在直线上.（1）求圆的标准方程；（2）过点作圆的切线，求该切线的方程.【答案】（1）（2）或.【分析】（1）圆心在线段的垂直平分线上，利用两线交点求得圆心坐标、进而求出半径，写出标准方程；（2）分别讨论切线斜率存在与否，其中斜率存在时，由点线距离列式可解得斜率.【小问1详解】由题意，，圆心在线段的垂直平分线，即上.由，解得，即，从而，所以圆的标准方程为.小问2详解】i.当切线的斜率不存在时，即，满足题意；ii.当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即，则，解得，所以切线方程为.综上所述，该切线方程为或.8.（2023·江苏秦淮科技高中期末）已知直线，圆.（1）求经过圆心且与平行的直线方程；（2）求垂直于直线且与圆相切的直线方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）由题知直线过圆心，斜率为，利用点斜式得直线方程；（2）由已知得到所求直线的斜率，结合直线与圆相切即可求得直线方程.【详解】（1）所求直线过圆心，斜率为，所以直线方程为，即（2）设所求直线斜率为，，所以，设直线方程为，所求直线与圆相切，即圆心到所求直线的距离等于圆的半径，即，解得或.所求直线方程为或.9.（2023·江苏南京第1中学期末）如图，圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为.（1）若，求切线所在直线方程；（2）求的最小值.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）假设切线方程，由圆心到直线距离等于半径可构造方程求得斜率，由此可得切线方程；（2）设，可得，结合可求得最小值.【小问1详解】由题意知：切线的斜率存在，可设切线方程为，即，由圆的方程知：圆心为，半径，则圆心到切线的距离，解得：或，所求切线方程为：或.【小问2详解】连接交于点，设，则，在中，，，，，.圆的弦长问题1.（2023·江苏灌南高级中学期末）直线被圆截得的弦长为（）A. B.2 C. D.4【答案】B【解析】【分析】利用直线和圆相交所得的弦长公式直接计算即可.【详解】由题意可得圆的圆心为O(0,0)，半径，则圆心到直线的距离，所以由直线和圆相交所得的弦长公式可得弦长为：.故选：B.【点睛】本题考查了直线和圆相交所得弦长的计算，考查了运算能力，属于基础题.2.（2023·江苏苏州常熟中学期末）直线x+y﹣1＝0被圆（x+1）2+y2＝3截得的弦长等于（）A. B.2 C.2 D.4【答案】B【解析】【详解】如图,圆(x＋1)2＋y2＝3的圆心为M(−1,0)，圆半径|AM|=，圆心M(−1,0)到直线x+y−1=0的距离：|，∴直线x+y−1=0被圆(x+1)2+y2=3截得的弦长：.故选B.点睛:本题考查圆的标准方程以及直线和圆的位置关系.判断直线与圆的位置关系一般有两种方法：1．代数法：将直线方程与圆方程联立方程组，再将二元方程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直线与圆的位置关系．这种方法具有一般性，适合于判断直线与圆锥曲线的位置关系，但是计算量较大．2．几何法：圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系．这种方法的特点是计算量较小．当直线与圆相交时,可利用垂径定理得出圆心到直线的距离,弦长和半径的勾股关系.3.（2023·江苏南京宁海中学期末）直线与圆相交于点，点是坐标原点，若是正三角形，则实数值为A.1 B.-1 C. D.【答案】C【解析】【详解】由题意得，直线被圆截得的弦长等于半径．圆的圆心坐标，设圆半径为，圆心到直线的距离为，则．由条件得，整理得．所以，解得．选C．4.（2023·江苏南京外国语中学期末）已知直线和圆，则（）A.直线l恒过定点B.存在k使得直线l与直线垂直C.