高一物理：力的合成与分解精讲精练（含解析）

1力合成与分解——划重点之复习强化精细讲义系列1．合力与分力定义（1）共点力：几个力如果都作用在物体的同一点，或者它们的作用线相交于一点，这几个力叫作共点力，所以，共点力不一定作用在同一点上。（2）合力和分力①定义：假设一个力单独作用的效果跟某几个力共同作用的效果相同，这个力就叫作那几个力的合力.假设几个力共同作用的效果跟某个力单独作用的效果相同，这几个力就叫作那个力的分力。②合力与分力是等效替代关系，并不同时作用于物体上，因此不能把合力和分力同时当成物体受的力。①共点力的几种情况作用情况举例说明几个力作用于同一点F1、F2、F3作用于同一点（O几个力的作用线相交于同一点F1的重心O处可看成质点的物体所受的力F1B、C整体看成一个质点后，可以把F1、F2当成共点力来分析②共点力的交点不一定在物体上，但在画物体的受力图时，一般把共点力的作用点平移到物体的重心.2③如果一个物体受多个力而处于静止状态或匀速直线运动状态，则其中任意一个力与其他几个力的合力等大反向，这是将多个力的问题转化成二力平衡问题的方法力的合力等大反向，这是将多个力的问题转化成二力平衡问题的方法.2．力的合成定则（1）力的合成定义求几个力的合力的过程叫力的合成。（2）特性：①力的合成是唯一的。②只有同一物体所受的力才可合成。③不同性质的力也可以合成。（3）力的合成定则①平行四边形定则：求两个互成角度的力的合力，可以用表示这两个力的线段作邻边，作平行四边形，夹在两分力之间的对角线就表示合力的大小和方向。这叫做力的平行四边形定则。应用范围：ⅰ.定则是一切矢量的运算法则，如速度、加速度等其他矢量合成也适用；ⅱ.定则只能计算几个共点力合力，对于非共点力，合力没有意义。②三角形定则：两个共点力首尾相接，从一个力的始端指向另一个力的末端的有向线段就是两个力的合力.不在同一直线上的两个分力与其合力，一定围成一个封闭的三角形。类推，不在同一直线上的n个力与其合力，一定围成一个封闭的（n+1）边形。3．共点力合成的方法（1）作图法（图解法）。作图时要先确定力的标度，同一图上的各个力必须采用同一标度。表示分力和合力有向线段共点且要画成实线，与分力平行对边要画成虚线，力线段上要画上刻度和箭头。从力的作用点起，按同一标度作出两个分力F1和F2的图示，再以F1和F2的图示为邻边作平行四边形，画出过作用点的对角线，量出对角线的长度，计算出合力的大小，量出对角线与某一力的夹角确定合力的方向，如图所示。3（2）计算法：先根据力的平行四边形定则作出力的合成示意图，然后运用数学知识求合力大小和方向。4．多个共点力的合成——有两种方法（1）先求出任意两个力的合力，再求出这个合力与第三个力的合力，直到把所有的力都合成进去，最后得到的结果就是这些力的合力。（2）把分力依次首尾相接（平移从第一个的始端连向最后一个力的末端，就得到合力。【针对练习1】下面关于合力和它的两个分力的叙述中，正确的是()A．两个力的合力，一定大于其中任意的一个分力B．两个共点力的夹角在0~180。之间，夹角越大，其合力越小C．合力的作用效果与其每一个分力的作用效果都是相同的D．合力的大小不可能与分力的大小相等【针对练习2】如图所示，作用在一个物体上的六个共点力的大小分别为F、2F、3F、4F、5F、6F，相邻两力间的夹角均为60°,其合力为F1；若撤去其中的一个大小为2F的力，其余五个力的合力为F2，则下列结论正确的是()A．F1=0，F2=2F，F2方向与5F方向相同B．F1=2F，F2=2F，F2方向与2F方向相同C．F1=2F，F2=0，F1方向与5F方向相同D．F1=2F，F2=0，F1方向与2F方向相同【针对练习3】两个力F1和F2之间的夹角为θ,其合力为F。下列关于合力F和两个分力F1、F2的说法中正确的是()A．若F1和F2大小不变，θ越小，则合力F就越大B．合力F总比力F1和F2中的任何一个都大C．若夹角θ不变，力F1大小不变，F2增大，则合力一定增大4D．合力F的大小等于力F1、F2的大小之和【针对练习4】如图，有五个力作用于同一点O，表示这五个力的有向线段恰分别构成一个正六边形的两条邻边和三条对角线。已知F2=10N，则这五个力的合力大小为()【针对练习5】如图所示，五个共点力的矢量图恰能构成一个四边形及其对角线，下列说法正确的是()A．F1、F2、F3的合力为零C．这五个共点力的合力为零D．这五个共点力的合力为3F3【针对练习6】一物体受到三个力的作用，其中物体受力平衡的是()【针对练习7】（多选）如图所示，完全相同的两个吊灯，左边的吊灯只受一个A绳拉力的作用，右边的吊灯受到B绳和C绳的共同作用，两灯均处于静止状态，则下列说法正确的是()A．A绳对灯的拉力与灯重力是等效的B．B、C两绳对灯的拉力与A绳对灯的拉力等效5C．B绳对灯的拉力和C绳对灯的拉力可以看做A绳对灯拉力的分力D．A绳的拉力等于B绳的拉力和C绳的拉力的和【解析】【针对练习1】下面关于合力和它的两个分力的叙述中，正确的是()A．两个力的合力，一定大于其中任意的一个分力B．两个共点力的夹角在0~180。之间，夹角越大，其合力越小C．合力的作用效果与其每一个分力的作用效果都是相同的D．合力的大小不可能与分力的大小相等【答案】【答案】B【详解】A．根据二力合成的合力范围可知，两个力的合力，不一定大于其中任意的一个分力。故A错误；B．由平行四边形定则可知两个共点力的夹角在0~180。之间，夹角越大，其合力越小。故B正确；C．合力与分力是等效替代关系。故C错误；D．合力的大小可能与分力的大小相等，如夹角为120°的两个等大的力的合力就等于分力大小。故D错误。故选B。【针对练习2】如图所示，作用在一个物体上的六个共点力的大小分别为F、2F、3F、4F、5F、6F，相邻两力间的夹角均为60°,其合力为F1；若撤去其中的一个大小为2F的力，其余五个力的合力为F2，则下列结论正确的是()A．