专题07 五大类新定义题型-2024年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项训练（新高考新题型专用）（学生版）

专题07五类新定义题型-2024年高考数学大题秒杀技巧及专项训练（原卷版）【题型1数列新定义破解大法】【题型2集合新定义破解大法】【题型3导数新定义破解大法】【题型4三角函数新定义破解大法】【题型5平面向量新定义破解大法】题型1数列新定义破解大法高考对数列的考查常常涉及等差数列、等比数列中的一些基本问题，如等差数列、等比数列的通项公式，求和公式，前项和与通项之间的关系，判断等差数列、等比数列的方法等.另外，也要关注新定义与数列的结合，此类题往往涉及推理与证明的相关知识，对思维的要求较高，所以要注意多角度、全方位分析题目的条件和结论，拓宽看问题的视野.新定义题型的特点:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.下面介绍几类数列新定义数列满足：是等比数列，，且．(1)求；(2)求集合中所有元素的和；(3)对数列，若存在互不相等的正整数，使得也是数列中的项，则称数列是“和稳定数列”．试分别判断数列是否是“和稳定数列”．若是，求出所有的值；若不是，说明理由．问题1：根据已知及等比数列的定义求出的通项公式，由已知和求通项可得的通项公式，问题2：根据等差数列及等比数列的求和公式可得结果，问题3：根据“和稳定数列”的定义可判定.在正项无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为阶等比数列．在无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为阶等差数列．(1)若为1阶等比数列，，求的通项公式及前项和；(2)若为阶等比数列，求证：为阶等差数列；(3)若既是4阶等比数列，又是5阶等比数列，证明：是等比数列．问题1：根据题意可得为正项等比数列，求出首项与公比，再根据等比数列的前项和公式即可得解；问题2：由为阶等比数列，可得，使得成立，再根据阶等差数列即可得出结论；问题3：根据既是4阶等比数列，又是5阶等比数列，可得与同时成立，再结合等比数列的定义即可得出结论.已知数列的前项和为，若数列满足：①数列项数有限为；②；③，则称数列为“阶可控摇摆数列”.(1)若等比数列为“10阶可控摇摆数列”，求的通项公式；(2)若等差数列为“阶可控摇摆数列”，且，求数列的通项公式；(3)已知数列为“阶可控摇摆数列”，且存在，使得，探究：数列能否为“阶可控摇摆数列”，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由.问题1：根据和讨论，利用等比数列前n项和结合数列新定义求解即可；问题2：结合数列定义，利用等差数列的前n项和及通项公式求解即可；问题3：根据数列为“阶可控摇摆数列”求得，再利用数列的前项和得，然后推得与不能同时成立，即可判断.1．设数列的各项为互不相等的正整数，前项和为，称满足条件“对任意的，，均有”的数列为“好”数列.(1)试分别判断数列，是否为“好”数列，其中，，并给出证明；(2)已知数列为“好”数列，其前项和为.①若，求数列的通项公式；②若，且对任意给定的正整数，，有，，成等比数列，求证：.2．设满足以下两个条件的有穷数列为阶“曼德拉数列”：①；②.(1)若某阶“曼德拉数列”是等比数列，求该数列的通项（，用表示）；(2)若某阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项（，用表示）；(3)记阶“曼德拉数列”的前项和为，若存在，使，试问：数列能否为阶“曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.3．设数列满足：①；②所有项；③.设集合，将集合中的元素的最大值记为.换句话说，是数列中满足不等式的所有项的项数的最大值.我们称数列为数列的伴随数列.例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3.(1)请写出数列1，4，7的伴随数列；(2)设，求数列的伴随数列的前之和；(3)若数列的前项和（其中常数），求数列的伴随数列的前项和.4．若某类数列满足“，且”，则称这个数列为“型数列”.(1)若数列满足，求的值并证明：数列是“型数列”；(2)若数列的各项均为正整数，且为“型数列”，记，数列为等比数列，公比为正整数，当不是“型数列”时，（i）求数列的通项公式；（ii）求证：.5．已知数列为有穷数列，且，若数列满足如下两个性质，则称数列为的增数列：①；②对于，使得的正整数对有个.