数列求和8种题型讲义高三数学一轮复习

数列求和

1、等差数列的前项和公式：

公式一：S=〃（%+%）。公式二：s=+"d

22

2、等比数列的前,项和公式：

naA（q=1）

邑=缶（1/'）_4—a“q（］）。

、\-q1-q

3、常用几个数列的求和公式：

S=*=1+2+3+…+〃1

n=­n（72+1）o

左=12

«1

S=>左2=F+2?+3?H---=—〃（7/+1）.（2〃+1）。

k=16

〃1

S"=l3+23+33+---+n3=［-72（〃+1）］2。

k=\2

4、分组求和法：

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可以分为几个等差、等比或

常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。

如果通项公式是几种可求和形式的和与差，那么在求和时可将通项公式的项分成这几部分分别求和后，

再将结果进行相加。

5、裂项相消法求和：

如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和，这

是分解与组合思想在数列中的具体体现。

。”的表达式能够拆成形如%=/（〃）—/（〃—左）的形式（左=1,2,­••）,从而在求和时可以进行相

邻项（或相隔几项）的相消。从而结果只存在有限几项，达到求和目的。其中通项公式为分式和根式的居多。

裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目

的的方法。常见的方法有:

(1)等差型裂项:

11_1

①明

n(72+1)nn+1

②%——---)0

n(〃+左)knn+k

4n2-1(2〃-l)・(2〃+l)22n-l2〃+l

1j_〃+2—♦_j_11

n(〃+l)・(〃+2)2n(〃+l)・(〃+2)2n(〃+l)(〃+l)・(〃+2)

]_]_]_(〃+l)-(〃-1)_j_11

n(1—I)n(〃-1)・(〃+1)2n(〃-1)・(〃+1)2n(〃-1)n(〃+D

(2〃)2(41—1)+11z11、

(2〃-l)・(2〃+l)(2〃-1)・(2〃+1)22/z-l2/2+1

----------;---------;--------r=-[----------；----------------------------------------]

n(〃+1)・(〃+2)・(〃+3)3n(〃+1)・(〃+2)(〃+1)・(〃+2),(〃+3)

2/2+1n2+2n+l-n211

222

n-(77+1)〃2.(〃+I)2N(〃+l)2

〃+l1+4〃+4-〃2_111

/.(〃+2)2=4n2<n+D2/-(〃+2)21°

4n2+8n4n2+8w+3-313(11

(2〃+l)(2〃+3)4/+8〃+322〃+l2〃+3

(2)根式型裂项:

①=I-----——r=J〃+l-G。

Yn+\+

②cin-―/-----r=——(Jri+k—AAT)O

<n+kk

③ci——/----/二一(J2〃+1—J2〃-1)o

72/1-1+72/2+12

〃*〃+1丫：(〃+1)：+〃、1+1=…」+111_J_

④%=+

犷•(“+1)2”("+1)nn+\

(3)指数型裂项:

2"_(22-1)-(2"-1)_]_1

(2«-1).(2,,+1-1)-(2),-l)-(2,,+1-l)-2"-1-2"+1-1

an1J—1)—一1)1,11、

-----------------------r=x-------=------x(-------------------)o

(。"―—1)tz—1---(。"―1),(优+—1)Q—1(jn—1a"-1

〃+1+11111c.1111

------------二—r—।--------------1—2rl--------------------------1n-..................................

