江西省赣州市大余县衡水实验学校2023-2024学年九年级上学期9月初赛数学试卷（B卷）（含解析）

江西省赣州市大余县衡水实验学校2023-2024学年九年级上学期

9月初赛数学试卷（B卷）

一、单选题

I.在277,355,544,633这四个数中，最大的数是（）

A.277B.355c.S44D.633

2.计算：（a-1）旧:的结果为（）

A.-V1-aB.-Va-1C.V1-aD-Va-l

3.若关于x的方程畔■■至L=1的解为正数，且a使得关于y的不等式组7/恰

233y-a<1

有两个整数解，则所有满足条件的整数。的值的和是（）

A.0B.1C.2D.3

4.用㈤表示不超过式的最大整数，把x-［幻称为x的小数部分.己知t=〃是，的

小数部分，%是的小数部分，则4---=（）

2ba

A.—B.逅C.1

D.

22M

5.如图，在四边形A8CZ）中，ZBAC=ZB£>C=90"，AB=AC=75-CD=\,对角线的交

点为M,则（）

A.近B.渔C.工1

-历-D.一

2322

6.一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所

示，则被截去部分纸环的个数可能是（）

红黄绿蓝紫红黄绿黄绿蓝紫

A.2010B.2011C.2012D.2013

二、填空题

7.己知（/-X-1）*+2=1,则.

8.古希腊数学家毕达哥拉斯把“数”当作“形”来研究，他称下面一些数为“三角形数”

（如图），第1个“三角形数”是1,第2个是3,第3个是6,第4个是10,按照这个

规律，第50个“三角形数”是.

13610

9.已知31=3,32=9,3』27,34=81,35=243,36=729,37=2187,38=6561…，请你

推测32。的个位数是.

10.已知二次函数y=or2+bx+c（a#0,a、b、c为常数）的图象如图所示，下列4个结论.

①HcVO；

②b<a+c；

③c<4b；

@a+h<k（ka+h）（%为常数，且ZW1）.

其中正确的结论有（填写序号）.

三、解答题

11.化简：

⑴V40+7-10

⑵卜n-21+（冗-2009）。+'禽遂-（A产

V22

12.先化简，再求值：（V2---1—）+且二盘，其中

a"+2aa2+4a+4a+2v

13.如图，在△ABC中，AB^AC,点£>、E、尸分别在4B、BC、AC边且BE=C尸，AD+EC

=A8.

（1）求证：是等腰三角形；

（2）当NA=40°时，求NOEF的度数.

D,

E-------1c

14.如图，已知直线/i：y=2x+l、直线/2：y=-x+7,直线/1、6分别交x轴于B、C两点,

/B/2相交于点A.

(1)求4、B、C三点坐标；

---++・，，，，一，+•••+'''■…’的值

ab(a+1)(b+1)(a+2)(b+2)(a+2007)(b+2007)J1U-

16.如图，在△ABC外分别以A8,AC为边作正方形ABDE和正方形ACFG,连接EG,AM

是aABC中BC边上的中线，延长MA交EG于点”，求证：

(1)AM^—EG；

2

(2)AHLEG；

(3)EG2+BC2=2(AB2+AC2).

beacab

17.设不全相等的非零实数a,b,。满足5+9+o=1,求a+b+c的

2a+bc2b+ac2c+ab

值.

18.回答下列问题:

(1)如图1,AB=BC,当NABC=90°时，将△PAB绕B点顺时针旋转90°,画出旋

转后的图形.

(2)在(1)中，若尸4=2,尸5=4,PC=6,求NAPB的大小.

(3)如图2,ZABC=60°,AB=BC,且PA=3,PB=4,PC=5,则△APC面积

是.

(4)如图3,AABC中，ZBAC=60°,AB=2AC,点P在△ABC内，且抬=遥，PB

=5,PC=2,求△A8C的面积.

参考答案

一、单选题

1.在277,355,544,633这四个数中，最大的数是()

A.277B.355c.544D.633

【分析】分别把277,355,5",633这四个数变为(27)”,⑶)“，(54)",(63)",

比较它们的底数的大小即可求解.

解：；277,355,5期,633这四个数变为⑵)II,⑶)11,⑶)“，©)明

而27=128,35=243,54=625,63=216,

二最大的数是5乜

故选：C.

【点评】此题主要考查了募的乘方与积的乘方，解题的关键是会利用法则变形才能解决

问题.

