2023年导数高考数学一轮复习练习

导数一轮复习练习

［基础题组练］

1.函数yu)=a+2〃)(x—〃)2的导数为()

A.2(x2—。2)B.2(x2+/72)

C.3(x2—a2)D.3(尤2+。2)

解析：选C.f(x)=(X-a)2+U+2〃)・(2_r-2。)二(x-〃)•(x-〃+2x+4〃)=3(应-a2).

1—21rlx

2.(2020•安徽江南十校检测)曲线犬x)=---在点P(1,人1))处的切线/的方程为()

A.x+y~2=0B.2x+y~3=0

C.3x+)，+2=0D.3x+y—4=0

1-21nx-3+21nx

解析：选D.因为/)=---,所以/(x)=------------>所以/(1)=-3,又负1)=1,

所以所求切线方程为y-1=-3(x-1),即3x+y-4=0.

3.(2020•安徽宣城八校联考)若曲线y=a\nx+箝(a>0)的切线的倾斜角的取值范围是

~7t兀、

y引，则。=()

A±B3

入24D-8

一3

C,4D.2

解析：选B.因为y=alnx+x23>0),所以f+2%》人所，因为曲线的切线的倾斜角

的取值范围是［全生所以斜率©5，因此小=2/，所以故选B.

4.如图所示为函数y=/(x),y=g(x)的导函数的图象，那么y=/(x),y=g(x)的图象可能

是()

解析：选D.由y=/(x)的图象知y=/(x)在(0,+8)上单调递减，说明函数y=«x)的切

线的斜率在(0，+8)上也单调递减，故排除A、C.又由图象知y=_f(x)与y=g，(x)的图象在x

二七处相交，说明)，=於)与y=g(x)的图象在x=x0处的切线的斜率相同，故排除B.

5.(2020・广东佛山教学质量检测(一))若曲线y=ex在x=0处的切线也是曲线y=lnx+b

的切线，则b=()

A.-1B.1

C.2D.e

解析：选C.)，=e、的导数为y'=e”则曲线y=e,在x=0处的切线斜率k=l，则曲线y

=e*在x=0处的切线方程为y-1=x,即y=x+1.y=Inx+6的导数为V=：,设切点为(加，

n),则\=1，解得机=1，则"=2,即有2=lnl+b,解得b=2.故选C.

6.设函数式x)在(0,+8)内可导，其导函数为/(x),且/Unx)=_r+lnx/!|/(l)=.

解析：因为/(lnx)=x+lnx,所以式x)=x+e”

所以/(x)=1+0,

所以/(1)=1+e,=1+e.

答案：1+e

7.(2020•江西重点中学4月联考)已知曲线y=：+乎在x=l处的切线/与直线2x+3y

=0垂直，则实数〃的值为.

解析：y=-5+2,当x=l时，y'=-1+J由于切线/与直线”+3y=0垂直，所以

(T+4G1)=-晨解得。=京

答案:f2

8.若过点A(a,0)作曲线C：y=xe,的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是

解析：设切点坐标为(.%，/“0)，y'=(x+l)et,也="=，+1)%，所以切线方程为丫-

jcoeAO=(x0+1)eA0(x-x0),将点A(a，0)代入可得-%%=(%+1)%(a-%),化简，得xg-公°

-a=0,过点A(a,0)作曲线C的切线有且仅有两条，即方程.%-/-〃=0有两个不同的

解，则有/=。2+4“>0,解得“>0或。<-4,故实数”的取值范围是(-8,-4)U(0,+

°°).

答案：(一8,-4)U(0,+8)

9.已知函数«r)=x3+(l—a)x2-a(a+2)x+优a,b£R).

(1)若函数外)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为-3,求小b的值；

(2)若曲线)，=/U)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围.

解：/(%)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).

/(0)=b=0,

⑴由题意得|

/(0)=-a(a+2)=-3,

解彳导匕=0,a=-3或a=l.