n(“+1)2Tnn(〃+1)n-T(«+l)-2,,+1n-T^(〃+l)2

+1

(4〃—1)-3"T1「9〃—(〃+2)Ilr9I1q』1.3"3自、

n(〃+2)2n(〃+2)2(〃+2)n2n+2n

(4)对数型裂项：

6、错位相减法求和：

通项公式特点：%=等差X等比，比如%=〃.2「其中〃代表一个等差数列的通项公式(关于〃的一次

函数)，2"代表一个等比数列的通项公式(关于〃的指数型函数)，那么便可以使用错位相减法。

这种方法主要用于求｛。屋〃｝的前〃项和，其中｛%｝,｛句｝分别是等差数列和公比不为1的等比数歹U,

那么Sn=她+a2b2+•••+anbn与qSn=a也+a2b3+…+anbn+1两式错位想减就可以求出。

7,倒序相加法：

这是推导等差数列前〃项和公式时所用方法，就是将一个数列倒过来排序，再把它与原数列相加，就可

以得到〃个q+4。如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列

的前项和即可用倒序相加法求解。

8、并项求和法：

一个数列的前〃项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和。

【题型1】分组求和法

【例1】求数列14，2/，3g,4白…的前”项和.

【解答】解：令数列2.3—4-…前〃项的和为

Z41o10

1111111

贝USn=l]+2[+3g+…+?1萍=(1+2+…+〃)+(-+^2+•••+—)

_n(n+l)；[1一G)"]_n2+n+21

=—2—十一口—=—22";

12

1.已知数列｛an｝的前n项和为Sn,且4即=3S〃+2.

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

(2)设氏=a”+log2a,”求数列｛6”｝的前〃项和7”.

2.在数列｛斯｝中，ai=-1,an-2an_r+3n-6(n>2,n€N*).

(1)求证：数列｛斯+3〃｝为等比数列,并求数列｛斯｝的通项公式；

(2)设b„=a„+n,求数列｛6〃｝的前n项和Tn.

3.在公差为2的等差数列｛斯｝中，c(i+l,及+2,。3+4成等比数列.

(1)求｛即｝的通项公式；

(2)求数列｛斯-2"｝的前n项和S„.

4.已知数列｛斯｝的前〃项和为且满足ai=l,2s〃+i=S〃+2.

(1)求数列｛即｝的通项公式；

(2)若数列｛M｝满足方=斯+；,求数列｛为｝的前“项和

an

5.已知数列｛斯｝,S,是其前〃项的和,且满足3a〃=2S“+力(〃6N*).

(I)求证：数列｛斯+3为等比数列；

(II)记T“=SI+S2+…+S”，求6的表达式.

【题型2】裂项相消法求和

111

【例1】求丁7■++…+一(「：的值,

1x22x3nx(n+l)

•A”…111111111n

1x22x371X(71+1)I2)3)nn+17几+1n+1'

111

【例2】裂项相消法：求数列;一而，下一方，…，~F—尸〒，…的前〃项和.

1+V2V2+V3V^+Vn+1

【解答】解：设一=l二=V^钉一机(裂项)

Vn+Vn+1

111

贝ISn=-f=H-7=—7=+…H--------/、

1+A/2-\/2+A/3^V^+J几+1

=(V2-1)+(V3-V2)+・・・+(VnTl-Vn)(裂项求和)

=7n+1—1

S1

1.记5为数列｛斯｝的前几项和，已知Ql=l,匕3是公差为石的等差数列.

(1)求｛斯｝的通项公式;

111

(2)证明：—+—+•••+—<2.

2.已知正项数列｛斯｝的首项m=l,前"项和S,满足斯=疯+J=(zi22).

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

(2)记数列｛"-｝的前〃项和为7“，若对任意的怔N*,不等式恒成立，求实数。的取值范

aTian+l

围.

3.已知正项数列｛而｝,｛a｝满足:对任意正整数〃,都有斯，bn,斯+1成等差数列，bn,即+1,瓦+1成等比数列,

且01=10,42=15.

(I)求证：数列｛VF,J是等差数列；

(II)求数列｛即｝,｛为｝的通项公式;

(III)设%=二+4+“-+3,如果对任意正整数力不等式20^<2-毁恒成立，求实数。的取值范围.

CliCloQ九

4.已知等差数列｛%满足42=4,2〃4-〃5=7,公比不为-1的等比数列｛4｝满足尢=4,64+加=8(加+历).

