2023年高考数学三轮复习练05圆锥曲线大题提高练（解析版）

【一专三练】专题05圆锥曲线大题拔高练-新高考数学复习

分层训练(新高考通用)

1.(2023•浙江•校联考模拟预测)已知双曲线C：£-1=l(a>0,b>0)的离心率为应，且

a~b

点42,1)在双曲线C上.

(I)求双曲线C的方程；

(2)若点M,N在双曲线C上，旦AML4V,直线MN不与y轴平行，证明：直线MV的

斜率上为定值.

【答案】⑴号-(=1

(2)直线MN的斜率k为定值-L

2

【分析】(1)根据离心率公式确定c="i,再根据双曲线经过点42,1)即可求解:

(2)利用韦达定理用坐标表示出AAf∙AN=O,进而可求解.

【详解】(1)由题可得离心率£=应，所以C=&”，

a

又因为c2=/+〃，所以九=宜,

所以双曲线方程为4-工=1,

aa

41

又因为双曲线过点A(2,l),所以三一==1,解得"=3,

aa"

所以双曲线方程为与-1=1.

(2)设直线MN的方程为y=丘+，居M(5,*N(∕,必)，

y=kx+m

联立(χ2y2^(↑-k2)x2-2kmx-m1-3=0,

-----------=1

33

贝打一公*0得公Xl,

Δ=4⅛2∕π2+4(l-⅛2)(∕n2+3)>0,得以>3^2-3,

2km-m2-3

X.+X=----7-,xx=-------Z-,

ɪ-2∖-k2'22i-⅛2

,/、-IlcmCIm

yl+y2=k{xl+x2)+2m=γ-^+2m=^-^,

加23人2

yy=(Ax+∕n)(fcr+m)=k2xx+⅛∕w(x÷x)+ιrr-------

}2l2l212I-At

因为4M"L4V,所以AM∙AN=O,

χ

所以(ι~2)(W-2)+(yl-l)(y2-1)=O,

即xtx2-2(xl+x2)+4+ylγ2-(yl+y2)+l=O,

-m2-3-4km.m2-3k2-Im

所以-------H----------T+4+-------r—■F--------+1=0,

l-⅛2∖-k2∖-k2∖-k1

所以l—2km—4k'—m=()即(1一2%一加)(2%+1)=0,

得1-2左一W=O或2&+1=0,

若l-2Z-m=0,则直线MV的方程为y=h+l-2%,

即y-1=Z(X-2)过点A(2,1),不符合题意，

若2Z+l=0,则Z=-！，满足AWLATV,

2

综上直线MN的斜率后为定值-g.

22

2.(2023•广东佛山•统考一模)已知椭圆「:与+4=1(a>b>0)的左焦点为R-1,0),

a^b^

左、右顶点及上顶点分别记为A、B、C,且CF-CB=I.

⑴求椭圆「的方程；

(2)设过/的直线PQ交椭圆「于AQ两点，若直线24、QA与直线/：χ+4=0分别交

于M、N两点，/与X轴的交点为K,则IMKHKM是否为定值？若为定值，请求出该定

值；若不为定值，请说明理由.

【答案】⑴工+q=1

43

(2)为定值9

【分析】(D首先表示C,B的坐标，即可得到CF,CB，根据CkCB=I及〃=〃—C?,

求出。，即可求出从，从而得解；

(2)设直线PQ的方程为x=1,Pa,χ),β(x2,y2),联立直线与椭圆方程，消

元、列出韦达定理，即可得到直线的方程为V=兰^(x+2),令X=T求出%,同

理得到后,则IMKHMVI=H,代入计算可得.

【详解】(1)解：依题意C(O力)，B(α,0),尸(To),所以CR=(T,-⅛),CB=(a,-b),

由OCB=1,可得〃一4=1,即/—α-2=0,解得α=2或Q=-I(舍去)，

故/=4,从=3,

所以椭圆r的方程为三+《=1.

43

(2)解：设直线PQ的方程为X=1,尸(不乂)，。(%，%)，

联立千+：=1,消去X整理得（3病+4）/一6阳一9=0,

b<6m-9

所以y+%==），y>2=22>，

3m+43m+4

直线A4的方程为y=-⅛7（x+2）,令X=Y,得VM=二¾=二⅛,

x1+2x1+2myλ+1

同理可得Zv=3、，

my2+1

所以IMKHKM=I%%∣=.二——史卢——

团弘+i加%+1|ImKy2+m（%+%）+ι

一36

_____3病+4_____=9

—9m26trΓ

-----------1------------F11

3“i2+43m2+4

故IAfKHKNl为定值9.

