2024届江苏省镇江市润州区数学九年级第一学期期末统考试题含解析

2024届江苏省镇江市润州区数学九年级第一学期期末统考试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（每题4分，共48分）

1.如图，在平面直角坐标系中抛物线y=（x+1）（x-3）与x轴相交于A、B两点,若在抛物线上有且只有三个不同

的点G、。2、C3,使得AABCi、AABC2.母45。3的面积都等于加，则机的值是（）

A.6B.8C.12D.16

2.如图，AA5C是等边三角形，点。,E，R分别在AB,BC,AC边上，且AD=BE=CF若DELBC,则

ADEF与AABC的面积比为（）

D.—

3

3.已知3x=4y,则一=()

y

D.以上都不对

2

4.反比例函数y=*的图象位于平面直角坐标系的（）

A.第一、三象限B.第二、四象限C.第一、二象限D.第三、四象限

2（。-x）2—x—4,

n1—V

5.如果关于x的分式方程------3=一；有负分数解，且关于x的不等式组3尤+4、的解集为xv・2,那么

I2

符合条件的所有整数a的积是（）

A.-3B.0C.3D.9

6.如图，直线y=一无与反比例函数y=-g的图象相交于4、

B两点,过A、5两点分别作y轴的垂线，垂足分别

X

为点C、D,连接AD、BC,则四边形ACB。的面积为（)

A.4B.8C.12D.24

rn

7.如图，一次函数%=丘+。（左W0）的图象与反比例函数为-（加为常数且加wO）的图象都经过

x

A（-1,2）,B（2,-1）,结合图象,则不等式依+人〉'的解集是（)

X

B.-1<<0

C.%v—1或0<x<2D.一1<%vO或%>2

8.在平面直角坐标系xOy中，以点（一3,4）为圆心，4为半径的圆（）

A.与x轴相交，与y轴相切B.与x轴相离，与y轴相交

C.与x轴相切，与y轴相交D.与x轴相切，与y轴相离

9.如图，在平面直角坐标系中，RtAABO中，ZABO=90°,OB边在x轴上，将AABO绕点B顺时针旋转60。得到△

CBD.若点A的坐标为（-2,273），则点C的坐标为（)

A.(73，1)B.(1,G)C.(1,2)D.(2,1)

10.如图所示，图中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()

A.W'B.C.(^)

11.用配方法解方程x?+l=8x,变形后的结果正确的是()

A.(X+4)2=15B.(X+4)2=17C.(X-4)2=15D.(x-4)』7

12.将抛物线y=2/向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为().

A.y—2(x+2)2+3；B.y—2(x—2)"+3；

C.y-2(x—2)"—3；D.y=2(x+2)"—3.

二、填空题(每题4分，共24分)

13.如图，在△A3C中，AB=4,BC=7,ZB=60°,将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△AOE,当点3的

对应点。恰好落在3c边上时，则CD的长为.

14.如图，某小型水库栏水坝的横断面是四边形ABC。，DC//AB,测得迎水坡的坡角a=30。，已知背水坡的坡比为

1.2：1,坝顶部DC宽为2m，坝高为6m,则坝底48的长为m.

16.如图，边长为1的正方形网格中，AABC的顶点都在格点上，则AABC的面积为；若将AABC绕点。顺

时针旋转60。，则顶点A所经过的路径长为

17.如图，RtABC中，NC=90。，AC=10,BC^l.动点尸以每秒3个单位的速度从点A开始向点C移动，直线/

从与AC重合的位置开始，以相同的速度沿C8方向平行移动，且分别与C8,A5边交于E,尸两点，点尸与直线/同

时出发，设运动的时间为f秒，当点尸移动到与点C重合时，点尸和直线/同时停止运动.在移动过程中，将PEF

绕点E逆时针旋转，使得点尸的对应点M落在直线/上，点厂的对应点记为点N,连接BN,当5N〃尸E时，f的值为

C

18.二次函数y=（x—2y+1图象的对称轴是.

三、解答题（共78分）

19.（8分）某学校自主开发了A书法、B阅读，C绘画，D器乐四门选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均

等.

（1）若学生小玲计划选修两门课程，请写出她所有可能的选法；

（2）若学生小强和小明各计划选修一门课程，则他们两人恰好选修同一门课程的概率为多少？

20.（8分）如图，是。。的直径，是圆上的两点，且/54C=2O。，AD^CD-

（1）求NABC的度数；

（2）求NACD的度数.

