2023-2024学年江苏省常州市高二年级上册期末数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年江苏省常州市高二上册期末数学模拟试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中只有一项是符合题目要求的.

1,若直线彳+（。-1»+1=0与直线6+2y-i=o互相垂直，则实数。=（）

32

A.-B.-C.—1D.2

23

【正确答案】B

【分析】直接根据直线垂直公式计算得到答案.

2

【详解】由两直线互相垂直可知a+2（。—1）=0,解得〃=—,

3

故选：B.

本题考查了根据直线垂直求参数，属于简单题.

2.已知等差数列｛%｝的前“项和为S”，且3《,$2，生成公比为4的等比数列，则4=（）

11

A.-B.1C.——D.3

33

【正确答案】B

【分析】由等比中项的性质结合等差数列的通项公式得出q=d,进而由4=含得出4.

【详解】等差数列｛4｝的公差为d,则52=2。I+4。3=々+2会,因为3aps2,%成公比

为4的等比数列，所以（2q+d）2=3q（q+2d）,整理得（％-1）2=0,故q=d,则

S3d,

q=2=——=1

3q3d

故选：B

3.若数列｛为｝满足4+i=l一丁,且q=2,则"22=（）

A.-1B.2C.72D.y

【正确答案】A

【分析】根据递推公式求出｛%｝的周期即可.

【详解】由题意，q=2,4=1—；==2=-1,%=1+1=2,

,1,11,1

=Cl

又%+1=1---，%+2=1-----=■----，氏+3=1-----n，

a”«„+11-«„%+2

••{%}是周期为3的周期数列，42022=43+3x673=“3=—1,

故选：A.

【分析】先求解/（X）的定义域并判断奇偶性，然后根据/（1）的值以及/（X）在（0,+8）上

的单调性选择合适图象.

|x||x|

【详解】/（X）=^定义域为（F,0）D（0,M），/（—x）=—J,

3»x3x

则/（T）=-/（X）,/（X）为奇函数，图象关于原点对称，故排除B;

/（1）=|<1，故排除A；

，当x>0时，可得广（力=色）耳，当x>l时，欢x）>0,/（x）单调

递增，故排除D.

故选：C.

5.椭圆焦点为《，F2,过耳的最短弦PQ长为10,“月。的周长为36,则此椭圆的离心

率为

T

c|D.

33

【正确答案】C

【详解】试题分析：设椭圆方程为二+2=1其焦点坐标为片Gc,O)，由已知

a~b~

人212

P、Q坐标为：M(-c,一),N(-c,--)

aa

i2

所以，2­—=10,/=5Q；

a

△P^Q的周长为36

|PBHBQ「361PQL13,C=6

a2=b2+c2-5a+36,

所以(a-9)(a+4)=0

2

因为a>0,所以，a=9,椭圆的离心率为5,故选C.

考点：本题主要考查了椭圆的标准方程、几何性质.

点评：过々的最短弦PQ垂直于x轴，另外，由椭圆的对称性，△PQQ是一直角三角形.

6.《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有如下问题：“今有女子善织，

日益功，疾，初日织六尺，今一月织十一匹三丈(1匹=40尺，一丈=10尺)，问日益几何？”

其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二

天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织6尺，一月织了十一匹三丈，问每天增加多

少尺布？''若一个月按30天算，记该女子一个月中的第〃天所织布的尺数为2,则

+dy+…+Q29g、］

,一口JI且八V)

〃2+/+•,,+〃30

1416「232

A.—B.—C.377D.一

1517243

【正确答案】C

【分析】

由题意，数列｛%｝为等差数列，利用％和S30求出公差d和通项公式，利用等差数列的性

质化简黑f啜求解华即可.

a\6

【详解】由题意，数列｛%｝为等差数列，％=6,5^=11x40+3x10=470,

设数列｛4｝公差为d,由等差数列前〃项和公式，

3X1

530-30x6+0^0-b=470,解得d=2,

3023

所以a“=6+("-l)xg=g〃+当

(a,+a29)xl5«

+…+%=------2------=15%s

(%+〃3())义15

%+。4+…+=2=15《6'

—xl5+-

9+9+…+外=%=2_____3_=23

a

42+%+…+?0\b|xl6+y24

故选：C

本题主要考查利用等差数列前八项和公式求解通项公式和等差数列性质的应用，熟练掌握等

差数列相关公式是求解的关键，考查学生的转化能力和计算能力，属于中档题.