(1)求｛劭｝与｛4｝通项公式；

(2)设7=777；----Fb,求｛cn｝的前〃项和

an^n+ln

5.已知数列｛斯｝的前〃项和为且2s九=3n—2n—L

(1)求数列｛劭｝的通项公式；

(2)若6=0，求数列｛4｝的前n项和T.

nan+lan+2n

【题型3】错位相减法求和

【例1】求和：Sn=,+[+,+条+…+2,,1.

乙T*O_LU乙

【解答】解：因为5九=^~+]+V+震+…+21,

乙x*OA.U彳乙7t

_1352n-32n-l

++n+n+1

2〃4816…22）

122222n-l11（1-^T）2n-l

,1

两式相减得：~S

25+.+.+G+…+乔—k=5+1」一行

2

则％=3-需.

1.设｛斯｝是首项为1的等比数列，数列｛瓦｝满足瓦=等，已知的，3a2,9a3成等差数列.

（1）求｛即｝和处,｝的通项公式；

（2）记S”和Tn分别为｛如｝和｛仇｝的前77项和.证明：Tn<^.

2.设｛斯｝是公比不为1的等比数列，01为及，。3的等差中项.

（1）求｛即｝的公比;

（2）若ai=l,求数列｛〃即｝的前〃项和.

3.已知数列｛斯｝中，02=1,设S"为｛即｝前"项和，2s产

（1）求｛斯｝的通项公式；

（2）求数歹！］｛器壮｝的前〃项和

4.已知数列｛斯｝满足。"+2=1即（q为实数，且g7l）,«GN*,ai=l,02=2,且例+的，的+。4，a4+。5成等差数

列

（1）求q的值和｛念｝的通项公式；

（2）设治=弊力，"6N*,求数列｛仇｝的前〃项和.

a2n-l

5.已知正项等比数列｛劭｝的前〃项和为若Ql，的，Q2+10成等差数列，S3-Q2=10.

（I）求斯与S,；

(ID设加=log2(S"+2)”,数列｛氏｝的前"项和记为4，求4.

【题型4】分组求和之奇偶项

,口后粕为I,,准甲,(a+l,n为奇数

1.已知数列｛即｝满足。1=1,即+1='｛n…

It1n+2,YL为偶数.

⑴记岳=。2"，写出历，b2,并求数列｛a｝的通项公式；

(2)求｛即｝的前20项和.

2.已知数列｛即｝满足即>0,a^+1=anan+｝+2a^,且3田，。2+3,的成等差数列.

(1)求｛斯｝的通项公式；

(an,rt为奇数

(2)bn=

若\logian,n为偶数求数列步力的前2H项和T2n.

3.已知等比数列｛斯｝的公比9>1,满足：53=13,6Z42=3d!6.

(1)求｛斯｝的通项公式；

(2)设5=[册'”为奇数求数列｛6〃｝的前2〃项和S2”.

[b^+n,n为偶数

4.已知数列｛斯｝满足。1+342+…+(2〃-1)a〃=n.

(1)求｛斯｝的通项公式；

],九/7奇教"

(2)已知Cn=，19aJ,求数列｛Cn｝的前20项和.

anan+2/n为偶数

5.已知｛斯｝为等差数列，仇=『n-6'n为奇数,记出，7”为｛即｝，｛a｝的前〃项和，54=32,73=16.

(2an,n为偶数

(1)求｛斯｝的通项公式；

(2)证明：当«>5时，Tn>Sn.

【题型5】分组求和之并项法

111n

1.已知公差大于0的等差数列｛斯｝满足——+——+…+------=-一~;（吒N*）.

Q2a32.71+4

(1)求数列｛斯｝的通项公式;

n

(2)若bn=(-1)anan+\,求数列｛姐的前20项和S20.

2.已知数列｛斯｝的前〃项和S”，m=l,an>0,anan+i=4Sn-1.

(1)计算02的值，求｛斯｝的通项公式；

(2)设既=(-1)"ar1a升1,求数列｛%｝的前2〃项和小

2

3.已知数列｛即｝满足ai=l,an+i—2an-n+2n+2,«GN*.

