专题03 五大类立体几何题型-2024年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项训练（新高考新题型专用）（学生版）

专题03五大类立体几何题型-2024年高考数学大题秒杀技巧及专项训练（解析版）【题型1线面平行问题（刻度尺平移大法）】【题型2线面垂直问题（勾股定理妙解）】【题型3点面距离（体积求算）问题】【题型4线面夹角问题（两大法）】【题型5面面夹角问题（两大法）】基础工具：法向量的求算待定系数法：步骤如下：①设出平面的法向量为．②找出(求出)平面内的两个不共线的向量，．③根据法向量的定义建立关于的方程组④解方程组，取其中的一个解，即得法向量．注意：在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组有无数多个解，只需给中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量．秒杀大法：口诀：求谁不看谁，积差很崩溃（求外用外减，求内用内减）向量，是平面内的两个不共线向量，则向量是平面的一个法向量.特别注意：空间点不容易表示出来时直接设空间点的坐标，然后利用距离列三个方程求解.：线面平行问题线面平行：关键点①必须将刻度尺与所证线重合，然后平移落在所证平面且留下痕迹②眼神法：观察采用哪一种技巧（五种方法）（记住六大图像）：中位线型如图=1\*GB2⑴，在底面为平行四边形的四棱锥中，点是的中点.求证：平面.分析：：构造平行四边形如图=2\*GB2⑵,平行四边形和梯形所在平面相交，//，求证：//平面.分析：过点作//交于，就是平面与平面的交线，那么只要证明//即可。：作辅助面使两个平面是平行如图⑶，在四棱锥中，底面为菱形，为的中点，为的中点，证明：直线分析：：取中点，连接，只需证平面∥平面。：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ（如图）．求证：PQ∥平面CBE．如图=5\*GB2⑸，已知三棱锥，是,,的重心.(1)求证：∥面；（向量法）所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标系（或找空间一组基底）及平面的法向量。如图=6\*GB2⑹，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面分别为的中点．证明平面；分析：因为侧棱底面，底面是正方形，所以很容易建立空间直角坐标系及相应的点的坐标。证明：如图，建立空间直角坐标系．设，则，．因为轴垂直与平面，故可设平面的法向量为=（0，1，0）则：=0因此，所以平面．如图，三棱柱中，为底面的重心，．(1)求证：∥平面；(2)若底面，且三棱柱的各棱长均为6，设直线与平面所成的角为，求的值．如图，平行六面体中，分别为的中点，在上.(1)求证：平面；(2)若平面，求平面与平面的夹角的余弦值.如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面⊥平面ABCD，，点P是棱的中点，点Q在棱BC上．

(1)若，证明：平面；(2)若二面角的正弦值为，求BQ的长．1．如图，在直三棱柱中，，，M，N，P分别为，AC，BC的中点．求证：平面；2．如图，在四棱锥中，平面，，为棱的中点．求证：//平面；3．如图，在四棱锥中，平面，，，．

(1)求证：平面；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面与平面所成锐二面角的大小．条件①：；条件②：平面．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．4．如图，为圆锥顶点，是圆锥底面圆的圆心，，是长度为的底面圆的两条直径，，且，为母线上一点．求证：当为中点时，平面；5．如图，在四棱锥中，平面，，点在棱上，，点，是棱上的三等分点，点是棱的中点.，.证明：平面，且；6．如图，在四棱锥中，底面为正方形，，平面平面，，是的中点，作交于．

求证：平面；7．在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，.(1)证明：四边形ABCD为菱形；(2)E为棱PB上一点（不与P，B重合），证明：AE不可能与平面PCD平行.8．如图，在平行六面体中，，，，，点为中点．

证明：平面；线面垂直问题（勾股定理妙解）必记结论：①特殊的平行四边形边长之比1:2，夹角为，则对角线与边垂直②特殊的直角梯形边长之比1:1:2,对角线与腰垂直③等腰三角形三线合一，三线与底垂直④直径所对的圆周角为直角⑤菱形和正方形：对角线互相垂直⑥特殊的矩形：边长之比1:2或1：有明显的直角关系要证线面垂直，只需让线垂直于平面内两条相交直线即可如：要证平面；第一步：表示,表示（）中的两个第二步：如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，．求证：平面．如图，在三棱柱中，平面，.求证：平面；三棱柱中，侧棱与底面垂直，，，，分别是，的中点．求证：平面． 1．在长方体中，是上的点,，且的长成等比数列，又是所在的直线上的动点.