F1=0，F2=2F，F2方向与5F方向相同C．F1=2F，F2=0，F1方向与5F方向相同B．F1=2F，F2=2F，F2方向与2F方向相同D．F1=2F，F2=0，F1方向与2F方向相同【答案】【答案】A【详解】如图所示6求六个共点力的合力先求共线的两个力的合力，共线的两个力的合力都为求六个共点力的合力先求共线的两个力的合力，共线的两个力的合力都为3F且两两的夹角都为120°,再求其中两个力的合力，作出平行四边形为菱形，由几何关系知合力也为3F且方向与另一个3F的力反向，故F1=0，若撤去其中的一个大小为2F的力，其余五个力的合力与2F的力等大反向，即与5F的力方向相同。故选A。【针对练习3】两个力F1和F2之间的夹角为θ,其合力为F。下列关于合力F和两个分力F1、F2的说法中正确的是()A．若F1和F2大小不变，θ越小，则合力F就越大B．合力F总比力F1和F2中的任何一个都大C．若夹角θ不变，力F1大小不变，F2增大，则合力一定增大D．合力F的大小等于力F1、F2的大小之和【答案】【答案】A【详解】A．若F1和F2大小不变，根据平行四边形定则可知，θ越小，则合力F就越大，故A正确；BCD．合力F的取值范围为可知合力F可以比任一分力都大，也可以比任一分力都小；合力F的大小不一定等于力F1、F2的大小之和，若夹角θ不变，力F1大小不变，F2增大，合力不一定增大，故BCD错误。故选A。【针对练习4】如图，有五个力作用于同一点O，表示这五个力的有向线段恰分别构成一个正六边形的两条邻边和三条对角线。已知F2=10N，则这五个力的合力大小为()7【答案】【答案】D【详解】解法一：利用平行四边形定则，如图所示最大力为F1，根据平行四边形定则，F3与F4的合力为F1，F2与F5的合力为F1，这五个力的合力为3倍的F1，已知F2=10N，根据几何关系可知F所以合力的大小为故选D。解法二：利用三角形定则，如图所示将力F2、F3平移到F5与F1、F4与F1的首端之间，F3、F4的合力等于F1，F5、F2的合力等于F1，由几何关系可知FF故这五个力的合力大小为故选D。解法三：利用对称法，如图所示8由对称性，F2和F3的夹角为120。，F2=F3，则合力在其夹角的平分线上，合力的大小等于其分力的大小，故力F2和F3的合力同理，F4和F5的合力也在其夹角的平分线上，由图中几何关系可知F故这五个力的合力为故选D。解法四：利用正交分解法，建立如图所示的正交坐标系将将F2~F5正交分解，在y轴方向合力为零，故这五个力的合力等于在x轴方向的合力cos30。再由图中几何关系有FFF3cos609故这五个力的合力为故选D。【针对练习5】如图所示，五个共点力的矢量图恰能构成一个四边形及其对角线，下列说法正确的是()A．F1、F2、F3的合力为零C．这五个共点力的合力为零D．这五个共点力的合力为3F3【答案】【答案】B【详解】A．根据闭合三角形定则可知F1、F2的合力大小等于F3，方向与F3方向相同，则F1、F2、F3的合力为2F3，故A错误；B．根据闭合三角形定则可知F4、F5的合力大小等于F3，方向与F3方向相反，则F3、F4、F5的合力为零，故B正确；CD．由于F3、F4、F5的合力为零，则这五个共点力的合力等于F1、F2的合力，即这五个共点力的合力为F3，故CD错误。故选B。【针对练习6】一物体受到三个力的作用，其中物体受力平衡的是()【答案】【答案】D【详解】A．根据平行四边形定则可知，图中三个力的合力大小为2F3，故A错误；B．图中三个力的合力大小为2F1，故B错误；C．图中三个力的合力大小为2F3，故C错误；D．图中三个力的合力大小为0，故D正确。故选故选D。【针对练习7】（多选）如图所示，完全相同的两个吊灯，左边的吊灯只受一个A绳拉力的作用，右边的吊灯受到B绳和C绳的共同作用，两灯均处于静止状态，则下列说法正确的是()A．A绳对灯的拉力与灯重力是等效的B．B、C两绳对灯的拉力与A绳对灯的拉力等效C．B绳对灯的拉力和C绳对灯的拉力可以看做A绳对灯拉力的分力D．A绳的拉力等于B绳的拉力和C绳的拉力的和【答案】【答案】BC【详解】A．A绳产生的效果是使灯吊在空中，重力的效果是使灯有向下运动的趋势，则A绳对灯的拉力与灯重力不是等效的，故A错误；B．A绳产生的效果是使灯吊在空中，B、C两绳产生效果也是使灯吊在空中，所以A绳的拉力和B、C绳的拉力是等效的，故B正确；C．根据上述，B、C两绳对灯的拉力与A绳对灯的拉力等效，可以相互替代，即B、C两绳的拉力可以看做A绳拉力的分力，故C正确；D．根据上述，B、C两绳对灯的拉力与A绳对灯的拉力等效，可以相互替代，即A绳拉力可以看做B、C两绳拉力的合力，它们之间满足平行四边形定则，而不能简单认为A绳的拉力等于B绳的拉力和C绳的拉力的和，故D错误。故选BC。知识点二合力与分力的大小关系（1）合力与分力的三性①等效性：合力的作用效果与分力的共同作用效果相同——相互替代关系；②同体性：各个分力作用在同一个物体上—受力物体相同；作用在不同物体上的力不能求合力。③瞬时性：某个分力变化了，合力同时也发生变化——瞬时对应关系。（2）合力与分力的大小关系——两个共点力合力范围的确定·两个共点力的合力范围：|r1－r2|≤r≤r1＋r2。当两个力反向时，合力最小，为|F1－F2|；当两力同向时，合力最大，为F1＋F2。（3）三个共点力的合成范围①最大值：三个力同向时，其合力最大，为rmax＝r1＋r2＋r3。②最小值：任取两个力，求出其合力的范围，如果第三个力在这个范围之内，则三个力的合力的最小值为零，如果第三个力不在这个范围内，则合力的最小值为最大的一个力减去另外两个较小的力的和的绝对值。①两个力的合力不一定等于这两个力的代数和。合力可能大于、小于或者等于每一个分力。②两个分力大小一定时，合力大小随两分力间夹角增大而减小。③合力一定时，两等大分力的夹角越大，二分力越大。【针对练习8】关于大小分别为7N和5N的两个力的合力，下列说法正确的是()A．