21.（8分）如图，A5是。的直径，点E、C在。上且诙=&，连接过点。作交AE的

延长线于点D.求证：CD是）。的切线；

D,

22.（10分）已知，二次三项式-X2+2X+1.

（1）关于x的一元二次方程-x?+2x+l=-mx2+mx+2（m为整数）的根为有理数，求m的值；

（2）在平面直角坐标系中，直线y=-2x+n分别交x,y轴于点A,B,若函数y=-x?+2|x|+l的图象与线段AB只有

一个交点，求n的取值范围.

23.（10分）如图，AB是。。的直径，C是。O上一点，且AC=2,ZCAB=30°,求图中阴影部分面积.

24.（10分）如图，利用135。的墙角修建一个梯形ABC。的储料场，其中并使NC=90°,新建墙8C上

预留一长为1米的门砂.如果新建墙BE-EC-CD总长为15米,那么怎样修建才能使储料场的面积最大？最大面积

多少平方米？

25.（12分）如图，在平面直角坐标系中，NACB=90。，OC=2BO,AC=6,点B的坐标为（1,0）,抛物线y=-

x?+bx+c经过A、B两点.

（1）求点A的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D,交线段AB于点E,使PE=^DE.

2

①求点P的坐标；

②在直线PD上是否存在点M,使^ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请

说明理由.

26.如图，△048和△。。中，0A=0B,0C=0D,ZAOB=ZCOD=a,AC.5。交于M

图1图2图3

(1)如图1,当a=90°时，NAMD的度数为°

(2)如图2,当a=60°时，NAMD的度数为°

(3)如图3,当△OCD绕。点任意旋转时，与a是否存在着确定的数量关系？如果存在，请你用表示NAMZ),

并图3进行证明；若不确定，说明理由.

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、B

【分析】根据题目中的函数解析式可以求得该抛物线与x轴的交点坐标和顶点的坐标，再根据在抛物线上有且只有三

个不同的点Cl、C2、C3,使得AABG、AABC2,AABC3的面积都等于m,可知其中一点一定在顶点处，从而可以求

得m的值.

【题目详解】•••抛物线丫=(x+1)(x-3)与x轴相交于A、B两点，

-1+3

...点A(-1,0),点B(3,0),该抛物线的对称轴是直线x=——=1,

2

.*.AB=3-(-1)=4,该抛物线顶点的纵坐标是：y=(1+1)x(1-3)=-4,

•••在抛物线上有且只有三个不同的点Cl、C2>C3,使得AABC1、AABC2>AABC3的面积都等于m,

故选B.

【题目点拨】

本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和

数形结合的思想解答.

2、C

【分析】根据等边三角形的性质先判定AD历是等边三角形，再利用直角三角形中30°角的性质求得5。=25E,

DE=«BE,进而求得答案.

【题目详解】AABC是等边三角形

,-.AB=BC=AC,ZA=ZB=ZC=60°,

AD=BE=CF,

:.BD=CE=AF,

：.ABDE=ACEF=AAFD,

:.DE=EF=DF,

.•.ADEF是等边三角形，

ADEFAABC,

DELBC,ZB=60°,

:.BD=2BE,DE=6BE,

AD-BE，

AB=3BE9

:.DE:AB=6,BE:3BE=03,

'''S3F：SAABC=（^：3）2=1：3=1.

故选：c.

【题目点拨】

本题主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等边三角形的判定与性质、直

角三角形的性质及相似三角形的判定与性质.

3、A

4

【分析】根据3x=4y得出x=^y,再代入要求的式子进行计算即可.

【题目详解】V3x=4y,

4

；・x=-y,

故选：A.

【题目点拨】

此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质即两内项之积等于两外项之积是解题的关键.

4、A

2

【解题分析】试题分析：・・・k=2>0,・・・反比例函数y=7的图象在第一，三象限内，故选A.

考点：反比例函数的性质.

5、D

2（。-x）>-x-4①

【解题分析】解：[3x+4/，由①得:烂2a+4,由②得:xV-2,由不等式组的解集为x<-2,得到2a+4>-2,

------<龙+]②

I2

_7

即生-3,分式方程去分母得：a-3x-3=1-x,把a=-3代入整式方程得：-3%-6=1-x,即％=---,符合题意；

2

把〃=-2代入整式方程得：-3x-5=1-x,即x--3,不合题意；

把e-1代入整式方程得：-3x-4=l-x,即x=—符合题意；

2

把a=0代入整式方程得：-3x-3=1-X,即x=-2,不合题意；

3

把。=1代入整式方程得：-3x-2=l-x,即％=——,符合题意；

2

把〃=2代入整式方程得：-3x-1=1-x,即x=L不合题意；

把a=3代入整式方程得：-3x=l-x,即x=符合题意；

把。=4代入整式方程得：-3x+l=l-x,即x=0,不合题意，.•.符合条件的整数a取值为-3；-1；1；3,之积为1.故

选D.

