数列的通项与求和课件高三数学二轮复习

专题一数列破解大题第3讲数列的通项与求和

考点梳理考情回顾高考预测数列的通项与求和2023新高考Ⅰ卷第20题2023新高考Ⅱ卷第18题2022新高考Ⅰ卷第17题2021新高考Ⅰ卷第17题1.考查重点：数列的通项与求和.2.考查热点：分奇、偶讨论研究数列的通项与求和.3.求通项公式的方法：累加法，累乘法，构造等差或等比数列法，取倒数法等.4.求和方法：错位相减法，裂项相消求和法，分组求和法，并项求和法等.

（2021·全国适应性考试）已知各项均为正数的数列{

an

}满足

an

＋2＝

2

an

＋1＋3

an

.（1）

求证：数列{

an

＋

an

＋1}为等比数列；

1.求数列的通项公式通常有下列方法：（1）

定义法：直接利用等差数列或等比数列的定义求通项公式.

（3）

累加法：当递推公式为

an

＋1＝

an

＋

f

（

n

）时，通常解法是把原

递推公式转化为

an

＋1－

an

＝

f

（

n

），用累加法求解.

2.数列求和的常用方法：（1）

等差数列、等比数列求和公式

（2）

分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等

比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和

后再加减.（3）

裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些

项可以相互抵消，从而求得前

n

项和.常见的裂项公式有：

（4）

错位相减法：适用于差比数列（如果{

an

}为等差数列，{

bn

}为等

比数列，那么{

an

·

bn

}叫做差比数列），即把每一项都乘以{

bn

}的公比

q

，向后错一项，再对应同次项相减，即可转化为等比数列求和.如：等

比数列的前

n

项和就是用此法推导的.（5）

并项求和法：在数列求和过程中，将某些项分组合并后即可转化

为具有某种特殊性质的特殊数列，可将这些项放在一起先求和，最后再

将它们求和，则称之为并项求和.形如

an

＝（－1）

nf

（

n

）类型，可采

用两项合并求.利用该法时要特别注意有时要对所分项数是奇数还是偶

数进行讨论.（6）

分段求和法：若数列{

an

}的通项公式为分段数列，则求其前

n

项

和时，需要分段讨论，进行分段求和.

热点

数列的通项与求和[典例设计]

（1）

记

bn

＝

a

2

n

，写出

b

1，

b

2，并求数列{

bn

}的通项公式；（2）

求{

an

}的前20项和.[思维导图]由当

n

为奇数时，

an

＋1＝

an

＋1解：（1）

由题意，得

b

1＝

a

2＝

a

1＋1＝2，

b

2＝

a

4＝

a

3＋1＝

a

2

＋2＋1＝5.又因为

a

2

n

＋2＝

a

2

n

＋1＋1，

a

2

n

＋1＝

a

2

n

＋2，所以

a

2

n

＋2＝

a

2

n

＋1＋1＝（

a

2

n

＋2）＋1＝

a

2

n

＋3，即

bn

＋1＝

bn

＋3，即

bn

＋1－

bn

＝3.所以{

bn

}是以2为首项，3为公差的等差数列.故

bn

＝2＋（

n

－1）×3＝3

n

－1.S

20＝（

a

1＋

a

3＋…＋

a

19）＋（

a

2＋

a

4＋…＋

a

20），进行分组求和→得当

n

为奇数时，

an

＝

an

＋1－1a

1＝

a

2－1，

a

3＝

a

4－1，…，

a

19＝

a

20－1→→

总结提炼

对于数列的交叉递推关系，我们一般利用已知的关系得到奇数项

的递推关系或偶数项的递推关系，再结合已知数列的通项公式、求和

公式等来求解问题.[对点训练]

（1）

数列{

an

}的通项公式；

（2）

数列{

anbn

}的前

n

项和

Tn

.