2.计算：(a-1)、工的结果为()

Vl-a

_

A・~V1-aB.-Va-iCVl-aD-Val

【分析】先根据二次根式成立的条件得到二］—>0,则a-1<0,所以原式变形为-

l-a

,然后利用二次根式的性质得到-3(ba)2*旧：，再利用二次根式

（l~a

的乘法得到-,再约分即可.

解：>0,则“-1V0,

l-a

,小1）底=一（j）恁7（l-a）2x居=-J（『a）2xW=

"Vl-a>

故选：A.

【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：疗=间.也考查了二次根式的成立的条

件以及二次根式的乘法.

"可恰

3.若关于x的方程笠箸用L=i的解为正数，且。使得关于),的不等式组.

3y-a<1

有两个整数解，则所有满足条件的整数〃的值的和是（)

A.0B.1C.2D.3

，+3>1

【分析】根据方程史£3卫生二1的解为正数，且。使得关于），的不等式组，

4O3y-a<1

恰有两个整数解，可以求得。的取值范围，然后即可写出满足条件的整数。的值，再将

它们相加即可.

解：由方程驾■至L=1可得，X=T4"

234-3a

方程ax；3_2x；l=］的解为正数,

由y+3>l得y>-2,

由3y-a<l得）V等，

fy+3>1

使得关于y的不等式组/恰有两个整数解,

3y-a<1

.,.这两个整数解为-1,0,

3

解得-1<“W2,

由上可得-1<“背，

...所有满足条件的整数"的值为0，1，

V0+1=1,

,所有满足条件的整数«的值和为1,

故选：B.

【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次方程，解答本题的关键是求

出a的取值范围.

4.用国表示不超过x的最大整数，把x-次］称为x的小数部分.已知tn2一上，。是♦的

小数部分，。是7的小数部分，则A-—-=（）

2ba

D.a

【分析】结合定义求出用和[-小由。是r的小数部分，匕是-r的小数部分，表示出。、

b代入W-一^即可得出结论.

2ba

・・山]=3,[-t]=-4.

,・Z是，的小数部分，匕是-r的小数部分，

.•・。=2+百-3=愿-1,b=-(2+^/3)-(-4)=2-百.

―上=[L]=2/向+]=

"2b7-2(2-V3)V3-1-2(2-V3)(2-K/3)(V3-1)(V3+1)-

2-^/3V3+l_l

22T

故选：A.

【点评】本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是求出4、b.本题属于基础题，难

度不大，但在运算过程中用到了平方差公式将分母有理化，此处需要注意别出现差错.

5.如图，在四边形A8CO中，NBAC=NBQC=90。，AB=AC=V5>CD=l,对角线的交

点为M,则DM=()

kC

冶「我

【分析】过点A作AHVBD于点H,利用有两个角相等的三角形相似判定

CMD,根据相似三角形的性质得比例式，设4M=x,用含x的式子分别表示出CM、AH,

BM,再由面积法得出AH的第二种表示方法，从而得关于x的方程，解得x的值，则CM

的值可得，然后用勾股定理求得。M即可.

解：如图，过点A作于点H,

VZAHM^ZCDM=90°,NAMH=NCMD

・・・XAMHsXCMD,

.AH_AM

•⑤F，

VCD=1,

,■研嗡

设AM=x,由于AC=«,故CM=J^-X，

・3号

在RtaABM中，48=遥

由勾股定理得：BM=7AB2+AH2=7X2+5(

显然xWO,化简整理得2x2-5代x+10=0

解得乂考"，（x=2\因不符合题意，舍去），

故CM/，

在RtACDM中，DH=7EM之,cD2=1,

故选：D.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理在计算中的应用、面积法及方

程思想在几何计算中的应用，本题具有一定的难度.

6.一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所

示，则被截去部分纸环的个数可能是（）

A.2010B.2011C.2012D.2013

【分析】该纸链是5的倍数，剩下部分有12个，12=5X2+2,所以中间截去的是3+5”,

从选项中数减3为5的倍数即得到答案.

解：由题意，可知中间截去的是5〃+3（"为正整数），

由5"+3=2013,解得“=402,

其余选项求出的〃不为正整数，则选项。正确.

故选：D.

【点评】本题考查了图形的变化规律，从整体是5个不同颜色环的整数倍数，截去部分

去3后为5的倍数，从而得到答案.