6、C

【分析】根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系

即S='|k|,得出SAAOC=SAODB=3,再根据反比例函数的对称性可知：OC=OD,AC=BD,即可求出四边形ACBD的面

2

积.

【题目详解】解：•.•过函数y=-9的图象上A,B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C,D,

X

・1

••SAAOC=SAODB=一|k|=3,

2

XVOC=OD,AC=BD,

••SAAOC=SAODA=SAODB=SAOBC=3,

•二四边形ABCD的面积为=53（^+540»4+540»3+3408《=4X3=1.

故选C.

【题目点拨】

本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，一般的，从反比例函数y=&（左为常数，厚0）图象上任一点P,向x

X

轴和y轴作垂线你，以点尸及点尸的两个垂足和坐标原点为顶点的矩形的面积等于常数四，以点P及点尸的一个垂足

和坐标原点为顶点的三角形的面积等于;闷.

7、C

【分析】根据一次函数图象在反比例函数图象上方的X的取值范围便是不等式6+。>-的解集.

X

【题目详解】解：由函数图象可知，当一次函数％=履+6（左/0）的图象在反比例函数%='（加为常数且加wO）

X

的图象上方时，X的取值范围是：x<—1或0<%<2,

rrj

...不等式依+b〉一的解集是x<—1或0（尤<2.

x

故选C.

【题目点拨】

本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集.利用数形结合是解题的

关键.

8、C

【解题分析】分析：首先画出图形，根据点的坐标得到圆心到X轴的距离是4,到Y轴的距离是3,根据直线与圆的

位置关系即可求出答案.

解答：解：圆心到X轴的距离是4,到y轴的距离是3,

4=4,3<4,

二圆与x轴相切，与y轴相交，

故选C.

9、B

【解题分析】

作轴于〃，如图，

•点A的坐标为（-2,2g轴于点5,.，.tan/R4C="=3百，

AB

：.ZA=3&，

■:“BO绕点5逆时针旋转60。得到△CBZ）,

:.BC=BA=26,OB=2,ZCBH=30，

在RfACBH中,CH=；BC=3A/3,

BH=6cH=3，

OH=BH-OB=3-2=1,

AC（1,V3）

故选：B.

【题目点拨】

根据直线解析式求出点A的坐标，然后求出AB、OB,再利用勾股定理列式求出OA,然后判断出/C=30。，©D〃*轴

,再根据直角三角形30。角所对的直角边等于斜边的一半求出BE,利用勾股定理列式求出CE,然后求出点C的横坐标

,再写出点C的坐标即可.

10、C

【解题分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义（轴对称图形是沿某条直线对折，对折的两部分能够完全重合的

图形，中心对称图形是绕着某一点旋转180°后能与自身重合的图形）判断即可.

【题目详解】解：A选项是中心对称图形但不是轴对称图形，A不符合题意；

B选项是轴对称图形但不是中心对称图形，B不符合题意；

C选项既是轴对称图形又是中心对称图形，C符合题意；

D选项既不是轴对称图形又不是中心对称图形.

故选：C.

【题目点拨】

本题考查了轴对称图形与中心对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的判断方法是解题的关键.

11,C

【解题分析】x?+l=8x,移项，得A2―•分=-1,配方,得解一分+42=-1+42,即（X—4）2=15.

故选C.

点睛：移项得时候注意将含有未知数的项全部移到等号左边，常数项全部移到等号右边.

12、B

【分析】根据抛物线图像的平移规律“左加右减，上加下减”即可确定平移后的抛物线解析式.

【题目详解】解：将抛物线y=2/向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为

y=2（x-2丫+3,

故选B.

【题目点拨】

本题考查了二次函数的平移规律，熟练掌握其平移规律是解题的关键.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、3

【解题分析】试题解析：由旋转的性质可得：AD=AB,

ZB=60,

.,.AA3Z＞是等边三角形，

：.BD=AB,

；A3=4,BC=7,

：.CD=BC-BD=7-4=3.

故答案为3.

14、（7+66）

【解题分析】过点C作CELAB,DF±AB,垂足分别为：E,F,得到两个直角三角形和一个矩形，在R3AEF中利

用DF的长，求得线段AF的长；在RtABCE中利用CE的长求得线段BE的长，然后与AF、EF相加即可求得AB的

长.