3.（2023•广东江门•统考一模）已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线M4与直

线V=X垂直，A为垂足且位于第一象限，直线与直线J7=-X垂直，B为垂足且位于

第四象限，四边形OAMB（O为原点）的面积为8,动点M的轨迹为C

（1）求轨迹C的方程；

（2）已知T（5,3）是轨迹C上一点，直线/交轨迹C于尸，。两点，直线7P,7。的斜率之

和为1,tanNP7Q=1,求.7PQ的面积.

【答案】(I)X2-V=16(X≥4)

55

⑵5

【分析】（1）设动点”伍，儿），由题意知IAM=E”，IBM卜色也由题意

√2√2

叫兄•叫对=8,化简可得轨迹C的方程；

√2√2

（2）设宜线TP的倾斜角为α,斜率为直线TQ倾斜角为夕，则7Q斜率为1-&,

tanα=htan∕=l-3由过点7直线与曲线C有两个交点确定人的范围，由

tanNPTQ=tan（b-0=1,解得无=3,从而可得直线7P、70的方程，与曲线C的方

程联立解得P,Q的坐标，求出IPTl及点。到直线TP的距离d,即可求出-TPQ的面积.

【详解】（1）设动点"（分，几），由题意知M只能在直线V=X与直线>=-X所夹的范

围内活动.

MM=区割，忸例I=吗阳，

11√211√2

动点"（与,几）在y=χ右侧，有Xo-%>o,同理有χ0+%>o,

∙.∙四边形Q4Λ仍的面积为8,.∙∙k^q.H⅛=8,即片-y：=16,

√2√2

所以所求轨迹C方程为f-y?=16（x≥4）.

（2）如图，设宜线TP的倾斜角为a,斜率为k,直线T0倾斜角为β,则TQ斜率为I-Jt,

tana=k,tanβ=∖-k,T（5,3）在曲线C上，过点T直线与曲线C有两个交点,

贝∣]A>1或k<-l,同时1一女>1或1一&<一1,解得A>2或Z<-l.

,CEC(C∖tanβ-tana∖-k-kY

tanNPT2=tan(夕一α)=ι+ra而,ana==1，解得人3或Z=O(舍去).

4=3时，直线TP的方程为y=3x-12,

联立H=T=消y得：χ2-9x+20=0,则X=4或X=5,得尸(4,0).

[x-y=16

直线TQ的方程为y=-2x+i3,

、fy=-2x+13,37(3735、

联ɔ»消y得：3χ2-52%+185=0,贝!∣x=~ς^或x=5,得。刀,一-二，

[x2-y=∖ι6r3V3ɜ√

∣P7,∣=√(5-4)2+(3-0)2=√10,

35

37+--12

点。到直线TP的距离,一3__110,

,√32+l2^3√10

S△“=LlmXd=LMx-4=生

^tpq21123√103,

方法二：IPTI=J(5-4)2+(3-0)2=M,

tanNPTQ=I,则SinNP7Q=孝,

S“加=；IrPllTQkinNPTQ=JXwX竿X*=]∙

4.(2023•浙江•永嘉中学校联考模拟预测)已知双曲线E的顶点为A(T0),8(1,0),

过右焦点F作其中一条渐近线的平行线，与另一条渐近线交于点G,且SAOR=逑.

点P为X轴正半轴上异于点6的任意点，过点P的直线/交双曲线于C,。两点，直线AC

与直线8。交于点H.

(1)求双曲线E的标准方程；

(2)求证：OP.OH为定值.

【答案】⑴--工=1

2

(2)证明见解析

【分析】(1)根据题意表示出G点的横坐标，求出纵坐标，表示面积即可求解;

(2)联立直线与双曲线方程，根据韦达定理证明求解.

r22

【详解】⑴设双曲线"W等v"易知

由题意可知：AOFG为等腰三角形，则%=；C，代入y=bZχ得:

2a

%嗯若,则S-K吟=

又C?=.?+/="从，贝懈得〃=&,

则双曲线E¢=1.