(2)因为曲线y=小)存在两条垂直于y轴的切线，

所以关于V的方程/(X)=3必+2(1-a)x-a(a+2)=0有两个不相等的实数根，

所以J=4(1-a)2+12a(a+2)>0,

即4a2+4a+1>0,

所以

所以a的取值范围为(…，-加(弓，+8).

10.已知函数,/(x)=x3+x—16.

(1)求曲线y=/(x)在点(2,—6)处的切线的方程；

(2)直线/为曲线y="r)的切线，且经过原点，求直线/的方程及切点坐标；

(3)如果曲线)，=/(x)的某一切线与直线y=-%+3垂直，求切点坐标与切线的方程.

解：⑴可判定点(2,-6)在曲线y=/(x)上.

因为/Xx)=(x3+x-16丫=3为+1.

所以心)在点(2,-6)处的切线的斜率为k=片2)=13.

所以切线的方程为y=13(x-2)+(-6),

即y=13元-32.

⑵设切点为(1％,y°),

则直线/的斜率为了(X0)=3用+1,

所以直线/的方程为

y=(3xg+l)(x-x0)+用+%-16,

又因为直线/过点(0,0),

所以0=(3xg+1)(-x0)+x3+x0-16,

整理得，Xj=-8,

所以x°=-2,

所以),0=(-2)3+(-2)-16=-26,

)=3X(-2)2+1=13.

所以直线/的方程为v=13X,切点坐标为(-2,-26).

(3)因为切线与直线y=-%+3垂直，

所以切线的斜率k=4.

设切点的坐标为(5,%),

则/(七)=3$+1=4,

所以x0=±L

所以、°=1'或％=7'

乂=-14b0=-18.

即切点坐标为(1，-14)或(-1,-18),

切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+l)-18.

即y=4x-18或y=4x-14.

［综合题组练1

I.在等比数列｛”“｝中，a=2,ag=4,函数/lr)=x(x—%)•(x-4),…,(彳一心)，则/(°)

=()

A.26B.29

C.212D.215

解析：选C.因为[(尤)="[(X-6Zj)(X-4)-4)]+口­%)G-。2)•…G-。8)]"二a

-4)a-4)•…­%)+-%)。-4)­。8)丁心

所以,(0)=(0~%)(0--av)+0=a.a,…av.

因为数列｛2｝为等比数列，所以4%=%%=4%"产8=8,所以八0)=84=2匕故选C.

2.(2020•湖北武汉4月调研)设曲线C：y=3x4—2公一9m+4,在曲线C上一点“(1,

—4)处的切线记为/,则切线/与曲线C的公共点个数为()

A.1B.2

C.3D.4

解析：选C.y'=12x3-6初-18x,则y'(=1=12X13-6X屋T8X1=-12，

所以曲线y=3X4-2a-%+4在点M(1,-4)处的切线方程为y+4=-12(x-1),即

\2x+y-8=0,x=\,一

⑵+y-8=0.联立彳解得或

y-3x4-2%3-9尤2+4,y=-4

=32[y=0.

故切线与曲线C还有其他的公共点(-2,32),Q,0),

所以切线/与曲线C的公共点个数为3.故选C.

f-Inx,0<x<l,

3.(2020•安徽淮南二模)设直线/,分别是函数<x)=(图象上点乙，

2\lnx,x>l

22处的切线./|与，2垂直相交于点P，且乙，4分别与)'轴相交于点A，B,则A,B两点之

间的距离是()

A.1B.2

C.3D.4

解析：选B.设Pg,婀)),P2(x2,於2))，

当0<x<l时，/(x)=-p当x>l时，f(x)=

不妨设'HO,1),x,W(l,+8),

故4：y=-}(x-xj-InX|,鬻里得/]：y=-pr-In+1,

/2：y=*x-々)+1吟，SS得(：y=Jx+ln4-1,

所以A(0,1-lnx”fi(o,lnx2-l).则L48I=12-比。产2)1,

因为(，心所以-"='b所以X|X2=L所以481=2.故选B.