7.已知函数y=/'(xT)的图像关于点(1,0)对称，且当xe(-8,0),+

成立.若0=(2°2)./(2巧，b=(ln2)・/(ln2),c=^log2^-/^log2^,则a,b,c

的大小关系是()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>hD.a>c>b

【正确答案】C

【分析】由题知/(x)是奇函数，令g(x)=#(x),进而得函数g(x)为偶函数，在(0,+力)

上单调递增，再根据函数单调性比较大小即可.

【详解】解：函数y=/(x—1)的图像关于点(1,0)对称，

所以函数图像关于点(0,0)对称，即/(X)是奇函数，/(—x)=—/(x)

构造函数g(x)=#(x),g'(x)=/(x)+xf\x),

因为当xe(-oo,0)时，g'(x)=/(x)+#'(x)<0,

所以函数g(x)在xe(-oo,0)上单调递减.

因为/(-X)=~/'(x)，g(—x)=-切(T)=4(x)=g(x),

所以函数g(x)为偶函数,

所以，函数g(x)在(0,+e)上单调递增，

因为。=202/(2°2)=g(20-2),Z>=ln2/(ln2)=g(ln2)

2>20-2>1>ln2>0

所以，g(2)>g(2°-2)>g(ln2),即c>a>b.

故选：C.

8.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一：享有“数学王子”的称号.用他名字定

义的函数称为高斯函数/(x)=[x],其中[x]表示不超过x的最大整数，已知数列｛。“｝满

足％=2,4=6，。“+2+5a.=6an+i,若“=[logsan+l],Sn为数列彳吗。广的前〃

IA也+J

项和，则[$2023]=。

A.999B.749C.499D.249

【正确答案】A

【分析】根据递推关系可得｛。m为等比数列，进而可得用一4=4X5"T,由累加法

可求解=5"+1，进而根据对数的运算性质可得»=[log5a“+』=〃，根据裂项求和即

可求解.

【详解】由%+2+5%=6<?„+1得勺+2一%+i=5（%+i-4），因此数列｛«„+i-«„｝为公比为5,

首项为=4的等比数列，故氏+|-a,=4x5"“，进而根据累加法

得%=（%+1一%）+（/一%）++3一%）+%=4（5"T+5"一++5"）+2=5"+1,

由于lOg5%+i=log5（5"+l），又

log55"<log5（5"+1）<log5（5x5"）nn<log5（5"+1）<〃+l,

,r,1100010001AAAf11、

因此4=[logs=“，则C"=AA=-7—K=10°0------；，故

LW+,Ja「be+1〃n+\）

S“—C1+c2++Cn—1000f1—,

\n）

1000

所以[S2023]=999,

2023

故选：A

方法点睛：常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于

c„=a+b,其中｛%｝和也｝分别为特殊数列,1

nn裂项相消法类似于4=而而,错位

相减法类似于的=%•〃，其中｛4｝为等差数列，｛"｝为等比数列等.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

V2V2

9.己知曲线C的方程为人+」L=1（%£R）.（）

9-kk-\

A.当左=5时，曲线。是半径为2的圆

B.当左=0时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为y=±；x

C.存在实数左，使得曲线。为离心率为近的双曲线

D.“左＞1”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件

【正确答案】ABD

【分析】

A.由％=5得到曲线方程判断；B.由左=0得到曲线方程判断；C.根据曲线C为离心率为J5

的双曲线，则由9-左+"1=0判断；D.利用充分和必要条件的定义判断.

【详解】A.当4=5时，曲线方程为』+/=4,所以是半径为2的圆，故正确；

21

B.当左=0时，曲线方程为r土—所以是双曲线，且其渐近线方程为y=±;x,故正

93

确；

C.若曲线C为离心率为J5的双曲线，则9-4+%-1=0,方程无解，故错误；

D.当我=10时;k＞\,曲线C为焦点在y轴上的椭圆，故不充分，当曲线C为焦点在x轴

仅一1〉0

上的椭圆时，则〈八,,解得1＜女＜5,故必要，故正确；

9-k＞k-1

故选：ABD

本题主要考查曲线与方程，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

10.下列命题中，正确的命题有（）

A."+%是］♦'共线的充要条件

B.对空间中任意一点。和不共线的三点4B,C,若OP=2O/—4O8+3OC，则尸，A,

B,C四点共面

c.若则存在唯一的实数;I,使得一［彳1

D.若｛。,dc｝为空间的一个基底，则｛a+b,b+2c,c+3a｝构成空间的另一个基底

【正确答案】BD

【分析】对于选项A：根据向量的模相等关系，结合充要条件判断；

对于选项B：利用共面向量定理判断；

对于选项C：利用平面向量的基本定理判断；

对于选项D：根据空间向量的基底判断.

