上海市罗南中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（教师版）

2023学年第一学期八年级数学期中测试卷

（测试时间90分钟，满分100分）

一、填空题（本大题共15题，每题2分，满分30分）

1.化简：亚=.

【答案】3g

【解析】

【分析】利用二次根式的性质化简即可.

【详解】厉=反§=3百

2.当x时，，2+3x有意义.

2

【答案】2—

3

【解析】

【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数即可求解.

【详解】解：依题意，2+3xN0

2

解得：x>一一

3

­、、,2

故答案为：之—.

3

3.如图，数轴上点A所对应的数为。，化简：—.

A

---1---1---1_•-1_

-1o1a2

【答案】〃—1##—1+Q

【解析】

【分析】本题主要考查了二次根式的化简；先根据数轴求出1-a<0,再根据病=时进行化简.

【详解】解：由数轴得：l<a<2,

「・1—QV0,

=a-1，

故答案为：a-1.

4.若最简二次根式j2a+5与,8-a是同类二次根式,则。=.

【答案】1

【解析】

【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键.利用同类二次

根式的定义列出关于a的方程，解方程即可得出结论.

【详解】解：\•最简二次根式仿3与是同类二次根式，

*,*2a+5=8—a,

a=1,

故答案为：1

5.、/5—5的有理化因式为.

【答案】行+5##5+收

【解析】

【分析】本题考查了有理化因式；根据有理化因式的定义（两个根式相乘的积不含根号）可得答案.

【详解】解：a—5的有理化因式为a+5，

故答案为：72+5-

6.计算：（2—3可=.

【答案】22-120

【解析】

【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式；利用完全平方公式展开即可.

【详解】解：（2-372）2

=4+18-1272

=22-1272>

故答案为：22-1272.

7.计算：.

aVa

【答案】—q

a~

【解析】

【分析】本题考查了二次根式的化简；首先判断出。<0,再利用二次根式的性质进行化简即可.

【详解】解：由二次根式LJ-工有意义可知"0,

aVa

.1I_r_1I_~a_1_1

a\aa2a\a\a-aa2

故答案为：—吁.

a

8.0-百的倒数为.

［答案］一0-6##-者-0

【解析】

【分析】本题考查了倒数，分母有理化；先根据倒数的定义表示出其倒数，再进行分母有理化即可.

LL10+6白及

【详解】解：亚-百的倒数为产同正由二一8一5

故答案为：—五—5

9.已知直角三角形的两边长分别为3、4.则第三边长为.

【答案】5或夕

【解析】

【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论.

【详解】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时，

第三边的长为：“2_32=币;

②长为3、4的边都是直角边时，

第三边的长为：742+32=5；

...第三边的长为：、)或5,

故答案为：J7或5.

10.等腰三角形的顶角为70。，则一腰上的高与另一条腰的夹角为.

【答案】20。##20度

【解析】

【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的高线，直角三角形两锐角互余；先作出图形，再根据高线

的定义得出")5=90。，然后计算的度数即可.

【详解】解：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC,顶角NA=70°,BD±AC,

：.ZADB=90°,

：.ZABD=90°-ZA=90°-70°=20°,

即一腰上的高与另一腰的夹角为20。，

故答案为：20。.

11.已知直角坐标平面内的三个顶点A、B、C的坐标分别为（4,3）、（1,2）、（3,T）,贝UABC

的形状是.

【答案】直角三角形

【解析】

【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，根据勾股定理求得A5A&5C的长，进而根据勾股定

理的逆定理，即可求解.

【详解】解：解：.；A、B、C的坐标分别为（4,3）、（1,2）、（3T）,

AB-=（4-1）2+（3-2）2=10）=（"3）2+（3+4）2=50）5c2=（3-1）?+（T-2）?=40,

：AB?+502=10+40=50，3=50，

AB-+BC2=AC2

...ABC是直角三角形，

故答案为：直角三角形.

12.命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是.

