2023-2024学年广东省湛江市高三（上）摸底联考数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省湛江市高三（上）摸底联考数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.设集合M={xeZ|%2<15},若村={%|0Wx<5},则MCN=（）

A.{-3,-2}B.{-3,-2,-1}C.{0,1,2,3}D.{x|0<x<5}

2.若一=[,则z的虚部与实部之比为（）

z+z

A.—1B.1C.—iD.i

3.已知平面单位向量五方上黄足三+3+|=0，则日•1=（）

A.土B.y/~2C.「D.-I

28

4.汉代初年成书的傩南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”.这是

中国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧.在平面直角坐

标系xOy中，一条光线从点（-2,0）射出，经y轴反射后的光线所在的直线与圆支2+丁2-2%一

2y=0相切，则反射光线所在直线的斜率为（）

A.-1B.-1或1C.1D.2

5.设%为公比为q的等比数列{an}的前几项和，且2s3=7。2,则q=（）

A.yB.2C.黑竽D.；或2

6.如图为某工厂内一手电筒最初模型的组合体，该组合体是由一圆台和一圆柱组成的，其中

。为圆台下底面圆心，。2,。1分别为圆柱上下底面的圆心，经实验测量得到圆柱上下底面圆

的半径为2cm,。1。2=5cm,。。1=4cm,圆台下底面圆半径为5cm,则该组合体的表面积

为（）

A.42ncm2B.84ncm2C.36ncm2D.64ncm2

7.已知RL串联电路短接时，电流/(nM)随时间t(ms)的变化关系式为/=/0.eTt，电路的时

间常数7=。，当/由/。减小到2时，相应的时间间隔称为半衰期.若某RL串联电路电流从?减少

KZL

到，的时间间隔为6(ms),则该电路的时间常数约为(参考数据：ln2«0.693)()

A.10msB.15msC.20msD.30ms

8.已知双曲线C：，一，=1(。>0,6>0)的左、右顶点分别为A2,F为C的右焦点，C的

离心率为2,若P为C右支上一点，满足PF_LF&,贝ijtan/41P4=()

A.1B.1C.D.2

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.有一组样本数据%,x2，…，xn,由这组数据得到新样本数据力，y2,yn,其中%=

axt+b(i=1,2,0<a<1),则()

A.新样本数据的样本平均数小于原样本数据的样本平均数

B.新样本数据的标准差不大于原样本数据的标准差

C.新样本数据的极差不大于原样本数据的极差

D.新样本数据的上四分位数不小于原样本数据的上四分位数

,_.2

10.若随机变量X〜N3M),X的密度函数为〃x)=」一小锣，贝心)

A.X的密度曲线与y轴只有一个交点

B.X的密度曲线关于x=。对称

C.2P(X>〃+3c)=P(|X-〃|>3<T)

D.若丫=1，则E(Y)=0

11.己知函数/(x)=2sin(a)x+8)0>0,0<<p<今任一对称轴与其相邻的零点之间的距

离为%若将曲线y=/Q)的图象向左平移着个单位得到的图象关于y轴对称，则()

7r

ac(

A.3=2,P=To

B,直线％=专为曲线y=/(%)的一条对称轴

C,若f(x)在(-a,a)单调递增，贝IJO<aWg

D.曲线y=f(x)与直线y=—有5个交点

12.已知正方体ABC。-力iBiGA的各顶点均在表面积为127r的球面上，P为该球面上一动点,

则()

A.存在无数个点P,使得PA〃平面4/165

B.当平面P44i1平面CB15时，点P的轨迹长度为2兀

C.当P4〃平面4B1CDB寸，点P的轨迹长度为2兀

D.存在无数个点P,使得平面PAD1平面PBC

三'填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知0<S<a<g,若a—3=3,cos(2a+20)=—则&=.

14.某学校准备举办一场运动会，其中运动会开幕式安排了3个歌舞类和3个语言类节目，所

有节目依次出场，则恰有两个语言类节目相邻的概率为.

15.设函数/'(X)=lg(x2-ax+J在(1,+8)单调递增，则a的取值范围为.

16.已知椭圆C；捻+，=l(a>b>0)的两个焦点为后，尸2.点P,Q为C上关于坐标原点对

称的两点，且|PQ|=因尸2|,APFzQ的面积S2：|PQ『，则C的离心率的取值范围为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S=JabtanC.

(I)求。；

(II)若c=l,s=2,D为AB边的中点，求CD.

6

18.(本小题12.0分)

已知函数/(%)=Inx-|ax一名112%的图象在(1,/(1))处的切线方程为7=1x4-6.

