第23讲 任意角（学生版）-高一数学同步讲义

第01讲任意角

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课程标准课标解读

理解并掌握正角、负角、零角的概念；

通过本节课的学习，要求掌握任意角的概念，并能用集

掌握象限角的范围，掌握终边相同的角的

合的形式表示任意角.

表示方法及判定方法.

趣:知识精讲

0-0,

±'知识点任意角

(1)角的概念

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.我们规定：按逆

时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线没有作任何旋转,

我们称它形成了一个零角.

(2)象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就认为这

个角是第几象限角.具体表示如下：

象限角角的表示

第一象限的角{a|^360°<a</l-360o+90o,A：eZ}

第二象限的角{]依360。+90。<6(<k360。+180。代2}

第三象限的角{a[A>360。+180yx<"360。+270。4£Z}

第四象限的角{1依360。一90。<1<儿360。法£2}

(3)轴线角：若角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.具体表示如下:

轴线角角的表示

终边在X轴非负半轴上的角{a\a=2kn,k^Z}

终边在x轴非正半轴上的角{a|a=(2A-l)兀,ZWZ}

终边在y轴非负半轴上的角{a\a=2kn+^,k^Z}

71,

终边在y轴非正半轴上的角[a\a=2kn--Z]

终边在x轴上的角{a|a=E,AGZ}

终边在y轴上的角{a\a=kTi+^-

ku

终边在坐标轴上的角

(4)终边相同的角：所有与角a终边相同的角连同角a在内，可构成一个集合S=｛向外a+%36(T,&G

Z}={为?=a+2航次ez}.

【即学即练1】下列各角中与225角终边相同的是()

A.585B.315

C.135D.45

【即学即练2】与Y20°终边相同的角是()

A.-120°B.420°

C.660°D.280°

【即学即练31510是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

【即学即练4】在集合A=｛a|a=120°+R360°,左eZ｝中，属于—360°〜360°之间的角的集合是

【即学即练5】在148°,475°,-960°--1601°--185°这五个角中，第二象限角有.个.

【即学即练6】下列说法中正确的序号有.

①一65。是第四象限角：②225。是第三象限角;

③475。是第二象限角；④一315。是第一象限角.

【即学即练7】时针走过1小时50分钟，则分针转过的角度是

H能力拓展

考法01

任意角

角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.

角的表示：如图，

(1)始边：射线的起始位置04

(2)终边：射线的终止位置08；

(3)顶点：射线的端点O；

(4)记法：图中的角可记为“角a”或2a”或“NAOB”或“NO”.

【典例1］求得适合不等式一720。学＜360。的元素及

【即学即练8】下列说法正确的是()

A.第一象限角一定小于90°

B.终边在x轴正半轴的角是零角

C.若a+，=H360°(A:eZ),则a与，终边相同

D.钝角一定是第二象限角

【即学即练9］自行车大链轮有36齿，小链轮有24齿，当大链轮转过一周时，小链轮转过的角度是

_____________度.

考法02

角的分类

在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向一一顺时针方向和逆时针方向.习惯上规定:

名称定义图形

正角一条射线按逆时针方向旋转形成的角

负角一条射线按顺时针方向旋转形成的角

零角一条射线没有作任何旋转

04(B)

这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角.

【典例2】已知。为第二象限角，那么匕是（）

3

A.第一或第二象限角B.第一或四象限角

C.第二或四象限角D.第一、二或第四象限角

【即学即练10】下列命题：①钝角是第二象限的角；②小于90。的角是锐角；③第一象限的角一定不是负角;

④第二象限的角一定大于第一象限的角；⑤手表时针走过2小时，时针转过的角度为60。；⑥若c=5,则a

是第四象限角.其中正确的题的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【即学即练11】时针走过2时40分，则分针转过的角度是（）

A.80°B.-80°

C.960°D.-960°

考法03

象限角、轴线角、终边相同的角

(1)在平面直角坐标系中，如果角的顶点在在原点，角的始边与X轴的非负半轴重合，那么，角的终

边在第几象限，便称此角为第几象限角.

(2)轴线角：若角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.

(3)终边相同的角：所有与角a终边相同的角连同角a在内，可构成一个集合S={^=a+k-3600,k&

Z}={P\P=a+2kn,keZ}.

a

(4)确定角一(n6N)终边所在象限的方法：

n

已知角终边所在的象限，确定人(neN)终边所在象限的常用方法有以下两种：

n

a

一是分类讨论法.利用已知条件写出a的范围(用上表示)，由此确定一的范围，然后对左进行分类讨

n

a

论，从而确定一所在象限.

n

二是几何法.先把各象限均分为”等份，再从x轴的正方向的上方起，逆时针依次将各区域标上一、二、

a

三、四，一、二、三、四，…则a原来是第几象限角，标号为几的区域即一终边所在的区域.

n

【典例3】已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，在0。4[<360°范围内，找出与

下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角.

(1)750°；(2)-795°；(3)950。20'.

【即学即练12】已知a锐角，那么2a是()

A.小于180。的正角B.第一象限角

C.第二象限角D.第一或二象限角

【即学即练13】与乌终边相同的角的集合是.

【典例4】写出如图所示阴影部分的角a的范围.

fii分层提分

题组A基础过关练

I.已知角a的终边与300。角的终边重合，则Cf女的终边不可能在（）.

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

2.若角a的终边与240。角的终边相同，则角券的终边所在象限是（）

A.第二或第四象限B.第二或第三象限

C.第一或第四象限D.第三或第四象限

3.下列说法：①终边相同的角必相等；②锐角必是第一象限角；③小于90。的角是锐角；④第二象限的角必

大于第一象限的角；⑤若角"的终边经过点加（0,-3）,则角a是第三或第四象限角，其中错误的是（）

A.③④⑤B.①③④C.①③④⑤D.②③④⑤

4.若角。=»3600+60。，月=-360。+120。，（加，kwZ）,则角a与尸的终边的位置关系是（）

A.重合B.关于原点对称

C.关于x轴对称D.关于y轴对称

5.与-30。角终边相同的角的集合是（

A.{a\a=k-36O°+3O°,k&Z}B.{a|a=A:-360o+330o,A:eZ}

C.„=h360°-330°,/wZ}D.{a\a=k-360°-260°,keZ}

6.已知角a=2020°,则角a是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

7.角口=45。+%180。，/GZ的终边落在

A.第一或第三象限

B.第一或第二象限

C.第二或第四象限

D.第三或第四象限

8.若a是第四象限角,则180。一a是（)

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

9.把—1485。转化为。+公360。（0。4a<360。,后€2）的形式是（）

A.45°-4x360°B.-450-4x360°

C.-45°-5x360°D.3150-5x360°

10.终边在第二、四象限的角平分线上的角可表示为（）

A.Z/80°+135°,keZB.hl80°±135°,keZ

C.八360°+135°,keZD.-90°+135°,&eZ

题组B能力提升练

1.（多选题）已知A=｛第一象限角｝,8=｛锐角｝,C=｛小于90°的角｝,那么A、B、C关系是（）

A.B=AcCB.BUC=CC.BIA=BD.A=B=