概率第3章课件

第三章条件概率与事件的独立性重点条件概率的概念概率的乘法定理第一节条件概率定义设A、B两个事件，P(A)>0，称已知A发生条件下B发生的概率为B的条件概率，记为。下面我们来推导条件概率的计算公式。例1箱中有同型号的产品7件，其中4件正品，3件次品，无放回地抽取2件，每次取1件，已知第一次取到的是正品，求第二次取到次品的概率。P(AB)=而P(A)=发现这就是已知A发生条件下B发生的条件概率的计算公式，其中P(A)>0。类似地，如果P(B)>0，那么给定B已发生条件下，A发生的概率为：由以上，可得概率的乘法定理：乘法定理：推广条件概率与乘法公式的区别1、表示A发生并且B发生的概率；2、表示在B发生的条件下A发生的概率，条件概率的标志词：“当、已知、如果”等。条件概率与一般概率的区别条件概率：在事件B发生的条件下事件A发生的概率。条件概率是以B这样一个新的样本空间来考虑问题的；一般概率是以基本事件的总数构成的样本空间来考虑的。解

一个盒子中有６只白球、４只黑球，从中不放回地每次任取１只，连取２次，求(1)第一次取得白球的概率；(2)第一、第二次都取得白球的概率；(3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率．设Ａ表示第一次取得白球,Ｂ表示第二次取得白球,则（2）（3）（1）例2练一练某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率。练一练5把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开就扔掉，问以下事件的概率？（1）第一次打开；（2）第二次打开；（3）第三次打开；（4）第一次没有打开的情况下第二次打开。第二节全概率公式在社会经济统计中，欲统计某种指标数据时，常常采用由各部门、单位汇总的方式和途径（比如全校党员人数由各单位党员数汇总而得），类似地，欲计算某一事件概率时，也往往采用由偏概全，把各种不同来源、出处的可能性加以汇总的方式和途径得到。例1某市场供应的灯泡中，甲、乙两厂的产品分别占70％与30％，而甲、乙两厂的产品的合格品率分别为95％与80％。试求从市场上任买一只灯泡为合格品的概率及这个合格品来自甲厂的概率。设B＝{产品为合格品}，={产品来自甲厂}={产品来自乙厂}为互斥事件，也为互斥事件。在上面求解过程中，待求概率的事件B的分解式十分关键，将事件B看成“结果”，而事件看成是产生结果的两个可能“原因”。分解式正是“结果”与可能“原因”之间的一种联系方式，而问题就是已知可能“原因”发生的概率，求“结果”发生的概率。我们称这一类问题为全概率问题。设事件两两互斥，且又事件B满足则有全概率公式：当事情分成两个随机阶段来完成，而且第二个阶段需要根据第一阶段各种各样的结果来计算的时候，用全概公式。思考：袋中有四个白球、六个红球，从中不放回依次取出两个，求第二次取出白球的概率。“抓阄模型”“彩票模型”例2（课本）设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间的次品率为0.15，第2车间的次品率为0.12。两个车间生产的成品都混合堆放在一个仓库中，假设第1、2车间生产的成品比例为2：3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率。解记B＝{从仓库随机提出的一台是合格品}

＝{提出的一台是第i车间生产的}则有例

设播种用麦种中混有一等，二等，三等，四等四个等级的种子，分别各占95.5％，2％，1.5％，1％，用一等，二等，三等，四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，求这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率．解