(1)证明:数列｛斯-层+i｝为等比数列.

(2)设加=(-1)"a”,求数列｛篇｝的前2〃项和S2".

4.已知｛即｝是各项均为正数的数列，S,为｛、匹｝的前"项和，且M；,Sn,斯-2成等差数列.

(1)求｛即｝的通项公式；

n

(2)已知6n=(-l)an,求数列｛为｝的前n项和Tn.

5.已知数列｛斯｝的各项均为正数，前〃项和为S”，S〃=其久.

(1)求数列｛即｝的通项公式；

(2)设⑤=2斯+(-1)口碌求数列｛%｝的前月项和7”.

【题型6】逆序相加法求和

I.已知函数/(久)=称/+称口数列｛斯｝的前〃项和为S”点",Sn)(〃6N*)均在函数/(X)的图象上，函

A.X

数9(久)=百后

(1)求数列｛即｝的通项公式；

(2)求g(x)+g(I-x)的值；

(3)令6n=g(建j)(〃€N*),求数列｛为｝的前2020项和？2020.

2.设函数/(x)=1+/»—,设。1=1,册=f(J)+f(：)+/(J)+…+/(噂)0CN*,n>2).

Xriititri

Cl)计算/(x)+fCl-x)的值.

(2)求数列｛斯｝的通项公式.

3.设/(xi,w)，B(X2,y2)是函数f(x)=4+1。取占的图象上的任意两点.M为的中点，M的横坐标

4

(1)求/的纵坐标.

(2)设Sn=f(京)+/(磊)+•••+〃得)，其中“CN*,求S小

4.设4(xi,刈)，B(双，/)是函数/(x)=l+log2=的图象上任意两点，且。M=*(。4+。8),已知点M

_1

的横坐标为

(1)求证：M点的纵坐标为定值；

12九一1

(2)若Sn=f(―)+f(―)H---[f(---),几EN*,且〃22,求S”；

nnn

5.已知函数/(x),对任意xER,都有/(x)4/(1-x)=2023.

(1)求尺)的值.

(2)数列｛即｝满足：an=/(0)+/(i)+/(^)+-++/(I).求数列｛端?｝前〃项和

【题型7】含绝对值的数列求和

1.在公差为d的等差数列｛斯｝中，已知ai=10,且°1，2a2+2,5a3成等比数列.

(I)求d,a”；

(II)若d<0,求31T---卜|。"|.

2.记S”为等差数列｛。〃｝的前"项和，已知。2=11,S1O=4O.

(1)求｛即｝的通项公式；

(2)求数列｛向|｝的前〃项和Tn.

3.已知数列｛即｝为等差数列，且。2+。8=0，10g206=L

(I)求数列｛即｝的通项公式及前n项和S”；

(2)求数列｛|%｝的前n项和Tn.

4.&表示等差数列｛.“｝的前”项的和，且S4=S9，ai=-12

(1)求数列的通项即及出；

(2)求和7a=㈤+|°2|+…+|即|

5.数列｛斯｝的前十项和为SI=33〃-〃2.

(1)求｛斯｝的通项公式；

(2)问｛斯｝的前多少项和最大；

(3)设bn=\an\，求数列｛6〃｝的前n项和Sn'.

【题型8】放缩法

1.已知数列｛斯｝满足：m=2,an+i=3an-2,nGN*.

(/)设仇=劭-1,求数列｛d｝的通项公式；

(2)设T”=log3ai+log3a2"l--Hlog3。"，(”CN*),求证：T7a

2.已知〃为数列｛%的前〃项积，且的=会出为数列｛〃｝的前〃项和，满足刀汁2ss.i=0(«eN*,心2).

(I)求证：数歹!J｛R｝是等差数列；

(2)求｛劭｝的通项公式；

(3)求证：S：+Sg+…+S看<±-+.

3.已知数列｛斯｝的前〃项和为3an=2Sn+2n(neN^.

(1)证明：数列｛斯+1｝为等比数列，并求数列｛斯｝的前〃项和为必；

111

(2)设方=log3(a什i+l),证明：-J+-J+-••+<1.