［详解】对于选项A：当卜|+w=卜一q时，;，。共线,但当】-,同向共线，w+W/卜—4

故||+忖=卜-0是；，♦,共线的充分不必要条件，故A错误：

对于选项B：若0P=2O/-4O8+3OC，而2-4+3=1,根据共面向量定理得P,A,B,

C四点共面，故B正确：

对于选项C：当，:6时，a//b，不存在唯一的实数4,使得故C错误；

对于选项D：若｛a,b,cj为空间的一个基底，则a,b,c不共面，则a+b,b+2c,c+3a不共

面，则｛a+b,b+2c,c+3a｝可以构成空间的另一个基底，故D正确；

故选：BD.

11.已知数列｛4,｝的前〃项和为S“，S,,=2q-2,若存在两项a“,，an,使得《,"“=64,

则（）

A.数列｛%｝为等差数列B.数列｛4｝为等比数列

C.a；+a；+L+《：=气口D.机+〃为定值

【正确答案】BD

【分析】

由S,,和%的关系求出数列｛%｝为等比数列，所以选项A错误，选项B正确；利用等比数

列前〃项和公式，求出a；+a；+L+%=”工，故选项C错误，由等比数列的通项公式

得到2"'+"=64=2‘，所以选项D正确.

【详解】由题意，当〃=1时，S=2q—2,解得q=2,

当〃之2时，S〃_[=2an_｝-2,

所以S.一Sn_t=a“=2%-2-（2a,i-2）=2%-2a.,,

a

所以1=2,数列｛4｝是以首项4=2,公比q=2的等比数列，an=2",

an-l

故选项A错误，选项B正确；

数列｛a：｝是以首项。；=4,公比%=4的等比数列，

所以如+W+L+/=也二邑]=也1二£1=叁二1,故选项c错误；

12"[-d1-43

mm+n6

aman=22"=2=64=2,所以加+〃=6为定值，故选项D正确.

故选：BD

本题主要考查由S“和4的关系求数列的通项公式，等比数列通项公式和前〃项和公式的应

用，考查学生转化能力和计算能力，属于中档题.

12.某数学研究小组在研究牛顿三叉戟曲线/（x）=2x?+一时通过数学软件绘制出其图象

A.函数/（X）的极值点有且只有一个

B.当x>0时，|/（-X）]</（X）恒成立

C.过原点且与曲线y=/（x）相切的直线有且仅有2条

D.若/（占）=/（工2），玉<0<%2，则々一工1的最小值为⑺

【正确答案】ABD

【分析】由/'（x）=0确定极值点的个数（可由图象得极值点个数），判断A,由绝对值的性

质判断B,设切点为（为,%）,利用导数的几何意义求出切点坐标，判断C,由/（占）=/（》2）

C/、1

得2（芭+々）=——,然后表示出％-玉，用换元法求得最小值后判断D.

X\X2

(13/Q

【详解】XX0,f'[x)=4x一一r=0,/=_,x=在，极值点有且只有一个，A正确;

x42

(实际上，由图象知函数"X)的极值点有且只有一个)

x>on^,|/(-x)|=2x2--<2x2+—=/(%),B正确；

XX

r(x)=4x-[,设切点为则/'(%)=4/一一,又切线过原点,

x-/

2X2+1

所以/'(/)=%■，即7t1%,x：=l,%=1,只有一个切点(1,3),过原点

与4x。一一r=---------

%%

的切线只有1条，C错；

2（芭+%2）=」—,

/6）=/（4），且再<0<%,则2x；H—=2x；H---,

x{x2中2

121

2

（乙一再）2=（x,+x2）-4X,X~r,Q—4%彳2,设，=，，＜0，（%—xj=~73-4,，

24（玉/）4厂

g«)=*-4/,g«)=一+_4=_；(：+8),

当£<一』时，g'(t)<0,g(f)递减，一,</<0时，g'(t)>0,g(f)递增，

22

所以g")min=g(—；)=3,所以马一苞的最小值为6,此时

]+月底-1门王市

X.=-------,X,=-------D正确.

'828

故选：ABD.