直线l与圆O相交D.若，直线l被圆O截得的弦长为4【答案】BC【解析】【分析】利用直线系方程求出直线所过定点坐标判断A、C；求出使得直线与直线垂直的值判断B；根据弦长公式求出弦长可判断D.【详解】对于A、C，由，得，令，解得，所以直线恒过定点，故A错误；因为直线恒过定点，而，即在圆内，所以直线l与圆O相交，故C正确；对于B，直线的斜率为，则当时，满足直线与直线垂直，故B正确；对于D，时，直线，圆心到直线的距离为，所以直线l被圆O截得的弦长为，故D错误.故选：BC.5.（2023·江苏宿迁沭阳期末）直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】依题意，圆心为，半径为，且圆心到直线的距离，而，即，也即，解得.点睛：本题主要考查直线和圆的位置关系，考查直线和圆相交所得弦长的弦长公式.直线和圆相交所得弦长公式为，先将圆心和半径求出来，然后利用圆心到直线的距离公式求出，这个是含有参数的，将代入题目所给弦长不小于这个不等式，解这个不等式即可求得的取值范围.6.（2023·江苏徐州铜山期末）已知过点的直线l被圆所截得的弦长为8，则直线l的方程为______.【答案】或．【解析】【分析】求出圆的圆心、半径，当直线的斜率不存在时，直线方程为，成立；当直线的斜率存在时，设直线，求出圆心到直线的距离，由过点的直线被圆所截得的弦长为8，利用勾股定理能求出直线的方程．【详解】圆的圆心为，半径，当直线的斜率不存在时，直线方程为，联立，得或，直线被圆所截得的弦长为8，成立；当直线的斜率存在时，设直线，圆心到直线的距离，过点的直线被圆所截得的弦长为8，由勾股定理，得，即，解得，直线，整理，得．综上直线的方程为或．故答案为：或．7.（2023·江苏盐城实验高中期末）已知圆，点，、为圆上两点且满足，为中点，且构成三角形，记的面积为，则的最大值为________【答案】【解析】【分析】如图，由已知，为中点可得出，，利用勾股定理得到，等价转化为，设点并代入上式得到的轨迹方程，当到最大距离为圆的半径时，最大.【详解】如图：因为，所以，因为为斜边中点，所以，根据垂径定理可知，，所以，所以，设，则，，所以，展开整理得，轨迹是以为圆心（中点），半径为的圆，所以到最大距离为，且，所以，所以的最大值为.故答案为：8.（2023·江苏宿迁沭阳期末）已知直线l与圆相交于A，B两点，弦AB的中点为．（1）求实数a的取值范围以及直线l的方程；（2）已知，若圆C上存在两个不同的点P，使，求实数a的取值范围．【答案】（1）；；（2）【解析】【分析】（1）先由圆的方程写出圆心和半径；再由点M在圆内可求出实数a的取值范围；最后根据即可得出直线l的方程.（2）先设出点P的坐标，由得出点P的轨迹方程；再根据圆C上存在两个不同的点P可知两圆相交，列出不等式求解即可.【小问1详解】由圆可得，则圆心，半径.因为直线l与圆相交于A，B两点，弦AB的中点为．所以点在圆内，则，即，解得故实数a的取值范围为.因为弦AB的中点为，所以由圆的性质可得，则，所以直线l的方程为：，即.【小问2详解】设点P坐标为，由，，可得，即.所以点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆，因为圆C上存在两个不同的点P，所以两圆相交，则，解得故实数a的取值范围为：.9.（2023·江苏宿迁期末）已知圆：，直线过点．（1）若直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程；（2）若直线与圆交于另一点，与轴交于点，且为的中点，求直线的方程．【答案】（1）或；（2）．【解析】【分析】（1）根据点到直线的距离公式以及圆的弦长公式即可求解，（2）根据中点坐标公式即可根据点在圆上求解,进而可求直线方程.小问1详解】当直线斜率不存在时，与圆相切不符合题意，舍去．