2023年中考数学考前复习：动态几何问题（附答案解析）

2023年中考数学考前复习

第10天动态几何问题

%中考预测

数学因运动而充满活力，数学因变化面精彩纷呈。动态几何问题是近年来中

考的一个重难点问题，以运动的观点探究几何图形或函数与几何图形的变化

规律，从而确定某一图形的存在性问题。随之产生的动态几何试题就是研究

在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不

变”性的试题。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、

精彩四射。

预测分值：6分左右

难度指数：★★★★

E必考指数：★★★★★

D动态几何问题是以几何图形为背景的，几何图形有直线型和曲线型两

第1页（共120页）

种，那么动态几何也有直线型的和曲线型的两类，即全等三角形、相似三

角形中的动态几何问题，也有圆中的动态问题。有点动、线动、面动，就

其运动形式而言，有平移、旋转、翻折、滚动等。根据其运动的特点，又

可分为（1）动点类（点在线段或弧线上运动）也包括一个动点或两个动点;（2）

动直线类;（3）动图形问题。

2）解决动态几何题，通过观察，对几何图形运动变化规律的探索，发现其

中的变量”和“定量”动中求静，即在运动变化中探索问题中的不变性:

动静互化抓住“静”的睡间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动

与静”的关系:这需要有极敏锐的观察力和多种情况的分析能力，加以想象、

结合推理，得出结论。解决这类问题，要善干探索图形的运动特点和规律

抓住变化中图形的性质与特征，化动为静，以静制动。解决运动型试题需

要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过

程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变量和不变关系

或特殊关系。

3）动态几何形成的存在性问题，重点和难点在干应用分类思想和数形结合

的思想准确地进行分类，包括等腰（边）三角形存在问题，直角三角形存在

问题，平行四边形存在问题，矩形、菱形、正方形存在问题。全等三角形

存在问题，相似三角形存在问题等。

£—令

/真题回顾

一.选择题

1.（2022∙日照）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形。8C的顶点。在坐

标原点，点E是对角线ZC上一动点（不包含端点），过点E作EF//8C,交4B于

F,点尸在线段EF上.若。4=4,OC=2,ZAOC=45o,EP=3PF,P点的横坐

标为"？，则的取值范围是（）

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C.2-√2<m<3D.4<∕n<4+√2

2.（2022•绵阳）如图1,在菱形/88中，NC=I20。，W是/8的中点，N是对

角线8。上一动点，设。N长为X,线段MN与/N长度的和为y,图2是y关于X

的函数图象，图象右端点尸的坐标为（2√L3）,则图象最低点E的坐标为（）

3.（2022∙贵港）如图，在边长为1的菱形/88中，ZABC=GOo,动点E在边

上（与点4,B均不重合），点尸在对角线/C上，CE与BF相交于点G,连接NG,

DF,若AF=BE,则下列结论错误的是（）

A.DF=CEB.ZSGC=120°

C.AF2=EGECD./G的最小值为述

3

4.（2022•恩施州）如图，在四边形NBeZ）中，ΔA=Z.B=90o,AD=IOcm,BC=Scm,

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点尸从点。出发，以IC机/s的速度向点/运动，点M从点8同时出发，以相同的

速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动.设点?

的运动时间为，（单位：s）,下列结论正确的是（）

A.当f=4s时，四边形/BA行为矩形

B.当f=5s时，四边形CAPM为平行四边形

C.当CO=PM时，t=4s

D.当CO=尸历时，f=4s或6s

5.（2022∙大庆）平面直角坐标系中，点M在y轴的非负半轴上运动，点N在X轴

上运动，满足OM+ON=8.点。为线段MN的中点，则点。运动路径的长为（）

A.4乃B.8√2C.8πD.16√2

6.（2022•泰州）如图，正方形的边长为2,E为与点。不重合的动点，以

OE为一边作正方形。E尸G.设OE=4，点尸、G与点C的距离分别为4、di,

则4+4+4的最小值为（)