关键点点睛：本题主要考查导数的应用，导数的几何意义，用导数研究函数的极值、最值.在

求过某点的切线方程时，一般要设切点坐标为“”y)，写出切线方程，利用切线所过的点

求出切点坐标，得切线方程.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应

的位罩上.

13.若直线_y=x+b与曲线/+歹2=9(j》0)有两个公共点，则实数的取值范围为

【正确答案】[3,372)

【分析】画出直线与圆的图象，根据直线_y=x+b与曲线/+/=9(yN0)有两个公共点,

利用数形结合法求解.

【详解】解：如图所示：

当直线y=x+b与曲线工2+丁=9(yN0)相切时,

圆心到直线的距离等于半径,

\b\

喝=3,解得6=3a，

因为直线N=x+b与曲线f+丁=9(y？0)有两个公共点，

所以实数b的取值范围为[3,3五)，

故答案为.[3,372)

14.已知二(1,-2,-1),-=(—l,x—1,1),且】与■的夹角为钝角，则x的取值范围是.

【正确答案】(0,3)。(3,+8)

【分析】根据题意得出a./,<()且a与6不共线，然后根据向量数量积的定义及向量共线的

条件即可求出x的取值范围.

【详解】因为一与♦'的夹角。为钝角，

所以展Ho且；与♦不共线,

因为“=(1,-2,-1),Z>=(-1,x-1,1),

所以—1—2(x—1)—1<0,且彳0号

解得x>0,且x工3,

所以X的取值范围是(0,3)口(3,物).

故答案为.(O,3)U(3,+8)

15.已知函数歹=/(x)满足〃x)+/(l-x)=l,若数列｛4｝满足

%=/(0)+巾+/月+

/(I)，则数列｛a,,｝的前16项的和为.

【正确答案】76

〃+1

【分析】利用倒序相加法可得到4=-y-,即可求得前16项的和.

【详解】a„=/(O)+/^J+/m++/(1)+/(1)，①

%=八1)+/(筌|+/(F)++/(£|+/(0),②

两式相加,又因为/(x)+〃l-x)=l,

故2a“=〃+l,所以

所以｛/｝的前16项的和为。,317("万J""

九=6+%++%6=1+万++y=-―:-=76

故76

16.已知正实数x,y满足lnx=ye'+lny,则^一仁、的最大值为.

【正确答案】-4##e'2

【分析】把已知等式变形为xe、=ln三工算，利用函数/(%)=*。'@>0)的单调性得》/

y

的关系，从而将y-e-x转化为x的函数，再利用导数求得其最大值即可.

1xXX.XXIn-

【详解】由lnx=ye'+lny得In—=ye>,所以一In-=xex)则xe*=lnt・eL

yyyy

xx

因为x>0,ev>0.「7、n，所以皿二>0,

e>uv

令/(x)=xe*(x>0),则/'(行=1(1+1)>0,所以/(x)在(0,+力)上单调递增,

YIn—X\XX

所以由xe*=ln±-e，，即/(zx)x=/In-,得x=ln-,所以丁=二,

yIye-

x1_x-1

所以y_eT=F

eexex

令g(x)=tJ(x>0),则g,x)=41,

ee

令g'(x)>0,得0<x<2；令g'(x)<0,得x>2,

所以g(x)在(0,2)上单调递增，在(2,+8)上单调递减，

所以8。)3=8(2)=［，即y—e-x的最大值为

e-e

乂1

故F•

e

rIn-

关键点点睛：本题解决的关键对已知等式进行同构变形xe、=In±-e，，从而利用函数的单

y

调性得出变量间的关系，由此得解.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.

17.已知数列｛6,｝满足％=1,4=9,%=45,｛a”+i-3。“｝为等比数列.

(1)证明：｛/｝是等差数列，并求出｛4｝的通项公式.

(2)求｛可｝的前〃项和为S“.