X\X2

4.己知曲线y=*+x—2在点P0处的切线乙平行于直线4犬一＞一1=0,且点分在第三

象限，则/的坐标为；若直线山I，且1也过切点P。，则直线I的方程为-

解析：由y=j»+x-2,得了=3必+1,

由已知得3必+1=4,解得x=±l.

当x=l时，y=0；当x=-l时，y=-4.

又因为点尸。在第三象限，

所以切点勺的坐标为(-1,-4).

因为直线/，(，4的斜率为4,

所以直线/的斜率为

因为/过切点P。，点PQ的坐标为(-1,-4),

所以直线I的方程为y+4=-l(x+1),

即x+4y+17=0.

答案：(一1,-4)x+4y+17=0

Q

5,设有抛物线C：y=-x2+|x-4,过原点。作C的切线y=心;，使切点尸在第一象

限.

(1)求k的值；

(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点。的坐标.

9

解：⑴由题意得，y'=-2x4-2.

设点尸的坐标为您，M),

则=kx「①

9

片=-4,②

-2X]+2=k,③

联立①②③得，X|=2,&=-2(舍去).

所以％=

(2)过户点作切线的垂线，

其方程为y=-2x+5.④

将④代入抛物线方程得，

13

X2--yx+9=0.

设。点的坐标为(\%)，则与=9,

所以X=*y=-4.

所以。点的坐标为及，-4).

6.设函数/(外=如一*曲线y=/(x)在点(2,犬2))处的切线方程为7x-4y-12=0.

(1)求./(x)的解析式；

(2)证明：曲线y=/(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面

积为定值，并求此定值.

7

解：⑴方程71-4y-12=0可化为〉=肝・3.

1

当

X=2孙y=

21

2

a+

X2

0-

2a-2-

于〃二1,2

-解得｛故於）=x-±

3

⑵证明：设p(x0,%)为曲线上任意一点，由y=i+£,知曲线在点P(%，%)处的切线

方程为

令x=0,得v=--,

xo

从而得切线与直线x=0的交点坐标为(0,

令y二x，得y二九二2\),

从而得切线与直线y二X的交点坐标为(*0,2^).

所以点P(X0,%)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为S=；|

=6.

故曲线.Y=於)上任一点处的切线与直线K=0,)，=X所围成的三角形的面积为定值，目

此定值为6.

第2讲导数的应用

r最新考纲考向林测

考查南散的单湖性,极俏,限值，利

1.了斛雨敷单制性和导数的美系；能利用9敢研究所敏的单剂性，公求函数的用函数的性质求畚数也由：与方程、

中湖区间31中第项式雨败一般不招过三次).命题f等式等知识楣结合命题.用化啪数

趋势。方程思想、转化与化八思想.分类

2.了制成效在臬苴取得极侑的，必要条件和充分条fl:会用导数求隔数的收大值.

讨论思.想的3m总机：曲型以叙答题

极小值1此中多项式阐数一般不昭过三次);会求闭区间上函数的最大侑.

为主,一皎难度较大.

最小值(其中多项式函数•殷不的过三次).

核

3.会利用导牧解决某些实际问腮(生活中的优化问题》.心

素

养遗粕推理.立祀想数学运算

1

&须知识，小◎回顾

[学生用书P42]

―密图受遗

一、知识梳理

1.函数的单调性

在某个区间3")内，如果/(x)沙那么函数y=%)在这个区间内单调递增；如果/(x)<0,

那么函数y=")在这个区间内单调递减.

2.函数的极值

(1)一般地，求函数y=/m)的极值的方法

解方程/(x)=0,当/(%)=0时：

①如果在飞附近的左侧也M，右侧外口<0,那么兀引是极大值；

②如果在附近的左侧r(x)<0,右侧ZV)>0,那么人/)是极小值.

(2)求可导函数极值的步骤

①求/(x)；

②求方程万x)=O的根;

③考查/G)在方程万x)=0的根附近的左右两侧导数值的符号.如果左正右负，那么/(x)

在这个根处取得极大值:如果左负右正，那么*x）在这个根处取得极小值.