(1)求a,b；

(2)证明：/(x)只有一个极值点.

19.(本小题12.0分)

已知数列｛an｝的前几项和Sn满足2(Sn-n)=nan.

(1)证明：｛aj为等差数列;

111

(2)右+g+—ai3=98,证明：S+针+…+不<1.

20.(本小题12.0分)

如图，在矩形4BCD中，4B=4,AD=2,E是线段4B上的一点.将△40E沿DE翻折到△POE

(2)设E为4B的中点，当平面PDE1平面PBC时，求此时二面角尸一0E-C的余弦值.

21.(本小题12.0分)

已知有甲，乙两个不透明盒子，甲盒子装有两个红球和一个绿球，乙盒子装有三个绿球，这

些球的大小，形状，质地完全相同.在一次球交换的过程中，甲盒子与乙盒子中各随机选择一

个球进行交换，重复n次该过程，记甲盒中装有的红球个数为Xn.

(1)求X2的概率分布列；

(2)求好).

22.(本小题12.0分)

已知Rt/MBC三个顶点均在抛物线W：y=x2±,B为直角顶点，且无从<0<&<

⑴记点8(犯机2),直线4B的斜率以8=ke[-1,0),试求Rt△ABC面积的解析式S(m,k)；

(2)当m=；-去时，求函数/(k)的最小值.

答案和解析

I.【答案】c

【解析】解：M={-3,-2,-1,0,1,2,3),N={x\O<x<5},

故MCN={0,1,2,3).

故选：C.

根据已知条件，结合交集的定义，即可求解.

本题主要考查交集及其运算，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：设2=a+bi(a,b6R),

则z=a-bi>

且=型=包=3即2=i

z+z2aaa

故选：B.

根据已知条件，结合共规复数、虚部、实部的定义，即可求解.

本题主要考查共辄复数的定义，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：已知向量弓石1为单位向量，

则|引=|h|=|c|=1)

由a+B+1=o可知五+B=-I，

两边同时平方得2+2a-h=i,

4

所以万•1=—，.

o

故选：D.

由平面向量数量积的运算求解即可.

本题考查了平面向量数量积的运算，属基础题.

4.【答案】C

【解析】解:根据题意，点4(一2,0)关于y轴的对称点为B(2,0),

由反射原理，反射光线所在的直线过B(2,0)且与该圆相切，

又8(2,0)在该圆上，

故反射光线的斜率为亘=1.

1-2

故选：C.

直接利用直线与圆的位置关系求出结果.

本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题.

5.【答案】D

【解析】解：S”为公比为q的等比数列｛册｝的前ri项和，且2s3=7。2，

则2(詈+。2+。2勺)=7a2,

因为。2¥。，所以9+q=|，即q2—|q+l=0,解得q=：或q=2.

故选：D.

根据已知条件，结合等比数列的性质，即可求解.

本题主要考查等比数列的性质，属于基础题.

6.【答案】B

【解析】解：根据题意，圆柱上下底面圆的半径为2czn,RO?=5cm,00T-4cm,

则圆柱的上底面面积为4兀，圆柱的侧面面积为47rx5=20?r；

又由圆台下底面圆半径为5cm,则圆台的下底面面积为25兀，

圆台的母线长为J42+(5-2尸=5,

所以圆台的侧面面积为兀(2+5)X5=35兀，

故该组合体的表面积为47r+207r+257r+357r=84?rcm2.

故选：B.

根据题意，分别计算组合体两部分的表面积，相加可得答案.

本题考查组合体的表面积计算，注意常见几何体的表面积公式，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】解：设半衰期为％由已知可得?=/0.e—%，

所以G=2=Tln2,

由S=/o.e¥b得t2=「，即t2=T，

euK

所以t2-tj=(1-)2)7=6,解得7»20ms.

故选：C.

可设半衰期为0,/由，o减小到今的时间间隔为t2，由题意，t2-tl=6,分别求出ti，12,代入求

解即可.

本题主要考查对数运算性质的应用，考查运算求解能力，属于基础题.

8.【答案】A

【解析】解：设点PQo，y。），

（£=2

由［a,得c=2Q,Z?=W多1,

la2+h2=c2

•••PF1FA2,.1.x0=c,将P（c,y（））代入C的方程得言-,=1,得Vo=土d

当5b时，X.anZ.PA2F=0=3,tanZ,PA^F==1，

故tanNAiP4=tanQP/F-"A/）=5圭=1

同理可得当Vo=-15b时，tan乙41P82=

故选：A.

