2023-2024学年江西省吉安八中九年级（上）入学数学试卷（含解析）

2023-2024学年江西省吉安八中九年级(上)入学数学试卷

一、选择题(本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.如图所示四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()

2.要使分式三金有意义，则X的取值应满足()

A.X=2022B.X>2022C.x<2022D.x≠2022

3.下列从左到右的变形是因式分解的是()

A.(α+3)(Q-3)=α2—9B.x2+4%+10=(x÷2)2+6

C.%2—6x+9=(x—3)2D.X2—4÷3%=(%—2)(%+2)+3%

4.如图，在中，∆ABC=90°,点。是BC边上的一点，点P是4。的中点，若ZC的垂直

平分线经过点D,DC=8,则BP=()

A.8

B.6

C.4

D.2

5.如图，ZkABC的面积为8C∕∏2,BP平分Z√1BC,AP工BP于点P,连接PC,则^PBC的面积

为()

A.2cm2

B.3cm2

C.4cmz

D.Scm2

6.如图，在第一个中，48=20。，AB=A1Bf在4道上取一点C,延长/α到使

^A1A2=A1Cf得到第二个44145在&C上取一点延长&&到“3,使得44=4。；

.・・，按此做法进行下去，则第5个三角形中，以点4为顶点的等腰三角形的底角的度数为()

A.5oB.10oC.15oD.25o

二、填空题(本大题共6小题，共18.()分)

7.分解因式：4α3-ɑ=.

8.若点4(τn,n)和点B(3,2)关于X轴对称，则Tnn的值是.

9.一个多边形的内角和是它的外角和的4.5倍，这个多边形的边数是.

10.如图，NAOP=乙BOP,PC//OA,PD1。4,若Z½OB=45o,PC=6,则PD的长为.

11.如图，直线、=依+6经过点4(-1,3),B(-∣,0)两点，则不等式组0<kx+b<-3x的

解集为.

12.如图，RtZiACB中，∆ACB=90o,AC=5cm,AB=13cm,动点P从点B出发沿射线BC

以lcm/s的速度运动，设运动时间为ts,当△4PB为等腰三角形时，t的值为.

三、解答题(本大题共U小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

13.(本小题8.0分)

(1)因式分解：2a3-12a2+18a；

(2)解方程：⅛=⅛+l∙

14.(本小题8.0分)

先化简，

W⅛Λ:⅛-⅛)∙⅛其中X=4.

15.(本小题8.0分)

如图，在Q4BCD中，点E、尸分别在40、Be上，且4E=C尸.求证：四边形BFOE是平行四边

形.

16.(本小题8.0分)

f2x-l_5x+l

解不等式组：户厂Wl1,并将解集在数轴上表示出来.

I5x-1<3(x+1)

17.(本小题8.0分)

如图，4ABD和ACBC为等腰三角形，AB=AD,BC=CD,BE是力。边上的高，请仅用无刻

度的直尺分别按下列要求画图.

(1)在图1中，作ABDE的边BD上的中线EF；

(2)在图2中，作的边4B上的高DG.

18.(本小题8.0分)

如图，已知ABAC中，DE垂直平分AC交BC于点D,交AC于点E,连接4∕λ(1)若NBAC=60。，

乙B=80°,求484。的度数；

(2)若AB=I0,BC=12,求△48。的周长.

19.(本小题8.0分)

如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△4BC的三个顶点的坐标分

别为4(-1,3),B(-4,0),C(0,0).

(1)画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1Cli

(2)画出将△4BC绕原点。顺时针方向旋转90。得到△A2B2O-,

(3)在X轴上存在一点P,满足点P到4与点4距离之和最小，请直接写出P点的坐标.

20.(本小题8.0分)

“双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购

两种体育器材：跳绳和毯子.已知跳绳的单价比毯子的单价多3元，用800元购买的跳绳个数

和用500元购买的键子数量相同.

(1)求跳绳和翅子的单价分别是多少元？

(2)由于库存较大，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毯子以七折出

售.学校计划购买跳绳和健子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于健子数量的3倍,

跳绳的数量不多于460根，请你求出学校花钱最少的购买方案.

21.(本小题8.0分)

先阅读下列材料，再解答下列问题：

材料：因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1

解：将“x+y”看成整体，令x+y=4则

原式=A2+2A+1=(A+I)2

再将“4”还原，得：原式=(x+y+l)2

上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列

问题：

(I)因式分解：9+6(x-y)+(χ-y)2=.