2

(2)设直线/的方程为：χ=ty+^f(^>0M∕n≠l),C(%,χ),θ(¾,y2)∙

X=ty+m

联立V2,消X得:y2+2mty+???2-1=0,

x2---=1

2

-2mtm2-1

y+%=—r二一W2-I/、

产,Xy22ɪ,、跖二与小+、2).

22

AUy=-^(X+1),(T)BDty=

ɪ%2(—ʃ1-i).②

联立①②，⅞⅛

乂为2=%(*+加)=。2必+6%，同理，MX2=以必+加必，

把它们代入/，得

XH=2电％+m(χ+%)+%f=-展(…)+皿…)+%-必

用(必一%)+%+必'"(3-%)+%+%

=如卢%)+…=ɪy∣+y2+m(必-M)=L

机(%-%)+必+%mm(y2-yi)+y2+ylm

故OP∙O"=∕n7=SXL=1,得证.

m

22

5.(2023•江苏徐州•徐州市第七中学校考一模)已知双曲线C:当■-与=l(α力＞0)的实

ab

轴长为4,左、右顶点分别为A，A2,经过点3(4,0)的直线/与C的右支分别交于M,N两

点，其中点”在X轴上方.当口X轴时，∖MN∖=2√6

⑴设直线MA,%的斜率分别为K,心，求¥的值；

Kl

(2)若NBA2N=2ZBAtM,求..A1MN的面积.

【答案】(1)-3；

⑵苧.

【分析】(1)法一：根据实轴长，求得。值，根据题意，求得IMM=2回，可得匕值，

即可得曲线C方程，设直线方程为x=)+4,与双曲线联立，根据韦达定理，可得

%+%，％为表达式，代入*■,化简整理，即可得答案.

法二：由题意，求得。，人的值，即可得曲线C方程，设MN方程为x=∕ny+4,与双曲

线联立，根据韦达定理，可得％+力，〉跖表达式，代入与，化简整理，即可得答案.

(2)法一：因为NBA2N=2∕8A,M,根据二倍角的正切公式，结合

k∣=ZBAtM,k2=Tan∕%N及々=-3勺，化简计算，可得/=B,进而可得MA方程，

3

与曲线C联立，可得M点坐标，即可得直线心V的方程，根据面积公式，即可得答案.

法二：设/%〃=。,，/%%=2。，由存=-3,结合二倍角正切公式，可得tane的

Kl

值，进而可得直线AM方程，与曲线C联立，可得X，同理可得必，代入面积公式，

即可得答案.

【详解】(1)法一：

因为24=4,所以α=2,令χ=4得丁=3/户，

所以IMM=2屏=2而，解得6=

22

所以C的方程为土r-匕=1

42

显然直线MN与y轴不垂直，设其方程为x="+4,

x=fy+4

联立直线MN与C的方程f2,消去X得(/一2b2+8)+12=0,

142

当*#2时，A=16—+96>0,

Qf12

设M(x∣,yj,N(w,%),则M+%=-yr：PyM=^TJ1-

y_1x+2

因为K=----，八。-----2-------2-

x∣+2^x2-22y2

&=(x∣+2)(w+2)6+6)(4+6)

所以

K2jly227%

12r48r,必

∕y%+6f(y+必)+36_7一尸一？+、

2%%24

产一2

法二:

2α=4

4=2

由题意得从=2忖解得

2⅛=√2,

・••双曲线C的方程为j*l

设MN方,程为X=，政+4,M(Xl,X),N(Λ2,%),4(-2,0),A(2,0),

:,乙，可得(加一2)丁+8叩+12=0,加、2,

联立

8/7?

2212

∆=64w-4(∕n-2)x12=M+6>0,>∙∣+y2=~

k[=

xl+2

.⅛=%,西+2=乃(冲|+6)=，明%+6、2

2

⅛⅞-y∣W%+2)y∣myty2+2(y,+y2)-2y2

12U

m∙Fʒ+6%

m—2=.m.-2--------=-3

~12-16m-4m

m`2J2「2%ʌ-2),2

m-2m-2m-2

(2)法一:

因为，=,

a

所以tan/B&N=Un2ZBA,M=EtInf,

1-tan/BA1M

又因为Al=tan∕8A]M,A2=-ta∏z×BA27V,

_,2k、,2k.