设点P(xo，yo)，由C的离心率可得b、c与a的关系，再由PF1F4,求得x0=c,将P(c,y())代入C的

方程，得y°=±，？b,然后分类利用到角公式求解.

本题考查双曲线的简单性质，考查运算求解能力，是中档题.

9.【答案】BC

【解析】解：有一组样本数据xi，x2,xn,由这组数据得到新样本数据为，…，为，其中

y,=axt+b(i=1,2,0<a<1),

首先0<a<l,设原样本数据的样本平均数为高故新样本数据的样本平均数为a"+b，其中或与

al+b大小无法判断，故A错；

设原样本数据的标准差为。，故新样本数据的标准差为a。<。，故B对；

新样本数据的极差为aQmax-%nin)<(Xmax-Xmin),故C对；

设原样本数据的上四分位数为出，故新样本数据的上四分位数为axo+b,其中Xo与ax。+b大小无

法判断，故。错.

故选：BC.

根据已知条件，结合方差、平均数的线性公式，以及极差和上四分位数的定义，即可求解.

本题主要考查统计的知识，属于基础题.

10.【答案】ACD

【解析】解：若X〜N（〃Q2）,则X的密度曲线关于直线x=〃对称，故B错误;

又/（为=-4宁e-皆，令工=0，

''oV27r

可得X的密度曲线与y轴只有一个交点（0,_片屋枭）故A正确;

P(\X-n\>3a)=P(X<〃-3a)+P(X>〃+3CT)=2P(X>〃+3c),故C正确;

E(Y)=E[?Z=0,故Q正确.

故选：ACD.

正态分布曲线关于直线x=〃对称，根据对称性即可判断各个选项.

本题考查正态分布函数的性质，属于基础题.

11.【答案】ABD

【解析】解：•.•函数/（无）=2sin（a）x+<p）（w>0,0<<p</任一对称轴与其相邻的零点之间的距

1

离为X2n_n

4-

4,

3—2.

将曲线y=/（x）的图象向左平移着个单位得到y=2sin（2x+w+学的图象，

由于所得图象关于y轴对称，故有/+9=卜兀+看kez,

甲=看/（%）=2sin（2x4-故A正确.

令x=务求得"X）=-2,为最小值，可得直线x=与为曲线y=/（x）的一条对称轴，故B正确.

若/（x）在（一a,a）单调递增,2x+G（—2a+）,2a+看）,则2/CTT—^<—2a+/<2a+,W2kn+

k&Z,

令k=0,求得0<aW，，故C错误.

对于D：2x号+.=兀，所以函数/Q）=2s讥（2x+*关于偌,0）对称，周期丁=与=兀，

而'=9一/=如一泠也关于篇°）对称，所以两个函数图象必有一个交点篇0），

当化=等时，/'（等）=1,而丫=，等一方=子<1，故在“等周围有两个交点，

又“岩时，/（若）=1,而y=；X若一舞=若>1,故在％=黑周围无交点，

1Z1ZZ1Z1/1Z

又因为函数/⑶=2s讥（2x+”的图像关于砥,0）对称，点楞,0）的左侧也有两个交点，

所以交点个数是5个，故。正确.

故选：ABD.

首先根据函数的性质求函数的解析式，再利用整体代入的方法判断函数的对称轴，结合函数的单

调区间，求a的值，最后利用数形结合，结合对称性，判断实数根的个数.

本题考查正弦型函数的图象，考查方程的根，考查运算求解能力，属中档题.

12.【答案】ACD

【解析】解：设球的半径为r,设正方体的棱长为a,因为该球的表面积为4兀八=12兀，故半径r=

且正方体的棱长满足(2r)2=3a?=12,可得棱长a=2.

4中，由题意可知平面ZBCD〃平面力1B1G5，且P力〃平面4当口。1，故H4U平面4BCD,

则P的轨迹为正方形ZBCD的外接圆，

故有无数个点P满足，所以A正确；

B中，易知AC】JL平面。当。1，且平面P4&_L平面。为。1，且PAu平面PA&,

故P的轨迹为矩形4&C1C的外接圆，其周长为27n•=2「兀，所以B不正确；

C中，因为P4〃平面A$iCD,设过P4且与平面41aCD平行的平面为a,

则P的轨迹为a与外接球的交线，其半径为微=1,周长为2兀，所以C正确：

。中，若平面PAD1平面PBC,则点P在以4BCD为轴截面的某个圆柱面上，该圆柱面与球面交线

为曲线，

故有无数个点P满足，所以。正确.

故选：ACD.

由空间的线面平行的性质及垂直的性质可判断所给命题的真假.

本题考查线面平行及垂直的证法及性质的应用，属于中档题.