%。九

4.设数列｛斯｝的前〃项和为S”满足2Sn=an+i—2计I+1,neN*,且m=l,设%=券+2,nGN*

(1)求数列｛5｝的通项公式；

_1113

(2)证明：对一切正整数力有一+—+•••+—〈;t.

。2%i2

b2

5.已知数列｛斯｝单调递增且的>2,前〃项和a满足4s“=-1,数列初八满足若i=以+2，且。1+。2=

bn

生，62+3=〃3.

(1)求数列｛加卜｛加｝的通项公式;

(2)若以二栽，求证：。1+。2+。3~^---l-Cn<正・

当堂检测

解答题(共12小题)

1.在数列｛斯｝中，ai—1,an+1—(1+—)—募-.

(1)设*号，求数列电｝的通项公式；

(2)求数列(即｝的前〃项和

2.已知数列｛斯｝的首项的=看且满足%+i=冷p

3乙a九十J.

(1)求证：数歹式；—1｝为等比数列.

an

1111

(2)若一+—+—+…+—<100,求满足条件的最大整数n.

。2。3%i

3.已知数列｛丽｝是公比为q的等比数列，前〃项和为S”且满足ai+a3=2q+l,S3=3a2+L

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

an+1-an,ri为奇数

(2)若数列｛a｝满足仇=｛3an%屈耗，求数列｛a｝的前2〃项和4小

：4吗-5an+「n为偶数

4.已知数列｛斯｝的首项的==且满足％+1=曲，设“=；—1.

3a九十J“71

(1)求证：数列｛4｝为等比数列；

1111

(2)若一+—+—+…+—>140,求满足条件的最小正整数机

。2。3

5.已知数列｛劭｝¥两足=1,a麓+1=3劭+1.

(I)证明｛斯+3是等比数列，并求｛即｝的通项公式；

r1113

(II)证明：—+—

。2。九2

6.已知数列｛斯｝满足ai=2,即+1=奖;1.

（1）证明：数歹火工？｝是等差数歹U;

1

（2）令b=--------，证明：疗+疗+…+为2<].

n臼敢…@九

112

7.已知｛劭｝是等比数列，前〃项和为&（几EN*）,且一——=一,56=63.

。2。3

（1）求｛斯｝的通项公式；

（2）若对任意的吒N*,与是log2即和log2斯+1的等差中项，求数列｛（-1）〃与2｝的前方项和.

8.已知等差数列｛斯｝满足：43=7,45+47=26,｛斯｝的前〃项和为

（1）求斯及凡;

1

(2)令bn=（吒N*）,求数列｛4｝的前〃项和

。九2一1

9.已知等比数列｛斯｝的前"项和为S"（"CN*）,-2*,S3，4s4成等差数列，且。2+203+。4=主

（I）求数列｛即｝的通项公式；

1

（2）若幻=-（«+2）log2|an|,求数列｛e｝的前"项和

Dn

10.已知等差数列｛即｝前〃项和为&（«eN+）,数列｛4｝是等比数列，41=3,加=1,历+S2=10,a-s2b2=(13.

（1）求数列｛斯｝和｛4｝的通项公式；

,n为奇数

（2）若％九，设数列｛小｝的前〃项和为〃，求为入

[2anbn,n为偶数

11.在数列｛斯｝中，=1,册+1=41j（c〉o），且Ql，Q2，〃5成等比数列.

（1）证明数列｛^｝是等差数列，并求｛斯｝的通项公式；

an

2

（2）设数列处,｝满足6n=（4n+l）an0n+i，其前n项和为Sn,证明：Sn<n+1.

12.已知数列｛斯｝的前〃项和为的，2Sn=（«+1）an+\（心2）.

（I）求｛斯｝的通项公式;

（II）设加=（厮；1）2（土CN*）,数列出”｝的前“项和为7”，证明：Tn<^（»GN*）

课后作业

一.解答题(共28小题)

2

1.已知数列｛斯｝和｛%｝的前〃项和分别为％,Tn,且“1=1,即+i=—：Sn+l,bn=2logran+3.