3.函数的最值

（1）在闭区间［。，句上连续的函数/U）在［a,句上必有最大值与最小值.

（2）若函数J（x）在［a,切上单调递增，则&1为函数的最小值，⑫为函数的最大值；若函

数人x）在［a,以上单调递减，则为函数的最大值，逊为函数的最小值.

（3）设函数./（X）在［a,切上连续，在（a,6）内可导，求/U）在以，句上的最大值和最小值的

步骤如下：

①求函数y=_/i＞）在3，一内的极值;

②将函数v="）的各极值与端点处的函数值*a）,式力做比较，其中最大的一个为最大

值，最小的一个为最小值.

常用结论

1.在某区间内r（x）＞0（r（x）＜0）是函数/⑴在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件.

2.可导函数人x）在伍，加上是增（减）函数的充要条件是对VxW（a,力,都有/（x）20/（x）WO）

且/（x）在①，刀上的任何子区间内都不恒为零.

3.对于可导函数/⑴，/（%）=0是函数J（x）在x=x0处有极值的必要不充分条件.

二、习题改编

1.（选修2-2P32A组T4改编）如图是函数丫=%）的导函数y=/（x）的图象，则下面判断

正确的是（）

A.在区间（一2,1）上式x）是增函数

B.在区间（1,3）上次外是减函数

C.在区间（4,5）上/（X）是增函数

D.当x=2时，/（X）取到极小值

解析：选C.在（4,5）上了。）＞0恒成立，所以於）是增函数.

2

2.（选修2-2P28例4改编）设函数/（x）=-+lnx,则（）

A.光=；为/0）的极大值点

B.为汽x）的极小值点

C.x=2为段）的极大值点

D.x=2为＜x）的极小值点

21x-2

解析：选D/(x)=--+-=-^~(x>0),

当0<x<2时，/(x)<0,当x>2时，/(x)>0,所以戈=2为/U)的极小值点.

「71~|

3.(选修2-2P30例5改编)函数y=x+2cosx在区间|_0,上的最大值是.

解析:因为/=1-2sinx,

所以当xe[o,/时，y'>0；

当x喏,9时，y<o.

\o2」

所以当x=gyJ+p

Omax6Y

答案：&+5

一、思考辨析

判断正误(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)若函数兀0在3,6)内单调递增，那么一定有_f(x)>0.()

(2)如果函数_/(x)在某个区间内恒有/(x)=0,则於)在此区间内没有单调性.()

(3)函数的极大值不一定比极小值大.()

(4)对可导函数兀<),/。0)=0是七点为极值点的充要条件.()

(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.()

答案：(1)X(2)V(3)V(4)X(5)V

二、易错纠偏

常见误区收⑴原函数与导函数的关系不清致误；

(2)极值点存在的条件不清致误；

(3)忽视函数的定义域.

1.函数/U)的定义域为R,导函数/(X)的图象如图所示，则函数,/(x)()

A.无极大值点、有四个极小值点

B.有三个极大值点、一个极小值点

C.有两个极大值点、两个极小值点

D.有四个极大值点、无极小值点

解析：选C.导函数的图象与X轴的四个交点都是极值点，第一个与第三个是极大值点,

第二个与第四个是极小值点.

2.设“CR,若函数y=ex+or有大于零的极值点，则实数。的取值范围是.

解析：因为y=5+依，所以y'=e,r+a.

因为函数y=eA+ax有大于零的极值点，

所以方程y'=ex+a=O有大于零的解，

因为当x>。时，-eA<-1,所以a=--1.

答案：（一8,—1）

3.函数,/（x）=x—Inx的单调递减区间为.

解析：由/（x）=l-*O,得:>1,即x<l,又x>0,所以函数/（x）的单调递减区间为（0,

1).

答案：（0，1）

>西电演练，③后突破练好施•突破目分的颈，

［学生用书P342（单独成册）］

［基础题组练］

1.已知定义在R上的函数_Ax）,其导函数人x）的大致图象如图所示，则下列叙述正确的

是（）

A.他)/c)>J@

B./e)

C.

