2024年1月10日九省联考高三数学真题及答案解析-1708340595.8692493

2024年1月10日九省联考高三数学真题及答案解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.样本数据16,24,14,10,20,30,12,14,40的中位数为（

）A.14

B.16

C.18

D.202.椭圆

x2a2

y2离心率为

12

，则a（

）A.

233

B.2

C.3

D.2a的

）A.120

B.140

C.160

D.1804.设，是两个平面，m,l是两条直线，则下列命题为真命题的是（A.若，m∥，l∥，则mlB.若m，l，m∥l，则∥C.若m，l∥，l∥，则m∥lD.若m，l，m∥l，则

）5.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（

）A.20种

B.16种

C.12种

D.8种6.已知Q为直线l:x2y0上的动点，点P满足QP3记P的轨迹为E，则（

）A.E是一个半径为5的圆C.E上的点到l的距离均为5

B.E是一条与l相交的直线C.E是两条平行直线7.已知1

3

3

12sin23

（

）A.

4

B.

4

C.1

D.

211a1的3.记等差数列n前n项和为Sn，a3a76，a1a1的3.记等差数列n前n项和为Sn，a3a76，a1217，则S16（11，，，，tan24tan，则442cos2sin28.设双曲线

x2y2C：a2b2

0，b0左、右焦点分别为F，F，过坐标原点的直12F

）A.2

B.2

C.5

D.7二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数

x，则（

44

）4x在10.已知复数z,w均不为0，则（

）

B.曲线yfx的对称轴为xk，kZD.f最小值为2A.z2z

2

B.

zz

z2z2C.zwzw

D.

zw

zw11.已知函数f定义域为R，且f0，若fyf4xy，则（2

）1A.f01C.函数

1B.D.函数fx是减函数2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合A2,0,2,4Bxx3m，

的最小值为

.13.已知轴截面为正三角形的圆锥MM高与球O的直径相等，则圆锥MM体积与球O的体积的比值是

，圆锥MM的表面积与球O的表面积的比值是

.

21a的线与C交于A,B两点，F1B2F1A，F2A2B4a2，则C的离心率为（fsin2xcos2x33A.函数fx为偶函数C.1a的线与C交于A,B两点，F1B2F1A，F2A2B4a2，则C的离心率为（fsin2xcos2x33A.函数fx为偶函数C.f区间，单调递增32x的1xxfyx的2f22fx是偶函数21若ABA，则m，的的14.以maxM表示数集M中最大的数.设0abc1，已知b2a或ab1，则maxa,cb,c最小值为

.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数flnxx2ax2在点f的切线与直线2x3y0垂直.（1）求a；（2）求f单调区间和极值.16.（15分）盒中有标记数字1,2,3,4的小球各2个，随机一次取出3个小球.（1）求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；（2）记取出的3个小球上的最小数字为X，求X的分布列及数学期望E17.（15分）如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，AA2，CCBCCD，CCO45.1111（1）证明：C1O⊥平面ABCD；（2）求二面角BAA1D的正弦值.3b1的2，2b1的2，2x处x的X18.（17分）已知抛物线C：y24x的焦点为F，过F的直线l交C于A,B两点，过F与l垂直的直线交C于D，E两点，其中B,D在x轴上方，M,N分别为AB,DE的中点.（1）证明：直线MN过定点；（2）设G为直线AE与直线BD的交点，求GMN

面积的最小值.19.（17分）离散对数在密码学中有重要的应用.设p是素数，集合X,p若u,vX,mN，记uv为uv除以p的余数，um,为um除以p的余数；设aX，1,a,a2,,,ap,两两不同，若an,b（n,,p2，则称n是以a为底b的离散对数，记为nlog.a（1）若p11，a2，求ap,；0，

2能被p1整除时，m1m

2

0）.证明：logcloglog，aaa其中b,cX；pa,41,21，20,11,21，20,1）pb1（2）对m1,m2,1,,p2记m1m2为m1m2除以p1的余数（当m1mbcpbpp（3）已知nlogb.对xX，k1,2,,p2，令y1ak,，y2xbk,.证明：xy2y1np2.答案解析一、选择题,1.B

解析：将数据从小到大排列10,12,14,14,16,20,24,30,40，共9个数，第5个数16为中位数.2.A

解析：

cea

a21a

12，a23

3.3.C

解析：由等差数列性质可得a3a72a56，∴a53，S

16

a116

8a817160.5124.C

解析：A：举反例，p，若m∥p，l∥p，m∥，l∥，得m∥l，故A错；B：仅有一组平行直线得不出两个平面平行，故B错；D：垂直于同一条直线（一组平行直线）的两个平面平行，给D错.5.B

解析：分两种情况：乙丙站1,4号位或者站2,5号位，先排乙丙，再排甲（去掉一端C6.C

解析：设PyQ,yQP00

3x0

,yy

0

yy7.A

44

∴

2tan1tan2

tan1

，∴

12∴8.D

12sin2sincos22sincostan22tan1.解析：F1B2F1A2k，则F1BF2B2ak.

