2025届新高考数学精准冲刺复习 等差、等比数列的基本量及性质应用

2025届新高考数学精准冲刺复习等差、等比数列的基本量及性质应用

考点梳理考情回顾高考预测数列基本量

的运算2023新高考Ⅰ卷第20题2023新高考Ⅱ卷第8题1.重点：数列的基本量

的运算、数列的性质.2.关注：数列的单调

性、周期性等数列的函

数性质.3.热点：数列的情境.数列的性质2023新高考Ⅰ卷第7题2023全国甲卷（文）第5题2023全国乙卷（理）第15题数列情境题2022新高考Ⅱ卷第3题2021新高考Ⅰ卷第16题

1.（2023·全国甲卷）在正项等比数列{

an

}中，

a

1＝1，

Sn

为{

an

}的前

n

项和，且

S

5＝5

S

3－4，则

S

4等于（

C

）A.7B.9C.15D.302.（2017·新课标Ⅲ卷）已知等差数列{

an

}的首项为1，公差不为0.若

a

2，

a

3，

a

6成等比数列，则{

an

}的前6项和为（

A

）A.－24B.－3C.3D.8CA3.（多选）（2020·北京卷改编）在等差数列{

an

}中，

a

1＝－9，

a

5＝－1，记

Tn

＝

a

1

a

2…

an

（

n

∈N*），则数列{

Tn

}（

AD

）A.有最大项B.无最大项C.有最小项D.无最小项AD4.（2022·全国乙卷）记

Sn

为等差数列{

an

}的前

n

项和.若2

S

3＝3

S

2＋6，

则公差

d

＝

⁠.2

等差数列等比数列通项公式an＝a1＋（n－1）d＝am＋（n－m）dan＝a1·qn－1＝am·qn－m求和公式等差数列等比数列性质

热点1

等差与等比数列的基本量[典例设计]例1（1）

记

Sn

为等差数列{

an

}的前

n

项和.已知

S

4＝0，

a

5＝5，则下

列结论正确的是（

A

）A.an＝2n－5B.an＝3n－10C.Sn＝2n2－8nA

（2）

（2023·新高考Ⅱ卷）记

Sn

为等比数列{

an

}的前

n

项和.若

S

4＝－5，

S

6＝21

S

2，则

S

8的值为（

C

）A.120B.85C.－85D.－120C

总结提炼

等差、等比数列的基本量问题的求解策略（1）

抓住：基本量首项

a

1、公差

d

（公比

q

）、项数

n

.（2）

紧扣：等差、等比数列的定义、通项公式及求和公式.（3）

特例：等比数列求解时常用两式相除（即比值的方式）进行相关计算.小心：等比数列的公比

q

可否为1.[对点训练]

A.14B.34C.41D.86

C1234567891011121314151617181920212223242.在数列{

an

}中，若

a

1＝2，

am

＋

n

＝

aman

，

ak

＋1＋

ak

＋2＋…＋

ak

＋10＝

215－25，则

k

的值为（

C

）A.2B.3C.4D.5

C热点2

等差与等比数列的性质运用[典例设计]例2（1）（多选）已知数列{

an

}的前

n

项和

Sn

＝－

n

2＋9

n

（

n∈N*），则下列结论正确的是（

AB

）A.{an}是等差数列B.a4＋a6＝0C.公差d＞0D.a9＜a10AB

A.3B.12C.18D.24B

A.若S6＝S8，则当且仅当k＝13时，Tk取得最大值B.若S6＜S8，则当且仅当k＝14时，Tk取得最大值C.若S6＞S8，则当且仅当k＝15时，Tk取得最大值D.若∃m∈N*，Sm＝0，则当k＝13或14时，Tk取得最大值BD

总结提炼

等差、等比数列的性质问题的求解策略（1）

抓关系：抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些

特点入手，选择恰当的性质进行求解.（2）

用性质：数列是一类特殊的函数，具有函数的一些性质，可根据

数列的图象、单调性、周期性、有界性等进行解题.[对点训练]3.（多选）记

Sn

为等差数列{

an

}的前

n

项和，则下列结论一定正确的是

（

BCD

）A.S6＝2S4－S2B.S6＝3（S4－S2）C.S2n，S4n－S2n，S6n－S4n成等差数列BCD

D.1

B5.能说明“设数列{

an

}的前

n

项和为

Sn

，且对于任意的

n

∈N*，有

an

＋1

＞

an

，则

Sn

＋1＞

Sn

”为假命题的一个等差数列是

⁠

（写出数列的通项公式）.解：由题意可知，对于任意的

n

∈N*，有

an

＋1＞

an

，所以数列{

an

}是一

个递增数列.又因为题中的命题为假命题，所以可以找出一个不满足

Sn

＋1＞

Sn

的等差数列{

an

}.所以可找出反例

an

＝

n

－4.该数列{

an

}满足对于任意的

n

∈N*，有

an

＋1＞

an

，但

S

1＞

S

2，

S

2＞

S

3，

S

3＝

S

4，不满足对于任意的

n

∈N*，

Sn

＋1＞

Sn

.答案不唯一，如

an

＝

n

－4

热点3

数列中的情境问题[典例设计]例3（1）

北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三

层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面

形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层

的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下

层比中层多729块扇面形石板，则三层共有扇面形石板（不含天心石）

（

C

）CA.3699块B.3474块C.3402块D.3339块

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

答案：D总结提炼

数列情境题解题策略：将情境中的数学问题提取出来，变