D.

解析：选C.由题意得，当xG（-8,°）时，加）>0,所以函数於）在（-8,。上是增函

数，

因为a<Z?<c,所以九A/SA/S）,故选C.

2.（2020•江西红色七校第一次联考）若函数«r）=2x3-3*2+6x在区间（1,+8）上为增

函数，则实数〃，的取值范围是（）

A.（—8,I]B.（一8,I）

C.(一8,2]D・(-8,2)

解析：选C./(x)=6x2-6g+6,由已知条件知xe(l,+8)时,/(%)20恒成立•设g(x)

=6x2-6加工+6,则g(x)20在(1,+8)上恒成立.

当/=36(牝-4)<0,即-2W/%W2时，满足g(x)20在(1,+8)上恒成立；

tn,

kW1,

当/=36(租2-4)>0,即m<-2或m>2时，则需j2解得机.，

(1)=6-6m+620,

所以m<-2.

综上得所以实数机的取值范围是(-8,2].

InX

3.己知人》)=丁，贝4()

A._A2)Me)/3)B.式3AAe)42)

C.式3)/2)/e)D./(e)/3)/2)

解析：选口用)的定义域是(0,+8),

1-Inx

/W=——，令/(x)=0,^x=e.

所以当xG(0,e)时，/(x)>0,/)单调递增，当xG(e,+8)时，/(x)<0,於)单调递减,

故当x=e时,加:=〃)=：,而42)=竽=野,#)=竽=野，所以汽e)R(3)/2),故

选D.

4.设函数«x)=$2-91nx在区间口-上单调递减,则实数。的取值范围是()

A.(1,2]B.(4,+°°)

C.(一8,2)D.(0,3]

1OO

解析：选A.因为段)=3-91nx,所以/(X)=x-；(心>0),由x-"W0,得0<vW3,所以

./U)在(0,3]上是减函数，贝a+1]£(0,3],所以a-1>0且“+1W3,解得kaW2.

5.(2020•江西上饶第二次模拟)对任意xWR,函数y=/(x)的导数都存在，若/U)+〃x)>0

恒成立，且a>0,则下列说法正确的是()

A.尬)勺(0)B.尬)》(0)

C.e〃•%)<(0)D.5•式0/0)

解析：选D.设gj)=3/)，则g'(x)=+/(x)]>0,所以g(x)为R上的单调递增函

数,因为a>0,所以g(a)>g(O),即e。加)/0),故选D.

6.函数段)x=今+5六一Inx的单调递减区间是

解析：因为危)=^+*Tnx,

所以函数的定义域为(0，+8),

5

151-

--X24X-

一-

说-

4X4X2

令/(X)<0,解得0<x<5,所以函数./U)的单调递减区间为(0,5).

答案：(0,5)

7.若函数40=以3+3K-x恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是.

解析：由题意知/(x)=3*2+6x-1,由函数/U)恰好有三个单调区间，得/")有两个不

相等的零点,所以3ax2+6x-1=0需满足aWO,且/=36+12〃>0,解得。>-3,所以实数

a的取值范围是(-3,0)U(0,+8).

答案：(-3,0)U(0,+8)

8.已知函数/(x)=lnx+2,,若夫%2+2)勺(3x),则实数x的取值范围是.

解析：由题可得函数段)的定义域为(0,+8),/(x)=；+27n2,所以在定义域内加)>0,

函数单调递增，所以由.网+2)勺(3x)得必+2<3x,所以l<x<2.

答案：(1，2)

InY~\~k

9.已知函数,/(x)=——~~(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线y=/(x)在点(1,ZU))

处的切线与x轴平行.

(1)求％的值;

(2)求犬x)的单调区间.

--Inx-

_X

解：(口由题意得片箝=1~~--，

又因为/(1)=-----0,故4二1.

e

--Inx-1

x

(2)由(1)知，/«=---，

设h[x}=i-Inx-l(x>0),

贝！Ih'(x)=--

X2X

即//(x)在(0,+8)上是减函数.