二、填空题

7.已知（N-x-1）户2=],则.=-2或-1或0或2.

【分析】要使结果为1,可分为三种情况：①当指数是0时，②当底数为1时，③当底数

为（-1）时，分别求出x即可得出答案.

解：①当x+2=0,即x=-2时，x2-x-1^0,

.*.%=-2,成立；

②当N-x-1=1时，

解得：x—2或-1,

.,.x—2或-1,成立：

③当N-x-]=-1时，

解得：x=0或1,

当x=0时，（-1）2=1,成立，

当x=l时，（-1）3=-1,不成立，

故答案为：-2或-1或0或2.

【点评】本题考查了零指数基和有理数的乘方，掌握零指数基的意义，有理数乘方的意

义是解决问题的关键.

8.古希腊数学家毕达哥拉斯把“数”当作“形”来研究，他称下面一些数为“三角形数”

（如图），第1个“三角形数”是1,第2个是3,第3个是6,第4个是10,按照这个

规律，第50个“三角形数”是1275.

13610

【分析】研究图形发现规律“第〃个“三角形数”是1+2+…+〃=]■等）"，代入"=

50即可得出结论.

解：观察图形，发现第1个“三角形数”是1,第2个是1+2=3,第3个是1+2+3=6,

第4个是1+2+3+4=10,…

由此发现规律：第"个"三角形数”是1+2+…

第50个“三角形数”是1+2+…+49+50=50X（50+1）=1275.

2

故答案为：1275.

【点评】本题考查了图形的变化规律，解题关键是找出“第〃个“三角形数”是1+2+-

+"=n（£l）”这一规律.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，分析图形

得出规律是关键.

9.9知31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187,38=6561…,请你

推测32。的个位数是1.

【分析】根据所给的式子，观察发现：3"的个位数字是3,9,7,1四个一循环，而20

+4=5,则32。的个位数字与34的个位数字相同，即是1.

解：；3"的个位数字是3,9,7,1四个一循环，

；.20+4=5,

...32。的个位数字与34的个位数字相同，即是1.

故答案为1.

【点评】此题主要考查了数字的变化规律，是一道寻找规律的题目，考查了学生分析数

据、归纳及应用规律的能力.解题关键是知道个位数字为3,9,7,1顺次循环.

10.已知二次函数（〃W0,a、Z?、c为常数）的图象如图所示，下列4个结论.

①abcVO；

②bV〃+c；

③cV4h；

@a+h<k（ka+b）（左为常数，且&W1）.

其中正确的结论有①③（填写序号）.

【分析】由抛物线的开口方向判断。的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然

后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

解：①由图象可知：a<0,c>0,

：-->0,

2a

AZ?>0,

.\abc<Of故①正确；

②当x=-1时，y=a-b+cVO,

：.b>a+c故b<a+c,故②错误；

③当尤=3时函数值小于0,y=9a+3/?+cV0,且x=-*-=l,

2a

即=-―,代入得9(--)+3b+c<0,得c<—b,

a222

'：b>0,

：.c<4b,故③正确；

④当x=l时，y的值最大.此时,y=a+b+c,

而当x—k时，y—ak2+bk+c,

所以a+b+c>a吩+bk+c,

故尿，gpa+b>k(ak+b),故④错误.

故①③正确.

故答案为：①③.

【点评】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数'=以2+版+0系数符

号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，

灵活运用二次函数的性质是解题的关键.

三、解答题

11.化简：

(1)后闻卡-H/TO

(2)卜-2|+(兀-2009)。+:炉-(4)<.

V22

【分析】(1)先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；

(2)根据零指数累与负整数指数事的意义计算.

解：(1)原式=2百3-冬+国=殳要；

(2)原式=2-J^+l+3-4=2-寸^.

【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次

根式的乘除运算，然后合并同类二次根式.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特

点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.

a-2a-1).-4_

12.先化简，再求值:a其中a=y[21•

a2+2aa2+4a+4a+2

【分析】将括号内的部分通分后相减，再将除法转化为乘法后代入求值.

解：原式=[卜丹

a(:a+2月)(a+；2\)万a-4

2,9

_a-4-a+a.a+2

a(a+2)2a-4

一.a-4,a+2

a(a+2)2a-4

1

a(a+2)

当k五7时’原式=(&_])KT+2)=L

【点评】本题考查了分式的化简求值，熟悉通分、约分及因式分解是解题的关键.