【正确答案】(1)证明见解析，%=(2〃-l)3"T

fl

(2)Sfl=(w-l)x3+l

【分析】(1)根据题意得qM-3a“=6X3"T,进而根据等差数列定义证明，并结合通项公

式求解即可；

(2)根据错位相减法求解即可；

【小问1详解】

证明：因为数列｛4｝满足q=1,4=9,。3=45,｛4+1-3。“｝为等比数列，

x%—3%45—27与

所以｛(。向一3。“｝的公比g=-~「==3,首项为叼-3卬=6

所以。“+「3%=6X3"T,即编一*=2,

〃+1〃3〃3

所以｛果,是以;为公差的等差数列，首项为*=;,

所以，—=—I—(〃-1)=一〃，

3〃3333

所以，%=(2〃-l)3"T

【小问2详解】

解：根据错位相减法有：

=1x3°+3'+...+(In-3)x3"-2+(In-1)x3"-',

3s“=1x31+3x32+…+(2/7-3)x+(2/7-l)x3",

所以，-2S“=lx3°+2x3i+2x32++2x3,,-1-(2«-l)x3,f

=1X3°+2X3X^3~~--(2/?-l)x3n=3n-2-(2M-l)x3n=3"(2-2n)-2,

1-3

所以S,=(〃_l)x3"+1

18.已知圆G：＜-6)2+3—7)2=25及其上一点4(2,4).

(1)设平行于oz的直线/与圆G相交于民c两点，且忸q=|o4|,求直线/的方程；

(2)设圆与圆G外切于点A,且经过点P(3,l),求圆。2的方程.

【正确答案】(1)2x-y+5=0或2x-y-15=0

(2)(x+2)2+(y-l)2=25

【分析】(1)由题意可设直线/的方程为y=2x+b,再由根据弦长结合点到直线的距离与

勾股定理求解即可；

(2)由题意可知圆心。2在直线ZG上也在在工尸的中垂线上，先求出这两条直线，再联立

可得圆心坐标，进而可得半径，即可求解

【小问1详解】

因为直线/〃0力，

4-0

所以直线/的斜率为f=2.

2-0

设直线/的方程为y=2x+b,

|12-7+b|\5+b\

则圆心G到直线/的距离"=L/।.

V22+l2V5

则忸C|=2火—/=2^25-^^-，

又忸C=|0^1=275,

所以2^25-^^-=2遥，

解得6=5或6=-15,

即直线/的方程为：2x—y+5=0或2尤一夕―15=0.

【小问2详解】

因为圆G与圆G外切于点A,

所以圆心G在直线4cl上

V—4x-2

由两点式』一=——得直线AC,方程为3x-4y+10=0

7-46-2

又因为圆C2经过点A和P，

所以圆心G在工尸的中垂线上，/P中点为3尸=一3

所以4P中垂线方程为=即x_3y+5=0

3x-4y+10=0(、I।II

由《々,八解得圆心坐标为G(-2,1)，半径〃=C0闫一2-3|二5

所以圆。2的方程为(X+2)2+Q—1)2=25

19.记等差数列｛叫的前〃项和为S“，公差为d,等比数列也｝的公比为式4>0),已知

2

%=4=4,q~~d,S9=9h4.

⑴求｛叫，｛<｝的通项公式;

(2)将｛%｝,也｝中相同的项剔除后，两个数列中余下的项按从小到大的顺序排列，构成

数列上“｝,求｛c“｝的前100项和.

【正确答案】(1)an=3«+1,b„=T.

(2)15080

【分析】(1)根据等差数列的求和公式以及等比数列的通项公式，整理方程，解得公比和公

差，可得答案；

(2)由题意，求得等差数列的第100项，逐项求解等比数列，利用等差数列建立方程，找

出相同项，分组求和，可得答案.

【小问1详解】

由S9=9/)4，得9q+—^―d=9x%q2,因为〃[=仇=4,所以l+d=/.

23

结合q=可得1+54=4，(2q+l)(q-2)=0,q>0,解得4=2,d=3,

所以数列｛%｝的通项公式为4=4+3(〃-1)=3〃+1,

数列出｝的通项公式为“=4x2"-2=2".

【小问2详解】

由(1)可知，当〃=100时，/0G=301.

又〃=2〃，所以4=2,4=4,a=8,坊=16,&=32,。=64,4=128,々=256,

&=512>301,

17

令2=3〃+1,解得〃=一，令4=3及+1,解得拉=1,令8=3〃+1,解得〃=一,令

33

31

16=3n+l,解得〃=5,令32=3〃+1,解得〃二一，令64=3〃+1,解得〃=31,令

3

127

128=3〃+1,解得〃=—，令256=3〃+1,解得〃=85,

3

所以数列｛4“｝的前100项中与数列｛2｝中相同的项共有4项，即4,16,64,256,即为｛2｝

的前8项中的偶数项.

将｛4｝，｛4｝中相同的项剔除后，两个数列中余下的项按从小到大的顺序排列构成数列

｛%｝，则｛c.｝的前100项为数列｛4｝的前100项中剔除与数列｛4｝相同的4项后剩余的

96项与也｝的前8项中剔除与数列｛。“｝相同的4项后剩余的4项，

所以｛&｝的前100项和为止罟凶四+—|--2x(4+16+64+256)=15080.