(2)因式分解：(α+b)(α+b-8)+16.

(3)证明：若n为正整数，则式子(n+l)(n+2)(n+3)(τι+4)+1的值一定是某一个整数的平

方.

22.(本小题8.0分)

如图1,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

(1)概念理解：如图2,在四边形ABC。中，AB=AD,CB=C。，问四边形ABCD是垂美四边

形吗？请说明理由；

(2)性质探究：如图1,垂美四边形ABCO的对角线4C,BD交于点。.猜想：AB2+CD2^AD2+

BC2有什么关系？并证明你的猜想.

(3)解决问题：如图3,分别以RtAACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方

形ABDE,连接CE,BG,GE.已知AC=4,AB=5,求GE的长.

23.（本小题8.0分）

如图，在四边形ABCO中，乙B=60o,AB=DC=4,AD=BC=8.延长BC到E,使CE=4,

连接DE,动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-ZM向终点4运动，设点P运

动的时间为t秒.(t>0)

(1)当t=3时，BP=；

⑵当t=时，点P运动到4B的角平分线上；

(3)当0<t<6时，请用含t的代数式表示△ABP的面积S；

(4)当0<t<6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：4是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；

8.是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；

C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；

D既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；

故选:B.

根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可.把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋

转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直

线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.

本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正

方形、长方形等等.常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等.

2.【答案】D

【解析】解：由题意可得支一2022力0,

解得X≠2022,

故选：D.

根据分式有意义的条件列不等式求解.

本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义的条件(分母不能为零)是解题关键.

3.【答案】C

【解析】解：4、是多项式相乘，错误；

8、右边不是积的形式；错误；

CsX2—6x+9=(x—3)2,正确；

。、右边不是积的形式；错误；

故选：C.

根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解.

这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断.

4.【答案】C

【解析】解：点。在AC的垂直平分线上，

：,DA=DC=8,

V∆ABC=90°,点P是的中点，

.∙.BP=^AD=4,

故选：C.

先根据线段垂直平分线的性质可得ZM=DC=8,然后利用直角三角形斜边上的中线可得BP=

"/W=4,即可解答.

本题考查了直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中

线性质，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键.

5.【答案】C

【解析】解：延长AP交BC于点£»,如图所示，

∙.∙BP平分乙4BC,AP1BP,

ʌ∆ABP=LDBP,/.APB=/.DPB=90°,

・•.∆PAB=乙PDB,

ʌBA=BD,

•・•BP14。，

^AP=DP,

••・SMPB=SADBP1S“pc=SADPC»

1

λSAPBC=2SAABC，

•••△ABC的面积为8cr∏2,

：.△PBC的面积为4CT∏2,

故选：C.

延长AP交BC于点D,先根据已知条件可得4B=AD,再根据等腰三角形的性质可得AP=DP,再

根据三角形中线的性质可得S-PB进一步可得APBC的面积.

=SΔ°BP,S^APC=S^DPC,

本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形中线的性质，熟练掌握这些知识

是解题的关键.

6.【答案】A

o

【解析】解：⅛ΔλB½1Φ,∆B=20,AB=A1B,

180。一48

ʌ∆BAA80°,

12

-A1A2=A1CtZ∙BA1A是△41人2。的外角，

,「人,o

Z-BA1A80ZInO

・•・Z.CA2A1=—ɪ=—=40°,

o

同理可得乙。43力2=20,ZEZl4Zl3=10°，

∙∙∙z∙4n二产7T'

以点4为顶点的等腰三角形的底角为2/5,

A80°

乙%=F=5ro。，

故选：A.

先根据等腰三角形的性质求出力的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别

求出NC42&，/。久4及4EA√13的度数，找出规律即可得出.

本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出ZO&42及

的度数，找出规律是解答此题的关键.

7.【答案】α(2α+l)(2α-l)

【解析】解:4a3-a,

=a(4a2-1),

=a(2a+l)(2a—1).

先提取公因式a,再利用平方差公式继续分解.

本题考查了提公因式法与公式法分解因式，分解因式时，有公因式的，先提公因式，再考虑运用

何种公式来分解.

8.【答案】-6

【解析】解：∙∙T(m,n)与点B(3,2)关于支轴对称，

ʌm=3,n=—2,

・•・mn=—6.

