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文档简介
第十八章平行四边形18.2.1矩形第1课时学习目标1.理解矩形的概念,明确矩形与平行四边形的区别与联系.2.掌握矩形的性质及其推论,会进行有关的计算与证明.任务一:理解矩形的概念,明确矩形与平行四边形的区别与联系.
活动:请观察平行四边形的移动过程,完成下列问题.(1)当移动到一个角是直角时停止,这个图形有何特点?它还是平行四边形吗?请举出身边类似图形的例子,并给矩形下个定义.(2)平行四边形一定是矩形吗?矩形一定是平行四边形吗?由此你能得出什么结论,请说一说.新知生成
定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形).矩形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质.任务二:掌握矩形的性质及其推论,会进行有关的计算与证明.
活动1:请完成下列任务,并整理归纳你得出的结论.(1)任意度量身边一个矩形物体的每个角的度数,如数学书本、课桌等.(2)拿出一张A4纸,分别画出它的两条对角线,再分别量出两条对角线的长度.
(3)针对(1)(2)写出你的猜想,并加以验证.猜想1:矩形的四个角都是直角.
猜想2:矩形的对角线相等.
如图,四边形ABCD为矩形,∠B=90°.求证:∠B=∠C=∠D=∠A=90°.ABCD猜想1:矩形的四个角都是直角.证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠D,∠C=∠A,AB∥DC.∴∠B+∠C=180°.又∵∠B=90°,∴∠C=90°.∴∠B=∠C=∠D=∠A=90°.如图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与DB相交于点O.求证:AC=DB.ABCDO证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°,在△ABC和△DCB中,∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=CB,∴△ABC≌△DCB.∴AC=DB.猜想2:矩形的对角线相等.思考
如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,在Rt△ABC中,BO是斜边AC上的中线,BO与AC有什么关系?由此你能得出什么结论?
由矩形的性质可得OA=OB=OC=OD=AC=BD,由此可得,直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半.活动小结矩形除了具有平行四边形所有性质外,还具有以下特殊性质:性质1:矩形的四个角都是直角.性质2:矩形的对角线相等.推论:直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半.ABCDO
活动2:请解决下列问题,简要归纳你用到的性质或方法.
(1)如图1,在矩形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AB=4,求矩形对角线的长.
(2)已知:如图2,矩形ABCD中,E是BC上一点,DF⊥AE于点F,若AE=BC.求证:CE=EF.ABCDO图1图2(1)如图1,在矩形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AB=4,求矩形对角线的长.
ABCDO解:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴AC与BD相等且互相平分,∴OA=OB.又∵∠AOB=60°,∴△OAB是等边三角形,∴OA=AB=4,∴AC=BD=2OA=8.图1(2)已知:如图2,矩形ABCD中,E是BC上一点,DF⊥AE于点F,若AE=BC.求证:CE=EF.图2证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=90°,且AD∥BC.∴∠1=∠2.∵DF⊥AE,∴∠DFA=90°.在△ABE与△DFA中,
∠B=∠DFA,AE=AD,∠BEA=∠FAD,∴△ABE≌△DFA(AAS),∴AF=BE,∴EF=EC.活动小结
在矩形中求线段或证明边、角关系的问题,常常转化为求直角三角形的边、角或证明两个三角形全等来解决,要注意结合图形,灵活运用矩形的性质与推论、勾股定理、等腰(边)三角形的性质等,达到计算或证明的目的.练一练1.如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,若∠AOD=60°,AD=2,求AB的长.解:在矩形ABCD中,OA=OC,OB=OD,AC=BD,∴OA=OB=OD,∵∠AOD=60°,∴△AOD是等边三角形,∴OD=AD=2,∴BD=2OD=4,由勾股定理得,AB=.1.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,以下说法错误的是()A.∠ABC=90°B.AC=BDC.OA=OBD.OA=ADD2.矩形的两条对角线的夹角为60°,一条对角线与短边的和是15,则对角线长为
,短边长为
.1053.如图,在矩形ABCD中,点E是CD边上的中点.求证:AE=BE.证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AD=B
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