13.【答案】J

【解析】解：因为cos(2a+20)=1—2sin2{a+/?)=-：,可得sin(a+0)=且sin(a+0)>

0,

所以sin(a+。)=/，

又因为0<夕<a<*所以0<a+£<:兀，

故a+£=百，①

而a-/?y,（2）

由①②可得a=

故答案为：

由题意可得sin（a+0）的值，进而求出a+夕的值，再由题意可得a的大小.

本题考查三角函数的应用，属于基础题.

14.【答案】|

【解析】解：节目出场顺序总数为4言，

两个语言类节目相邻：居&幽，

所以恰有两个语言类节目相邻的概率为P=鹫嬷=

故答案为：

根据节目顺序总数为鹿，再利用捆绑法算出两个语言类节目相邻有房x&x题=36x12,根据

古典概型即可得出结果.

本题考查古典概率模型，属于基础题.

15.【答案】（一8,|]

【解析】解:^t=x2-ax+l，

由二次函数的性质可知t在xG（-8,为上单调递减，在+8）上单调递增，

又因为y=Zgt在定义域上单调递增，

（-<1

根据复合函数的单调性及对数函数的性质可得：\21,

+0

解得a<|,

所以a的取值范围为：（一8,|].

故答案为:（-co,|1-

令£=%2一批+；,则《在6，+8）上单调递增，又因为y=/gt在定义域上单调递增，根据复合函

数的单调性求解即可.

本题考查了二次函数、对数函数的性质，也考查了复合函数的单调性，属于基础题.

16.【答案】［殍,?］

【解析】解：因为P,Q为椭圆C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=\FrF2\,

所以四边形PF1QF2为矩形，并且c?b,

设|PF/=m,|PF2l=n，

由椭圆的定义可得|P0|+IPF2I=m+n=2a,

所以nr?+2mn+n2=4a2,

22222

因为|PFi『+\PF2\=\FrF2\=4c=4(a-b),

所以mn=2b2,

因为四边形PF1QF2的面积为IPF/IPF2I=mn=2b2,

△PF2Q的面积SN：|PQ|2,可得b2294c2,

222

2(a—c)>C9

可得£<?，

a3

又cNb,可得c22a2-c2,可得ez。，

所以ee［祟争.

故答案为：［殍,?］.

根据椭圆对称性及矩形的性质知四边形P&Qa为矩形，进而有四边形P&QF2的面积为

\PF1\\PF2\=mn,再根据椭圆定义、勾股定理求P&•PF?即可，列出不等式，转化求解离心率的

范围即可.

本题考查了椭圆的性质，考查了转化思想，属于中档题.

17.【答案】解：(1)因为△ABC的面积为S=^abtanC=^absinC,

所以siziC=2tanC=2s讥,,

cosC

因为sbiC>0,

所以cosC=p

由C为三角形内角可得C=60°；

(n)因为s=~Y~cLb=

46

所以ab=I，

因为c=1,C=60°,

由余弦定理得c?=a2+b2-2abcosC=a24-h2-1=1,

所以a2+b2=|,

因为。为4B边的中点，

所以杳=；(不+面)，

所以丽2=,画2+滑+2演.硒=*+M+ab)=抬+|)=卷

故CD=\CD\=

【解析】(I)由已知结合三角形面积公式进行化简可求cosC,进而可求C；

(H)由己知结合三角形面积公式先求出ab,然后结合余弦定理可求。2+/；2,再由向量的线性表示

及向量数量积的性质可求.

本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式的应用，向量数量积的性质的应用，属于中档题.

18.【答案】解：(l)/'(x)=5-ga-glM%-)生，

又/(x)的图象在(1J(1))处的切线方程为y=^x+b,

所以尸⑴=T=5

解得a=1；

所以/(%)=Inx--^ln2x,

财⑴=T,

将(1,一》代入y=\x+b,

解得b=-1,

则a=1,b=-1.

(2)证明：((x)=1-l+lR；+2h*=三缪±12!,

设九(%)=2—x(lnx+1)2,则//(%)=—(Inx+1)­(Inx+3),

令九'(x)=0,故％=e-3或?T,

当％G(0,e-3)时，/iz(x)<0,九。)单调递减，

当％W(e-3,e-i)时，九'(%)>0,九(%)单调递增，

当口+8)时,h!(x)<0,九(%)单调递减,

又心3)=2_2>0,/!(e-i)=2>0,/i(e)=2-4e<0,

故存在%0W(e-i,e),使得九(%o)=0,

所以/(%)在(0,%0)上单调递增，在(%0,+8)上单调递减，

所以/(%)只有一个极值点.