故答案为：-6.

根据关于X轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，先求出机、Ti的值，再计算nrn的值.

本题考查关于X轴对称的点坐标，解题关键是理解关于％轴对称的两点，横坐标不变，纵坐标互为

相反数.

9.【答案】11

【解析】解：设这个多边形是n边形，

则这个多边形的内角和是180。5-2),外角和是360。，

由题意得：180o(n-2)=4.5×360o,

解得：n=11,

这个多边形的边数是IL

故答案为：11.

由题意知一个多边形的内角和是外角和的4.5倍，可设这个多边形是n边形，由多边形的内角和公

式得n边形的内角和为180t≈(n-2),多边形的外角和是360。,从而列出一元一次方程180。5-2)=

4.5×360°,解出n即可.

本题考查多边形的内角和与外角和，解题的关键是熟练运用多边形的性质，本题属于基础题型.

10.［答案］3>∏,

【解析】解：过P作PE1OB,

"Z.AOP=乙BOP,Z.AOB=45°,

4AoP=乙BOP=22.5°,

PC//OA,

.∙.NOPe=乙AoP=22.5°,

ʌ乙PCE=45°,

PCE是等腰直角三角形，

.∙∙PE=殍PC=号X6=‰Γ∑,

•••∆AOP=∆BOP,PD1OA,PEIOB,

ʌPD=PE=3√^7,

故答案为3∕1∙

过P作PEJLOB,根据角平分线的定义和平行线的性质易证得^PCE是等腰直角三角形，得出PE=

3，至，根据角平分线的性质即可证得P。=PE=3y∕~2.

本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，求得/PCE=45。是

解题的关键.

Ii.【答案】—|<x<—1

【解析】解：当％=—1时，y=—3%=3,

・,・直线y=fcx+b与直线y=-3x交于点4(一1,3),

根据图象可知，不等式组OCkX+bV一3%的解集为一I<%<-l,

故答案为：—∣V%V-1.

当X=-I时，y=-3x=3,可知直线y=kx+b与直线y=-3x交于点4,根据图象即可确定不

等式组得取值范围.

本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键.

12.【答案】13或24或辱

24

【解析】解：∙∙∙4C=90°,AB=13cm,AC=5cm,

・•・BC=12cm.

①当BP=BA=13时，t=早=13；

②当AB=AP时，BP=2BC=24cm,t=γ=24；

③当PB=PA时，PB=PA=tcm,CP=(12-t)cm,AC=5cm,

在RtZMCP中，AP2=AC2+CP2,

即［2=52+(12-t)2-

解得t=养

综上，当△力BP为等腰三角形时，t=13或24或等.

24

故答案为：13或24或∙^.

24

当△4BP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB=BP时；②当4B=AP时；③当BP=AP时,

分别求出BP的长度，继而可求得t的值.

本题考查勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思

考问题，属于中考常考题型.

13.【答案】解：(1)原式=2α(α2-6a+9)=2a(a-3)2.

zɔʌX12

⑵口=n+1，

方程两边同时乘/—4得，

x(x+2)=12+X2-4,

%2+2x=8+%2,

x=4.

经检验，X=4是原方程的解，

所以原方程的解为X=4.

【解析】（1）先提取公因式2ɑ,再用公式法分解即可.

（2）方程两边同时乘以M一4,再解得X=4,经检验，X=4是方程的根，即可求解.

本题考查因式分解，解分式方程，熟练掌握提公因式，公式法因式分解，分式的化简、分式方程

的解法，切勿遗漏分式方程的验根是解题的关键.

14.【答案】解：原式=土|.（Α2）（：+2）

x—2X-3

=X+2,

当X=4时，原式=6.

【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把X的值代入进行计算即可.

本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.

15.【答案】证明：四边形ABCZ）是平行四边形，

.∙.AD/∕BC,AD=BC,

"AE=CF,

.∙.AD-AEBC-CF,

.∙.ED=BF,

又∙.∙ED//BF,

二四边形BFDE是平行四边形.

【解析】此题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键.

根据平行四边形对边平行且相等，即可得4D〃BC,AD=BC,又由4E=CF,即可证得。E=BF,

然后根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形BFDE是平行四边形.

］等-竽≤1①

16.【答案】解:

(5x-1<3(x+1)②‘

解①式，得x≥-l,

解②式，得<2,

.♦.原不等式组的解集为：-l≤x<2,

将解集表示在数轴上为：——II，II————

-5-4-3-2-1012345

【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可.