合力可能为12NB．合力不可能为10NC．合力可能为15ND．合力不可能为4N【针对练习9】作用在物体上的三个共点力，其大小分别为7N、8N、9N，其合力最小是()A．0B．6N【针对练习10】下面有关两个分力和它们的合力的说法正确的是()A．合力一定大于分力B．增大一个分力，合力一定增大C．合力不可能大于两个分力大小之和D．合力随着两分力夹角的增大而增大【针对练习11】如图所示为两个共点力的合力F随两分力的夹角θ变化的图像，则这两个分力的大小可能为()A．1N和4NB．2N和3NC．1N和5ND．2N和4N【针对练习12】（多选）两个共点力的合力为F，如果它们之间的夹角θ固定不变，使其中一个力增大，则以下说法正确的是()A．合力F一定增大B．合力F的大小可能不变C．合力F可能增大，也可能减小D．当0°<θ＜90°,合力F增大【针对练习13】（多选）已知某力的大小为10N，则不可能将此力分解为下列哪组力()A．3N、3NB．3N、15NC．10N、15ND．400N、400N【解析】【针对练习8】关于大小分别为7N和5N的两个力的合力，下列说法正确的是()A．合力可能为12NB．合力不可能为10NC．合力可能为15ND．合力不可能为4N【答案】【答案】A【详解】大小分别为7N和5N的两个力的合力范围为即A．合力可能为12N，故A正确；B．合力可能为10N，故B错误；C．合力不可能为15N，故C错误；D．合力可能为4N，故D错误。故选A。【针对练习9】作用在物体上的三个共点力，其大小分别为7N、8N、9N，其合力最小是()A．0B．6N【答案】【答案】A【详解】F1=7N、F2=8N、F3=9N，三个力最大值等于三个力之和，即为24N。F1、F2两个力的合力最大为15N，最小为1N，而F3=9N，所以三个力最小值是0N，故选A。【针对练习10】下面有关两个分力和它们的合力的说法正确的是()A．合力一定大于分力B．增大一个分力，合力一定增大C．合力不可能大于两个分力大小之和D．合力随着两分力夹角的增大而增大【答案】【答案】C【详解】A．若两力夹角较大时，合力可能小于每一分力，故A错误；B．由力的合成法则可知，增大一个分力，合力可能增大，也可能减小，故B错误；C．合力大于等于两个分力大小之差，小于等于两个分力大小之和，故C正确；D．由力的合成法则可知，合力随着两分力夹角的增大而减小，故D错误。故选C。【针对练习11】如图所示为两个共点力的合力F随两分力的夹角θ变化的图像，则这两个分力的大小可能为()A．1N和4NB．2N和3NC．1N和5ND．2N和4N【答案】【答案】B【详解】由题图知，当两分力方向相同时，合力为5N，即F当两分力方向相反时，合力为1N，即所以FF故选B。【针对练习12】（多选）两个共点力的合力为F，如果它们之间的夹角θ固定不变，使其中一个力增大，则以下说法正确的是()A．合力F一定增大B．合力F的大小可能不变C．合力F可能增大，也可能减小D．当0°<θ＜90°,合力F增大【答案】【答案】BCD【详解】AC．当两个力的夹角为180°时，较小的力增大，合力F将减小，较大的力增大，合力F将增大，故A错误，C正确；B．当两个力的夹角为180°时，较小的力增大值为两个力差值的两倍时，合力F大小不变，故B正确；D．当0°<θ＜90°时如下图由平行四边形定则可得，此时合力F一定增大，故D正确。故选BCD。【针对练习13】（多选）已知某力的大小为10N，则不可能将此力分解为下列哪组力()A．3N、3NB．3N、15NC．10N、15ND．400N、400N【答案】【答案】AB【详解】A．3N、3N两力的合力的最大值为6N，最小值为0，10N不在此范围内，故A正确；B．3N、15N两力的合力的最大值为18N，最小值为12N，10N不在此范围内，故B正确；C．10N、15N两力的合力的最大值为25N，最小值为5N，10N在此范围内，故C错误；D．400N、400N两力的合力的最大值为800N，最小值为0，10N在此范围内，故D错误。故选AB。形，其对角线相互垂直且平分，则合力大小丁所示，则合力的大小形，其对角线相互垂直且平分，则合力大小丁所示，则合力的大小知识点三运用数学方法求力的大小①相互垂直的两个力的合成如图甲所示，由几何关系得，合力的大小F=，与F1间的夹角θ满足tanθ=F2/F1。②夹角为120°的两等大的力的合成如图乙所示.由几何关系得，对角线将画出的平行四边形分为两个等边三角形，所以合力的大小与分力等大，与每个分力的夹角均为60°。③夹角为θ的相同大小的两个力的合成，如图丙所示.由几何关系可知，作出的平行四边形为菱FF=2F1cos，与F1间的夹角为.例如θ=60°时，④根据平行四边形定则作出示意图，然后根据正、余弦定理和三角函数等几何知识计算合力.若两个分力的大小分别为F1、F2，它们之间的夹角为θ,由平行四边形定则作出它们的合力示意图如图①3个互成120°夹角的大小相等的力合力为零。②力是矢量，在求合力时，要同时求解合力的大小和方向。·③两个等大的力合成：若两分力夹角小于120°,合力比分力大；若两分力夹角等于120°,合力与分力一样大；若两分力夹角大于120°,合力比分力小。【针对练习14】小娟、小明两人共提一桶水匀速前行，如图所示，已知两人手臂上的拉力大小相等且为F，两人手臂间的夹角为θ,水和水桶的总重力为G，则下列说法中正确的是()G2A．当θ为120°时，F＝G2B．不管θ为何值，均有F=C．当θ=60°时，F=【针对练习15】两个大小相等的共点力F1、F2，当它们间夹角为90°时合力大小为10N，则它们间夹角为120°时，合力的大小为()【针对练习16】如图所示，某质点在共点力F1、F2、F3作用下处于静止状态。现将F1顺时针旋转60°,其他力均保持不变，那么该质点的合力大小为()A．F1B．F2＋F3C．F3D．