当直线斜率存在时，设直线,即，圆心坐标为，由弦长为可知，圆心到直线的距离为，即，所以，则直线方程为或【小问2详解】设，因为为中点，则，由在圆上得，即，则．所以直线，即直线．10.（2023·江苏南京师范大学附中期末）已知圆C经过坐标原点，且与直线x﹣y+2＝0相切、切点为A（2，4）．（1）求圆C的方程；（2）已知斜率为﹣1的直线l与圆C相交于不同的两点M、N，若直线l被圆截得的弦MN的长为14，求直线l的方程.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）根据垂直得到直线方程，设圆心为，半径为，将两点带入圆方程解得答案.（2）设直线方程为，计算圆心到直线的距离为，根据点到直线的距离公式得到答案.【小问1详解】直线x﹣y+2＝0斜率为1，故，故直线方程为，设圆心为，半径为，则，将原点和带入原方程得到，解得，故原方程为：.【小问2详解】设直线方程为，即，弦长为，故圆心到直线的距离为，即，解得，故直线方程为和.11.（2023·江苏徐州铜山期末）已知圆与轴交于两点，点的坐标为．圆过三点，当实数变化时，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，则此定直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】设圆为，根据圆与圆都经过两点，可用表示，又点在圆上，可用表示，进而可得含参数的圆的方程，再由圆系方程求解即可.【详解】圆方程为，令，得，设圆的方程为，令，得，由题意，圆与圆都经过两点，∴方程与等价，∴，，∴圆的方程为，∵点在圆上，∴，∴，∴圆：，整理得，∴圆经过直线与圆的交点，∴当实数变化时，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，故选：C.两圆位置关系的判断1．（2023·江苏连云港期末）圆与圆的位置关系为（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切【答案】C【分析】利用配方法，求出圆心和半径，根据两圆心之间的距离与两半径的关系判断圆与圆的位置关系．【详解】由题意可知圆，其圆心，半径，圆，其圆心，半径，又，所以圆和圆的位置关系是相交，故选：C．2.（2023·江苏灌云期末）方程组的解的个数是（）A.2 B.1 C.0 D.不确定【答案】A【解析】【分析】记，得即可解决.【详解】由题得，，记，所以，所以，因为，所以与相交，两圆有两个交点，所以方程组的解的个数是2，故选：A3．（2023·江苏淮安期末）若圆：与圆：外切，则实数______．【答案】【分析】根据两圆外切列方程，从而求得的值.【详解】圆的圆心为，半径为.圆的圆心为，半径为.由于两圆外切，所以，得.故解得.故答案为：.4.（2023·江苏南京励志中学期末）已知圆和圆相交于，两点，下列说法正确的是（）A.圆与圆有两条公切线B.圆与圆关于直线对称C.线段的长为D.，分别是圆和圆上的点，则的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】根据题意，由圆的方程分析两圆的圆心和半径，由此依次分析4个选项，即可得答案．【详解】解：根据题意，圆，其圆心为，半径，圆，即，其圆心为，半径，依次分析选项：对于A，由于，，又，所以两圆相交，故有两条共切线，A正确，对于B，圆和圆的半径相等，则线段的垂直平分线为，则圆与圆关于直线对称，B正确，对于C，联立，化简可得，即的方程为，到的距离，则，C错误；对于D，，则的最大值为，D正确，故选：ABD．5.（2023·江苏南通海安期末）已知圆，点，，则（）A.点在圆外 B.直线与圆相切C.直线与圆相切 D.圆与圆相离【答案】AB【解析】【分析】根据已知写出圆心、半径.代入点坐标，即可判断A项；分别求出圆心到直线的距离，比较它们与半径的关系，即可判断B、C项；求出圆心距，根据与两圆半径的关系即可判断D项.【详解】解：由题，圆的圆心坐标为，半径为，