【答案】同位角相等，两直线平行

【解析】

【分析】根据把一个命题的题设和结论互换就得到它的逆命题解答即可.

【详解】•••原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等.

其逆命题为：同位角相等，两直线平行.

故答案为：同位角相等，两直线平行.

【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一

个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题称为另一个命题的逆

命题.

13.以线段MN为底边的等腰三角形的顶角顶点的轨迹是.

【答案】线段的垂直平分线（线段MV的中点除外）

【解析】

【分析】满足△MNC以线段MN为底边且CM=CN,根据线段的垂直平分线判定得到点C在线段的垂

直平分线上，除去与的交点（交点不满足三角形的条件）.

【详解】解：：△MNC以线段为底边，CM=CN,

...点C在线段MN的垂直平分线上，除去与的交点（交点不满足三角形的条件），

以线段MN为底边的等腰三角形的顶点C的轨迹是：线段的垂直平分线（线段的中点除外）.

故答案为：线段的垂直平分线（线段的中点除外）.

【点睛】此题主要考查垂直平分线的判定，解题的关键是熟知等腰三角形的性质及垂直平分线的判定定

理.

14.已知在4ABC中,CD是角平分线.NA=2/B,AD=3,AC=5,那么BC=.

【答案】8

【解析】

【分析】在BC边上截取CE=AC,易证AACDgAECD,由全等三角形的性质和等角对等边即可求出BC的

长.

【详解】在BC边上截取CE=AC,连接DE,如图所示：

VCD=CD,/ACD=/ECD,

...在AACD和AECD中，

AC=CE

<ZACD=ZECD,

CD=CD

.-.△ACD^AECD(SAS),

；.AD=DE,ZA=ZCED,

VZA=2ZB,

.•.ZCED=2ZB,

VZCED=ZB+ZEDB,

.•.ZB=ZEDB,

；.EB=ED,

；.EB=DA,

BC=EC+BE=AC+DA=3+5=8,

故答案为：8.

【点睛】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定和性质，解题的难

点在于添加辅助线，构造全等三角形.

15.如图，已知一A5C,将.A6C绕点A顺时针旋转，使点C落在边A3上的点E处，点8落在点。

处，联结如果NZMC=NO54,那么=______度.

【答案】36

【解析】

【分析】本题主要考查了旋转的性质以及三角形内角和定理，设N8AC=x,依据旋转的性质，可得

ZDAE=ZBAC=x,ZADB=ZABD=2x,再根据三角形内角和定理即可得出x.

【详解】解：设N8AC=x,由旋转的性质，可得

ZDAE^ZBAC=x,

:.ZDAC^ZDBA=2x,

又.AB=AD,

:.ZADB=ZABD=2x,

ABD中，ZBAD+ZABD+ZADB=1SQ°,

.,.x+2x+2x=180°，

.,.x=36°,

即ZBAC=36°,

故答案为：36.

c

二、选择题（本大题共5题，每题2分，满分10分）

16.二次根式，不、J/卡］、己、乎中最简二次根式有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】

【分析】根据最简二次根式的定义判断即可.

【详解】解：4痴、JE,

即最简二次根式有以71和日共2个，

故选B.

【点睛】本题考查是最简二次根式的有关知识，最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分

母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式.

17.己知AABC内一点P,如果点P到AB、AC两边的距离相等，则点P（）

A.在BC边的垂直平分线上B.在BC边的高上

C.在BC边所对角的平分线上D.在BC边的中线上

【答案】C

【解析】

【分析】根据角平分线的性质推出P在/BAC的角平分线上，即可得到答案.

【详解】解：

A

E

B

VPE±AB,PF±AC,PE=PF,

，P在/BAC的角平分线上，

故选C.

【点睛】考查对角平分线的性质的理解和掌握，能熟练地利用角平分线的性质进行推理是解此题的关键.

18.下列命题中，假命题是（）

A.对顶角相等B.内错角相等

C.两个全等三角形的面积相等D.同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行

【答案】B

【解析】

【分析】本题需先根据每一个命题进行判断，找出其中的假命题即可得出答案.