C.2√2D.4

7.（2022•十堰）如图，°。是等边Δ∕15C的外接圆，点。是弧ZC上一动点（不

与4,C重合），下列结论：①ZADB=NBDC;②DA=DC;③当。8最长时，

DB=2DC;®DA+DC=DB,其中一定正确的结论有（）

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C.3个D.4个

8.（2022•宜宾）如图，MBC和Δ∕WE都是等腰直角三角形，NB4C=NDAE=90°,

点。是8C边上的动点（不与点8、C重合），DE与4C交于点F,连结CE.下

4

列结论：®BD=CE；②NDAC=NCED；③若BD=2CD,则一=-；④在A48C内

AF5

存在唯---点、P,使得PZ+P8+PC的值最小，若点。在4尸的延长线上，且4P的

长为2,则CE=2+√Γ其中含所有正确结论的选项是（）

A.①②④B.①②③C.①③④D.①②③④

9.（2022•泰安）如图，四边形48CD为矩形，AB=3,BC=4,点P是线段BC上

一动点，点M为线段4尸上一点,AADM=ZBAP,则BM的最小值为（)

ɑ.J13—D.3—2

2

10.（2022•甘肃）如图1,在菱形/88中，4=60。，动点尸从点力出发，沿折

线4D→∙OC→C8方向匀速运动，运动到点8停止.设点尸的运动路程为X,AAPB

的面积为y,y与X的函数图象如图2所示，则48的长为（）

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D.4√3

11.（2022•绍兴）如图,在平行四边形/BCO中,AD=2AB=2,ZABC=60°,E,

E是对角线8。上的动点，SLBE=DF,M,N分别是边4）,边8C上的动点.下

列四种说法：

①存在无数个平行四边形MENF;

②存在无数个矩形MEN尸；

③存在无数个菱形NENF;

④存在无数个正方形MENF.

其中正确的个数是（）

B

A.1B.2C.3D.4

12.（2022•德州）如图，正方形Z8C。的边长为6,点E在BC上，CE=2.点M

是对角线8。上的一个动点，则E"+CΛ∕的最小值是（)

B.3√5C.2√Γ3D.4√13

13.（2022∙东营）如图，己知菱形NBC。的边长为2,对角线AC、8。相交于点0,

点W,N分别是边8C、CD上的动点，NBAC=NMAN=60°,连接MN、OM.以

下四个结论正确的是（）

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①Δ∕4MN是等边三角形;

②MN的最小值是百；

③当MN最小时&曲=（S菱

O^ABCD；

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

14.（2022•资阳）如图，正方形/88的对角线交于点。，点E是直线BC上一动

点.若/8=4,则/E+OE的最小值是（）

15.（2022•荷泽）如图，在菱形中，AB=2,ZABC=60o,M是对角线8。

上的一个动点，CF=BF,则M4+W的最小值为（）

A.1B.√2C.√3D.2

16.（2022・广安）如图，菱形的边长为2,点尸是对角线NC上的一个动点,

点、E、尸分别为边力。、OC的中点，则PE+P尸的最小值是（）

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DFC

A.2B.√3C.1.5D.√5

o

17.（2022∙赤峰）如图，菱形/8CD,点N、B、C、。均在坐标轴上.ZABC=120r

点2（-3,0）,点E是。）的中点，点尸是OC上的一动点，则尸。+PE的最小值是（

C.2√2D.-^3

2

二.填空题

18.（2022•德州）如图，Δ∕48C是等腰直角三角形，ZACB=90o,AC=BC=4,

点。是斜边43上一点，且">=L∕8,将MBC绕点。逆时针旋转90。，得到△

4

A'B'C',BC交AB于点、E.其中点C的运动路径为弧CC,则弧Cc的长度

19.（2022•内蒙古）如图，在等腰直角三角形Z8C中，∕C=8C=1,点P在以斜

边/8为直径的半圆上，〃为尸C的中点，当点尸沿半圆从点/运动至点8时，点

用运动的路径长是

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P

20.（2022∙日照）如图，在平面直角坐标系Xoy中，点4的坐标为（0,4）,尸是X轴

上一动点，把线段4绕点尸顺时针旋转60。得到线段的，连接。尸，则线段。厂长

的最小值是—.

21.（2022•通辽）如图，OO是ΔJBC的外接圆，NC为直径，若∕8=2√J,BC=3,

点尸从8点出发，在根8。内运动且始终保持/。尸=/8/尸，当C,P两点距离

最小时，动点尸的运动路径长为.

C

22.（2022•大庆）如图，正方形488中，点E,尸分别是边/8,BC上的两个

动点，且正方形N8C。的周长是ΔBEF周长的2倍.连接。E,。P分别与对角线ZC

交于点W,N,给出如下几个结论：①若花=2,CF=3,则防=4；②

NEFN+NEMN=180°；③若∕M=2,CN=3,则MN=4；④若"=2,BE=3,

AM

则M=4.其中正确结论的序号为—.