[典例设计]例2已知在各项均为正数的等差数列{

an

}中，

a

2＋

a

3＋

a

4＝21，且

a

2

－1，

a

3＋1，

a

4＋

a

3构成等比数列{

bn

}的前三项.（1）

求数列{

an

}，{

bn

}的通项公式.

问题：设

cn

＝

，求数列{

cn

}的前

n

项和

Sn

.[思维导图]选条件①，

cn

＝（2

n

＋1）·2

n

＋1→错位相减求和

选条件③，

cn

＝（－1）

n

·（2

n

＋1）＋

n

→先分组，再并项求和，注意分奇偶讨论解：（1）

由题意，得

a

2＋

a

3＋

a

4＝3

a

3＝21，解得

a

3＝7.设数列{

an

}

的公差为

d

，则

a

2－1＝

a

3－

d

－1＝6－

d

，

a

3＋1＝8，

a

4＋

a

3＝

a

3＋

d

＋

a

3＝14＋

d

.又因为

a

2－1，

a

3＋1，

a

4＋

a

3构成等比数列{

bn

}的前三

项，所以（

a

3＋1）2＝（

a

2－1）（

a

4＋

a

3），即64＝（6－

d

）（14＋

d

），解得

d

＝2（负值舍去）.所以

a

1＝

a

3－2

d

＝7－4＝3，则数列{

an

}

是以3为首项，2为公差的等差数列.所以

an

＝2

n

＋1.所以

b

1＝

a

2－1＝

4，

b

2＝

a

3＋1＝8.所以数列{

bn

}是以4为首项，2为公比的等比数列.所

以

bn

＝4×2

n

－1＝2

n

＋1.

总结提炼

当一个数列的通项是由一个等差数列与一个等比数列的乘积构成

时，用错位相减法求和；当一个数列的通项可拆成两项之差，在求和

时中间的一些项可以相互抵消，从而求前

n

项和时，用裂项相消法求

和；当一个数列的通项可分组成为特殊数列，用分组或并项法求和，

过程中注意分奇偶进行讨论.[对点训练]

问题：已知数列{

an

}是等比数列，且

a

1＝1，其中

a

1，

a

2＋1，

a

3＋1成

等差数列.（1）

求数列{

an

}的通项公式；解：（1）

设等比数列{

an

}的公比为

q

.因为

a

1＝1，所以

a

2＋1＝

q

＋

1，

a

3＋1＝

q

2＋1.又因为

a

1，

a

2＋1，

a

3＋1成等差数列，所以2（

a

2＋

1）＝

a

1＋

a

3＋1，即2

q

＋2＝1＋

q

2＋1，也即2

q

＝

q

2.所以

q

＝2.所以

数列{

an

}的通项公式为

an

＝1×2

n

－1＝2

n

－1.（2）

若

，求数列{

bn

}的前2

n

项和

T

2

n

.

[典例设计]

（1）

求

Sn

；（2）

在数列{

an

}的每相邻两项

ak

，

ak

＋1之间依次插入

a

1，

a

2，…，

ak

，得到数列{

bn

}：

a

1，

a

1，

a

2，

a

1，

a

2，

a

3，

a

1，

a

2，

a

3，

a4，…，求{

bn

}的前100项和

T

100.[思维导图]

根据新数列的定义，确定前100项中1和2的个数，再分组求和→

总结提炼

当一个数列的通项公式满足

an

＋1－

an

＝

f

（

n

）时，用累加法求通

项；对于新定义的数列求和，要弄清新数列的特点，根据题意找出符

合题意的项，再进行分组求和.[对点训练]3.（2023·石家庄一模）已知等差数列{

an

}的前

n

项和为

Sn

，且3

a

2＋

2

a3＝

S

5＋6.（1）

若数列{

Sn

}为递减数列，求

a

1的取值范围；

（2）

若

a

1＝1，在数列{

an

}的第

n

项与第

n

＋1项之间插入首项为1，公

比为2的等比数列的前

n

项，形成新数列{

bn

}，记数列{

bn

}的前

n

项和为

Tn

，求

T

95.

[典例