(1)写出所有4的1增数列；(2)当时，若存在的6增数列，求的最小值.6．已知数列为有穷数列，且，若数列满足如下两个性质，则称数列为m的k增数列：①；②对于，使得的正整数对有k个.(1)写出所有4的1增数列；(2)当时，若存在m的6增数列，求m的最小值；(3)若存在100的k增数列，求k的最大值.7．将数列按照一定的规则，依顺序进行分组，得到一个以组为单位的序列称为的一个分群数列，称为这个分群数列的原数列．如，，…，是的一个分群数列，其中第k个括号称为第k群．已知的通项公式为．(1)若的一个分群数列中每个群都含有3项；该分群数列第k群的中间一项为，求数列的通项公式；(2)若的一个分群数列满足第k群含有k项，为该分群数列的第k群所有项构成的数集，设，求集合M中所有元素的和．8．随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛．差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用．对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，规定为数列的二阶差分数列，其中．(1)数列的通项公式为，试判断数列是否为等差数列，请说明理由？(2)数列是以1为公差的等差数列，且，对于任意的，都存在，使得，求的值；(3)各项均为正数的数列的前项和为，且为常数列，对满足，的任意正整数都有，且不等式恒成立，求实数的最大值．题型2集合新定义破解大法解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：第一点：紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是新定义型集合问题难点的关键所在；第二点：用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之外用好集合的运算与性质.已知数集具有性质：对任意的，，，使得成立．(1)分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；(2)若，求中所有元素的和的最小值并写出取得最小值时所有符合条件的集合；(3)求证：．问题1：由，所以数集不具有性质，同理根据集合性质的概念，可判断具有性质；问题2：由（1）结合数集的性质的概念，满足，分类讨论，即可求得数集；问题3：根据数集的性质的定义，可得，，，，满足，，，，，累加即可证明.已知数集具有性质P：对任意的k，，使得成立．(1)分别判断数集与是否具有性质P，并说明理由；(2)若，求A中所有元素的和的最小值并写出取得最小值时所有符合条件的集合A；(3)求证：．问题1：由，所以数集不具有性质P，同理根据集合性质P的概念，可判断具有性质P；问题2：由（1）结合数集的性质P的概念，满足，分类讨论，即可求得数集A；问题3：根据数集的性质P的定义，可得，所以，满足，累加即可证明．设集合，其中．若对任意的向量，存在向量，使得，则称A是“T集”．(1)设，判断M，N是否为“T集”．若不是，请说明理由；(2)已知A是“T集”．（i）若A中的元素由小到大排列成等差数列，求A；（ii）若（c为常数），求有穷数列的通项公式．问题1：根据“T集”的定义判断即可；问题2：（i）写出等差数列通项，得到向量的坐标，再分类讨论即可；（ii）设，利用三角数阵和等比数列定义即可.1．已知集合，对于，，定义与之间的距离为．(1)已知，写出所有的，使得；(2)已知，若，并且，求的最大值；(3)设集合，中有个元素，若中任意两个元素间的距离的最小值为，求证：．2．对于数集，其中，，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P．(1)设，请写出向量集Y并判断X是否具有性质P（不需要证明）．(2)若，且集合具有性质P，求x的值；(3)若X具有性质P，且，q为常数且，求证：．3．定义两个维向量，的数量积，，记为的第k个分量（且）.如三维向量，其中的第2分量.若由维向量组成的集合A满足以下三个条件：①集合中含有n个n维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取0或1；③集合中任意两个元素，，满足（T为常数）且.则称A为T的完美n维向量集.(1)求2的完美3维向量集；(2)判断是否存在完美4维向量集，并说明理由；(3)若存在A为T的完美n维向量集，求证：A的所有元素的第k分量和.4．设自然数，由个不同正整数构成集合，若集合的每一个非空子集所含元素的和构成新的集合，记为集合元素的个数(1)已知集合，集合，分别求解．