抛物型方程的差分方法

关于抛物型方程的差分方法

其中,为平面上某一区域。众所周知，一维线性抛物型方程的一般形式为第2页,共33页，2024年2月25日，星期天通常考虑的定解问题有：(1)初值问题

在区域上求函数，使满足

为给定的初始函数。第3页,共33页，2024年2月25日，星期天(2)初边值问题(或称混合问题)

在区域上求函数，使满足第4页,共33页，2024年2月25日，星期天

为了构造微分方程的有限差分逼近，首先将求解区域用二组平行于轴和轴的直线构成的网格覆盖，网格边长在方向为，在方向为。分别称为空间方向和时间方向的步长，网格线的交点称为网格的结点。差分格式的建立第5页,共33页，2024年2月25日，星期天由Taylor展开，有

则在处对的一阶偏导数有三个可能的近似:向后差商向前差商中心差商第6页,共33页，2024年2月25日，星期天

显然，用差商近似导数存在误差，令则截断误差第7页,共33页，2024年2月25日，星期天现记前差算子:,后差算子:,中心差算子:,为方向偏导数算子为方向位移算子，为方向平均算子，其中:,第8页,共33页，2024年2月25日，星期天

建立差分算子和导数算子之间的关系由得或者同理有第9页,共33页，2024年2月25日，星期天因为故同理因为

则第10页,共33页，2024年2月25日，星期天

利用这些关系式就可给出偏导数的差分表达式第11页,共33页，2024年2月25日，星期天又由可得二阶偏导数的差分表达式第12页,共33页，2024年2月25日，星期天

从以上这些偏导数的差分表达式，我们可以得到偏导数的各种精度的近似表达式。且

又由二阶导数的前差表达式，得因此

在的前差表达式中取第一项，则有即截断误差阶为。第13页,共33页，2024年2月25日，星期天

现在研究构造微分方程的差分方程的方法，为此记微分方程为

L

是关于的线性算子，。包括二个相邻时间层的网格结点的差分方程可以从Talor

展开式推出第14页,共33页，2024年2月25日，星期天

现在，对抛物型方程的几种特殊情况，从方程出发，构造微分方程的有限差分近似。

首先考虑一维热传导方程的差分近似。显式格式第15页,共33页，2024年2月25日，星期天由，方程为代入则其中为步长比。第16页,共33页，2024年2月25日，星期天在上式中，如果仅仅保留二阶中心差分，且设为相应差分方程解在结点(mh,nk)上的值，则代入的表达式，则得差分方程将格式应用于解初值问题第17页,共33页，2024年2月25日，星期天此差分格式也可简单地由导数的差商近似表达式得到代入微分方程，并令差分方程解为即可。虽然在边界结点上，差分方程和微分方程具有相同的初值或者初边值条件，但是，一般而言，结点上微分方程的精确解和古典显式差分格式的精确解不相等。记第18页,共33页，2024年2月25日，星期天

假定具有下面推导中所需要的有界偏导数，则由展开，有截断误差42第19页,共33页，2024年2月25日，星期天则那么得从而有第20页,共33页，2024年2月25日，星期天或第21页,共33页，2024年2月25日，星期天从而，上式右边量描写了古典显式差分格式在点对微分方程的近似程度，将其定义为差分格式在点的截断误差，记为，即

假定在所考虑的区域保持有界，则古典显式差分格式的截断误差阶为。第22页,共33页，2024年2月25日，星期天或者相应的截断误差阶为。通常，格式可用下图表示。

为了提高截断误差的阶，我们也可用在式中保留四阶中心差分项的办法达到，这时有差分格式第23页,共33页，2024年2月25日，星期天m,n+1m-2,nm-1,nm,nm+1,nm+2,nm,n+1m-1,nm,nm+1,n第24页,共33页，2024年2月25日，星期天隐式格式隐式差分格式特点：1.具有二个或二个以上结点处的值未知；2.计算工作量较大；3.稳定性较好。第25页,共33页，2024年2月25日，星期天得由推导其最简单的隐式差分逼近─古典隐式格式。

现在对热传导方程第26页,共33页，2024年2月25日，星期天格式用下图表示，其截断误差阶为，与古典显式差分格式相同。或者保留二阶导数项，且以替代，则得差分格式

我们也可通过直接用差分算子代替的方法，即代入微分方程，得到此格式。第27页,共33页，2024年2月25日，星期天m,n+1m-1,n+1m+1,n+1m,n第28页,共33页，2024年2月25日，星期天图方法第29页,共33页，2024年2月25日，星期天

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