13.如图，在△4BC中，4B=AC,点力、E、F分别在AB、BC、AC边S.BE^CF,AD+EC

=AB.

(1)求证：△£>£下是等腰三角形;

(2)当N4=40°时，求NOEF的度数.

BF.

【分析】(1)求出EC=£>3,NB=NC,根据S4S推出根据全等三角

形的性质得出Z)E=EF即可；

(2)根据三角形内角和定理求出/8=NC=70°,根据全等得出NBDE=/FEC,求出

NDEB+/FEC=110°,即可得出答案；

【解答】(1)证明：•••4B=AC,

.,.ZB=ZC,

\'AB^AD+BD,AB=AD+EC,

:.BD=EC,

'BE=CF

在△DBE和△£(；尸中，，ZB=ZC.

,BD=EC

:.△DBEm/XECF(SAS)

：.DE=EF,

...△OEF是等腰三角形；

(2)VZA=40°,

：.ZB=ZC=^X(1800-40°)=70°,

：.ZBDE+ZDEB=\\0°,

又•：△DBE/4ECF,

；・NBDE=NFEC,

：.ZFEC+ZDEB=HO0,

：.ZDEF=70°.

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理

的应用，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键.

14.如图，已知直线/i：y=2x+l、直线乙：y=-x+7,直线人、6分别交x轴于8、C两点,

八、%相交于点A.

(1)求A、B、C三点坐标；

(2)求aABC的面积.

【分析】(1)联立两直线解析式，解方程即可得到点A的坐标，两直线的解析式令y=

0,求出x的值，即可得到点A、B的坐标；

(2)根据三点的坐标求出8c的长度以及点A到BC的距离，然后根据三角形的面积公

式计算即可求解.

解：(1)直线/i：y=2x+l、直线，2：y=-x+7联立得，

fy=2x+l

(y=-x+7

解得卜"，

Iy=5

，交点为A(2,5),

令y=0,则2x+l=0,-x+7=0,

解得工=-0.5,x=7,

・••点8、C的坐标分别是：B(-0.5,0),C(7,0)；

(2)BC=1-(-0.5)=7.5,

175

:.S^ABC=—X7.5X5=—.

24

【点评】本题考查了两直线的相交问题，联立两直线的解析式，解方程即可得到交点的

坐标，求直线与工轴的交点坐标，令y=0即可，求直线与y轴的交点坐标，令x=0求

解.

15.如果有理数。，b满足-2|+(1-6)2=o,试求

-------------+--------------+・.----------------------的值

ab+(a+1)(b+1)(a+2)(b+2)+(a+2007)(b+2007)“似

【分析】由绝对值和完全平方式的结果为非负数，且两非负数之和为。可得绝对值和完

全平方式同时为0，可得。》=2且2=1,把〃=1代入〃〃=2可求出〃的值为2,把求出

的“与b代入所求的式子中，利用/1八=工-3把所求式子的各项拆项后,去括

号合并即可求出值.

解：；即2|2,(1-6)2妾0,且「-2|+(1-6)『0,

.'.ah-2=0,且1-h=0,解得ah=2,且匕=1,

把6=1代入ab=2中，解得a=2,

1111

则

需k(a+l)(b+1)'(a+2)(b+2)+，"+(a+2007)(b+2007)

_1111

―—十+十+■+•••+

23X24X32009X2008

(1__L)+(A_A.)+(-1__L)+…+(1丁)

2233420082009

=1一XJ.」+4上+.••+」1

2233420082009

2009

_2008

2009,

【点评】此题考查了有理数的混合运算，要求学生掌握两非负数之和为0时，两非负数

必须同时为0,本题若直接按照运算顺序解题，运算量非常大，需利用计算技巧简化运算，

根据所求式子各项的特点，利用拆项法进行化简，使拆开的一部分分数互相抵消，达到

简化运算的目的.熟练运用/1,、=工-是解本题的关键.

n(n+1)nn+1

16.如图，在AABC外分别以ASAC为边作正方形ABOE和正方形ACFG,连接EG,AM

是△ABC中BC边上的中线，延长M4交EG于点”，求证：

(1)AM=—EG；

2

(2)AH_LEG；

(3)EG+B-2(W+AC2).