所以一"=］二J'即B二万一7»（※）

1"""＜c∣K、1

2k

1

将七=-3ki代入（※）得一3仁二—■,

Kl--ɪ

因为Af在X轴上方，所以K=更，所以直线MA方程为y=

+2),

y=-x+2)

联立C与直线MA方程,消去V得，X2-8X-20=0,

X2y2

=1

彳一2

解得x=10或x=-2(舍),所以M(IO,46),

代入…,得γ,所以直线MN方程为X=孝y+4，

f6，

X=——y+4

,2,,消去X得，5∕-16√3>∙-48=0,

联立C与直线MN方程

-X-------y--=11

42

解得尸或y=-生叵，

所以AMN的面积为:内即|必-刃=36XgG=，G∙

法二:

设NBAM=aNBA,N=2。，由餐=-3,可得=3,

K1tan。

.,「2=3,解得tan”走，

l-tan26>3

∙'∙AM方程:X=Wy-2,

：=严:一：，可得丫2-4百y=°，解得％=46，

联立

X-2y=4

同理联立卜=Fy+2,解得y，=一还，

x2-2y2=45

.°IAl|_a24√3_72√3

3-

∙∙SAIMN=-∙6∙∣Λ-y2∣=∙7-=$•

6.（2023•江苏泰州•统考一模）已知双曲线（7吞-与=1（々＞0,。＞0）的左顶点为人，过左

a-b2

焦点F的直线与C交于P,Q两点.当尸Q∙Lx轴时，|P4∣=J而，ZV5AQ的面积为3.

（1）求C的方程；

（2）证明：以PQ为直径的圆经过定点.

【答案】⑴，P

(2)证明见解析

+(c-α)2=(Tio)

h2ɪ”

【分析】(1)根据题意，可得IPFI=c-a')=3,进而求解;

2a

c2=a^+b2

(2)设PQ方程为X=阳-2,尸(与,*),。仇,必)，联立宜线和双曲线方程组，可得

(3〃/-1)/-12/y+9=0,以PQ为直径的圆的方程为

(X-XJ(X-w)+(y-y)(y-%)=0，由对称性知以PQ为直径的圆必过X轴上的定点,

进而得到d-(玉+x1)x+xyx2+y^2=0,进而求解.

【详解】(1)当PQ∙Lx轴时∙，RQ两点的横坐标均为-c,

序F

代入双曲线方程，可得%,=(,%=-?，即IPFI=Y，

(τ^)+(c-√=(Vio)2

ɪ9⅛2

由题意，可得----(c-a)=3,解得。=],/?=百，c=2»

2a

c1=a2+⅛2

(2)方法一：设PQ方程为X=吟2,P(xi,yi),Q(x2,y2),

X=my-22

3f-y2=303仙2,2_4冲+4)-y2=3=>(3M-1)y-12∕nγ÷9=0,

以PQ为直径的圆的方程为(x—x)(x—w)+(y—y)(y—%)=。，

22

x-(xt+x2)x+xfx2+y-(yt+y2)y+yty2^O,

由对称性知以PQ为直径的圆必过X轴上的定点，令y=0,可得

2

X-(x1+Λ2)X+X∣X2+yly2=0,

一12机24

ffijx,+x=ffl(y+j)-4=-ʃ--4=ɔ,

2l23m-13m-1

-3∕TZ2-4

XIX2=(my-2)(∕ny-2)=w2γγ-2∕π(y+y)+4=；,,,

t2l2125m~-1

.∙.x2-----Y—X+二吗二」+—2—=On(3»?-1)X2-4X+5-3m2=0

3m2-l3m2-l3m2-lv,

=[(3>一1卜+3，"2-5](X-I)=O对TMeR恒成立，:.x=\,

以尸。为直径的圆经过定点(LO)；

方法二：设尸。方程为χ=∕κy-2,P(XQ),。(七,力)，

jɜʌɔn(3"，-1)y2^12阳+9=0,

由对称性知以P。为直径的圆必过X轴上的定点.

设以PQ为直径的圆过E(∕,0),

2

EP-EQ=0=>(x1-∕)(¾-z)+y1y2=0=>xλx2-f(x1+x2)+r+y1y2=0,

而AiW=(mχ-2)(冲2-2)=nryxy2-2∕∕z(y1+y2)+4

-ɪ-2,r-^÷4=-w-4

3∕W2-13疗-13/-1

/、12疗4

X+Λ=m(K+V)-4ZI=——------4=--——

,20v1273∕n2-l3zn2-l

—3∕∏2—44/)9C

/.-----ς------------∑——+/'+一∑——=0,

3m~-13∕n~—I3∕n2—1

(W-l)r-4r+5-3济=0,即[(3m2-l)r+3/-5](r-1)=0对VmeR恒成立,

：.t=1,即以PQ为直径的圆经过定点(1,0).