【解析】(1)对函数/(%)求导，根据导数的几何意义可得a=l,进而求得b=-1;

(2)设九(%)=2-x(lnx+I)2,利用导数研究函数/1(%)的性质，可得/(%)的单调性情况，进而得证.

本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，极值，考查逻辑推理能力及运算求

解能力，属于中档题.

19.【答案】解：(1)证明：・・・2(Sn—7i)=7iQri,

，当?1>2时，2[Sn_i-(n-1)]=(n-l)an_x,

两式相减得(九—2)an—(n-l)Qn_]=—2①，

同理(7i—1)。n+i-nun=-2(2)>

71

由②一①得当N2时，an-an^=an+1-an,

故数列为等差数列；

(2)证明：•・,2(Sn-n)=nan,

・•・当？i=1时，2(Si-1)=Qi，解得%=2,

设数列｛«n｝的公差为d,则an=2+(n-l)d,

ax+a34-----Fa13=7x2+2d(1+2+…+5+6)=14+42d=98,解得d=2,

••.5c八=2亍+2n兀=足2,+几1或=而1而1=^1_,，

A--I--4-...+—=1———<1

SjS2Snn+1

【解析】(1)由题意得当n>2时,2瓦_1一(n-1)]=(n-l)an_v利用作差法得(n-2)an-(n-

aa

l)an-i=-2①，同理(n—l)an+i—nan=—2②，两式变形得即—即-1=n+i~n'利用等差

数列的性质，即可证明结论；

(2)令n=1,可得%=2,由(1)得数列｛a.｝为等差数列，设数列｛aj的公差为d,则%,=2+(n-

l)d,结合题意可得d=2,利用等差数列的求和公式和裂项求和法，即可证明结论.

本题考查等差数列的性质和数列的求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中

档题.

20.【答案】解：(1)证明：因为平面PDE1平面PCD,PD1PE,且平面PDEn平面PCD=PD,PEu

平面PDE,

所以PE_L平面PCD,因为CDu平面PCD,所以PEICD,EB//CD,所以PEJ.EB.

(2)设DE的中点为0,连接4。，则40LDE,过。作直线m垂直于平面DEBC,

如图所示，以。为坐标原点，。4,0E,巾所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，

易知。(0,—<7,0),E(0,<7,0),8(—。,2<7,0),C(-2<7,V-2,0),

设二面角P—DE—C为。,则P(—y^cos。,0,一~八济。)，

贝I」症=(0,2。,0),前=(一。cos仇讥9)，CB=CP=(-AT2COS04-

zDdLstn。),

设平面PDE的一个法向量为沅=(%i，yi，Zi),

则［记,匹=2<7yi=0,

令/=sinO,解得Zi=cos。,y1=0,即m=(sind,0,cosO),

设平面PBC的一个法向量记=(%2，y2，Z2)，

则(记,££=2+Cy2=o,

y

'(n-CP=(—yTlcosd+2y/~2)x2-+V_2sm0z2=0

^x2=sinO,解得为=-sin。，z2=cosO—3,即元=(s讥仇—sin8,cos6—3),

因为平面PDEJ■平面PBC,所以而•n=sin20+cos20—3cos0=0,

解得cos。=I，则二面角P-DE-C的余弦值为今

【解析】(1)由面面垂直可得PEJ_平面PCD,进而可证PEICD,可证结论；

(2)设DE的中点为0,连接40,则力。1DE,过。作直线?n垂直于平面DEBC,以。为坐标原点，0A,

OE,m所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，设二面角P-OE-C为0,求得平面PDE与平面

DCE的一个法向量，利用向量法可求二面角P-DE-C的余弦值.

本题考查线线垂直的证明，考查面面角的余弦值的求法，属中档题.

21.【答案】解:(1)由题意可知X2的所有可能取值为0,1,2,

rLLu-4-n/xz八、2124-n八/c、112217

此时P.2=0)="炉§=切P(X2=2)=-X-+-X-X-=-1

P(X2=1)=l-P(X2=0)-P(X2=2)=1_/一。=3

则Xz的分布列为：

(2)易知Xn的所有取值为0,1,2,

1217

此时尸(Xn=2)=|x|xP(X"T=1)+gp(Xn_i=2)+0xP(Xx=0)=J(Xn_i=1)+

4P(X“i=2),

o22117

又P(X"=1)=!?(%„_!=0)+(|x|+|x9P(Xn_1=1)+“(Xn_i=2)

2s21?

=|[l-P(Xn_1=1)-P(X-1=2)]+部(X“