【详解】解：A、对顶角相等是真命题，故本选项不符合题意；

B、两直线平行，内错角相等，是假命题，故本选项符合题意；

C、两个全等三角形的面积相等是真命题，故本选项不符合题意；

D、同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，是真命题，故本选项不符合题意.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了命题与定理的有关知识，在解题时要能根据真命题和假命题的定义对每一项进行

正确判断，找出其中的假命题是本题的关键.

19.下列各组中的两个三角形一定全等的是（）

A.以100。为内角，10厘米为一边长的两个等腰三角形

B.斜边相等的两个直角三角形

C.有一边相等的两个等腰直角三角形

D.以4,9为边的两个等腰三角形

【答案】D

【解析】

【分析】熟练运用全等三角形的判定定理解答.做题时根据已知条件，结合全等的判定方法逐一验证.

【详解】解：A、只有一角和一边对应相等，不能判断全等.故本选项错误；

B、只有一角和一边对应相等，不能判断全等.故本选项错误；

C、当直角边和斜边对应相等时，不能判断全等.故本选项错误；

D、根据三角形的三边关系定理，得出三角形的三边为4,9,9,三边对应相等能判断全等.故本选项正

确；

所以选D.

【点睛】本题重点考查了全等三角形的判定定理，做题时要认真仔细，最好画草图结合图形进行判断.

20.如图，等腰三角形ABC的周长为21,底边BC=5,A8的垂直平分线。E交AB于点。，交AC于点E,

则ABEC的周长为（）

A.13B.14C.15D.16

【答案】A

【解析】

【分析】根据题干信息可知，本题考查线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，根据线段垂直平分线的

性质与等腰三角形的性质，通过线段间的等量代换即可求解.

【详解】:△ABC为等腰三角形，

；.AB=AC,

VBC=5,

；.2AB=2AC=21—5=16,即AB=AC=8,

而DE是线段AB的垂直平分线，

.•.BE=AE,故BE+EC=AE+EC=AC=8,

ABEC的周长=BC+BE+EC=5+8=13,

故选A.

【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰二角形的性质.

三、计算题（本大题共5题，每题6分，满分30分）

21.计算：（代+21）—（屈―后）

【答案】—逆+

23

【解析】

【分析】先将二次根式化简，然后合并同类项即可.

【详解】解：原式=（迫+独）_（3夜-3百）

*3存手3®

57211后

=------+------

23

【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合

并.

22计算：厂-%-一二（xwy）

，x-,yJx+Jy

【答案】。

【解析】

【分析】把x-y=（、&）L（百）1x+y=（、&Y+（6）2,不难发现分子上可用公式因式分解，再约分化简

即可.

=（4+⑻-（《+6）

=0

【点睛】此题考查的是二次根式的化简，要学会把平方差公式和完全平方公式用在此题是解决此题的关键.

23.解不等式：V2(X-V2)<A/3(X+A/I2)

【答案】X>-8A/2-8A/3

【解析】

【分析】本题考查了解一元一次不等式，分母有理化；根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤

解不等式，再把结果进行分母有理化即可.

【详解】解：去括号得：缶—2〈百x+6，

移项合并得：（血-石卜<8,

8

系数化为1得:〉7Tz3即x>-80-8G

2x+y=6+yj3

24.解方程组:

3x-2y=2+5有

x=2+6

【答案】

y=2-V3

【解析】

【分析】本题考查了解二元一次方程组，二次根式的运算，利用加减消元法进行求解即可.

2x+y=6+后①

【详解】解:

3x-2y=2+5有②

①义2+②得：7X=14+75

解得：x=2+6，

把x=2+g代入①得：2x（2+G）+y=6+G,

解得：y=2—y/3,

x=2+A/3

故方程组的解为：<仁.

y=2-13

171

25.已知。二百二万,忑豆万求+的值.