本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能求出不等式组的解集是解此

题的关键.

17.【答案】解：（1）如图1中，线段EF即为所求；

（2）如图2中，线段DG即为所求.

【解析】（1）连接4C交BZ）于点心连接EF,线段EF即为所求；

（2）连接C4延长Ca交BE的延长线于点T,连接D7交B4的延长线于点G,线段DG即为所求.

本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的高等知识，解题的关键是理解题

意，灵活运用所学知识解决问题.

18.【答案】解：（1）∙∙∙DE垂直平分力C,

・•・DA=DC,

ʌZ-C=∆DAC9

・・・∆BAC=60°,乙B=80°,

・•・/,C=180o-∆B-∆BAC=40°,

ʌZ-DAC=Z-C=40°,

ʌ乙BAD=Z.BAC一乙DAC=60°-40°=20°；

（2）垂直平分4C,

ʌCD=DA,

・•・△480的周长=48+8。+Ao=48+80+CD=48+BC=Io+12=22.

【解析】（1）由线段垂直平分线的性质得到Zλ4=DC,推出4C=4DZC,求出4C=180。一48—

∆BAC=40°,即可得到乙Zλ4C=NC=40。，Hl⅛zMD=∆BAC-∆DAC=60°-40°=20°；

(2)由由DE垂直平分4C,得到G)=Z因此△48。的周长=AB+BC=10+12=22.

本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，关键是由线段垂直平分线的性质得到ZM=

DC.

19.【答案】解：(1)如图，4AiBiG即为所求;

(2)如图，AHzWO即为所求；

(3)如图，点P即为所求，P点的坐标(£,0),

【解析】【分析】

本题考查作图-平移变换，旋转变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的

性质.

(1)利用平移变换的性质分别作出力，B,C的对应点B1,CI即可；

(2)利用旋转变换的性质分别作出A,B的对应点4，%即可；

(3)作点4关于X轴的对应点4，连接交X轴于点P，点P即为所求.

【解答】

解：

(1)(2)见答案；

(3)作出关于X轴的对称点力'，连接44，与X轴的交点即为点P,

∙∙∙⅛∕12(3,1),

Λ,(3,-l),

二设为4=kx+b,

•••｛纪行广，解得：K-

14k÷D=4S=-16

λ

YAfA1=5x-16,

令y=0,贝!|5x—16=0,解得X=言

•・•点P（当,0）∙

故答案为：点P管,0）∙

20.【答案】解：（1）设毯子的单价为X元，则跳绳的单价为Q+3）元,

依题意，得：嘤=吗

x+3X

解得：％=5,

经检验，无=5是原方程的解，且符合题意，

ʌ%+3=8.

答：跳绳的单价为8元，毯子的单价为5元.

（2）设购买毯子m个，则购买跳绳（600-m）个，

依题意，得“暇一空瞽

1600—m<460

解得：140≤m≤150,

设学校购买跳绳和健子两种器材共花W元，

则W=8×0.8（600—m）+5×0.7m=-2.9m+3840,

'''-2.9<0>

W随Tn的增大而减小，

二当m=150时，W取得最小值，最小值=一2.9X150+3840=3405（元），

则600-150=450,

答：当学校购买450个跳绳，150个健子时，总费用最少.

【解析】（1）设穰子的单价为X元，则跳绳的单价为（X+3）元，由题意：用800元购买的跳绳个数

和用500元购买的键子数量相同.列出分式方程，解方程即可；

（2）设购买健子Tn个，则购买跳绳（600-m）个，由题意：跳绳的数量不少于理子数量的3倍，跳绳

的数量不多于460根，列出一元一次不等式组，解之得Jn的取值范围，设学校购买跳绳和链子两种

器材共花W元，再由总价=单价X数量可得出W关于m的函数关系式，然后由一次函数的性质即可

解决最值问题.

本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）

找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组.

21.【答案】解：(l)(x-y+3)2(2)将''α+b”看成整体，令a+b=4,则

原式=4(A-8)+16=/P_84+16=(4—4)2

再将“4”还原，得：

原式=(a+ð—4)2：

(3)证明：(n+l)(n+2)(n+3)(n+4)+1

=(n+l)(n+4)∙(n+3)(n+2)+1

=(n2+5n+4)(n2+5n+6)+1

令∏2+5n=4,则

原式=(A+4)(4+6)+1

=A2+IOA+25

=Q4+5)2

=(n2+5n+5)2

∙∙∙n为正整数，

：.n2+5n+5是整数，

；•式子(n+l)(n+2)(n+3)(n+4)+1的值是某一个整数的平方.