7.(2023•辽宁葫芦岛•统考一模)在平面直角坐标系中，已知点4-2,0),8(2,0),直线

3

Rl与直线PB的斜率乘积为-二，点P的轨迹为

4

(1)求用的方程；

(2)分别过耳(-1,0),K(1,0)做两条斜率存在的直线分别交M于C,。两点和E,尸两点,

117

且两+两二五,求直线CO的斜率与直线E尸的斜率之积∙

22

【答案】(1)—r+Lv=l(y≠O)

43

⑵±1

【分析】(1)设P(X,y),利用题意得到上;=-：，化简即可；

',x-2x+24

(2)设直线CQ为：y=4(χ+l),直线E/为：y=A2(x-l),分别与M联立，利用韦

117

达定理和弦长公式可求得18∣,IEFl,代入77W+;而=百即可求解

ICD∖IErI12

【详解】(1)设P(χ,y),因为直线出与直线尸8的斜率乘积为

所以一¾∙-¾=-

X—2x+24

22

整理得点P的轨迹为M为工+二=l(y≠O)

43

(2)设直线CD为：y={(x+l)①

设直线EF为：y=%(xT)②

22

将①与曲线M联立得：(3+4⅛1)x+80+需—12=0,

设Ca,y),。(刍,必)‘，χ∣+χ2=31:,，中2=”二：

所以∖CD∖=Jl+J：ʌʃ(ɪ,+x)^-4XX

2I2=M⅛-4×≡=¾S1

将②与曲线M联立得：(3+4£卜2-8居》+4居-12=0,

，

设E(Λ3,%),F(X4,%)毛+匕=言百,鼻七=受;占，

_4⅛-12-12(1÷≤)

24x

所以I=7i+^^7(⅞+χ4)-4¾χ4

3+4片3+4代

所以—L+-L=3+嵋+3+优=附后+7(将+©+6」

∖CD∖IEFj120+片)12(1+J⅛)12(1+。+片+片卮)12

解得好片=1,所以椎2=±1

8.(2023•江苏南通•统考模拟预测)已知A(XQj8(孙％)，C(W,%)三个点在椭圆

2

-+y2=∖,椭圆外一点尸满足。P=2AO,BP=2CP,(。为坐标原点).

2

⑴求卬⅛+2%%的值;

(2)证明：直线AC与OB斜率之积为定值.

【答案】⑴孑

(2)证明见解析

【分析】(1)设P(χ,y),根据向量关系用玉，七，%，%表示多，为，代入椭圆方程即可求

解;

(2)用》,孙如月表示不，必，代入斜率公式即可求解.

X=-2x

【详解】(1)设P(χ,y),因为OP=2A0,所以(χ,y)=2(fX)解得1

J=

1

£=一%+产

又因为BP=2CP，所以(一2玉一Λ,-2yI-%)=2(-2毛一毛,一2X-%)解得，

21

%=一弘+］必

因为点C在椭圆上,

2

2

所以x2“I1.

+(-%+(%=1=>-lL÷V^÷-1

2142

即XX2+2y∣%=g∙

(2)设直线Ae与。8斜率分别为3c，自2,

一M+3必-Mv-2%必+：货

-------2X三=-------2—

~2xix2~l~^x2

112

1xx

中2-5Λ~^21

442^------J=是定值.

1

xCɪ22

-2χ%+22-ZX1X2+2

9.(2023•河北衡水•衡水市第二中学校考模拟预测)已知抛物线C：y2=2pχ(p>o)和

22

椭圆E：A[+?=1.〉。)有共同的焦点F

(1)求抛物线C的方程，并写出它的准线方程

(2)过/作直线/交抛物线C于P,。两点，交椭圆E于M,N两点,证明：当且仅当

∖PQ∖

/'X轴时，瑞取得最小值

【答案】(1)抛物线方程为>2=4X,准线为X=-L

(2)证明见解析

【分析】(1)根据椭圆中“。，"c”的关系求出焦点，根据共焦点即可求解；

(2)利用韦达定理分别表示出∣PQ,IMNl,即可证明.