【答案】26

【解析】

【分析】先对小b分母有理化，然后a+b=26,ab=l,将后8+。〃因式分解，最后将

a+b=2y/3,a)=1整体代入计算即可.

详解】解：“丁丁尸乃痴西=用叵

j=1_73-72_巧B

EF回础百—行广”,

a+b=6+屈+6-贬=26，"=(6+3)(占-0)=3-2=1,

crb+ab2=ab^a+b^=lx2-\/3=2^/3.

【点睛】本题主要考查了分母有理化以及因式分解的应用，代数式求值，正确的对。、6分母有理化是解

答本题的关键.

四、简答题（本大题共4题，第26题6分，27-28每题7分，第29题10分，满分30分）

26.如图，四边形ABCD中，ZA=ZD，AB=CD,且点E、尸分别是线段A。、的中点.求

证：EF±BC.

【答案】见解析

【解析】

【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，证明"BE也口以得出

E8=EC,根据等腰三角形的性质，即可得证.

【详解】证明：•••点E是AD的中点，

•••EA=ED

在,ABE,OCE中，

EA=ED

<ZA=ZD,

AB=CD

：.tABE^DCE（SAS）,

EB=EC，

:点尸是BC的中点.

BF=FC,

：.EF±BC.

Tl.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端

距离地面2.4米.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，求小巷的宽

度.

【答案】2.2米

【解析】

【分析】先根据勾股定理求出A3的长，同理可得出3。的长，进而可得出结论.

【详解】解：在RtAACB中，ZACB=90°,5c=0.7米，AC=2.4米，

:.AB2=0.72+2.42=6.25.

在火/△A如中，■ZADB=90°,AO=2米，BD2+AD1=A!B^

：.BD2+^=6.25，

BD2=2.25，

BD>0,

，BD=1.5米,

...CD=BC+班>=0.7+1.5=22米,

与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意

图.领会数形结合的思想的应用.

28.如图，在四边形ABCD中，ZABC=ZADC^90°,对角线AC与3。相交于点O,M、N分别是边

AC,的中点.

(1)求证：MNLBD；

(2)当N3C4=15°,AC=10cm,QB=OA/时，求MN的长.

【答案】(1)见解析(2)2.5cm

【解析】

【分析】(1)连接9公DM.由直角三角形斜边上中线性质可得氏0=。河=L4。，由线段垂直平分

2

线的判定即可证明结果；

(2)由NBC4=15°及氏0=CN=^AC可得N5M4=30°,再由OB=OM得

2

NOBM=ZBMA=30。，在RtABMN中由含30度角直角三角形的性质即可求得MN的长.

【小问1详解】

证明：如图，连接3河、DM.

ZABC=ZADC^90°,点M、点N分别是边AC、5。的中点，

ABM=-AC,DM=-AC,

22

：.BM=DM=-AC,

2

:N是BD的中点，

/.MN是的垂直平分线，

：.MNLBD.

:.ZBCA=NCBM=15°,

:.ZBMA=30°,

OB=OM,

:.ZOBM=ZBMA^30°,

AC=10cm,BM=—AC,

2

..BM=5cm,

在RtABMN中,/BNM=90。,/NBM=30。,

：.MN=-BM=2.5cm,

2

B

【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的性质，含30

度角直角三角形的性质等知识，其中连接R欣、DW是解题的关键.

29.我们现给出如下结论：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，图形语言说明：如图1所示,

在Rt/VLBC中，NACB=90。，由CP是中线，可得

2

请结合上述结论解决如下问题:

已知：尸是，WC边A3上的一动点(不与A,B集合)，分别过点A、点8向直线CP作垂线，垂是分别为

点、E点F,。为边AB的中点.

(1)如图2所示,当点P与点。重合时,AE与BF的位置关系是,QE与QR的数量关

系是____________

(2)如图3所不，当点尸在线段A5上不与点。重合时，试判断QE与QE的数量关系，并给与证明.

(3)如图4所示，当点尸在线段B4的延长线上时，此时