(2)对于集合，若取得最大值，则称该集合为“极异集合”①求的最大值（无需证明）．②已知集合是极异集合，记求证：数列的前项和．5．设k是正整数，A是的非空子集（至少有两个元素），如果对于A中的任意两个元素x，y，都有，则称A具有性质．(1)试判断集合和是否具有性质？并说明理由．(2)若．证明：A不可能具有性质．(3)若且A具有性质和．求A中元素个数的最大值．6．已知集合，其中都是的子集且互不相同，记的元素个数，的元素个数.(1)若，直接写出所有满足条件的集合；(2)若，且对任意，都有，求的最大值；(3)若且对任意，都有，求的最大值.7．给定整数，由元实数集合定义其随影数集.若，则称集合为一个元理想数集，并定义的理数为其中所有元素的绝对值之和.(1)分别判断集合是不是理想数集；（结论不要求说明理由）(2)任取一个5元理想数集，求证：；(3)当取遍所有2024元理想数集时，求理数的最小值.注：由个实数组成的集合叫做元实数集合，分别表示数集中的最大数与最小数.8．已知集合A为非空数集.定义：(1)若集合，直接写出集合S，T；(2)若集合且．求证：；(3)若集合记为集合A中元素的个数，求的最大值.题型3导数新定义破解大法函数新定义，以及理由导数研究函数性质，不等式的综合应用问题，本题的关键是理解函数的定义，并结合构造函数，不等式关系，进行推论论证.特别注意1：解题关键是掌握新定义“好点”的含义，对函数的“好点”，实质就是解方程组，因此凡是出现“好点”，解题时就是由此方程组求解．这样就把新定义转化一般的函数及其导数问题．特别注意2：明确阶泰勒展开式的具体定义；在证明不等式成立时的关键是能够根据原函数与其在处的阶泰勒展开式的大小关系，利用放缩的方法将不等式进行转化.给出以下三个材料：①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作.类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，阶导数的导数叫做阶导数，记作.②若，定义.③若函数在包含的某个开区间上具有阶的导数，那么对于任一有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式.例如，在点处的阶泰勒展开式为.根据以上三段材料，完成下面的题目：(1)求出在点处的阶泰勒展开式，并直接写出在点处的阶泰勒展开式；(2)比较（1）中与的大小.(3)证明：.问题1：根据在点处的阶泰勒展开式的定义可直接求得结果；问题2：令，利用导数可求得在上单调递增，结合可得的正负，由此可得与的大小关系；问题3：令，利用导数可求得，即；①当时，由，，可直接证得不等式成立；②当时，分类讨论，由此可证得不等式成立.英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.(1)证明：；(2)设，证明：；(3)设，若是的极小值点，求实数的取值范围.问题1：首先设，利用导数判断函数的单调性，转化为求函数的最值问题；问题2：首先由泰勒公式，由和，再求得和的解析式，即可证明；问题3：分和两种情况讨论，求出在附近的单调区间，即可求解.①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数，的导函数分别为，，且，则.②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题：(1)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数；(2)计算：；(3)证明：，.问题1：根据函数为区间上的k阶无穷递降函数的定义即可判断；问题2：通过构造，再结合即可得到结果；问题3：通过换元令令，则原不等式等价于，再通过构造函数，根据题干中函数为区间上的k阶无穷递降函数的定义证出，即可证明结论.1．已知常数为非零整数，若函数，满足：对任意，，则称函数为函数.(1)函数，是否为函数﹖请说明理由；(2)若为函数，图像在是一条连续的曲线，，，且在区间上仅存在一个极值点，分别记、为函数的最大、小值，求的取值范围；(3)若，，且为函数，，对任意，恒有，记的最小值为，求的取值范围及关于的表达式.2．已知定义在上的函数的导函数为，若对任意恒成立，则称函数为“线性控制函数”.(1)判断函数和是否为“线性控制函数”，并说明理由；(2)若函数为“线性控制函数”，且在上严格增，设为函数图像上互异的两点，设直线的斜率为，判断命题“”的真假，并说明理由；(3)若函数为“线性控制函数”，且是以为周期的周期函数，证明：对任意都有.3．已知函数.