设从这批种子中任选一颗是一等，二等，三等，四等种子的事件分别是Ａ1，Ａ2，Ａ3，Ａ4，又设Ｂ表示任选一颗种子所结的穗含有50粒以上麦粒这一事件，则由全概率公式：＝95.5％×0.5＋2％×0.15＋1.5％×0.1＋1％×0.05＝0.4825练一练设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份。随机地取一个地区的报名表，求抽到的一份是女生表的概率。第三节贝叶斯公式例1某市场供应的灯泡中，甲、乙两厂的产品分别占70％与30％，而甲、乙两厂的产品的合格品率分别为95％与80％。试求从市场上任买一只灯泡为合格品的概率及这个合格品来自甲厂的概率。设B＝{产品为合格品}，={产品来自甲厂}={产品来自乙厂}为互斥事件，也为互斥事件。在这一只灯泡为合格品的概率为0.905中，来自甲厂的占了，从而一只合格品来自甲厂的概率为：这个问题与第一个问题恰好相反，第一个问题是由“原因”推断“结果”，而这个问题则是由“结果”推断“原因”。我们称它为贝叶斯公式：设事件互斥，且事件B满足条件且，则对任一，有贝叶斯公式是大统计学家Bayes提出的。其中一般可利用统计资料事先取得，故称为先验概率或事前概率，而则是一种已知结果后追查原因、出处的逆向条件概率，称为后验概率或逆概率，贝叶斯公式也可称为逆概率公式。贝叶斯ThomasBayes，英国数学家.1702年出生于伦敦，做过神甫。1742年成为英国皇家学会会员。1763年4月7日逝世。贝叶斯在数学方面主要研究概率论。他首先将归纳推理法用于概率论基础理论，并创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断、统计的估算等做出了贡献.1763年发表了这方面的论著，对于现代概率论和数理统计都有很重要的作用。贝叶斯的另一著作《机会的学说概论》发表于1758年。贝叶斯所采用的许多术语被沿用至今。

他对统计推理的主要贡献是使用了"逆概率"这个概念，并把它作为一种普遍的推理方法提出来。贝叶斯定理原本是概率论中的一个定理，这一定理可用一个数学公式来表达，这个公式就是著名的贝叶斯公式。贝叶斯公式是他在1763年提出来的.从时间的顺序上来说，贝叶斯公式是已知第二阶段的某一结果，来求第一阶段某一结果的概率。例有朋自远方来，他乘火车、船、汽车、飞机的概率分别为3/10，1/5，1/10，2/5。若乘火车、船、汽车迟到的概率分别为1/4，1/3，1/12，而乘飞机便不会迟到，即概率为0，结果他迟到了。求在这一条件下，他乘火车来的概率。解

设Ａ1,Ａ2,Ａ3，A4分别表示乘火车，乘船，乘汽车，乘飞机。Ｂ表示“他迟到了”．依题意，有例（课本）一项血液化验以概率0.95将带菌病人检出阳性，但也有1％的概率误将健康人检出阳性。设人群中带菌病人为0.5%,求已知一个个体检出为阳性条件下，该个体确实带菌的概率。解：设B＝{阳性}，A1＝{带菌}，A2＝{不带菌}解设原发信号为“•”为事件

A1

原发信号为“—”为事件

A2收到信号“不清”为事件B练习在无线电通讯中发出信号“•”,由于随机干扰,收到信号“•”,“不清”,“—”的概率分别为0.7,0.2,0.1;发出信号“—”,收到信号“•”,“不清”,“—”的概率分别为0,0.1,0.9.已知在发出的信号中,“•”和“—”出现的概率分别为0.6和0.4,试分析,当收到信号“不清”时,原发信号为“•”还是“—”的概率哪个大？可见,当收到信号“不清”时,原发信号为“•”的可能性大已知：第四节事件的独立性一般来说，条件概率，即A发生与否对B发生的概率是有影响的；但也有很多情形是例外的。引例将一颗均匀骰子投掷两次A＝{第一次掷出3点}B={第二次掷出6点}显然，事件A是否发生，对事件B发生的概率没有影响。事件A与事件B没有关系。事件A与事件B是相互独立的。相互独立事件满足：设Ａ、Ｂ为任意两个随机事件，如果Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝Ｐ（Ｂ）(1)即事件Ｂ发生的可能性不受事件Ａ的影响，则称事件Ｂ对于事件Ａ独立．

