y=ax2k的图像与性质课件人教版九年级数学上册

二次函数——y=ax2+k的图像与性质学习目标1.会画二次函数y=ax2+k的图象.（难点）2.掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用.（重点）3.比较函数y=ax2与y=ax2+k的联系.1.已知二次函数①

y=-x2;②y=x2;③y=15x2;④y=-4x2;⑤y=-x2;⑥y=4x2.(1)其中开口向上的有

(填题号)；(2)其中开口向下，且开口最大的是

(填题号)；(3)当自变量由小到大变化时，函数值先逐渐变大，然后逐渐变小的有

(填题号).②③⑥⑤①④⑤复习导入2.一次函数y=2x与y=2x+2的图象的位置关系.3.你能由此推测二次函数y=2x2与y=2x2+1的图象之间有何关系吗？二次函数y=2x2+1与y=2x2-1的图象之间又有何关系?平行复习导入

画出二次函数y=2x²,y=2x2+1，y=2x2-1的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性。7x…–1.5–1–0.500.511.5…y=2x2-1……y=2x2…4.520.500.524.5…y=2x2+1……3.51-0.51-0.5-13.55.51.531.5135.5二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＞0)一授人以渔65321-6-4-22464oy=2x2+1x-1y=2x2-1y=2x2授人以渔对称轴右侧y随x增大而增大.5321-6-4-22464oxy-1y=2x2-1对称轴左侧y随x增大而减小授人以渔解析式形状开口方向对称轴顶点坐标顶点高低

函数最值函数的增减性y=2x2-1y=2x2y=2x2+1向上直线x=0最低(0,0)(0,1)(0,-1)最小,y=0

最小,y=1最小,y=-1对称轴左侧y随x增大而减小对称轴右侧y随x增大而增大抛物线二次函数y=ax2+k的图象和性质(a<0)二授人以渔y-2-2422-4x0做一做在同一坐标系内画出下列二次函数的图象：根据图象回答下列问题:(1)图象的形状都是

.(2)三条抛物线的开口方向_______;(3)对称轴都是__________(4)从上而下顶点坐标分别是_____________________(5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、_______﹑________(6)函数的增减性都相同：_________________________________________________________抛物线向下直线x=0(0,0)(0，2)(0,-2)高大y=0y=-2y=2y-2-222-4x0对称轴左侧y随x增大而增大对称轴右侧y随x增大而减小授人以渔解析式形状开口方向对称轴顶点坐标顶点高低函数最值函数的增减性a＞0a＜0a＞0a＜0a＞0a＜0a＞0a＜0

y=ax2+k﹙a≠0)向上x=0向下最低最高对称轴左侧y随x增大而减小，对称轴右侧y随x增大而增大对称轴左侧y随x增大而增大，对称轴右侧y随x增大而减小（0,k）最小，y=k最大，y=k抛物线二次函数y=ax2+k（a≠0）的图象和性质总结归纳二次函数y=ax2+k的图象及平移三授人以渔解析式y=2x22x2+1y=2x2+1y=2x2-1+1-1点的坐标函数对应值表x……y=2x2-1……y=2x2……y=2x2+1……4.5-1.53.55.5-1213x2x22x2-1(x,)(x,

)(x,)2x2-12x22x2+1从数的角度探究可以看出，y=2x2向___平移一个单位长度得到抛物线y=2x2+1.5321-6-4-22464o-1可以看出，y=2x2向___平移一个单位长度得到抛物线y=2x2-1.xy从形的角度探究上下授人以渔二次函数y=ax2+k的图象可以由

y=ax2

的图象平移得到：当k>0时,向上平移k个单位长度得到.当k<0时,向下平移-k个单位长度得到.二次函数y=ax2

与y=ax2+k（a≠0）的图象的关系上下平移规律：平方项不变，常数项上加下减.授人以渔例题精讲二次函数y=ax2+k的图象和性质一、y=ax²+k顶点与对称轴问题二、y=ax²+k图像性质的识别题型归纳三、利用y=ax²+k的增减性比较y值大小六、y=ax²+k的图象与几何图形的综合应用四、确定y=ax²

