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第六章

平面向量及其应用6.2平面向量的运算6.2.4向量的数量积

（第一课时）一二三学习目标掌握向量的数量积运算理解数量积的几何意义与投影向量掌握数量积的性质与运算律，并加以运用学习目标复习回顾我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？加法运算；减法运算；数乘运算；运算的结果都依然是向量。

向量的线性运算那向量与向量可以相乘吗？结果是什么量？我们该怎么定义呢？物理学中有没有两个向量之间的有关乘法运算？新知探究问题1.1

一个物体在力F的作用下产生的位移s，那么力F所做的功应当怎样计算？问题1.2功是一个矢量还是标量？它的大小由那些量确定？

θsFF标量，大小由力、位移两个向量及它们的夹角确定。

这给我们一种启示，能否把“功”看成是两个向量“相乘”的结果呢？受此启发，我们引入向量“数量积”的概念.先定义向量夹角的概念

向量的夹角已知两个非零向量

，O是平面上的任意一点，作

则∠AOB＝θ(

)叫做向量

的夹角．OABθ记作:<

>0≤θ≤π显然，当θ=0时，同向.当时，垂直，记作.当θ=π时，反向.注意：计算向量的夹角时，要将两个向量起点放在一起.概念生成50°ABC45°85°在△ABC中，已知A=45°，B=50°，C=85°，求下列向量的夹角：

(1)45°130°85°45°130°85°(2)(3)追问

两个向量的夹角与两条直线的夹角有何区别？向量

与

之间的夹角θ的取值范围是[0,π],两直线夹角的范围.跟踪练习新知探究问题2

如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？

？=两个向量的大小及其夹角余弦的乘积所得结果是什么呢？力与位移的大小及其夹角余弦的乘积所得结果是功；向量的数量积已知两个非零向量

，它们的夹角为θ，把数量

做向量

的数量积(或内积)，记作

，即特别地，零向量与任何向量的数量积等于0.OABθ概念生成①“·”不能省略不写，也不能写成“×”.注意:②数量积a·b的结果为实数，不是向量.

（数量积运算是非线性运算）问题3向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？数量积的正负是由什么决定的？新知探究两个非零向量的数量积，符号由夹角θ决定：

例1例2典例解析巩固练习课本P20新知探究问题4在计算所做的功的过程中，我们会先求力在物体运动方向上的分力，你能将其表示出来吗？那么，在向量中我们也有类似的概念。新知探究设

是两个非零向量，

，过

的起点A和终点B，分别作

所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到

，我们称这种变换为向量

向向量

投影，

叫做向量

在向量

上的投影向量．

我们可以在平面内任取一点O，作.过点M作直线ON的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量投影向量新知探究问题5NMOM1图(1)图(2)图(3)新知探究图(4)图(5)巩固练习课本P4典例解析例3例4典例解析新知探究

概念生成数量积的性质

aa常记为aθ=90ºθ=0ºθ=180º可用于求向量的模

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