(1)当时，求函数的单调递增区间；(2)记函数的图象为曲线，设点、是曲线上两个不同点，如果曲线上存在，使得：①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”.试问：函数是否存在中值相依切线，说明理由.4．定义：如果函数在定义域内存在实数，使成立，其中为大于0的常数，则称点为函数的级“平移点”.已知函数.(1)若，求曲线在处的切线方程；(2)若在上存在1级“平移点”，求的取值范围.5．记，分别为函数，的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“好点”．(1)判断函数与是否存在“好点”，若存在，求出“好点”；若不存在，请说明珵由；(2)若函数与存在“好点”，求实数的值；(3)已知函数，，若存在实数，使函数与在区间内存在“好点”，求实数的取值范围．6．已知函数(1)当时，求函数的极值；(2)求函数的单调区间；(3)若对任意的实数，函数与直线总相切，则称函数为“恒切函数”．当时，若函数是“恒切函数”，求证：．7．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．(1)求曲线在点处的曲率的值；(2)求正弦曲线曲率的最大值．8．给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数图象的对称中心.(1)若函数，求函数图象的对称中心；(2)已知函数，其中.（ⅰ）求的拐点；（ⅱ）若，求证：.题型4三角函数新定义破解大法三角函数新定义问题；主要把握住三角函数与其它知识点之间的转换关系即可，熟记三角恒等变换的有关公式；求取值范围转换为函数问题.特别注意：新定义“伴随函数”得出函数的表达式，然后利用三角函数性质求解．对于函数一般借助辅助角公式进行变形，即，其中，．我们知道：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取其定义域D中的任意值时，有，且成立，那么函数叫做周期函数．对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数的最小正周期．对于定义域为R的函数，若存在正常数T，使得是以T为周期的函数，则称为正弦周期函数，且称T为其正弦周期．(1)验证是以为周期的正弦周期函数．(2)已知函数是周期函数，请求出它的一个周期．并判断此周期函数是否存在最小正周期，并说明理由．(3)已知存在这样一个函数，它是定义在R上严格增函数，值域为R，且是以T为周期的正弦周期函数．若，，且存在，使得，求的值．问题1：根据正弦周期函数的定义求解；问题2：结合正弦、余弦函数性质由周期函数定义求解．问题3：从是严格递增函数，时，进行推理可得．人脸识别就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.已知二维空间两个点、，则其曼哈顿距离为，余弦相似度为，余弦距离：.(1)若、，求、之间的余弦距离；(2)已知，、,，若,，求、之间的曼哈顿距离.问题1：利用题中定义可求得点、间的余弦距离；问题2：利用两角和与差的正弦、余弦公式可求出点、的坐标，结合题中定义可求得、之间的曼哈顿距离.人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为(1)若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离；(2)已知，，，若，，求的值问题1：根据公式直接计算即可.问题2：根据公式得到，，计算得到答案. 1．设O为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为．向量称为函数的“相伴向量”．(1)记的“相伴函数”为，若函数与直线有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)已知点满足，向量的“相伴函数”在处取得最大值当点M运动时，求的取值范围．(3)当向量时，伴随函数为，函数，求在区间上最大值与最小值之差的取值范围；2．对于分别定义在，上的函数，以及实数，若任取，存在，使得，则称函数与具有关系.其中称为的像.(1)若，；，，判断与是否具有关系，并说明理由；(2)若，；，，且与具有关系，求的像；(3)若，；，，且与具有关系，求实数的取值范围.3．对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“余弦方差”.(1)若集合，求集合A相对的“余弦方差”；(2)若集合，是否存在，使得相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值？若存在，求出的值：若不存在，则说明理由.4．