由力⑴=0知,当0<xvl时,h(x)>0,从而/(x)>0；

当x>l时，h(x)<0,从而/(x)<0.

综上可知，式x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(I，+8).

10.已知函数式X)=X3—OX—I.

(1)若./U)在R上为增函数，求实数a的取值范围；

(2)若函数式x)在(-1,1)上为单调递减函数，求实数。的取值范围；

(3)若函数式犬)的单调递减区间为(一1,1),求实数a的值；

(4)若函数式x)在区间(-1,1)上不单调，求实数a的取值范围.

解：⑴因为/)在(-8,+8)上是增函数，

所以7(x)=3X2-。20在(-8,+8)上恒成立,

即aW3x2对xGR恒成立.

因为3x220,

所以只需aWO.

又因为。=0时，/(X)=3X220,

©=X3-।在R上是增函数，所以“W0,即实数a的取值范围为(-8,0].

(2)由题意知/(x)=3x2-aWO在(-1,1)上恒成立，

所以a23名在(-1,1)上恒成立，

因为当-1UV1时，3依3,所以a23,所以a的取值范围为[3,+«>).

(3)由题意知片x)=3柔-则|x)的单调递减区间为(-华，陪,

又7U)的单调递减区间为(7,1)，

所以华=1，解得"3.

⑷由题意知了(x)=3X2-。，当时，/(X)20,此时式X)在(-8，+8)上为增函数,

不合题意，故a>0.

令f(x)=O,解得x=士千.

因为小)在区间(-1,1)上不单调，所以/(x)=0在(-1,1)上有解，需0＜甲＜],得Ova＜3,

所以实数。的取值范围为(0,3).

［综合题组练］

1.设凡r),g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且/(x)g(x)—/(x)g，(x)<:0,则当a<x<b

时，有()

A.於)g(x)次Z>)gS)

B.©g(a)/a)g(x)

C.㈱g®次力g(x)

D.I/(x)g(x)次a)g(a)

、4./(x)/(X)g(X)--(x)g，(x)

解析：选c.令F(x)=,则F(x)=-----------------------<0,所以F(x)在R

g(x)［g(x)也

上单调递减.又a<x<b,所以4~~~.又段)>0,g(x)>0,所以/(x)gSA/(6)g(x).

g(a)g(x)g(b)

2.(2020•石家庄模拟)定义在R上的连续函数兀v)满足兀v)+八-x)=x2,且x<0时，/'

(x)<x恒成立，则不等式/(X)—式1—x)Nx—3的解集为()

A.(-8,£|B,(V，£)

C.仕，+8)D.(-8,0)

解析：选A.令g(x)=/(x)-夕2,

贝11g(x)+g(-x)=0=>g(x)为奇函数，

又x<0时，g'(x)=/(x)-xv(Mg(x)在(-8,0)上单调递减，

则g(x)在(-8,+8)上单调递减，

由於)-/(I-X)2X-；知危)-.X2期1-X)-1(17)2,即g(X)2g(l-X),

从而xW1-x=>xwg,

所以所求不等式的解集为(-8,幺故选A.

3.已知函数兀V)=—%2+4x-31nX在区间［f,f+1］上不单调，则t的取值范围是

3

解析：由题意知〃X)=-x+4-"

_(x-1)(x-3)

="，

由/(x)=0,得函数兀0的两个极值点为1和3,

则只要这两个极值点有一个在区间Q，r+1)内，

函数段)在区间上，r+1］上就不单调，

由t<\<t+1或t<3<t+1,得0<r<l或2<r<3.

答案:(0,1)U(2,3)

4.函数於)是定义在(0,+8)上的可导函数，r(X)为其导函数，若灯Xx)+/(x)=ev(x

—2)且式3)=0,则不等式式x)V0的解集为.