【解析】解：(1)将"x-y”看成整体，令x-y=4则

原式="+64+9=(4+3)2

再将“力”还原，得：

原式=(x—y+3)2

故答案为：(X-y+3)2；

(2)将“a+b”看成整体，令a+b=A,则

原式=A(A-8)+16=/_84+16=(4-4)2

再将“4”还原，得：

原式=(a+b—4)2；

(3)证明：(n+l)(n+2)(n+3)(n+4)+1

=(n+l)(n+4)∙(n+3)(n+2)+1

=(n2+5n+4)(n2+5n+6)+1

令“2+5n=4,则

原式=(4+4)(4+6)+1

=A2+IOA+25

=(4+5)2

=(n2+5n+5)2

∙∙∙n为正整数，

.∙.∏2+5n+5是整数，

二式子(几+l)(n+2)(?!+3)(n+4)+1的值是某一个整数的平方.

(I)将“x-y”看成整体，令X-y=4则原式=屋+64+9=(4+3产，再将“A”还原，得

原式=(X-y+3)2；

(2)将“a+b”看成整体，令a+b=4,则原式=A(A-8)+16=λ2-8Λ+16=(½-4)2,再

将“4”还原，得：原式=(a+b-4)2;

(3)先将5+l)(n+2)(n+3)(n+4)+1变形，即可得到(M+5n+4)(n2+5n+6)+1,再运用

整体思想，即可得到式子(n+l)(n+2)(n+3)(n+4)+1的值一定是某一个整数的平方.

本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法.

22.【答案】解：(1)四边形ZBeD是垂美四边形.

理由如下：如图2,连接AC、BD,

图2

AB=AD,

・・•点4在线段B。的垂直平分线上，

•••CB=CD,

•・•点C在线段80的垂直平分线上，

直线4C是线段BD的垂直平分线，

.-.ACIBD,即四边形ABCD是垂美四边形;

(2)ΛB2+CD2=AD2+BC2,

理由如下：

如图1中，

D

∙.∙ACA.BDf

・・.∆AOD=∆AOB=乙BOC=(CoD=90o,

由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,

222222

AB÷CD=AO+BO+CO+DOf

ΛAD2÷BC2=AB2+CD2;

(3)如图3,连接CG、BE,

图3

正方形ACFG和正方形4BDE,

：.AG=AC,AB=AEf∆CAG=Z-BAE=90°,

・・・∆CAG+∆BAC=∆BAE+乙BAC,^∆GAB=Z.CAE,

在△GAB和中,

AG=AC

∆GAB=∆CAE,

AB=AE

・•.△GAB≡ΔCAE(SAS)9

•∙・Z-ABG=∆AECf

V∆AEC+∆AME=90o,Z-AME=CBMN,

：,Z-ABG+乙BMN=90°,

o

ΛZ-BNM=90,BPCE1BG9

・•・四边形CGEB是垂美四边形，

由(2)得，CG2+^F2=CB2+GE2,

∙∙∙AC=4,AB=5,

∙∙.BC=√AB2-AC2=√52-42=3,

∙.∙CG=√AC2+AG2=V42+42=4y∏,BE=√AB2+AE2=√52+52=5。，

2222r22

.∙.GE=CG+BE-CB=(4ΛΛ^)2+(5v2)-3=73.

.∙.GE=√^73.

【解析】本题为四边形综合题，新定义问题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和

性质、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键.

(1)连接AC、BD,根据垂直平分线的判定定理证明即可；

(2)结论是AZ)2+BC2=482+0)2；,根据垂直的定义和勾股定理解答即可；

(3)如图3,连接CG、BE,证明四边形CGEB是垂美四边形，结合(2)的结论，利用勾股定理计算即

可.

23.【答案】68

【解析】解：(1)动点P的运动速度为2单位/秒，

.•・BP—23

・•・当t=3时，

BP=2x3=6,

故答案为：6.

(2)・••AB=CD,AD=BC,

・・・四边形4BCD是平行四边形，

AD〃BC,

・•・∆AFB=乙CB