显然，Ｂ对于Ａ独立，则Ａ对于Ｂ也独立，故称Ａ与Ｂ相互独立．定义由(1)式，在等式两边同时乘以，得：我们称这是事件Ａ与事件Ｂ独立的充要条件。(2)注在实际应用中，我们一般是根据问题的实际意义去判断两事件是否相互独立，并不根据(2)式去判断。而仅将(2)式作为相互独立事件的一个性质加以应用。如：(1)甲乙两人向同一目标射击，A＝{甲命中目标}，B＝{乙命中目标}(2)从有限的总体中，有放回的抽取两次产品，A＝{第一次抽到次品}，B＝{第二次抽到次品}(3)掷一颗均匀的骰子两次，两次掷到的点数。对于三事件A,B,C

如果：注：1)关系式(1)(2)不能互相推出

2)仅满足(1)式时,称A,B,C

两两独立

(1)(2)A,B,C

相互独立A,B,C

两两独立

定义(1)与(2)同时成立，则称A，B，C相互独立。例

随机投掷编号为1与2的两颗骰子

事件A

表示1号骰子向上一面出现奇数

B

表示2号骰子向上一面出现奇数

C

表示两骰子出现的点数之和为奇数

则但本例说明不能由A,B,C

两两独立A,B,C

相互独立

n个事件A1,A2,…,An

相互独立是指下面的关系式同时成立定义常由实际问题的意义判断事件的独立性

四对事件任何一对相互独立,则其它三对也相互独立如事实上注：相互独立与互斥的关系？反之由A，B互斥则A，B不相互独立。若A,B相互独立,，则A与B不互斥。而是独立：互斥：若独立：利用独立事件的性质计算其并事件的概率若A1,A2,…,An

相互独立,则例

加工某一种零件需要经过三道工序，设三道工序的次品率分别为2%，1%，5%，假设各道工序是互不影响的．求加工出来的零件的次品率．解

设Ａ1

，Ａ2

，Ａ3

分别表示第一、第二、第三道工序出现次品，则依题意：Ａ1,Ａ2,Ａ3相互独立，且

Ｐ（Ａ1）＝2%,Ｐ（Ａ2）＝1%,Ｐ（Ａ3）＝5%又设Ａ表示加工出来的零件是次品,则A＝Ａ1∪Ａ2∪Ａ3

＝1－(1－0.02)(1－0.01)(1－0.05)＝0.0783例（课本）设有n个人向保险公司购买人身意外险（保险期为1年），假定投保人在一年内发生意外的概率为0.01，求该保险公司赔付的概率。解记{第i个投保人出现意外}A={保险公司赔付}则相互独立，例

设两系统都是由

4个元件组成,每个元件正常工作的概率为

p,每个元件是否正常工作相互独立.两系统的连接方式如下图所示，比较两系统的可靠性.A1A2B2B1S1:A1A2B2B1S2:第五节伯努利试验和二项概率有时为了了解某些随机现象的全过程，需要观察一串试验，例如对某一目标进行连续射击；在一批灯泡中随机抽取若干个测试它们的寿命等。这些试验是由某个随机试验的多次重复所组成，且各次试验的结果是相互独立的，称这样的试验序列为独立重复试验，称重复试验次数为重数。特别地，在n重独立重复试验中，若每次试验只有结果A与，且A在每次试验中发生的概率为p，则称其为伯努利试验。独立重复试验与伯努利试验

伯努利JacobBernoulli1654-1705

瑞士数学家概率论的奠基人伯努利

(JacobBernoulli)简介伯努利家属祖孙三代出过十多位数学家.这在世界数学史上绝无仅有.伯努利幼年遵从父亲意见学神学,当读了R笛卡尔的书后,顿受启发,兴趣转向数学.

1694年,首次给出直角坐标和极坐标下的曲率半径公式,同年关于双纽线性质的论文,使伯努利双纽线应此得名.此外对对数螺线深有研究,发现对数螺线经过各种变换后,结果还是对数螺线,在惊叹此曲线的奇妙之余,遗言把对数螺线刻在自己的墓碑上,并附以颂词:纵使变化,依然故我1695年提出著名的伯努利方程定理设在一次试验中，事件A发生的概率为p，则在n重伯努利试验中，事件A恰好发生k次的概率记＝{在n次伯努利试验中，A恰好发生k次}此公式与二项展开式有密切关系，

(1)式恰好是二项展开