20.已知函数/(x)=l+lnx+左--1

lx)

(1)若函数〃x)图象的切线倾斜角总是锐角，求实数4的取值范围；

(2)若对任意的x>L/(x)>0恒成立，求整数k的最大值.

【正确答案】(1)^<0

(2)3

【分析】(1)求出函数导数，由题可得/'(x)>o对一切正数x恒成立，即可求出;

X4-YInXVJ-YIny

(2)由题可得左<对任意x>l恒成立,构造函数g(x)=,利用导数求

x-1x-1

出g(x)的最小值即可.

【小问1详解】

Ik-k

由题/'(x)=L_与=WY(x>0).

XXX

•.•函数/(X)图象的切线倾斜角总是锐角,

.•./'(x)>0对一切正数x恒成立，即x>《恒成立，于是左W0.

【小问2详解】

X4-XInx

因为对任意的X>1,f(x)>0恒成立，即左<x对任意X>1恒成立.

x-1

./、x+xlnx，/、x-Inx-2

令g(x户工丁’则ga)=RF'

1r_1

令/i(x)=x-Inx-2(x>1),则〃'(x)=1——=---->0,

xx

・・・函数〃(X)在(1,+8)上单调递增，

・・・力(3)=-In3<0,〃(4)=2-21n2>0,

・・・方程A(x)=0在(1,+8)上存在唯一实根x。,且满足x0G(3,4),

当Ivxv%时,h(x)<0,即g'(x)<0,当4时,h{x}>0,BPg\x)>0,

函数g(x)=x+xMx在。，玉,)上单调递减,在(玉),+8)上单调递增,

X-1

工0是%(%)=0的根,即与一In/-2=0,

二g(X)min=g(/)=业智=%。+丁)=/e(3,4),

%-1x0-l

xx

k<g(x)1nin=o，oe(3,4),故整数k的最大值为3.

21.已知抛物线C：夕2=2px经过点尸(1,2).过点。(0,1)的直线/与抛物线C有两个

不同的交点4B,且直线必交y轴于“，直线P8交y轴于N.

(I)求直线/的斜率的取值范围；

•••▼]I

(II)设。为原点，。河=/1。。，QN=RQO，求证：彳+万为定值.

【正确答案】(1)取值范围是(-00,-3)U(-3,0)U(0,1)

(2)证明过程见解析

【详解】分析：（1）先确定P,再设直线方程，与抛物线联立，根据判别式大于零解得直线/

的斜率的取值范围，最后根据为，尸8与y轴相交，舍去k=3,（2）先设/（xi,y）,B（X2,

2人—41▼▼

/），与抛物线联立，根据韦达定理可得玉+々=——］，记.再由0M=400,

万得2=1-Nw,4=1一乂「利用直线处，PB的方程分别得点M,N的纵坐标，

代入化简=+,可得结论.

X卜I

详解：解：（I）因为抛物线产=2必经过点P（1,2）,

所以4=20，解得p=2,所以抛物线的方程为炉=4x.

由题意可知直线/的斜率存在且不为0,

设直线/的方程为产Ax+1（原0）.

y2—

由《'得左十（2左一4）%+1=0.

y=kx+\

依题意△=（2后一4）2-4xk2xl>0»解得k<0或0<k<l.

又PA,尸6与y轴相交，故直线/不过点（1,-2）.从而厚-3.

所以直线/斜率的取值范围是（-00,-3）U（-3,0）U（0,1）.

（II）设4（xi,yi）,B（初，及）.

,、A.2A-41

由（I）知玉+/=---^2--，X]X2=•

直线处的方程为》-2=之一（工一1）.

玉一1

-V1+2—kx,+1

令x=0,得点M的纵坐标为yM=+2=—1—+2.

xx-1X]—1

同理得点N的纵坐标为y,v=+2.

x2-1

由QM=AQO，QN=JLIQO得丸=1-Xw，〃=1一凹丫.

所以

22k—4

11_11_$一1,X2-1_12x}x2-（Xt+X2）_1左2+42

------1-----------------------|-----------------------------------H--------=----------=----------------------------------------------------------------------------------乙

2//l—Jwl-^v（A-1）A;（后一1）4k-\斗&k-\]

所以5+，为定值.

A//

点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多

少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明