33

(1)求数列｛斯｝和｛4｝的通项公式;

1

(2)右5=斯+^~,设数列｛5｝的前〃项和为扁,证明：Rn<3.

1n

2.已知正项数列｛斯｝的前〃项和为&,且辞+2%一九二25九.

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

(2)设勾=3。n一1,若数列｛Cn｝满足金=。叮1,，求证：C1+。2+…+%<!•

Sr〃n+14

3.记数列｛斯｝的前〃项和为且。1=1,an=Tn-\(〃22).

(1)求数列｛劭｝的通项公式；

(2)设冽为整数，且对任意〃EN*,m>—+—+•••+—,求冽的最小值.

4.已知数列｛斯｝("CN*)满足与■+缓+…+•=n-2+另占.

(I)求数列｛斯｝的通项公式；

(II)若bn=a,,'cosrni,求数列｛加｝前2n项和Tin.

5.已知数列｛斯｝是公比大于1的等比数列，S”为数列｛斯｝的前"项和，2=7,且曲+3,3a2,。3+4成等差数列.数

列｛为｝的前〃项和为〃，V〃eN*满足％4—%==,且61=1.

n+1n2

(1)求数列｛斯｝和｛仇｝的通项公式；

(-r-V-——，n为奇数

⑵令％=｛%必九+2,求数列｛Cn｝的前2〃项和为。2〃.

电，n为偶数

6.已知等比数列｛斯｝的公比9>0,且满足。1+。2=643，。4=4的2,数列｛仇｝的前〃项和S〃二攻岁工WGN*.

(I)求数列｛即｝和｛丛｝的通项公式;

C为奇数,

(II)设Cn=［黑|s+2,求数列｛Cn｝的前2n项和T2n.

\anbn,n为偶数

1

7.已知数列｛斯｝满足。i=0,且册+i=(neN*).

乙一a九

(1)求证：数列｛Jy｝是等差数列；

(2)记6n=(—l)n+i(2—册―册+1),数列｛为｝的前〃项和为G.

bn

8.数列｛斯｝满足ai=3,an+\--2an,2=an+l.

(I)求证：｛6〃｝是等比数歹!］；

(II)若Cn=£+1,｛Cn｝的前〃项和为刀”求满足T"<100的最大整数

2

9.已知数列｛劭｝满足臼=了且2。及+1-劭+1劭=1,HGN.

(1)证明：数列｛3｝是等差数列，并求数列｛斯｝的通项公式；

j.一a九

(2)记…斯，w€N,Sn=+…+T&.证明：S.>4(可一九十］)•

10.已知等比数列｛斯｝的公比大于1,42=6,"1+43=20.

(1)求｛斯｝的通项公式；

1

(2)若方=即+-I-f，求｛4｝的前〃项和〃.

log3ahi10033M

11.已知S”为等比数列｛斯｝的前〃项和，若4Q2，2c13,〃4成等差数列，且S4=8〃2-2.

(1)求数列｛劭｝的通项公式；

11

(2)若/=-西上外岩~赤，且数列｛加｝的前〃项和为〃，证明：-<T<-.

nn

(an+2)(an+i+2)124

12.已知数列｛斯｝的前"项和为和,5.Sn=2an-4.

(1)求｛斯｝的通项公式；

(2)求数列｛〃求｝的前n项和北.

13.已知等比数列｛斯｝的各项均为正数，其前”项和为必，且3田，④，5a2成等差数列，&+5=503.

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

(2)设b"=a”・k)g3a〃+i,求数列｛4｝的前"项和7小

14.已知数列｛即｝的前〃项和为S”ai=V2,斯＞0,a„+i«CS„+i+Sn)=2.

(1)求出;

111

(2)求+S2+S3+…+

S1+S2s?i+s九+i

15.已知递增等差数列｛斯｝满足田+。5=10,Q2・Q4=21,数列｛加｝满足210g2丛=即-1,«GN*.