F1＋F2【针对练习17】我国近期研制的“问海1号”6000米级自主遥控水下机器人完成海上试验及科考应用，通过验收并交付用户，在装吊“问海1号”下水工作时“问海1号”受到五个力的作用下处于静止状态。现把其中一个大小为100N的力的方向转过90°,其余的力不变，则此时“问海1号”受到的合力大小为()A．50NB．100NC．100ND．200N【针对练习18】两个大小相等同时作用于同一物体的共点力，当它们间的夹角为120度时，其合力大小为F；当它们间的夹角为60度时，合力的大小为()A．FB．FC．FD．2F【针对练习19】有两个大小相等的共点力F1和F2，当它们的夹角为60°时合力的大小为F，则F1的大小为()A．FB．FC．FD．2F【针对练习20】如图所示，一条小船在河中向正东方向行驶，船上挂起一风帆，风帆受侧向风力作用，风力大小F1为100N，方向为东偏北30°,为了使船受到的合力能沿正东方向，岸上一人用一根绳子拉船，绳子取向与船的航向垂直，求出风力和绳子拉力的合力大小及绳子拉力F2的大小。【针对练习14】小娟、小明两人共提一桶水匀速前行，如图所示，已知两人手臂上的拉力大小相等且为F，两人手臂间的夹角为θ,水和水桶的总重力为G，则下列说法中正确的是()G2A．当θ为120°时，F＝G2B．不管θ为何值，均有F=C．当θ=60°时，F=【答案】A【详解】ABC．两分力相等，由力的合成可知，θ=120°时F＝F合＝G当θ=60°时，可求得3故A正确，BC错误；DD．依题意，当两分力F相等，合力一定时，θ越大，则分力F越大，故D错误。故选A。【针对练习15】两个大小相等的共点力F1、F2，当它们间夹角为90°时合力大小为10N，则它们间夹角为120°时，合力的大小为()【答案】B【详解】两个等大的力它们间夹角为90°时合力大小为10N，根据平行四边形定则有2F解得F当它们间夹角为120°时，根据平行四边形定则，可得合力大小为故选B。【针对练习16】如图所示，某质点在共点力F1、F2、F3作用下处于静止状态。现将F1顺时针旋转60°,其他力均保持不变，那么该质点的合力大小为()A．F1B．F2＋F3C．F3D．F1＋F2【答案】【答案】A【详解】对于三力平衡而言，其中任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反、作用在同一直线上，因此可知力F2、F3的合力与力F1大小相等、方向相反、作用在同一直线上；现将F1顺时针旋转60°,其他力均保持不变，则可知力F1与力F2、F3的合力夹角将变成120。，而根据力的平行四边形定则可知，当两个共点力大小相等，夹角为120。时，这两个力的合力大小将等于分力的大小，因此可知，将F1顺时针旋转60°,其他力均保持不变，那么该质点的合力大小为F1。故选A。【针对练习17】我国近期研制的“问海1号”6000米级自主遥控水下机器人完成海上试验及科考应用，通过验收并交付用户，在装吊“问海1号”下水工作时“问海1号”受到五个力的作用下处于静止状态。现把其中一个大小为100N的力的方向转过90°,其余的力不变，则此时“问海1号”受到的合力大小为()A．50NB．100NC．100ND．200N【答案】【答案】C【详解】【详解】“问海1号”受到五个力的作用下处于静止状态，则合力为零；现把其中一个大小为100N的力的方向转过力的方向转过90°,其余的力不变，则此时“问海1号”受到的合力大小为故选C。【针对练习18】两个大小相等同时作用于同一物体的共点力，当它们间的夹角为120度时，其合力大小为F；当它们间的夹角为60度时，合力的大小为()A．FB．FC．FD．2F【答案】【答案】C【详解】两个大小相等同时作用于同一物体的共点力，当它们间的夹角为【详解】两个大小相等同时作用于同一物体的共点力，当它们间的夹角为120度时，其合力大小为FF，则这两个力大小分别为F，当它们间的夹角为60度时，如图则合力为故C正确，ABD错误。故选C。【针对练习19】有两个大小相等的共点力F1和F2，当它们的夹角为60°时合力的大小为F，则F1的大小为()A．FB．FC．FD．2F【答案】C【详解】根据解得11F=F故C正确，ABD错误。故选C。【针对练习20】如图所示，一条小船在河中向正东方向行驶，船上挂起一风帆，风帆受侧向风力作用，风力大小F1为100N，方向为东偏北30°,为了使船受到的合力能沿正东方向，岸上一人用一根绳子拉船，绳子取向与船的航向垂直，求出风力和绳子拉力的合力大小及绳子拉力F2的大小。【答案】【答案】50N，50N【详解】作出【详解】作出F1与F2的合力F，如图所示由几何关系可得合力大小绳子的拉力大小FF1．力的分解定义及分解原则（1）定义：求一个已知力的分力的过程。是力的合成的逆运算。一个已知力和它的两个分力是同一性质的力，而且产生于同一个物体，作用于同一个物体。（2）遵循原则：遵循平行四边形定则或三角形定则。（3）把一个已知力F作为平行四边形的对角线，与力F共点的平行四边形的两个邻边，就表示力F的两个分力F1和F2，如图所示。这时，合力实际是存在的，分力实际不存在。2．力的分解的几种情况（1）不受条件限制的分解一个力分解为两个力，从理论上讲有无数组解。因为同一条对角线可以构成的平行四边形有无（2）有条件限制的力的分解条件已知条件分解示意图解的情况已知两个分力的方向唯一解已知一个分力的大小和方向唯一解已知两个分力的大小F1+F2＞FF1+F2=F唯一解F1+F2＜F无解已知一个分力（F2）的大小和另一个分力（F1）的方向F2＜Fsinθ无解F2=Fsinθ唯一解Fsinθ＜F2＜FF2≥F唯一解（1）当已知合力F及一个分力F1的方向时，另一个分力F2最小的条件是两个分力垂直，如图甲所示，最小值Fsin。（2）当已知合力n的方向及一个分力的大小N方向时，另一个分力F2最小的条件是分力与合力n垂直，如图乙所示，最小值sin。（3）当已知合力r的大小及一个分力r1的大小时，另一个分力最小的条件是已知大小的分与合力同方向，最小值。