【分析】(1)延长AM到点N,使MN=M4,连接8N,先证得△MBNgAMCA,得到

ZBNM=ZCAM,NB=AC,从而得到8N〃4C,NB=AG,进一步得到NG4E,

根据SAS证得△NBA丝△GAE,即可证得结论；

(2)由ANBAgAGAE得NBAN=/AEG,进一步求得NHAE+NAE//=90°,即可证

得NAHE=90°,

得到AH_L£G；

(3)连接C£、BG,易证AACE丝ZVIBG,得出CELBG,根据勾股定理得到Ea+B。

=CG+BE^,从而得到2(AB2+4C2).

【解答】(1)证明：延长AM到点M使MN=MA,连接BN,

•：AM是△ABC中BC边上的中线，

在△MBN和△MCA中

'AM=MN

-ZAMC=ZNHB

CM=BM

:,丛MBN空>MCA(SAS),

：.ZBNM=ZCAM,NB=AC,

:.BN〃AC,NB=AG,

.•.NNBA+NA4C=180°,

•.,/GAE+/BAC=360°-90°-90°=180°,

：.ZNBA=ZGAE,

在△NBA和△GAE中

'NB=AG

<ZNBA=ZGAE

,BA=EA

.♦.△NBAdGAE(SAS),

：.AN=EG,

：.AM=—EG；

2

(2)证明：由(1)/\NBA注AGAE彳导NBAN=NAEG,

：//ME+/BAN=18(r-90°=90°,

AZHAE+ZAEH=90°,

：.ZAHE=90°,

即AHIEG；

(3)证明：连接CE、BG,

易证△AC&A4BG

:.CE.LBG9

.♦.EGABUCGABE2,

:・EG2+BC=2C+4C2).

【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，平

行线的判定和性质，勾股定理的应用等，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键.

beac

17.设不全相等的非零实数a,4c满足-9+9+9-—1,求a+b+c的

2a+bc2b'+ac2c+ab

值.

beacab

【分析［根据不全相等的非零实数小儿。满足2+9+9=1,灵

2a+bc2b'+ac2c+ab

活变化，进行化简，分解因式，即可求得问题的答案.

beac

解：；n+o+.=1,

2a+bc2b乙+ac2c+ab

beac.ab

2+9=1-2-----

2a+bc2b+ac2c"+ab

b2c

2+9―9

2a+bc2b+ac2c'+ab

33

b'+abc+a'c

(2a2+bc)(2b2+ac)2c2+ab

c*(2a2+bc)(2/?2+ac)=(2c2+ab~)(,b3+abc+a3),

化简，得

a3+b3+c3-3abc=0,

即(a+b+c)C^+^+c2-ah-ac-he)=0,

•,%,b,c是不全相等的非零实数，

a2+b2+c2-ab-ac-6cW0,

'.a+b+c=0.

即a+/?+c的值是0.

【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是化简后再因式分解，然后根据题目中

的信息进行讨论.

18.回答下列问题：

(1)如图1,AB=BC,当NABC=90°时，将△PAB绕B点顺时针旋转90°,画出旋

转后的图形.

(2)在(1)中，若PA=2,PB=4,PC=6,求NAP8的大小.

(3)如图2,ZABC=60°,AB=BC,且PA=3,PB=4,PC=5,则△APC面积是

(4)如图3,△A8C中，NBAC=60°,AB=2AC,点尸在△ABC内，且PA=百，PB

=5,PC=2,求△ABC的面积.

BP的垂线，并且在垂线上截取BP=BP,则P'为点P绕8点顺时针旋转90°以后的

对应点，△「'CB即为所求；

(2)连接PP',求出△PBP是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得PP'

=4五,ZBP/P=45°,再利用勾股定理逆定理求出/CP'P=90°,然后计算即可

得解；

(3)将△P4B绕A点逆时针旋转60°得到△P3C,连接PP,得出SAABP+5A”C=S㈣必

好,俨"1=空巨+6；同理求出△ABP和△8PC的面积的和，ZVIPC和△BPC的面积的和，

4

从而求出△ABC的面积，然后根据△8PC的面积=Z\ABC的面积-△APB与△APC的面

积的和计算即可得解；

(4)首先作△AB。，使得：ZQAB=ZPAC,ZABQ=ZACP,即可得△ABQs/viCP,

即可得△ABQ与△ACP相似比为2,继而可得△APQ与△BP。是直角三角形，根据直角

三角形的性质，即可求得aABC的面积.

解：(1)如图1所示，*CB即为所求；

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