对于A项，因为，所以点在圆外，故A正确；

对于B项，圆心到直线的距离为，故直线与圆相切，故B项正确；

对于C项，直线的方程为，整理得，则圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离，故C错误；

对于D项，圆的圆心坐标为，半径为，则圆心间的距离为，因为，所以圆与圆相交，故D错误.

故选：AB．6.（2023·江苏南通立发中学期末）若圆与圆相交，则实数m的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出两圆的圆心与半径，根据即可求解.【详解】由可得，且圆是以为圆心，为半径的圆，化为，是以为圆心，为半径圆.因为两圆相交，所以，即，恒成立，所以，即，即，解得.综上所述，实数m的取值范围是.故选：D.7.（2023·江苏宿迁期末）圆与圆的公切线条数为（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先判断两圆的位置关系，进而确定公切线的条数．【详解】由圆，可得圆的圆心为，半径为1，由圆

，可得圆的圆心为，半径为，∵圆与圆的圆心距，∴圆与圆相离，故有条公切线．故选：D.8.（2023·江苏盐城实验高中期末）已知圆.（1）若直线与圆相切，求实数的值．（2）若圆与圆外切，求实数的值；【答案】（1）或3；（2）4.【解析】【分析】（1）求出圆的圆心和半径，再利用点到直线距离公式，列式求解作答.（2）求出圆的圆心和半径，再结合两圆外切列出方程，求解作答.【小问1详解】圆，则有，圆心，半径，因为直线与圆相切，则有，解得或，符合题意，所以实数的值或3.【小问2详解】圆的圆心，半径，因为圆与圆外切，则有，由（1）得，解得，所以实数的值为4.9.（2023·江苏徐州期末）已知圆，圆.（1）判断与的位置关系；（2）若过点的直线被、截得的弦长之比为，求直线的方程.【答案】（1）外切（2）或【解析】【分析】（1）计算出，利用几何法可判断两圆的位置关系；（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直线验证即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用勾股定理结合点到直线的距离公式可得出关于的方程，解出的值，即可得出直线的方程.【小问1详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为.因为，所以圆与圆外切.【小问2详解】当直线的斜率不存在时，直线的方程为，直线与圆相离，不符合题意；当直线的斜率存在时，设的方程为，即，则圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为，所以，直线被圆截得的弦长为，直线被圆截得的弦长为，由题意可得，即，解得或，经检验，或均符合题意.所以直线的方程为或.由两圆位置关系求圆的方程1.（2023·江苏扬中第二高中期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点A、B的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，，.点P满足，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是（）A.C的方程为 B.在C上存在点D，使得D到点（1，1）的距离为10C.在C上存在点M，使得 D.C上的点到直线的最大距离为9【答案】AD【解析】【分析】由题意可设点，由两点的距离公式代入化简可判断A选项；由两点的距离公式和圆的圆心得出点（1，1）到圆上的点的最大距离，由此可判断B选项.设，由已知得，联立方程求解可判断C选项；由点到直线的距离公式求得C上的点到直线的最大距离，由此可判断D选项.【详解】由题意可设点，由，，，得，化简得，即，故A正确；点（1，1）到圆上的点的最大距离，故不存在点D符合题意，故B错误.设，由，得，又，联立方程消去得，解得无解，故C错误；C的圆心（-4，0）到直线的距离为，且曲线C的半径为4，则C上的点到直线的最大距离，故D正确；故选：AD.2.（2023·江苏常州第一中学期末）已知圆及其上一点.（1）设平行于的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程；（2）设圆与圆外切于点，且经过点，求圆的方程.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）由题意可设直线的方程为，再由根据弦长结合点到直线的距离与勾股定理求解即可；（2）由题意可知圆心在直线上也在在的中垂线上，先求出这两条直线，再联立可得圆心坐标，进而可得半径，即可求解【小问1详解】因为直线，所以直线的斜率为.设直线的方程为，则圆心到直线的距离.则，又，所以，解得或，即直线的方程为：或.【小问2详解】因为圆与圆外切于点，所以圆心在直线上由两点式得直线方程为又因为圆经过点和，所以圆心在的中垂线上，中点为所以中垂线方程为，即由解得圆心坐标为，半径所以圆的方程为两圆的公共弦问题1.（2023·江苏南京燕子矶中学期末）已知圆与圆相交于两点，则两圆的公共弦A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】两圆方程相减得所在的直线方程，再求出到直线的距离，从而由的半径，利用勾股定理及垂径定理即可求出．【详解】圆与圆相减得所在的直线方程：.∵圆的圆心，，圆心到直线：的距离，则．故选A【点睛】本题考查了圆与圆公共弦的弦长和直线与圆相交的性质，求出公共弦所在的直线方程是解本题的关键，属于基础题．与圆有关的综合问题1.（2023·江苏泰州中学期末）已知圆，点，，则（）A.点在圆外 B.直线与圆相切C.直线与圆相切 D.圆与圆相离【答案】AB【解析】【分析】根据已知写出圆心、半径.代入点坐标，即可判断A项；分别求出圆心到直线的距离，比较它们与半径的关系，即可判断B、C项；求出圆心距，根据与两圆半径的关系即可判断D项.【详解】由题，圆的圆心坐标为，半径为，

对于A项，因为，所以点在圆外，故A正确；

对于B项，圆心到直线的距离为，故直线与圆相切，故B项正确；

对于C项，直线的方程为，整理得，则圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离，故C错误；

对于D项，圆的圆心坐标为，半径为，则圆心间的距离为，因为，所以圆与圆相交，故D错误.