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23.（2022•黑龙江）在矩形/88中，AB=9,4。=12,点E在边C。上，且CE=4,

点?是直线8C上的一个动点.若Δ∕IPE是直角三角形，则8P的长为.

24.（2022•黑龙江）如图，菱形ZBCZ）中，对角线ZC,8。相交于点。，NBAD=60°,

AD=3,Z〃是乙SNC的平分线，CELAH于点E,点尸是直线Z8上的一个动点,

25∙（2022∙宜昌）如图，点N,B,C都在方格纸的格点上，ZUBC绕点力顺时

针方向旋转90。后得到4∕8C,则点8运动的路径前，的长为—.

26.（2022•宿迁）如图，在矩形/8Cz）中，AB=6,8C=8,点A/、N分别是边4。、

8C的中点，某一时刻，动点E从点收出发，沿M4方向以每秒2个单位长度的

速度向点N匀速运动；同时，动点尸从点N出发，沿NC方向以每秒1个单位长

度的速度向点C匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连

接过点5作EF的垂线，垂足为在这一运动过程中，点4所经过的路径

长是一.

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E+

D

BNAFC

27.（2022•广元）如图，直尺/8垂直竖立在水平面上，将一个含45。角的直角三

角板CDE的斜边Z）E靠在直尺的一边N8上，使点E与点4重合，DE=Ucm.当

点。沿以方向滑动时，点E同时从点/出发沿射线NF方向滑动.当点。滑动到

点/时，点C运动的路径长为cm.

28.（2022∙衡阳）如图，用一个半径为6海的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了

120°,假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了—cm.（结

果保留》）

29.（2022•宁波）如图，在中，AC=2,BC=A,点。在BC上，以08为

半径的圆与4C相切于点4.。是8C边上的动点，当AzfCC为直角三角形时，AD

的长为—.

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BC

∖O

30.（2022∙达州）如图，在边长为2的正方形中，点E,尸分别为n。，CD

边上的动点（不与端点重合），连接8E,BF,分别交对角线ZC于点尸，。.点

E,尸在运动过程中，始终保持NESF=45。，连接EF,PF,PD.下列结论：

①PB=PD;®ZEFD=2AFBC;③P0=Λ4+C0;④A8PF为等腰直角三角形；⑤

若过点8作8∕∕LEF,垂足为“，连接DH,则。”的最小值为2√Σ-2,其中所

有正确结论的序号是—.

31.（2022•南充）如图，正方形/8Co边长为1,点E在边NB上（不与4,B重

合），将Δ∕1DE沿直线OE折叠，点力落在点4处，连接48,将48绕点8顺时针

旋转90°得到A2B,连接A1A,A1C,A2C.给出下列四个结论：①∖ABAλ≡^CBA2；

②N/OE+"C8=45。；③点尸是直线OE上动点，则CP+%P的最小值为√Σ;④

当乙WE=30。时，ZS48E的面积为三A.其中正确的结论是___.（填写序号）

6

AEB

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≡.解答题

32.（2022∙东营）ZU8C和ΔJ。尸均为等边三角形，点E、。分别从点4,8同时

出发，以相同的速度沿N8、BC运动，运动到点8、C停止.

（1）如图1,当点E、。分别与点力、8重合时，请判断：线段CO、E尸的数量

关系是—，位置关系是—;

（2）如图2,当点E、。不与点4,8重合时，（1）中的结论是否依然成立？若

成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（3）当点。运动到什么位置时，四边形CEQ的面积是Δ^3C面积的一半，请直

接写出答案；此时，四边形8。EF是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并

给予证明.

33.（2022•安顺）如图1,在矩形NBCe）中，48=10,AD=S,E是/。边上的一

点，连接CE,将矩形/8CO沿CE折叠，顶点。恰好落在/8边上的点尸处，延

长CE交口的延长线于点G.

（1）求线段ZE的长；

（2）求证四边形。GFC为菱形；

（3）如图2,M,N分别是线段CG,OG上的动点（与端点不重合），且

ADMN=ZDCM,设DN=X,是否存在这样的点N,使ΔOΛ∕N是直角三角形？若

存在，请求出X的值；若不存在，请说明理由.