【题目详解】解：如图所示：过点C作CE_LAB,DF±AB,垂足分别为：E,F,

Va=30°,

ECr-

BE=------=6y3(m)

tan30°

,••背水坡的坡比为1.2：1,

•DF_1.21.2

*'AF~AF^1'

解得：AF=5(m),

贝！IABMAF+EF+BEMS+Z+GT^(7+673)m,

故答案为(7+673)m.

【题目点拨】

本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是利用锐角三角函数的概念和坡度的概念求解.

5

15、-

2

【解题分析】试题分析：本题主要考查的就是比的基本性质.根据题意可得：二匕=：+9=:+i=N+i=g.

bbbb22

16、3.5；巫巴

3

【分析】(1)利用AABC所在的正方形的面积减去四周三个直角三角形的面积，列式计算即可得解；

(2)根据勾股定理列式求出AC,然后利用弧长公式列式计算即可得解.

【题目详解】(1)△ABC的面积=3X3-'X2X3-'X1X3-'X1X2,

222

=9-3-151

=3.5；

(2)

由勾股定理得，AC=JF+32=质,

所以，点A所经过的路径长为6°•。河=」匝

1803

故答案为：3.5；巫石.

3

【题目点拨】

本题考查了利用旋转的性质，弧长的计算，熟练掌握网格结构，求出AC的长是解题的关键.

40

17、—

21

EC

【分析】作NfiLLbC于首先证明NP£C=NN£5=NN5E,推出根据cosNPEC=cosNNE5,推出——

=——,由此构建方程解决问题即可.

EN

【题目详解】解：作于H.

VEF±BC,ZPEF=ZNEF9

:.ZFEC=ZFEB=90°9

O

VZPEC+ZPEF=9009ZNEB+ZFEN=909

：.ZPEC=ZNEB,

•:PE〃BN,

：.ZPEC=ZNBE,

工NNEB=NNBE,

：.NE=NBf

•:HNtBE,

：.EH=BH,

cosNP£C=cosNME",

.EC_EH

^~PE~~EN9

■:EF〃AC,

,EF_BE

•・花一拓’

.EF_16—3，

••,

1016

3t3f)

二—3/)2=|(16_3/)

整理得：63Z2-960^+100=0,

“a40„40A.

解得'=77或=(舍弃)，

213

故答案为：■—.

21

【题目点拨】

本题考查旋转的性质，平行线的性质，解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会利用参数

构建方程解决问题，属于中考常考题型.

18、直线x=2

【分析】根据二次函数的顶点式直接得出对称轴.

【题目详解】二次函数y=(x-2y+l图象的对称轴是x=L

故答案为：直线x=l

【题目点拨】

本题考查的是根据二次函数的顶点式求对称轴.

三、解答题(共78分)

19、(1)共有6种等可能的结果数，它们是：AB、AC、AD、BC、BD、CD；(2)他们两人恰好选修同一门课程的

概率为一.

4

【解题分析】(1)利用直接列举得到所有6种等可能的结果数；

(2)画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出他们两人恰好选修同一门课程的结果数，然后根据概率公式求

解.

【题目详解】(D共有6种等可能的结果数，它们是：AB、AC、AD、BC、BD、CD；

(2)画树状图为:

ABCD

ABCD3ACDABDCABc

共有16种等可能的结果数，其中他们两人恰好选修同一门课程的结果数为4,

41

所以他们两人恰好选修同一门课程的概率=-=

164

【题目点拨】

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果

数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.

20、(1)70°;(2)35°.

【分析】(1)根据AB是。O直径，得出/ACB=90°,进而得出NB=70°；

(2)根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，得到圆心角NAOC的度数，根据同弧所对的圆周角等于所对圆心角

的一半，可求出/ACD的度数.

【题目详解】（1）...AB是。O直径,

.,.ZACB=90°,

VZBAC=20°,

.,.ZABC=70°,

(2)连接OC,OD,如图所示:

:.ZAOC=2ZABC=140°,

,:AD=CD，

：.ZCOD=ZAOD=-^AOC=70°,

2

/.ZACD=-^AOD=35°.

2

【题目点拨】

本题主要考查了圆周角定理的推论与定理，以及弦，弧，圆心角三者的关系，要求学生根据题意，作出辅助线，建立

未知角与已知角的联系，利用同弧（等弧）所对的圆心角等于所对圆周角的2倍来解决问题.