求证：平面2．如图，在三棱柱中，平面，是的中点，是边长为的等边三角形．证明：．3．如图，在三棱台中，平面平面.证明：平面；4．如图，在四棱锥中，平面，，点在棱上，，点，是棱上的三等分点，点是棱的中点．，．(1)证明：∥平面，且，，，四点共面；(2)证明：平面平面；5．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面侧面，为中点，是上的点，，．求证：平面平面；6．如图，四棱锥，平面平面为中点．证明：平面平面；7．如图几何体中，底面是边长为2的正三角形，平面，若，，，．求证：平面平面；8．如图，在直四棱柱中，底面为矩形，，高为，O，E分别为底面的中心和的中点．求证：平面平面；点面距离问题结论1：《点线距离》《异面直线求距离问题》结论2：《点面距离》结论3：《线面距离》结论4：《面面距离》结论5：《点点距离》在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为在棱长为的正方体中，则平面与平面之间的距离为()已知正方形的边长为1，平面，且，，分别为，的中点.（1）求点到平面的距离；（2）求直线到平面的距离.1．如图，在平行六面体中，E在线段上，且F，G分别为线段，的中点，且底面为正方形.(1)求证:平面平面(2)若与底面不垂直，直线与平面所成角为且求点A到平面的距离.2．如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，圆的半径为1，，点是线段的中点.(1)证明：平面；(2)若直线与圆柱底面所成角为，求点到平面的距离.3．如图，在直三棱柱形木料中，为上底面上一点．(1)经过点在上底面上画一条直线与垂直，应该如何画线，请说明理由；(2)若，，，为的中点，求点到平面的距离．4．如图，在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，，，，E是的中点．(1)证明：平面；(2)求点B到平面的距离．5．图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，点E在棱上，，.(1)证明：；(2)求点C到平面的距离.6．设四边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若(1)求与平面所成角的正切值；(2)在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；7．如图，在四棱锥中，，，平面平面．(1)证明：平面；(2)已知，且，求点D到平面的距离．8．如图，在三棱柱中，，，，点E，F分别为BC，的中点．(1)求证：平面；(2)若底面是边长为2的正三角形，且平面平面，求点到平面的距离．线面夹角问题（两大法）结论1：异面直线所成角①能建空间直角坐标系时，写出相关各点的坐标，然后利用结论求解②不能建空间直角坐标系时，取基底的思想，在由公式求出关键是求出及与结论2：线面角 结论：{点面距离（往往用等体积法计算），线自身长度}如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，为正三角形，.求直线与平面所成角的大小；四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，为的中点．求与平面所成的角的正切值；如图，在直三棱柱中，，，是的中点，是的中点.求直线与平面所成的角的大小.在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为______________．1．如图，在几何体中，为等腰梯形，为矩形，，，，，，平面平面.(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的余弦值.2．如图，三棱柱中，四边形均为正方形，分别是棱的中点，为上一点.(1)证明：平面；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.3．如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，平面平面，，点是的中点.

(1)证明：.(2)点是的中点，，当直线与平面所成角的正弦值为时，求四棱锥的体积.4．如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，圆的半径为1，，点是线段的中点.(1)证明：平面；(2)若直线与圆柱底面所成角为，求点到平面的距离.5．如图，在三棱柱中，在底面ABC上的射影为线段BC的中点，M为线段的中点，且，.(1)求三棱锥的体积；(2)求MC与平面所成角的正弦值.6．如图，已知三棱锥平面，点是点在平面内的射影，点在棱上，且满足.

(1)求证：；(2)求与平面所成角的正弦值.7．如图，在三棱台中，平面，，，.(1)求证：平面平面；(2)求与平面所成角正弦值.8．如图，在多面体中，四边形为平行四边形，且平面，且.点分别为线段上的动点，满足.(1)证明：直线平面；(2)是否存在，使得直线与平面所成角的正弦值为？请说明理由.面面夹角问题（两大法）结论：二面角的平面角 提示：是二面角的夹角，具体取正取负完全用眼神法观察，若为锐角则取正，若为钝角则取负.结论：任意二面角的平面角满足如（） 注意：为原图上的点，而分子_则是点在面的投影点在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，∥，平面.求二面角的余弦值.如图，在三棱柱-中，，，，在底面的射影为的中点，为的中点.求二面角-BD-的平面角的余弦值.四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠ADC=60°，PA=AD=2，E为AD的中点.求二面角A-PD-C的正弦值.1．如图，三棱台中，是边长为2的等边三角形，四边形是等腰梯形，且为的中点.

(1)证明：；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的大小.2．如图，在三棱锥中，．

(1)证明：平面平面；(2)若是线段上的点，且，求二面角的正切值．3．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面为侧棱的中点.

(1)求点到平面的距离；(2)求二面角的正切值.4．如图，在正四面体中，是棱的两个三等分点．(1)证明：；(2)求出二面角的平面角中最大角的余弦值．5．如图，已知平面与底面所成角为，且．(1)求证：平面；(2)求二面角的大小．6．如图，在四棱锥中，四边形为梯形，其中，