(I)求｛仇｝的前〃项和

(II)若T〃=nbi+(72-1)历+...+bn,求数列｛T〃｝的通项公式.

16.已知数列｛斯｝的前〃项和为&,见=2,(〃-2)S〃+i+2斯+i=〃S〃，nEN*.

(1)求数列｛斯｝的通项公式;

1117

(2)求证:-7+-7+…+=V—

"明16

17.已知数列｛“〃｝的前77项和为a,ai=l,2nSn+\-2(n+1)Sn=n(n+1).

(1)求数列｛斯｝的通项即；

(2)设6“=篇令，求数列｛6“｝的前〃项和

丁乙.3九

18.在数列｛斯｝中，a\=(3〃+9),(n+1)~an+\—(M+2)%.

<1)求｛斯｝的通项公式；

(2)设｛斯｝的前"项和为％,证明：&<*一竿茅.

19.设数列｛即｝的前〃项和为S”Sn=2an+2n-6(nEN^.

(1)求证数列｛斯-2｝为等比数列，并求数列｛斯｝的通项公式a„.

(2)若数歹的前加项和7机=照，求加的值，

20.设数列｛即｝的前〃项和为且满足3cin—2Sn=2(n€N*),｛仇｝是公差不为0的等差数列，bi=l,64是

历与68的等比中项.

(1)求数列｛斯｝和｛瓦｝的通项公式;

(2)对任意的正整数”，设％=”为瞥”求数列｛Cn｝的前2"项和

16n+2,n为奇数

21.已知数列｛斯｝的前"项和为且-+2=25",«6N*,田=1,。2=0.

(1)证明：数列｛斯+1+即｝是等比数列；

11110

(2)证明：—+—+—<-T-

31^^2n3

22.已知数列｛斯｝满足〃i=■!，an=2----,wGN*.

Nan-l

(I)证明：数列｛占｝为等差数列，并求数列｛劭｝的通项公式；

(II)若小=悬，记数列｛Cn｝的前〃项和为G，求证：-<r„<i.

23.在等差数列｛即｝中，已知公差d=2,。2是与。4的等比中项.

(I)求数列｛斯｝的通项公式；

(II)设bn=。九(九+1)，记Tn=~bl+bz-63+64----H(-1)nbn，求Tn-

2

24.已知凡是数列｛斯｝的前几项和，且&=2/1-1(/N*).

(1)求数列｛劭｝的通项公式；

971+14

(2)若b„=-7—^7-——不，T"是｛bn｝的前〃项和，证明：T”<1.

(,an-i)ian+1-L)3

25.已知正项数列｛斯｝,其前〃项和为S”3Sn=4a;l-l(ne/V*).

(1)求数列｛即｝的通项公式；

(2)设6n=3(厮弱(k+1)'求证：数列｛瓦｝的前〃项和

26.已知数列｛即｝满足的=L-^―=1+2an.

an+l

(1)求｛斯｝的通项公式；

(2)设C九=4几2册册+1，求数列｛cn｝的前〃项和T篦.

27.设数列｛劭｝满足。"=3劭_1+2(篦22),且ai=2,bn=log3(a〃+l).

(1)证明：数列｛斯+1｝为等比数列；

(2)设4=2宵，求数列｛On｝的前〃项和S”.

乙ra0n^n+l

1

28.在等比数列｛斯｝中，Q7=8〃4，且Q3-5,。4-12成等差数列.