22

【详解】(I)根据椭圆E：工+L=l(a>0)可得c2=a+i-a=ι,所以c=l,

则椭圆的右焦点F(Lo)也为抛物线的焦点，所以5=1,解得P=2,

所以抛物线方程为V=4x,准线为X=-L

(2)由题可得，直线/的斜率不等于0,所以设/：X=冲+1,

设P(Xl,%),。(马，力)，

联立∣y=j整理得y2-4∕ny-4=0,

所以％+%=4见y%=-4,

222

所以I尸0=∖∣l+my∣(yl+y2)-4γ1y2=4∕M+4,

设MQ,%)，N(X4,丫4)，

X=my+\

联立，X2y2整理得(〃〃/+々+Dy?+2a∕πy-/=O,

------÷-=1

.a+∖a

2ama2

所以为+为

嬴EW一藐E

4a2m2+4a2

所以IMM=√I+^2√(Λ+Λ)2-4>,3Λ=

(≡2+a+l)2am2+a+∖

所以IMNl=眸也回,

am+6Z+1

所以盥(J""=+2，因为“为常数，

∣M7V∣a∖Ja+∖

∖PQ∖

所以当病=O，即M=O时，端取得最小值，

此时/的方程为X=1垂直于X轴,所以命题得证.

22

10.(2023•河北石家庄•统考一模)已知点P(4,3)在双曲线C⅞-⅛=l(a>0,b>O)

a^b~

上,过P作X轴的平行线,分别交双曲线C的两条渐近线于M,N两点，I尸MI∙I/WI=4.

(1)求双曲线C的方程；

⑵若直线/:y="+机与双曲线C交于不同的两点A,B,设直线∕¾,P8的斜率分别

为K,k2,从下面两个条件中选一个(多选只按先做给分)，证明：直线/过定点.

①k}+k2=∖•(2)k`k?—1.

【答案】⑴£-4=1

43

、43

(2)选①直线/过定点(z-2,3)；选②直线/过定点g,/)

【分析】(1)求出双曲线的渐近线，得到例,N两点的坐标，利用IPMl∙∣PN∣=4及点在

双曲线上可得方程；

(2)选择两个条件都是先联立方程，得出韦达定理，结合斜率之和或者之积得到左,〃?的

关系式，从而可得定点.

【详解】(I)由题意可知：点p(4,3)在双曲线上，所以与-3=1；

过「做X轴的平行线y=3,与y=±2χ相交于M,N两点，那么M,N两点可求：

a

M(¥，3),N(-半,3)；

bb

C一3。彳3α∣L9a2169,C

所以4一7∙4+了=16--育=Q2=cι2=4y1,所trrι以。=2；

代入学-∙⅛=1,可知6=6所以双曲线的方程为(-4=1.

ab43

(2)选①：由题意可知，直线/与双曲线C交于不同的两点48,

ELX=I

设Aa,乂),3(々,必)，联立方程:彳43,

y=kx+m

得(3-4%2)χ2-8hnχ-4∕√-12=0,

所以3-4%2/0,△=(Skm)2-4(3-4k2)(-4∕n2-12)>0,BP∕n2+3-4it2>0；

8km-4∕n2-12

百+“百庄=Er-

由条件占+《=1，所以J+2½=1,

所以U2-4)(g+w-3)+(x1-4)(AX2+〃?-3)=(Xl-4)(9-4),

整理可得2例/÷(^-3-4⅛)(x1+x2)-8(zn-3)=x1x2∙~4(x1+x2)+16,

代入韦达定理得m2+2knι-Sk2—6k—6m+9=O,

gp(m-2k-3)(W÷4⅛-3)=0,

解得，”=2%+3或m=TA：+3；

当m=2A+3时，y=kx+m=kx+2k+3>=k[x+T)+3,则直线/过定点(一2,3)；

当机=T%+3时，y="+%=H-4Z+3="(x-4)+3,则直线/过定点P(4,3),不合题

意；

综上可得，直线/过定点(-2,3).