【针对练习21】如图所示，F1、F2（F1＜F2）为有一定夹角的两个力，L为过O点的一条共面直线，当L取什么方向时，F1、F2在L上的分力之和最小()A．F1的方向C．F1、F2合力的方向B．F1、F2夹角角平分线的方向D．与F1、F2合力相垂直的方【针对练习22】已知F=6N的合力，合力F其中一个分力F1跟F成30。角，大小未知；另一个分力F2的大小为6.0N，方向未知，则F1的大小可能是()A．7.0NB．9.0NC．12N【针对练习23】两个共点力F1、F2的合力F大小为60N，F1的方向与合力F的方向成30。角，F2的大小为40N。则()A．F1的大小是唯一的B．F2的方向是唯一的C．F2可取任意方向D．F2有两个可能的方向【针对练习24】如图所示，将一个F=20N的力分解为两个分力，如果已知其中一个不为零的分力F1的方向与F成30°角，则下列说法正确的是()A．另一分力F2的方向可能与F平行B．另一分力F2的大小可能小于10NC．F1的大小不可能小于5ND．另一分力F2的方向与F1的方向垂直时，F2最小【针对练习25】要使物体所受合力的方向沿OO′方向，其中一个分力F1=10N且与OO′方向成θ=30°,另一个分力F2的最小值是()A．03【针对练习26】（多选）将力F分解为两个不为零的力，下列情况具有唯一解的是()A．已知两个力的方向，并且不在同一直线上B．已知一个分力的大小和另一分力的方向C．已知两个力的大小D．已知一个分力的大小和方向【针对练习27】（多选）下列说法正确的是()A．已知合力大小、方向，则其分力必为确定值B．已知合力大小、方向和一个分力的大小、方向，则另一个分力必为确定值C．分力数目确定后，若已知各分力大小、方向，可依据平行四边形定则求出总的合力D．若合力为确定值，两分力方向已知，依据平行四边形定则一定可以求出这两个分力的大小【针对练习28】（多选）如图所示，一个重为15N的重锤，用细线悬挂在O点，现在用力F拉砝码，使悬线偏离竖直方向θ=60。时处于静止状态，此时所用拉力F的值可能为()【针对练习29】某同学为了研究三角形承重结构各部分受力大小的规律，设计如图所示的装置：一长度AB=10cm的轻质细杆，A端通过光滑铰链连接于竖直墙上，B端系上轻质细绳，细绳水平，另一端系于竖直墙上C点，B点悬挂一质量为3kg的重物，该系统保持静止状态。已知此时细绳长度为BC=8cm，重力加速度g=10m/s2，试求；（1）此时轻绳BC和轻杆AB受到的弹力大小？（2）若保持细杆AB位置不动，只改变轻绳BC的长度及C点位置，要使系统静止且绳子承受的拉力最小，求此时轻绳BC的长度及所受拉力大小？又因一个分力F1跟又因一个分力F1跟F成30。角，且F2=6.0N，【针对练习21】如图所示，F1、F2（F1＜F2）为有一定夹角的两个力，L为过O点的一条共面直线，当L取什么方向时，F1、F2在L上的分力之和最小()A．F1的方向C．F1、F2合力的方向B．F1、F2夹角角平分线的方向D．与F1、F2合力相垂直的方【答案】【答案】D【详解】F1和F2在L上的分力等价于F1和F2的合力在L上的分力，而F1和F2的合力要分解在L上的力最小，就应该取垂直于F1、F2的合力方向，因为分解在其他方向都会使这个分力减小的，故D正确，ABC错误．故选D.【针对练习22】已知F=6N的合力，合力F其中一个分力F1跟F成30。角，大小未知；另一个分力F2的大小为6.0N，方向未知，则F1的大小可能是()A．7.0NB．9.0NC．12N【答案】【答案】C【详解】根据平行四边形定则得，如图所示【详解】根据平行四边形定则得，如图所示FF=6N，由几何关系得FF故选C。【针对练习23】两个共点力F1、F2的合力F大小为60N，F1的方向与合力F的方向成30。角，F2的大小为40N。则()A．F1的大小是唯一的B．F2的方向是唯一的C．F2可取任意方向D．F2有两个可能的方向【答案】【答案】D【详解】作出F1、F2和F的矢量三角形图，如图所示。且有所以F1的大小有两种可能，即F1,和F1,,，F2的方向有两种可能，即F2,的方向和F2,,的方向。故选D。【针对练习24】如图所示，将一个F=20N的力分解为两个分力，如果已知其中一个不为零的分力F1的方向与F成30°角，则下列说法正确的是()A．另一分力F2的方向可能与F平行B．另一分力F2的大小可能小于10NC．F1的大小不可能小于5ND．另一分力F2的方向与F1的方向垂直时，F2最小【答案】D【详解】A.合力和两个分力构成了力的矢量三角形，如图所示F1不为零，由图可知F2的方向不可能与F平行，故A错误；BD.当F2和F1垂直时，F2最小F2min=Fsin30oF2min=Fsin30o故F2的大小不可能小于10N，故B错误，D正确；C.F2先减小后增大，F1从零开始（不含零）一直增大，F1的大小可能小于5N，故C错误。故选D。【针对练习25】要使物体所受合力的方向沿OO′方向，其中一个分力F1=10N且与OO′方向成θ=30°,另一个分力F2的最小值是()A．03【答案】【答案】B【详解】当F2的方向与OO′垂直时，F2有最小值，大小为故选B。【针对练习26】（多选）将力F分解为两个不为零的力，下列情况具有唯一解的是()A．已知两个力的方向，并且不在同一直线上B．已知一个分力的大小和另一分力的方向C．已知两个力的大小D．已知一个分力的大小和方向【答案】【答案】AD【详解】因合力F一定，若已知两个力的方向，并且不在同一直线上，则分解的结果是唯一的，选项A正确；已知一个分力的大小和另一分力的方向，分解的结果可能有两种，选项B错误；已知两个力的大小，分解的结果可能有两种，选项C错误；已知一个分力的大小和方向，则另一个分力一定是唯一的，选项D正确；故选AD.【针对练习27】（多选）下列说法正确的是()A．已知合力大小、方向，则其分力必为确定值B．