2cos2sin22cos22sincos22tan4122222边形AF2BF1为平行四边形，故有）.58aa3仅有两个选择），故共有2A2221A2216.故0x，0y3,xx8aa3仅有两个选择），故共有2A2221A2216.故0x，0y3,xx，，1，x由x02y010，故x12310，即x2y60.解析：∵，，∴1tan0，∵tan24tan，41tan2tan或tan2（舍），21FAFB4a22a4acosAFB,cosAFB，（∵对角线互相平分，可知四cosFBF，解得c27a2，e7.12二、选择题9.AC解析：fsin2xcos

44

cos2xsincos2xcos

44

sin2xsin

22

sin2x

22

cos2x

22

cos2x

22

sin2x2sin2x，42B：

k

23D：f最小值为2，故D错.10.BCD

解析：令zabi，wcdi，a,b,c,dR，2B：

zz

abiabi

biz2aC：zwcd故zwcd又zabi，wcdi，故zwbidicdaw，故C正确；D：

zw

abicdi

c2d2c2d2

22

a2c2b2d2b2c2a2d2c2d2

a2b2c2d2c2d2

a2b2c2d2

zw

，故D正确.11.ABD

12

11

0f

1

0②令

22

111

1f0，故A正确；1112612aa23333xA：fx2sin2x2cos2x为偶函数，故A对；f2sin2k0，故B错；C：x，时，2x，，故C对；3x的A：z2a2b22abi12aa23333xA：fx2sin2x2cos2x为偶函数，故A对；f2sin2k0，故B错；C：x，时，2x，，故C对；3x的A：z2a2b22abi，za2b2z2，故A错误；biabiz2，故B正确；aabiabi，abi，acabibdadbdad解析：①令x0，y得ff0，f0，f1,22210x，y，得fff1，2221412222③令y，则ffxx，即fx，故C错误；1④令x1，则⑤令

2

x，三、填空题12.5解析：∵ABA，则AB，故x323m，故m5.13.2:3；1

解析：设圆锥底半径为r，则母线长l2r，高h3r圆锥体积113

33

r3，表面积Sr2rl3r2，1球O的直径2R3r，即R

32

423

32

r2，球的表面积S4232，故V:V2：，S:S：.2121214.

15

a1mnp

，①令b2a，即1np22m2n2p，∴2mnp1，令mmaxa,cb,cmax,n,p2M2m∴p

14②若ab，即2m2n2p，∴m2n2p，令Mmax,n,pMm151当m2n2p时可取等号，故Mmin5.四、解答题15.解：（1）设函数flnxx2ax2在点f的切线的斜率为k，7f2，故B正确；2xx1，则fx21故D正确.1Vf2，故B正确；2xx1，则fx21故D正确.1Vr2hr，球的体积VR3Rr311解析：令bam，cbn，1cp，m,n,p0，则b1npb1m，n，即4M2mnp1，∴M；M2M∴2n，即5Mm2n2p，∴M，2M2p111m，2，2x处由题可得

x22

9232（2）由（1）可得flnxx23x2，x0令

x

1x2令f

2

1.上令f0得

12

x，∴f，上单调递减，2故fx1处有极大值f3ln2，在x处有极小值f0.216.解：（1）法一：设事件A为取出的3个小球的数字两两不同，故PC43C38

4;7法二：有两个相同的概率：

4C124P6

C356

3,则两两不同的概率为7

341.778（2）X的取值可取1,2,3最小数是一个1或两个1，另外的数任选，则PC2C6C6C38

3656

914最小数是一个2或两个2，另外的数从3或4中选，则

X4

8

C356

27最小数是一个3或两个3，另外的数是4，则P3C2C2C3

456

114

.8则X的分布列为：XP

1914

227

3114从而

9X14

212714

1037

.17.解：（1）在C1CO中，由余弦定理易求得C1O2，811fx2xa，则kf24aa，3∵切线与直线2x3y0垂直，∴k，解得k，∴a.x11fx2xa，则kf24aa，3∵切线与直线2x3y0垂直，∴k，解得k，∴a.x12fxx110，得x或1，x0得x1或0x，∴f0，，单调递增；x在112x111x在24111x在A32X1121P224C1C2C116X11X的分布列及数学期望E∴C1O

2

CO

2

CC2，则COCO；11CCBCCD，CBCD，则BCD为等腰三角形，11111则C1OBD，C1O平面ABCD.（2）以OB，OC，OC为x,y,z轴建立空间直角坐标系，1则B0，2,02,0，22,21在平面BAA中，AA0，，BA2,2,0,11在平面AA1D中，AD2,2,0，AA10，2,2，设二面角BAA1D的平面角为，则

11112233

.18.解：（1）由题意可得焦点F1，设lAB

：xty1，t0，

1DEtx，分别联立方程组可得y24x

12

，y24x1

t

34

44y∵x1x2

ty24t22，x123

14y4t34t2

2，∴

M2t2，t，N，，则可求l的直线方程为：MN92,2则可求得平面BAA1的法向量m1,1,1，则可求得平面AA1D的法向量n,11,1，2,0AD0A0，0，，，，，cos2,2则可求得平面BAA1的法向量m1,1,1，则可求得平面AA1D的法向量n,11,1，2,0AD0A0，0，，，，，cos，则sin33l：xy1，0，设A1,y1Bx2,y2，Dx3,y3，Ex4,y4.xty1yy24ty24ty401yy4xy1ty4y2y403t，yy4xy2y222t12122t22t2t2

1t

1t

x2t21，（2）GMN

面积，由极点极线知G在x上，MN过定点S

GMN

122∴GMN

面积的