故选：AB．2.（2023·江苏如皋期末）若直角三角形三条边长组成公差为2的等差数列，则该直角三角形外接圆的半径是（）A. B.3 C.5 D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，设中间的边为，由等差数列的定义，结合勾股定理即可得到的值，从而得到结果.【详解】由题意设中间的边为，则三边依次为，由勾股定理可得，解得或（舍）即斜边为，所以外接圆的半径为，故选:C3.（2023·江苏苏州常熟中学期末）圆C为过点的圆中最小的圆，则圆C上的任意一点M到原点O距离的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】要使圆最小则圆心为P、Q的中点，求出圆心坐标及其半径，由圆心到原点的距离结合圆的性质即可确定圆C上的任意一点M到原点O距离的范围.【详解】以PQ为直径的圆最小，则圆心为，半径为，圆心到原点的距离为5，∴M到原点O距离的最小值为.故选：D．4.（2023·江苏秦淮科技高中期末）已知圆O：和圆C：.现给出如下结论，其中正确的是A.圆O与圆C有四条公切线B.过C且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或C.过C且与圆O相切的直线方程为D.P､Q分别为圆O和圆C上的动点，则的最大值为，最小值为【答案】AD【解析】【分析】对于A，先由已知判断两圆的位置关系，从而可判断两圆的公切线的条数；对于B，截距相等可以过原点或斜率只能为，从而可得直线方程；对于C，由于点C在圆O外，所以过点C与圆O相切的直线有两条；对于D，的最大值为圆心距与两圆半径的和，最小值为圆心距与两圆半径的差，【详解】解：由题意可得，圆O：的圆心为，半径，圆C：的圆心，半径,因为两圆圆心距，所以两圆相离，有四条公切线，A正确；截距相等可以过原点或斜率只能为，B不正确；过圆外一点与圆相切的直线有两条，C不正确；的最大值等于，最小值为，D正确.故选：AD【点睛】此题考查两圆的位置关系的有关性质，属于基础题5．（2023·江苏连云港期末）设为实数，若方程表示圆，则（）A．B．该圆必过定点C．若直线被该圆截得的弦长为2，则或D．当时，该圆上的点到直线的距离的最小值为【答案】BCD【分析】对A，方程化为圆的标准式，令等式右侧部分大于0，求解即可判断；对B，点代入方程即可判断；对C，结合点线距离公式，由几何法根据弦长列方程即可求解；对D，结合点线距离公式，由几何法可得圆上的点到直线距离的最小值.【详解】对A，，由方程表示圆，则有，A错；对B，将代入方程，符合，B对；对C，圆心为，则圆心到直线的距离为，故直线被该圆截得的弦长为或，C对；对D，，则圆半径为1，圆心到直线的距离为，故该圆上的点到直线的距离的最小值为，D对.故选：BCD.6.（2023·江苏常州第三中学期末）点在圆上，点，点，则下列结论正确的是（）A.过点可以作出圆的两条切线B.点到直线距离的最大值为C.圆关于直线对称的圆的方程为D.当最大时，【答案】ABD【解析】【分析】对于A，判断得点在圆外即可；对于B，利用圆上动点到直线的最大距离为即可判断；对于C，求得圆心关于直线对称的点即可得解；对于D，判断得最大时直线与圆相切，再利用两点距离公式与勾股定理即可得解.【详解】对于A，因为，所以点在圆外，则过点可以作出圆的两条切线，故A正确；对于B，由题意可得，直线方程为，即，因为圆，所以，半径为，所以圆心到直线的距离为，所以点到直线距离的最大值为，故B正确；对于C，设圆心关于直线对称的点为，则，解得，所以圆关于直线对称的圆的方程为，故C错误；对于D，当最大时，易得直线与圆相切，如图，在中，，，所以，故D正确.故选：ABD.

7.（2023·江苏南京燕子矶中学期末）以下四个命题为真命题的是（）A.过点且在轴上的截距是在轴上截距的倍的直线的方程为B.直线的倾斜角的范围是C.