解析：令g(x)=m>),xW(0,+8),则8")=取》)+%)=&\。-2),可知当x£(0,2)

时，g(x)=0(x)是减函数，当xG(2,+8)时，8(1)=或0是增函数.又大3)=0,所以g(3)=

3点3)=0.在(0,+8)上，不等式式x)<0的解集就是欢刈<0的解集，又g(0)=0,所以J(x)

<0的解集是(0,3).

答案：(0,3)

Y---1

5.设函数y(x)=alnx+不口，其中a为常数.

(1)若4=0,求曲线y=/(x)在点(1,犬1))处的切线方程；

(2)讨论函数兀v)的单调性.

X-1

解：⑴由题意知当〃=0时，fix)=----，xG(0,+8),

x+1

此时，(x)=lk，

可得/⑴=；,又川)=0,

所以曲线y=/)在(1，刈))处的切线方程为X-2y-1=0.

⑵函数段)的定义域为(0,+8).

a2ar2+(2a+2)x+a

f()=-+-_,=------------------

xX(犬+1)2X(X+1)2

当心0时，/(x)>0,函数启)在(0,+8)上单调递增；

当a<0时，令g(x)=ax2+(2a+2)x+a,

△=(2a+2)2-4。2=4(2〃+1).

■!(X-1)2

①当。=-即寸，△=()，f(X)=----------〈(J,

X(x+\)2

函数/U)在(0,+8)上单调递减.

②当时，A<0,g(x)v0,

/U)<0,函数40在(0,+8)上单调递减.

③当-；<〃<()时，A>0,

设4是函数以工)的两个零点，

_(〃+1)+、12a+1

贝卜=—————,

1a

-(67+1)-2a+1

々二a

由于X1+1-4^=业2+2。+1-正71,0,

1-a-a

所以当xC（0,勺）时，g（x）＜o,/（x）＜o,函数凡r）单调递减，当xG（X],々耐，g（x）＞0,/

（x）＞0,

函数兀v）单调递增，

当+8）时，g（x）＜o,/（幻＜0,函数人x）单调递减.

综上可得：

当时，函数兀0在（0,+8）上单调递增；

当aW-g时，函数於）在（0,+8）上单调递减;

当-1＜47＜0时，

.f-（61+1）+、,2.+11

於）在卜，V）

卜（a+1）-^71,.a]上单调递减，

在(一(a+1：+皿］-(4+1上单调涕增.

6.己知函数«x)=alnx—分一3(aWR).

(1)求函数式x)的单调区间；

(2)若函数y=/(x)的图象在点(2,犬2))处的切线的倾斜角为45。，对于任意的2］,

函数g(x)=x3+x2・［/(x)+募］在区间0,3)上总不是单调函数，求机的取值范围.

解：⑴函数段)的定义域为(0,+8),

且/(x)="37),

X

当a>0时，凡1)的单调递增区间为(0,1),

单调递减区间为(1，+8)；

当a<0时，y(x)的单调递增区间为(1,+8),单调递减区间为(0,1);

当4=0时，/)为常函数.

(2)由⑴及题意得/(2)=4=1，

即〃=-2,

2x-2

所以/U)=-21nx+2x-3,/(x)=-----

x•

所以g(x)=冷+e+2%-2X,

所以g'(x)=3x2+(m+4)x-2.

因为g(x)在区间⑺3)上总不是单调函数，

即/(X)在区间(/,3)上有变号零点.

由于g'(0)=-2,

g'(t)<0,

所以

身(3)>0.

当g")<0时，

即3f2+(m+4)t-2<0对任意,2］恒成立，

由于g'(0)<0,故只要g'(l)<o且g'⑵<0,

即mv-5且m<-9,即m<-9；

由g，（3）>0,即心-半

所以~芋<"?<-9.