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动,将/E绕点A顺时针旋转得到AF,旋转角等于NBAC，连接CA

(1)当点E在BC上时，作Qvf_LZC,垂足为求证：AM=AB-,

(2)当我=3√Σ时，求CF的长；

(3)连接外■,点E从点8运动到点。的过程中，试探究OF的最小值.

35.(2022∙济宁)如图，ZVIOB是等边三角形，过点/作y轴的垂线，垂足为C,

点C的坐标为(0,6).P是直线/8上在第一象限内的一动点，过点尸作N轴的垂

线，垂足为。，交NO于点E,连接4),作。交X轴于点Λ/,交/。于点

F,连接BE,BF.

(1)填空：若MOO是等腰三角形，则点。的坐标为—:

(2)当点户在线段/8上运动时(点P不与点4,8重合)，设点加的横坐标为

①求加值最大时点。的坐标；

②是否存在这样的加值，使BE=BF?若存在，求出此时的加值；若不存在，请

说明理由.

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36.（2022∙兰州）综合与实践

问题情境：我国东周到汉代一些出土实物上反映出一些几何作图方法，如侯马铸

铜遗址出土车喜（Wei）范、芯组成的铸型（如图1）,它的端面是圆形.如图2是

用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法：将“矩”的直角尖端N沿圆周

移动，直到∕8=ZC,在圆上标记/,B,C三点；将“矩”向右旋转，使它左

侧边落在8点上，“矩”的另一条边与的交点标记为。点，这样就用“矩”

确定了圆上等距离的B,C,。四点，连接/O,BC相交于点0,即。为圆

心.

B

问题解决：（1）请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几

何作图确定圆心O.如图3,点/,B,C在0。上，ABLAC,且4B=∕C,请

作出圆心。.（保留作图痕迹，不写作法）

类比迁移：（2）小梅受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定

端面圆心的方法后发现，如果48和/C不相等，用三角板也可以确定圆心0∙如

图4,点4,B,C在0。上，ABLAC,请作出圆心。.（保留作图痕迹，不写

作法）

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拓展探究：（3）小梅进一步研究，发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存

在误差，用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差.如图5,点/,B,

C是。。上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心。.（保留作图痕迹，

不写作法）请写出你确定圆心的理由：—.

连接。8,AD=DB,点尸是边4C上一动点（点P不与点N,D,C重合），过点

P作/C的垂线，与NB相交于点0,连接。0,设∕lP=x,ΔP。。与Δ∕J3D重叠部

分的面积为S.

（1）求AC的长；

（2）求S关于X的函数解析式，并直接写出自变量X的取值范围.

一.选择题

1.（2023∙泰山区一模）如图，矩形Z5C。中，AD=↑2,AB=8,E是4B上一点,

且E8=3,尸是BC上一动点，若将AEBF沿E尸对折后，点8落在点尸处，则点尸

到点。的最短距离为（）

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C.10√2D.5√2

2.（2023•庐江县二模）如图，NZ=ZS=45。，∕3=4√Σ,点C,。分别在4,NB

的另一边上运动，并保持CD=2,点/在边8C上，=2,点N是CD的中点,

若点尸为/8上任意一点，则PM+PN的最小值为（）

A.2√2+1B.2√5+1C.2√2-lD.2√5-l

3.（2023∙天宁区模拟）如图，在Δ∕48C中，34=45。,38=60。,ZB=4,BDLAC,

点、E、F、G分别是4）、BD、BC上的动点，且BF=OE,则正EF+FG的最

2

小值为（）

A.√2B.√3C.—D.—

22

4.（2023•勤州区一模）如图，在边长为8的正方形”8中，点。为正方形的

中心，点E为边上的动点，连结OE,作。尸_LOE交8于点尸，连结EE,P

为跖的中点，G为边Cz）上一点，且CD=4CG,连结P/,PG,则P4+PG的最

小值为（）

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A.10B.4√7C.8√2D.2√29

5.（2023•天长市一模）如图，在正方形中，/8=4,G是8C的中点，点E

是正方形内一动点，且EG=2,连接。E,将线段Z）E绕点。逆时针旋转90。得到

线段D尸，连接CT7,则线段CF长的最小值是（）

A.2√5-2B.2C.3D.√5

6.（2023•肇东市一模）如图，正方形NBCD中，AB=2,连接/C,NZCD的平

分线交AD于点、E,在上截取//=连接。F,分别交CE,4C于点G,H,

点P是线段GC上的动点，P。，/IC于点0,连接P",/W+P0的最小值是（）

A.√2B.2C.2√2D.4

7.（2023∙肇东市模拟）如图，在正方形/88中，E是线段CO上一动点，连接

4E交BD于点F,过点尸作FG交BC于点G,连接4G,EG,现有以下结

论：①ΔJFG是等腰直角三角形；②DE+BG=EG;③点4到EG的距离等于正方

形的边长；④当点E运动到8的三等分点时，变=L或空=L以上结论正确

BC2BC3

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的个数有（)