选②：由题意可知，直线/与双曲线C交于不同的两点A,8,

E上=1

设Aα,χ),8(Λ2,%),联立方程:43-,

y=kx-∖-m

得(3-)/-8hnr-4>-12=O,

所以3-4/*0,△=(-8fan)2—4(3-4Λ*2)*47(-4∕M2-12)>0,即/+3-4A>O；

Skm-4m2—12

国+”2=彳记当々=3—4公，

由条件发他=1，得”,泻=1，

X1-4W-4

(fcv+m)(kx2+m)-3[(fcv+m)+(Ax+〃?)]+9

即ll2

-

(ɪi4)(xl—4)

k2xx+km(x+x)+m2-3k(x+x)-6m+9

整理可得l2l2l2=1.

xlx2-4(ΛI+Λ2)+16

代入韦达定理，整理可得Im2+32km+16⅛2-18^-9=O,

4*+3

即(7m+4Z+3)(,,+4%—3)=0,解得m=—"上或W=TA+3,

7

4Z-+34"+34343

当加=------时，y=kx+m=kx-------=k(x一一)一一，则直线/过定点(一,--)；

777777

当机=y4+3∏寸，y="+m="-4∕+3=Z(x-4)+3,则直线/过定点P(4,3),不合题

意；

43

综上可得，直线/过定点(三,-9).

77

【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是利用韦达定理把4+占=1或々向=1进行转化,

然后把求解方程得出玄机的关系式，从而可得定点，定点问题虽然运算过程繁琐，但是

求解思路较为明确.

22

U.(2023∙福建漳州•统考二模)已知椭圆c:二+4=1(“>b>0)的左、右焦点分别为K,

Crbt-

6,且内闾=4.过右焦点K的直线/与C交于A,8两点，AB耳的周长为80.

（1）求C的标准方程；

（2）过坐标原点。作一条与垂直的直线交C于尸，。两点，求踹的取值范围；

（3）记点A关于X轴的对称点为“（异于B点），试问直线是否过定点？若是，请求

出定点坐标；若不是请说明理由.

22

【答案】（1）1+—=1

84

⑵;,夜

（3）过定点,定点为（4,0）

【分析】（1）根据题意列式求解a，。，c，即可得结果：

（2）根据题意设直线AB,PQ的方程，与椭圆联立，结合韦达定理求卜瓦伊。，即可得

ɪ^lɪ,换元结合二次函数运算求解，注意讨论直线/是否与X轴重合；

（3）根据题意求直线的方程，结合韦达定理化简整理即可得结果，注意讨论直线/

是否与X轴重合.

2c=4L=2√2

【详解】（1）由题意可得在a=8&,解得6=2,

a2=b2+c2c=2

22

故椭圆C的标准方程J+2=1.

84

（2）由（1）可知:玛（2,0）,则有:

1lmx

当直线/不与X轴重合时，设/:x=，政+2,A（Xl,乂）,8（々,力），WJ'-y=->

X=my+2

联立直线/与椭圆C的方程,消去工得（W+2）V+4/敌—4=0,

184

4

贝IJΔ=(4〃?)一+16(W2+2)=32(m2+1)>0,y∣+%=----VM=

m2+2

2

故IM=标后q164√2(W+1)

∕n2÷2∕n2+2

y=-mx

8

联立直线r与椭圆C的方程X2y2消去），得V=

—+—=12W2+1

184

设P(Xo,ʃo)'则ΛO=ʒ^^Γ~T,

'2m+1

故=2∖OF↑=2收+尤=2m

令'=±e(°T'则八=:2,

•.•》=3/—5/+2的对称轴为/=：,则了=3/—5，+2在（0，4上单调递减，且

6I2-

.ɔ,1

yl,=o=2,y∣=-,

.l4

2

.∙.γ=3∕-5r+2eΓl2Y故嗡=G?-5r+21今⑸；

当直线/与X轴重合时，则/：y=O,r：X=0,故铝瞿=某=血；

∖PQ∖2b

综上所述：嗡的取值范围为夜.

IʃUILZ.

（3）过定点，理由如下:

当直线/不与X轴重合时，设/:》=帆+2（切*0）,4（5,）1）,8&,丫2），则Ma,-y），

4/?i4

由（2）可得：y+y=---≠0,y,y=---,

l2mr+22mr+2

则直线BM的斜率即M=上±匹，

X\~X2

故宜线BM的方程y+%="也（X—%）,即X=,

%一9y+%y+必

8/7?

对XJ2+々M=（，孙+2）%+（冲2+2））1=2叫%+2=一，/+2+2=4