即实数m的取值范围是（-孝，-9）,

》演练，③住突破

练好通•突破目分瓶颈♦

［学生用书P271（单独成册）］

［基础题组练J

1.（2020•辽宁沈阳一模）设函数/（x）=xer+l,则（）

A.x=l为./（X）的极大值点

B.x=l为/（x）的极小值点

C.x=-1为兀0的极大值点

D.x=-l为兀v）的极小值点

解析：选D.由於）=x&+1，可得/（x）=Q+1）4,令/⑴乂）可得x>-1,即函数於）在（-

1,+8）上是增函数；令/（x）<0可得x<-1,即函数Ax）在（-8,-1）上是减函数，所以x

=-1为/）的极小值点.故选D.

2.函数丫=2在［0,2］上的最大值是（）

A.iB.2

ee2

C-°D.4

1-X

解析：选A.易知；/=『，x£［0,2］,令），>0,得OWxvl,令产0,得1<XW2,所

以函数y=*［0,1］上单调递增，在（1,2］上单调递减，所以y=人在［0,2］上的最大值是

e-v8

故选A.

3.（2020•广东惠州4月模■拟）设函数段）在R上可导，其导函数为了⑶，且函数危）在工

=一2处取得极小值，则函数y=x/（x）的图象可能是（）

CD

解析：选c.因为函数/上可导，其导函数为/(x),且函数形)在x=-2处取得极

小值，所以当x>-2时，f(x)>0；当x=-2时，/(x)=0；当xv-2时，f(x)<0.

所以当-2<r<0时，xf(A)<0；当x=-2时，xf(x)=0；

当x<-2时，xf(x)>(1故选C.

4.(2020•河北石家庄二中期末)若函数/(x)=(l-x)(x2+ar+%)的图象关于点(一2,0)对

称，/，々分别是,/(x)的极大值点与极小值点，则々一%=()

A.一/B.24

C.-2^3D.小

解析：选C.由题意可得-2)=3(4-2a+b)=0,

因为函数图象关于点(-2,0)对称，且式1)=0,

所以八-5)=0,

即人-5)=6(25-5a+b)=Q,

b-2a+4=0f[b=10,

联立解得

b-5a+25=0,[a=l.

故於)=(1-x)(x2+7x+10)=-x3-6X2-3X+10,

则/(x)=-3必-12x-3=~3(Q+4x+1),

结合题意可知、，々是方程X2+4x+1=0的两个实数根，且X|>x,,

故*2-X]=_%'7(X]+)2-二产2=-(-4)2-4X1=-2^3.

5.己知函数y(x)=jo+3m—9x+l,若&c)在区间伙，2]上的最大值为28,则实数Z的

取值范围为()

A.[-3,+8)B.(-3,+8)

C.(一8,-3)D.(一8,-3]

解析：选D.由题意知了(x)=3m+6x-9,令F(x)=0,解得x=1或x=-3,所以了(x),

“X)随X的变化情况如下表：

X(-8,-3)-3(-3,1)1(1>+°°)

十0-0+

於)极大值极小值

又1-3)=28,犬1)=-4,式2)=3,於)在区间伙，2]上的最大值为28,所以《-3

6.

/

函数兀V)=x3+bx2+cx+d的大致图象如图所示，则x^+xj=.

解析：函数八x)的图象过原点，所以d=0.又犬-1)=0且式2)=0,即-l+b-c=0且8

-

+4Z?+2c=0,解得Z?=-Lc=-2,所以函数/U)=x3-x22x»所以/U)=3x2-2x-2,

由题意知已，公是函数的极值点，所以%，%是八x)=o的两个根，所以/+々=|,%々=

2Ui-、。4,4_16

-y所以k+专=(X]+々)2产2=3+§_亍-

答案：y

7.若函数/U)=X3-3ax在区间(一1,2)上仅有一个极值点，则实数a的取值范围为

解析：因为/(%)=3(x2-〃)，所以当aW0时，/(x)20在R上恒成立，所以於)在R上

单调递增，/W没有极值点，不符合题意；当a>0时，令/(》)=0得尢=±5，当x变化时，/

(x)与府)的变化情况如下表所示：

X(­0°,―/)—yja(—0，而(w,+°0)

f'(x)+0—0+

危)