人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为(1)若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离；(2)已知，，，若，，求的值(3)已知，、，，若，，求、之间的曼哈顿距离.5．已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.(1)设函数，试求的相伴特征向量；(2)记向量的相伴函数为，当时，求的值域；(3)已知为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得.若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.6．已知函数的图象相邻两条对称轴间的距离为，且过点.(1)若函数是偶函数，求的最小值；(2)令，记函数在上的零点从小到大依次为、、、，求的值；(3)设函数，，如果对于定义域D内的任意实数，对于给定的非零常数，总存在非零常数，若恒有成立，则称函数是上的级周期函数，周期为.是否存在非零实数，使函数是上的周期为的级周期函数？请证明你的结论.7．对于函数，，如果存在一组常数，，…，（其中k为正整数，且）使得当x取任意值时，有则称函数为“k级周天函数”.(1)判断下列函数是否是“2级周天函数”，并说明理由：①；②；(2)求证：当时，是“3级周天函数”；(3)设函数，其中b，c，d是不全为0的实数且存在，使得，证明：存在，使得.8．定义有序实数对(a,b)的“跟随函数”为．(1)记有序数对(1,－1)的“跟随函数”为f(x)，若，求满足要求的所有x的集合；(2)记有序数对(0,1)的“跟随函数”为f(x)，若函数与直线有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围；(3)已知，若有序数对(a,b)的“跟随函数”在处取得最大值，当b在区间(0,]变化时，求的取值范围．题型5平面向量新定义破解大法平面向量新定义一般与三角恒等变换相结合合，充分理解新定义，且熟练掌握向量和三角函数知识才能解决此类题，特别是求长度，要设出向量，表达出，先证明充分性，再证明必要性已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.(1)记向量的相伴函数为，若当且时，求的值；(2)设，试求函数的相伴特征向量，并求出与共线的单位向量；(3)已知，，为函数的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.问题1：根据向量的伴随函数求出，再将所求角用已知角表示，结合三角恒等变换即可求解；问题2：化简函数解析式，根据相伴特征向量的定义即可求得，继而进一步计算即可；问题3：根据题意确定的值，继而得到函数，继而得到，设点，再根据向量的垂直关系进行计算，结合三角函数的有界性得到答案.n个有次序的实数，，…，所组成的有序数组称为一个n维向量，其中称为该向量的第i个分量.特别地，对一个n维向量，若，称为n维信号向量.设，，则和的内积定义为，且.(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量；(2)证明：不存在10个两两垂直的10维信号向量；(3)已知k个两两垂直的2024维信号向量，，…，满足它们的前m个分量都是相同的，求证：.问题1：根据题意，结合两两垂直的定义，即可求解；问题2：根据题意，不妨设，得到有5个分量为，设的前5个分量中有r个，得到5个分量中有个，进而求得r的值，即可求解；问题3：任取，得到，设的第个分量之和为，结合，列出不等式，即可求解.元向量（）也叫维向量，是平面向量的推广，设为正整数，数集中的个元素构成的有序组称为上的元向量，其中为该向量的第个分量．元向量通常用希腊字母等表示，如上全体元向量构成的集合记为．对于，记，定义如下运算：加法法则，模公式，内积，设的夹角为，则．(1)设，解决下面问题：①求；②设与的夹角为，求；(2)对于一个元向量，若，称为维信号向量．规定，已知个两两垂直的120维信号向量满足它们的前个分量都相同，证明：．问题1：根据条件得到，再利用题设定义的运算，即可求出结果；问题2：任取，，得到，设的第个分量之和为，结合，即可求出结果.1．已知集合.对于，给出如下定义：①；②；③A与B之间的距离为.说明：的充要条件是.(1)当时，设，求；(2)若，且存在，使得，求证：；(3)记.若，且，求的最大值.2．定义向量的“伴随函数”为；函数的“伴随向量”为．(1)写出向量的“伴随函数”，并直接写出的最大值；(2)求函数的“伴随向