直线的倾斜角与斜率

关于直线的倾斜角与斜率

在平面直角坐标系中，点用坐标表示，直线如何表示呢？问题引入xyOlP（x，y）

为了用代数方法研究直线的有关问题，首先探索确定直线位置的几何要素，然后在坐标系中用代数方法把这些几何要素表示出来．问题第2页,共23页，2024年2月25日，星期天

对于平面直角坐标系内的一条直线l，它的位置由哪些条件确定？问题引入问题xyOl第3页,共23页，2024年2月25日，星期天

我们知道，两点确定一条直线．一点能确定一条直线的位置吗？已知直线l经过点P，直线l的位置能够确定吗？问题引入问题xyOll’l’’P第4页,共23页，2024年2月25日，星期天

过一点P可以作无数条直线l1，l2

，l3

，…它们都经过点P

（组成一个直线束），这些直线区别在哪里呢？问题引入问题xyOll’l’’P第5页,共23页，2024年2月25日，星期天

容易看出，它们的倾斜程度不同．怎样描述直线的倾斜程度呢？问题引入问题xyOll’l’’P第6页,共23页，2024年2月25日，星期天

当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角（angleofinclination）．xyOl

当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为.直线的倾斜角的取值范围为：直线的倾斜角第7页,共23页，2024年2月25日，星期天

直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系？

平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角，倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角，度相同的直线其倾斜角相同．倾斜程xyOl

已知直线上的一个点不能确定一条直线的位置；同样已知直线的倾斜角α．也不能确定一条直线的位置．但是，直线上的一个点和这条直线的倾斜角可以唯一确定一条直线．直线的倾斜角第8页,共23页，2024年2月25日，星期天

确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：

直线上的一个定点以及它的倾斜角，

二者缺一不可．确定直线的要素xyOlP第9页,共23页，2024年2月25日，星期天日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？前进量升高量问题引入问题第10页,共23页，2024年2月25日，星期天问题引入问题前进升高例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因为坡度（比）第11页,共23页，2024年2月25日，星期天通常用小写字母k表示，即

一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率（slope）.

倾斜角是的直线有斜率吗？

倾斜角是的直线的斜率不存在．直线的斜率如果使用“倾斜角”这个概念，那么这里的“坡度（比）”实际就是“倾斜角α的正切”．第12页,共23页，2024年2月25日，星期天

如：倾斜角时，直线的斜率当为锐角时，如：倾斜角为时，由即这条直线的斜率为直线的斜率倾斜角α不是90°的直线都有斜率，并且倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，可以用斜率表示直线的倾斜程度．第13页,共23页，2024年2月25日，星期天已知直线上两点的坐标，如何计算直线的斜率？两点的斜率公式问题

给定两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），并且x1≠x2，如何计算直线P1P2的斜率k．第14页,共23页，2024年2月25日，星期天当为锐角时，在直角中

设直线P1P2的倾斜角为α（α≠90°），当直线P1P2的方向（即从P1指向P2的方向）向上时，过点P1作x轴的平行线，过点P2作y轴的平行线，两线相交于点Q，于是点Q的坐标为（x2，y1

）．两点的斜率公式第15页,共23页，2024年2月25日，星期天当为钝角时，在直角中两点的斜率公式第16页,共23页，2024年2月25日，星期天

同样，当的方向向上时，也有两点的斜率公式第17页,共23页，2024年2月25日，星期天1．已知直线上两点，运用上述公式计算直线斜率时，与两点坐标的顺序有关吗？无关两点的斜率公式思考2．当直线平行于y轴，或与y轴重合时，上述斜率公式还适用吗？为什么？不适用第18页,共23页，2024年2月25日，星期天

当直线与轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？

经过两点的直线的斜率公式为：两点的斜率公式思考成立第19页,共23页，2024年2月25日，星期天

例1如图，已知，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．解：直线AB的斜率直线BC的斜率直线CA的斜率

由及知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角；由知，直线BC的倾斜角为钝角．典型例题第20页,共23页，2024年2月25日，星期天

例2在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2及-3的直线及．即

解：取上某一点为的坐标是，根据斜率公式有:

设，则，于是的坐标是．过原点及的直线即为．xy

是过原点及的直线，是过原点及的直线，