已知合力大小、方向和一个分力的大小、方向，则另一个分力必为确定值C．分力数目确定后，若已知各分力大小、方向，可依据平行四边形定则求出总的合力D．若合力为确定值，两分力方向已知，依据平行四边形定则一定可以求出这两个分力的大小【答案】【答案】BCD【详解】已知合力大小、方向，其分力有无数组，选项A错误．若已知合力大小、方向和一个分力的大小、方向，则根据平行四边形定则，另一分力为确定值，选项B正确．若分力确定后，可依据平行四边形定则，求出总的合力，选项C正确．合力为确定值，两分力的方向已知，则两分力是唯一的，选项D正确；故选BCD.【针对练习28】（多选）如图所示，一个重为15N的重锤，用细线悬挂在O点，现在用力F拉砝码，使悬线偏离竖直方向θ=60。时处于静止状态，此时所用拉力F的值可能为()【答案】【答案】BC【详解】以物体研究对象，分析受力情况：重力G、绳子的拉力T和力F，由平衡条件得知，由平衡条件得知，T与F的合力与G大小相等、方向相反，当F的方向不同，由于物体处于静止状态，此合力保持不变，作出态，此合力保持不变，作出F在三种不同方向时力的合成图，由图看出：当F与绳子垂直时F最小，由数学知识得由数学知识得F的最小值为min2故BC正确，AD错误；故选BC。【点睛】本题是三力平衡条件，关键要正确分析受力，作出力图【点睛】本题是三力平衡条件，关键要正确分析受力，作出力图，其次运用图解法得到F达到最小值的条件。【针对练习29】某同学为了研究三角形承重结构各部分受力大小的规律，设计如图所示的装置：一长度AB=10cm的轻质细杆，A端通过光滑铰链连接于竖直墙上，B端系上轻质细绳，细绳水平，另一端系于竖直墙上C点，B点悬挂一质量为3kg的重物，该系统保持静止状态。已知此时细绳长度为BC=8cm，重力加速度g=10m/s2，试求；（1）此时轻绳BC和轻杆AB受到的弹力大小？（2）若保持细杆AB位置不动，只改变轻绳BC的长度及C点位置，要使系统静止且绳子承受的拉力最小，求此时轻绳BC的长度及所受拉力大小？【详解】（1）B点受力如图，设∠BAC为θ水平方向FABsinθ=FBC竖直方向FFABcosθ=mg解得（2）当BC绳与AB杆垂直时受到的拉力最小，如图所示此时细绳BC长度为L=ABtanθ解得 3细绳拉力FFC=mgsinθ解得FFC知识点五按力的实际情况分解的方法1.力的效果分解法①通常根据力的作用效果分解力才有实际意义。②解题思路：常见实例分析常见实例分析（1）拉力F一方面使物体沿水平地面前进，另一方面向上提物体，因此拉力F可分解为水平向前的力F1（F1＝Fcosα)和竖直向上的力F2（F2＝Fsinα)。（2）物体的重力产生两个效果：一是使物体具有沿斜面下滑趋势的分力F1；二是使物体压紧斜面的分力F2，F1＝mgsinα,F2＝mgcosα。（3）球的重力产生两个效果：一是使球压紧板的分力F1；二是使球压紧斜面的分力F2。F1=（4）球的重力产生两个效果：一是使球压紧竖直墙壁的分力F1；二是使球拉紧悬线的分力F2。（5）物体的重力产生两个效果：一是使物体拉紧AO线的分力F1；二是使物体拉紧BO线的分（6）质量为m的物体被带铰链的支架悬挂而静止，其重力产生两个效果：一是拉伸AB的分力cosαF1；二是压缩BC的分力F2。F1＝mgtanα,F2＝cosα（7）质量为m的物体被支架悬挂而静止，其中OA为轻杆，A端固定在墙壁上，OB、OC为两根轻绳，其中一端都固定在O点，另外一端分别固定在墙壁上和悬挂重物m，此时杆OA上的弹力可能沿杆的方向，也可能不沿杆的方向，这个弹力可能沿杆的方向，也可能不沿杆的方向，这个弹力的大小和方向是由OB、OC两根绳子的拉力共同决定的.图中只是画出了一种可能的情况，拉绳OB的分力F1，和压杆OA的弹力F2。①将一个力分解为两个分力，仅是一种等效替代，不能改变力的性质以及受力物体.力的分解实例b中，G2是重力G的一个分力，它的作用效果是使物体压紧斜面.不能说G2是物体对斜面的压力，这样的说法表示G2的性质是弹力，受力物体是斜面，这是错误的!②解答有关滑轮问题的注意事项绳跨过滑轮时，两段绳上拉力的大小相等，而如果绳是打结固定的，则不同段绳上力的大小不一定相同.（1）连接处为挂钩、光滑的圆木棒或圆柱体均等效为滑轮，只改变力的方向，不改变力的大小.的大小.（2）结点和滑轮是有明显区别的，绳上力的大小并不像过滑轮绳中的力那样相等，需要利用平行四边形定则解答.用平行四边形定则解答.【针对练习30】如图所示，某钢制工件上开有一个楔形凹槽，凹槽的截面是一个直角三角形ABC，∠CAB=30°,∠ABC=90°,∠ACB=60°。在凹槽中放有一个光滑的金属球，当金属球静止时，金属球对凹槽的AB边的压力为F1，对BC边的压力为F2，则的值为()【针对练习31】小帅同学用轻质圆规做了如图所示的小实验，圆规两脚A与B分别模拟横梁与斜梁，钥匙模拟重物，重力为mg。将钥匙对绳子的拉力分解为拉伸A脚的分力F1和压缩B脚的分力F2，则()A．F1=mgtanαB．F1=mgsinαC．F2=mgtanαD．F2=mgsinα【针对练习32】将一重为G的铅球放在倾角为50°的斜面上，并用竖直挡板挡住，铅球处于静止状态。不考虑铅球受到的摩擦力，铅球对挡板的压力为F1、对斜面的压力为F2，则()【针对练习33】如图所示，光滑斜面的倾角为θ,有两个相同的小球分别被光滑挡板挡住。挡板A沿竖直方向，挡板B垂直于斜面，斜面受到a、b两小球的压力大小之比是多少()A．1:cos2θB．1:cosθC．1:sin2θD．1:sinθ【针对练习34】用斧头劈木柴的劈的纵截面是一个等腰三角形，劈背的宽度为d，劈的侧面长为l，当在劈背加一个力F时的受力示意图如图所示，若不计斧头的重力，则劈的侧面推压木柴的力F1为A．FB．FC．FD．F【针对练习35】如图所示AB、AC两光滑斜面互相垂直，AC与水平面成30°。