21、见解析

【分析】连结OC,由歹C=BC，根据圆周角定理得=而NQ4C=NOG4,贝！4c=NOCA,可

判断OC//AF,由于CDLAE,所以OC_LCD,然后根据切线的判定定理得到CD是。的切线；

【题目详解】解：证明：连结OC,如图，

FC=BC，

:.ZFAC=ZBAC,

-_OA=OC,

:.ZOAC=ZOCA,

.-.ZFAC=ZOCA,

:.OC//AF,

CD±AF,

:.OCLCD,

是。的切线;

【题目点拨】

本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

22、(1)m=7；(2)n<-2^l<n<2.

【分析】(1)方程化为(mT)x2+(2-m)x+l=O,由已知可得m,l,△=m2-8m+8=(m-4)2-8,由已知可

得m-4=±l,解得m=7或m=l(舍)；

(2)由已知可得A(—,0),B(0,n),根据题意可得，当一W-l,nVl时，n<-2；当一>-l,吟1时，吟1；

222

〃n

当一>1,ngl时，n不存在；当一VI,吟1时，l<n<2；综上所述：吆-2或1511<2.

22

【题目详解】解：(1)方程化为(m-1)x2+(2-m)x+l=0,

由已知可得mrL

△=m2-8m+8=(m-4)2-8,

・・・m为整数，方程的根为有理数,

Am-4=±1,

・・.m=7或m=l(舍)；

n

(2)由已知可得A(—，0),B(0,n),

2

•；函数y=-x2+2|x|+l的图象与线段AB只有一个交点,

n

当一WT,nVl时,/.n<-2；

2

当一>T,时，/.n>l；

2

当一>1,nSl时，n不存在；

2

n,

当r一VI,吟1时，l<n<2；

2一一

综上所述：nW-2或l<n<2.

【题目点拨】

本题考查二次函数、一次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数、一次函数的图象及性质，一元二次方程根的判别是

解题的关键.

J32

23、—+-^

39

【分析】根据扇形的面积公式进行计算即可.

【题目详解】解：连接OC且过点O作AC的垂线，垂足为D,如图所示.

VOA=OC

；.AD=1

在RtAAOD中

■:ZDAO=30°

OD2+AD2=OA2=4OD2

•r»n也门人

••OD=——,OA=---

33

•••sAA℃=；AC・OD=；X2X,邛

由OA=OC；NDAO=30可得NCOB=60。

.e_60XJT——

••S扇形BOC—I3I2

---------------------=—JT

3609

.V32

S阴影=SAAOC+S扇形BOC=■1—n

39

【题目点拨】

本题考查扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式是解题的关键.

24、当与AO垂直的墙8长为3米时，储料场面积最大值为空平方米

33

【分析】过点A作AGLBC,则四边形ADCG为矩形，得出BG=AG=x,再证明4ABG是等腰直角三角形，得出

AD=GC-16-2x,然后根据梯形的面积公式即可求出S与x之间的函数关系式，根据二次函数的性质直接求解.

【题目详解】设CD的长为xcm,则8C长为（16—力cm

过点A作AGL5C,垂足为G.如图所示:

•：AD//BC,ZC=90°,ZBAD=135°

：.ZADC=9QP,/ABC=45。

二四边形AOCG是矩形

/.AG=CD=x,AD=GC

:.在RtAABG中BG-AG-x

：.AD=GC-16-2x

13

S^ADCB=-X(16-2X+16-X)=--X2+16X

・a3f16丫，128

一»梯形ADCB=_5(%一51+—

二当XW时，(S梯形A»CB)max=年

答:当与AO垂直的墙CD长为3米时，储料场面积最大值为些平方米

33

【题目点拨】

此题考查二次函数的运用，利用梯形的面积建立二次函数，进一步利用函数的性质解决问题.

25、(1)y=-x2-3x+4；(2)①P(-1,6)；②点M的坐标为：(-1,3+而)或(-1,3-而)或(-

1,-1)或(-1,—).

2

【解题分析】(D先根据已知求点A的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式；

(2)①先得AB的解析式为：y=-2x+2,根据PD，x轴，设P(x,-x2-3x+4),则E(x,-2x+2),根据PE=；DE,列

方程可得P的坐标；

②先设点M的坐标，根据两点距离公式可得AB,AM,BM的长，分三种情况：AABM为直角三角形时，分别以

A、B、M为直角顶点时，利用勾股定理列方程可得点M的坐标.

【题目详解】⑴VB(1,0),

VOC=2OB=2,

：.C(-2,0),

RtAABC+，tanZABC=2,

AC

-----=2

BC

AC

-----=2

3

；.AC=6,

AA(-2,6),

4一