C.3个D.4个

8.（2023•尉氏县一模）如图，已知矩形ABCD,对角线AC与8。相交于点O,AB=A,

当P/+Po取最小值时,8尸的长为（

C.2D.√5

9.（2023•遵义模拟）如图，菱形ZBC。的边长为2,NB=120。，点P是对角线/C

上的一个动点，点E、尸分别为边OC的动点，则PE+PF的最小值是（）

A.2B.1.5C.√5D.√3

10∙（2023・秀英区模拟）如图，在平行四边形NBCO中，对角线ZC、8。相交于

点。，点E是8/的延长线上一动点，连接OE交力。于点尸，若CD=5,BC=S,

AE=2,则Z尸的长为（）

第19页（共120页）

11.（2023•潘水县一模）如图，在RtAABC中，NABC=90。,sinZACB=-,BC=S,

点。是斜边/C上的动点，将线段8。绕点8旋转60。至"，连接CE,DE,则CE

的最小值是（）

A.√EB.2√5-√f5C.2√5D.√l5-√5

12.（2023•合肥一模）如图，ΔJ8C为等边三角形，80平分N∕8C,AB=I,点、E

为8。上动点，连接/E,则/£+的最小值为（）

B.√2C.√3

13.（2023•安徽模拟）在RtAABC中，斜边ZC=Io,点8为动点，以ZC为边长

作等边Δ∕1CΓ∙,连接8。，则8。的最大值是（）

A.10B.5√3C.5√2+5D.5√3+5

14.（2023∙滕州市模拟）如图，已知矩形/BCD,AB=Z,ZQ=4,点E是矩形

内部一动点，且NBEC=90。，点尸是”边上一动点，连接PD,PE,则PZHPE

长度的最小值为（）

D

第20页（共120页）

A.8B.4√5C.10D.4√5-2

15.（2023•泰山区一模）如图，已知等边Δ∕18C的边长为4,P。、R分别为

边4B、BC、4C上的动点，则PR+Q?的最小值是（）

A.2√2B.2C.2√3D.3√2

16.（2023•贵池区一模）如图，在RtAABC中，ZACB=90o,BC=6,/8=30。,

动点N分别在边/8,BCh,则CM+MN的最小值是（）

A.2√3B.2√6C.6D.3√3

17.（2023∙港南区模拟）如图，在平面直角坐标系中，Δ∕J8O是边长为26的等

边三角形，。。是48边上的高，点尸是。。边上的一个动点，若点C的坐标是（0,-1）,

则尸4+PC的最小值是（）

A.19B.2√3C.√19D.18

18.（2023・邯山区一模）如图，在一间黑屋子的地面/处有一盏探照灯.，当人从

灯向墙运动时，他在墙上的影子的大小变化情况是（）

第21页（共120页）

fl

A

A.变大B.变小C.不变D.不能确定

19.（2023∙南潺区一模）如图，点尸是RtAABC斜边/8上的动点，点。、E分别

在NC、BC边上，连结尸。、PEAC=24,BC=I?,,CZ）=8,CE=6,则当尸D+PE

取得最小值时力尸的长是（）

A.18B.—C.—D.—

555

20.（2023•茅箭区一模）如图，在Δ∕18C中，Z8=∕C=10,点。是边8C上一动

点（不与8、C重合），ZADE=ZB=a,DE交AC于点、E,且COSa=∙∣.下列结

论：①当8D=6时，AABD与ADCE全等;②AADESAACD;③ΔDCE为直角三

角形时，8。为8或胃；@CD1=CECA.其中正确的结论有几个（）

21.（2023•歙县模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-且X-6

22

的图象与X轴交于点/,C两点，与y轴交于点8,对称轴与X轴交于点。，若P

为y轴上的一个动点，连接P。，则gp8+尸。的最小值为（）

第22页（共120页）

A.—B.—C.√3D.^√3

424

22.（2023•雨山区一模）如图，点E是等边三角形M8C边NC的中点，点。是直

线8C上一动点，连接切，并绕点E逆时针旋转90。，得到线段M,连接。F.若

运动过程中NF的最小值为√J+1,则”的值为（）

A.2B.4√3C.2√3D.4

23.（2023春•滑县期中）如图，点P是RtAABC中斜边/C（不与力，C重合）上

一动点，分别作PM1AB于点M,作PNLBC于点N,点。是MN的中点，若A8=3,