(I)求｛斯｝的通项公式;

11证明：数列｛瓦｝的前"项和V*

(II)若与=-7------1-------，

mog2(inQ九一1

数列求和

1、等差数列的前项和公式:

公式一公式二：叫+^

2、等比数列的前“项和公式:

n%(q=1)

S"=<%(]——aq

n(qW1)

i—qi-q

3、常用几个数列的求和公式:

=*=

1+2+3H-----\-n=—n(〃+1)。

左=12

«i

=>左2=12+22+32+..・+〃2=_〃(〃+1).(2〃+1)。

k=i°

«1

=l3+23+33+---+»3=[-«(n+1)]2o

k=\2

4、分组求和法:

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可以分为几个等差、等比或

常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。

如果通项公式是几种可求和形式的和与差，那么在求和时可将通项公式的项分成这几部分分别求和后,

再将结果进行相加。

5、裂项相消法求和:

如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和，这

是分解与组合思想在数列中的具体体现。

的表达式能够拆成形如%=/(〃)-/(〃-左)的形式(左=1,2,•••),从而在求和时可以进行相

邻项(或相隔几项)的相消。从而结果只存在有限几项，达到求和目的。其中通项公式为分式和根式的居多。

裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目

的的方法。常见的方法有：

(1)等差型裂项：

11_1

①%

n(72+1)nn+\

1I/1

②为---------二­(---------

n(〃+左)knn+k

4n2-1(2〃-l)・(2〃+l)22n-l2〃+l

1j_〃+2—〃_]_11

n(〃+l)・(〃+2)2n(〃+l)・(〃+2)2n(〃+l)(〃+l)・(〃+2)

]_1________£(〃+l)-(〃-1)_11]

n(1—I)n(H-1)-(72+1)2n(〃-1)・(〃+1)2n(〃-1)n(〃+D

(2〃y(W-D+l11,11、

(2〃一l)・(2〃+l)(2〃-1)・(2〃+1)22/7-12/z+l

-------------------------------------------------------二-[----------------------------------------------------------------------------------------------1

n(〃+1)・(〃+2)・(〃+3)3n(〃+1)・(〃+2)(〃+1)・(〃+2)・(〃+3)

2/2+1_n2+2n+l-n2_11

〃2.(〃+1)2“2.(“+1)2匕2(〃+])2°

72+11+4〃+4-〃2_111

〃2.(〃+2)2—4722-(72+2)2-4V-(72+27°

4〃?+8〃4n2+87/+3-313(11

(2〃+1)(2〃+3)4*+8〃+322〃+12〃+3

(2)根式型裂项:

1

①%=

②4-/--1=——(Jn+k-o

③a=~/----/•二一(J2〃+1—V2n—1)。

J2.—1+J2〃+12

\11n2-(n+l)2+(n+l)2+722-l+ln(〃+1)+1111

I_|--------p----------------I-----------------------------------------------------------------------------------------------------]_|_---------------------

〃2(1+1)2V•(//+1)2n(M+1)nn+\

(3)指数型裂项:

2'_(2"+i-1)-(2"-1)_]_1

(2«-1).(2,,+1-1)-(2n-1)-(2"+1-1)-2"-1-2,!+1-1

a"1(a""—1)—1/11、

-----------------；-------------X------------------：------=------X(-------------------)o

(。"―l),(a"+—1)a—1(。"―l),(a"+—1)a—1a"—1an+—1

77+1+1_111111]

”(“+1)2~2"nn(〃+l)-一(«+l)-2n+1-n-2n-l~(«+l)-2n

(4〃—1)3,TI9〃(〃+2)19I1a1(3e3"工

n(〃+2)2n(〃+2)2(〃+2)n2n+2n

(4)对数型裂项：

6、错位相减法求和:

通项公式特点：%=等差X等比，比如其中〃代表一个等差数列的通项公式(关于〃的一次

函数)，2"代表一个等比数列的通项公式(关于〃的指数型函数)，那么便可以使用错位相减法。

这种方法主要用于求｛a“•〃｝的前〃项和，其中｛%｝，｛4｝分别是等差数列和公比不为1的等比数歹U，

a

那么Sn=她+a2b2+•­•+anbn与qSn=a也++…+„bn+l两式错位想减就可以求出。

7、倒序相加法：

这是推导等差数列前〃项和公式时所用方法，就是将一个数列倒过来排序，再把它与原数列相加，就可

以得到〃个q+4。如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列

的前项和即可用