＋k与y=ax²

的平移关系五、二次函数y=ax²

＋k与一次函数综合问题七、y=ax²+k的实际应用等综合题题型一、y=ax²+k顶点与对称轴问题例1：

说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：函数开口方向顶点对称轴有最高（低）点y=３x2y=3x2＋1y=-4x2－5向上向上向下（0,0）(0,1)(0,-5)y轴y轴y轴有最低点有最低点有最高点

二次函数y=ax²+k顶点与对称轴问题：画出图像，根据图像特征判断，当a>0时，开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，k），当a<0时，开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，k）.归纳

若二次函数y＝ax2＋2的图象经过点(－2，10),则下列说法错误的是(

)A．a＝2B．当x＜0，y随x的增大而减小C．顶点坐标为(2，0)D．图象有最低点题型二、y=ax²+k图像性质的识别例2：

C

抛物线y＝ax2＋k(a≠0)的顶点为(0，k)，对称轴是y轴．归纳

已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，下列说法中正确的是()A．若y1＝y2，则x1＝x2B．若x1＝－x2，则y1＝－y2C．若0＜x1＜x2，则y1＞y2D．若x1＜x2＜0，则y1＞y2题型三、利用y=ax²+k的增减性比较y值大小例3：

D

讨论二次函数的增减性时，应对自变量分区讨论，通常以对称轴为分界线．最好利用数形结合思想，在草稿纸上画出抛物线的草图进行观察和分析以免解题时产生错误．通过作图，可以根据自变量的值描出所对应的因变量的值，越向上数值越大，来判断y的值的大小.归纳

抛物线y＝ax2＋k与y＝-5x2的形状大小，开口方向都相同，且顶点坐标是(0，3)，求抛物线的表达式，它是由抛物线y＝-5x2怎样得到的？题型四、确定y=ax²

＋k与y=ax²

的平移关系例4：

抛物线y＝ax2＋k与y＝ax2开口大小，方向都相同，只是顶点不同，二者可相互上下平移得到．归纳

在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c与二次函数y＝ax2＋c的图象大致为()题型五、二次函数y=ax²

＋k与一次函数综合问题例5：

B

解题技巧：一次函数图像重点看k与b的值，k决定增减性及象限，b根据图像与y轴交点的位置确定正负；二次函数根据a＞0，则开口向上，a＜0则开口向下来进行判断，若c＞0，则与y轴相交于正半轴，若c＜0，则与y轴相交于负半轴，并且结合一些特殊点，采取“排除法”做此类题目．归纳

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋c(a＜0)的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是________．

题型六、y=ax²+k的图象与几何图形的综合应用例6：

-2

在解决此类问题时，应充分利用抛物线及正方形的对称性,其他函数与几何图形的应用也是如此，要结合几何图形的性质综合考察，并根据抛物线的对称性解决问题．归纳

如图所示，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线

运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的距离为3.05m.(1)球在空中运行的最大高度为多少？(2)如果该运动员跳起，球出手时离地面的高度为2.25m，要想投入篮筐，则他距离篮筐中心的水平距离是多少？题型七、y=ax²+k的实际应用等综合题例7：

二次函数的实际应用题型需结合生活实际，建立直角坐标系进行求解，主要涉及顶点坐标以及对称性的运用，其他综合性题目也需要进行数形结合解决问题，注意取舍选择正确的答案.归纳习题精练

抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线

．

练习1：

题型精练y=2x2－４

已知（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，(-m,n)___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上.

练习2：

题型精练在

若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则k

.

练习3：

题型精练=2>2<2不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：（1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.（2）函数y=-x2+1，当x

时，

y随x的增大而减小；当x

时，函数y有最大值，最大值y是

，其图象与y轴的交点坐标是

，与x轴的交点坐标是

.（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.向下平移1个单位.>0=01(0,1)(-1,0),(1,0)开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.练习4：

题型精练

对于二次函数y=(m+1)xm2-m+3,当x>0时y随x的增大而增大，则m=____.练习