AC=5.当点P在/C上运动时，则80的最小值是（）

24.（2023∙天山区一模）如图，。。的半径为4,AB、CO是互相垂直的两条直

径，点尸是。。上任意一点，过点尸作尸于点M、PNLCD于点、N,点、Q是

MN的中点，当点P从点力顺时针运动到点。时，点。所经过的路径长为（）

第23页（共120页）

A.4πB.3πC.2πD.π

25.（2023春•深圳期中）如图，AB=Scm,ZA=ZB=60o,AC=BD=6cm,点、P

在线段AB上以lew/s的速度由点力向点8运动，同时，点Q在线段上以XCM/s

的速度由点8向点。运动，它们运动的时间为f（s）∙当MCP与她尸。全等时，X的

值是（）

C.2或1.5D.1或2

26.（2023•沛县一模）如图，矩形ZBC。中，AB=2,JD=2√3,动点P从点/出

发向终点。运动，连接8P,并过点C作C4,8P,垂足为H.①MBPs入HCB;

②/，的最小值为√7-6;③在运动过程中，点”的运动路径的长2信，其中

3

正确的有（）

A.①②③B.①②C.②③D.①③

27.（2023春•庐江县期中）如图，在菱形中，E,产分别是直线48,

CD,BC上的动点（E,尸不与8,C重合），连接PE,PF,G,”分别为PE，

尸尸的中点，连接GH.若N，8C=45。，AB=2y∕3,则G”的最小值为（）

第24页（共120页）

A.√3B.—C.√6D.—

22

28.（2023春•伊犁州期中）如图，圆柱的底面周长为24,BC=I0,动点尸从/点

出发，沿着圆柱的侧面移动到8C的中点S,则移动的最短距离为（）

29.（2023∙宜兴市一模）如图，相是。。的直径，点C在。。上，CDVAB,垂

足为。，4。=2,点E是G）。上的动点（不与C重合），点尸为CE的中点，若在E

运动过程中。尸的最大值为4,则CO的值为（）

A.2√3B.2√2C.3√2D.-

2

30.（2023•焦作一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ZBCO的顶点8的坐标

为（4,3）,。为OC的中点，E是“8上一动点，将四边形CMEZ）沿EO折叠，使点力

落在尸处，点。落在G处，当线段OG的延长线恰好经过8C的中点H时，点尸的

坐标为（）

第25页（共120页）

C.(∣,$D∙g学

31.（2023•包河区一模）如图，已知线段｛8=6,点尸为线段/8上一动点，以PB

为边作等边APBC,以PC为直角边，NCPE为直角，在XPBC同侧构造RtΔPCE,

点”为EC的中点，连接NM,则4W的最小值为（）

A.1B.2√3C.3D.6

32.（2023∙拱墅区模拟）如图，Δ∕18C中，ZABC=60o,NACB=I5。，点、D是BC边

上一个动点，以工。为直径作。。，分别交48、XC于点E、F,若弦EF长度的

最小值为2,则/8的长为（）

A.4√2B.-√3C.3D.-√6

33

33.（2023•宿迁一模）如图，在矩形/8CD中，DC=3,AD=6DC,尸是/。上

一个动点，过点尸作PGL/C,垂足为G,连接8P,取8P中点E,连接EG,则

线段EG的最小值为（）

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APD

C.3D.√3

二.解答题

34.（2023•文山州一模）如图，0。是/M8C的外接圆，/8是直径，弦/。平分ZBAC,

过点。作射线XC的垂线，垂足为点尸，点E是线段/8上的动点.

（1）求证：尸。是。。的切线；

（2）若/8=30。，AB=S,在点E运动过程中，EC+EP是否存在最小值？若存

在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由.

35.（2023春•涡阳县期中）（1）为了证明勾股定理，李明将两个全等的直角三

角形按如图1所示摆放，使点2、E、。在同一条直线上，如图1,请利用此图

证明勾股定理；

(2)如图2,A48C中，ZACB=90°,AB=IOcm,BC=6cm,若点尸从点/出发,

以每秒4cm的速度沿折线/-C-8运动，设运动时间为/秒（f>0）,若点P在N8/C

的平分线上，求此时，的值.