如把球O的重力G按照其作用效果分解，则两个分力的大小分别为()【针对练习36】如图所示是扩张机的原理示意图，A、B为活动铰链，C为固定铰链，在A处作用一水平力F，滑块B就以比F大得多的压力向上顶物体D，已知AB、AC与水平面夹角均为，则D受到向上顶的力为（滑块和杆的重力不计）()AFB．FC．FD．Ftan【针对练习37】如图所示，重力为G的小球静止在斜面上，下列关于重力的两个分力说法正确的是A．F1是小球对挡板的压力，大小为GtanθB．F2是小球对斜面的正压力，大小为C．F1是小球所受重力的一个分力，大小为GtanθD．由于重力的存在，小球同时受G、F1、F2的作用【针对练习38】（多选）如图所示是李强同学设计的一个小实验，他将细绳的一端系在手指上，绳的另一端系在直杆的A端，杆的左端顶在掌心上，组成一个“三角支架”，在杆的A端悬挂不同重物，并保持静止，通过实验会感受到()A．绳子是被拉伸的，杆是被压缩的B．杆对手掌施加作用力的方向沿杆由C指向AC．绳对手指施加作用力的方向沿绳由B指向AD．所挂重物质量越大，绳和杆对手的作用力也越大【针对练习39】（多选）明朝谢肇制的《五杂组》中记载：“明姑苏虎丘寺塔倾侧，议欲正之，非万缗不可。一游僧见之曰：无烦也，我能正之。”游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去，经月余扶正了塔身。假设所用的木楔为等腰三角形，木楔的顶角为θ,现在木楔背上加一力F，方向如图所示，木楔两侧产生推力FN，则()A．若F一定，θ大时FN大C．若θ一定，F大时FN大B．若F一定，θ小时FN大D．若θ一定，F小时FN大【解析】【针对练习30】如图所示，某钢制工件上开有一个楔形凹槽，凹槽的截面是一个直角三角形ABC，∠CAB=30°,∠ABC=90°,∠ACB=60°。在凹槽中放有一个光滑的金属球，当金属球静止时，金属球对凹槽的AB边的压力为F1，对BC边的压力为F2，则的值为()【答案】【答案】C【详解】金属球受到的重力产生两个作用效果，压【详解】金属球受到的重力产生两个作用效果，压AB面和压BC面，作图如下对对AB面的压力F1等于分力F1,，对BC面的压力F2等于分力F2,，由几何关系得故选C。【针对练习31】小帅同学用轻质圆规做了如图所示的小实验，圆规两脚A与B分别模拟横梁与斜梁，钥匙模拟重物，重力为mg。将钥匙对绳子的拉力分解为拉伸A脚的分力F1和压缩B脚的分力F2，则()A．F1=mgtanαC．F2=mgtanαB．F1=mgsinαD．F2=mgsinα【答案】【答案】A【详解】钥匙对绳子的拉力大小等于钥匙的重力大小，所以拉力按照作用效果可分解为F=mgtancF故选A。【针对练习32】将一重为G的铅球放在倾角为50°的斜面上，并用竖直挡板挡住，铅球处于静止状态。不考虑铅球受到的摩擦力，铅球对挡板的压力为F1、对斜面的压力为F2，则()【答案】【答案】C【详解】根据重力的作用效果，分解为垂直于挡板和垂直于斜面两个方向的分力，有F故ABD错误；C正确。故选C。【针对练习33】如图所示，光滑斜面的倾角为θ,有两个相同的小球分别被光滑挡板挡住。挡板A沿竖直方向，挡板B垂直于斜面，斜面受到a、b两小球的压力大小之比是多少()A．1:cos2θB．1:cosθC．1:sin2θD．1:sinθ【答案】【答案】A【详解】如图1所示，球的重力作用效果，是同时挤压斜面和挡板，则重力的两个分力方向分别垂直斜面和挡板。由图1可得斜面受到的压力大小为Gcosθ如图2所示，斜面受到的压力大小为故F,Gcos2θ cosθcosθ。故选A。【针对练习34】用斧头劈木柴的劈的纵截面是一个等腰三角形，劈背的宽度为d，劈的侧面长为l，当在劈背加一个力F时的受力示意图如图所示，若不计斧头的重力，则劈的侧面推压木柴的力F1为A．FB．FC．FD．F【答案】【答案】A【详解】根据对称性，两个分力F1、F2大小相等，这样，以F1、F2为邻边的平行四边形就是一个菱形，因为菱形的对角线互相垂直且平分，所以根据三角形相似dF1解得故选A。【针对练习35】如图所示AB、AC两光滑斜面互相垂直，AC与水平面成30°。如把球O的重力G按照其作用效果分解，则两个分力的大小分别为()【答案】【答案】A【详解】根据重力压两个光滑斜面的作用效果，将重力分解为与两斜面分别垂直的【详解】根据重力压两个光滑斜面的作用效果，将重力分解为与两斜面分别垂直的G1和G2，根据平行四边形定则作出力的示意图，如图所示行四边形定则作出力的示意图，如图所示由几何关系可得G1G1G2G2故选A。【针对练习36】如图所示是扩张机的原理示意图，A、B为活动铰链，C为固定铰链，在A处作用一水平力F，滑块B就以比F大得多的压力向上顶物体D，已知AB、AC与水平面夹角均为a，则D受到向上顶的力为（滑块和杆的重力不计）()AFB．FC．FD．Ftana.2sina2cosa2tana2【答案】【答案】D【详解】由题意，根据力的作用效果，可把F分解在沿杠AB、AC方向上，根据平行四边形定则可得ABAC2cosa同理，根据力的作用效果，可得D受到向上顶的力为F tana2 tana2故选D。【针对练习37】如图所示，重力为G的小球静止在斜面上，下列关于重力的两个分力说法正确的是A．F1是小球对挡板的压力，大小为GtanθB．F2是小球对斜面的正压力，大小为C．F1是小球所受重力的一个分力，大小为GtanθD．由于重力的存在，小球同时受G、F1、F2的作用【答案】【答案】C【详解】AB．F1和F2是小球重力的两个分力，不是小球对挡板、斜面的正压力，只是大小与小球对挡板、斜面的正压力相等，故AB错误；C．F1是小球所受重力的一个分力，由几何关系可知，其大小为Gtanθ,故C正确；D．F1、F2均是重力的分力，是重力产生的两个效果，不是小球受到的力，故D错误。故选故选C。【针对练习38】（多选）如图所示是李强同学设计的一个小实验，他将细绳的一端系在手指上，绳的另一端系在直杆的A端，杆的左端顶在掌心上，组成一个“三角支架”，在杆的A端悬挂不同重物，并保持静止，通过实验会感受到()A．绳子是被拉伸的，杆是被压缩的B．杆对手掌施加作用力的方向沿杆由C指向AC．绳对手指施加作用力的方向沿绳由B指向AD．所挂重物质量越大，绳和杆对手的作用力也越大【答案】【答案】ACD【详解】A．如图所示将重力按作用效果分解为沿AC方向的压力F1和沿BA方向的拉力F2，所以绳子是被拉伸的，而杆是被压缩的，故A正确；BC．手会感受到杆产生的弹力方向由A指向C，绳对手指施加作用力的方向沿绳由B指向A，故B错误，C正确；D．根据力的分解可知，所挂重物质量越大，绳和杆对手的作用力也越大，故D正确。故选ACD。【针对练习39】（多选）明朝谢肇制的《五杂组》中记载：“明姑苏虎丘寺塔倾侧，议欲正之，非万缗不可。一游僧见之曰：无烦也，我能正之。”游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去，经月余扶正了塔身。假设所用的木楔为等腰三角形，木楔的顶角为θ,现在木楔背上加一力F，方向如图所示，木楔两侧产生推力FN，则()A．若F一定，θ大时FN大C．若θ一定，F大时FN大B．若F一定，θ小时FN大D．若θ一定，F小时FN大【答案】【答案】BC【详解】如图所示把力F分解在垂直于木楔两侧的方向上，根据力的作用效果可知F则若F一定，θ小时FN大；若θ一定，F大时FN大。故选BC。知识点六正交分解法1．定义：将已知力按互相垂直的两个方向进行分解的方法。2．建立坐标轴的原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则（即尽量多的力在坐标轴上在动力学中，以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系。3．方法：物体受到多个力作用F1、F2、F3…，求合力F时，可把各力沿相互垂直的x轴、y轴分解，即由不在坐标轴上的每个力的末端分别向x轴、y轴作垂线，坐标轴原点到垂足间的部分就为该力在该坐标轴上的分力。x轴上的合力：Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3+ⅆy轴上的合力：Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…。合力大小：F＝合力方向：与x轴夹角为θ,则tanθ=。4．正交分解法的适用原则（（1）物体受到三个或者三个以上的力的情况.（（2）只分析物体某一方向的运动情况时，需要把不沿该方向的力正交分解，然后分析该方向上的受力情况的受力情况.【针对练习40】如图所示，把光滑斜面上物体的重力mg分解为F1、F2两个力，下列说法正确的是A．F1是斜面作用在物体上使物体下滑的力，F2是物体对斜面的压力B．物体受到mg、FN、F1、F2四个力作用C．FN和F2是作用力和反作用力D．力FN、F1、F2三个力的作用效果和mg与FN两个力的作用效果相同【针对练习41】如图所示，一个物体在平面直角坐标系xoy的坐标原点，只受到F1和F2的作用，F=10N，则物体的合力()C．大小等于10ND．大小等于10N【针对练习42】如图所示，水平地面上质量为m的物体，在推力F作用下向右运动，木块与地面间的动摩擦因数为μ,已知sin37。=0.6，cos37。=0.8，取重力加速度大小为g，则木块与水的摩擦力大小为()【针对练习43】如图，耕地过程中，耕索与竖直方向成θ角，牛通过耕索拉犁的力为F，犁对耕索的拉力为T，忽略耕索质量，则()A．耕索对犁拉力的水平分力为FsinθB．耕索对犁拉力的竖直分力为FsinθC．犁匀速前进时，F和T的合力为零D．犁加速前进时，有F>T【针对练习44】科学地佩戴口罩，对于新冠肺炎、流感等呼吸道传染病具有预防作用，既保护自己，又有利于公众健康。如图所示为一侧耳朵佩戴口罩的示意图，一侧的口罩带是由直线AB、弧线BCD和直线DE组成的。假若口罩带可认为是一段劲度系数为k的弹性轻绳（遵循胡克定律在佩戴好口罩后弹性轻绳被拉长了x，此时AB段与水平方向的夹角为37。，DE段与水平方向的夹角为53。，的作用力()A．kx，方向与水平向右成45。角B．kx，方向与水平向左成45。角C．kx，方向与水平向左成45。角D．2kx，方向与水平向右成45。角【针对练习45】在同一平面内共点的四个力F1、F2、F3、F4的大小依次为19N、40N、30N和15N，方向如图所示，求它们的合力。【针对练习46】如图，氢气球被水平吹来的风吹成图示的情形，若测得绳子与水平面的夹角为60°,已知气球受到空气的浮力为20N，忽略氢气球的重力。（1）画出气球受到的所有力的示意图；（2）利用正交分解的方法，求：①氢气球受到的水平风力多大？②绳子对氢气球的拉力多大？【针对练习47】如图所示，物体A放在某一水平面上，已知物体A重60N，A与水平面之间的动摩擦因数为μ=0.3，A、B均处于静止状态，绳AC水平，绳CD与水平方向成37°角，CD绳上的拉力为15N。sin37°=0.6，cos37°=0.8。求：(1)物体A受到的摩擦力为多大？(2)物体B重力为多大？【针对练习40】如图所示，把光滑斜面上物体的重力mg分解为F1、F2两个力，下列说法正确的是A．F1是斜面作用在物体上使物体下滑的力，F2是物体对斜面的压力B．物体受到mg、FN、F1、F2四个力作用C．FN和F2是作用力和反作用力D．力FN、F1、F2三个力的作用效果和mg与FN两个力的作用效果相同【答案】【答案】D【详解】ABD．物体受到mg、FN两个力作用，F1、F2两个力是重力的分力，不是实际受到的的力，力FN、F1、F2三个力的作用效果和mg与FN两个力的作用效果相同，故AB错误，D正确；CC．FN和F2是一对平衡力，故C错误。故选D。【针对练习41】如图所示，一个物体在平面直角坐标系xoy的坐标原点