36.（2023春•西湖区期中）如图，⅛°ABCDΦ,ZBAC=90o,ZABC=ASo,

/Z）=8c加，点尸从点力开始以l0w∕s的速度匀速向。点运动，点E从点。开

始以3cm∕s的速度匀速沿射线CB运动.连接PR记/P=x.

第27页（共120页）

(1)①BF=(用含X的式子表示)；

②若PFtBC,求X的值.

(2)若以4B,F,尸为顶点的四边形是平行四边形，请求出X的值.

(3)当点P关于直线ZR对称的点恰好落在直线ZB上，请求出X的值.

37.(2023春•武昌区期中)矩形。IBC的边O/、OC在坐标轴上，点8(α,b),M(c,0)

其中a、b、C满足Ja-4+(α+2c))=Jb-2+J2-6.

(1)求出a、b、C的值；

(2)如图1,E是8C上一点，将Δz!8E沿花折叠得，夕交X轴于点。，

若NAED=45°,求BE的长；

(3)如图2,点。是直线跖4上一动点，以。。为边作等腰直角AOPQ,其中

N尸00=90。，。、°、尸按顺时针排列，当Q在直线M4上运动时，P8+尸C的最

第28页(共120页)

考前押题

一.选择题

1.如图，在MBC中，ZABC=90o,NBAC=2NC,AB=6,分别以4,C为圆心,

以大于L/C的长为半径画弧，两弧相交于O,E两点，作直线DE交/C于

2

交.BC于N,连接ZN.G为AN上一动点、,过G作GPL/8,垂足为尸，连接G8,

则GF+GB的最小值为?（）

A.3B.3√3C.6D.6√3

2.点C是以/8为直径的半圆。上的动点，。在BC上，且8O=2C。，点E、F、

G分别是/C、DE、4D的中点.若/8=12,则△。尸G的面积最大值为（）

3.如图，矩形NBCD的对角线4C,BD交于点、O,AB=6,BC=S,尸点是NO上

不与力和。重合的一个动点，过点尸分别作/C和8。的垂线，垂足分别为点E、

F,则PE+P尸的值为（）

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二.填空题

4.在矩形48。）中，AB=6,4。=15,点E在边8C上.且4皮）=90。，尸是射

线EO上的一个动点.若4IE尸是等腰直角三角形，则C尸的长为.

三.解答题

5.如图1,直线与直线OC交于点。，ZSOC=ao（0o<αo<90°）.小明将一个含

30。，60。的直角三角板P0D如图1所示放置，使顶点尸落在直线相上，过点。作

直线MN///B交直线OC于点"（点”在。左侧）.

3若PD//OC,NNQD=45°,求α的度数.

（2）如图2,若NPQ”的角平分线交直线48于点E.

①当QE∕∕OC,α=60。时，求证：OCilPD.

②小明将三角板保持P。//OC并向左平移，运动过程中，探究NPE0与α之间的

数量关系，并说明理由.

图1图2备用图

第30页（共120页）

真题回顾

一.选择题

1.【答案】A

【解答】解:可得C(√Σ,√2),/1(4,0),5(4+√2,√2),

.∙.直线/8的解析式为：y=x-4,

/.X=ʃ+4,

.*.X=4-∖-y-2∖[2y,

点尸的横坐标为：y+4,点E的横坐标为：4+y-2√Σy,

.∙.EF=(y+4)-(4+y-2y∕2y)=2-j2y,

∙.∙EP=3PF,

1-Ji

：.PF=-EF=—y,

42

.∙.点尸的横坐标为：y+4------y,

∙.∙0<y<y/2,

故答案为：A.

2.【答案】C

【解答】解：如图，连接/C,MC,

第31页(共120页)

∙.∙四边形"8是菱形，NBCo=I20。，

.-.AB=BC,/C垂直平分BO,ΛABC=60°,NABD=ZDBC=30°,

AN=CN,MBC是等边三角形，

.∙.AN+MN=CN+MN,

当点N在线段CM上时，∕N+AlN有最小值为CM的长，

•・•点尸的坐标为(2√J,3),

.∙.DB=2y∕3,AB+BM=3,

•・•点M是N8的中点，

.∙.AM=BM,CMLAB,

:.2BM+BM=3,

BM=I,

(~Λ∖Λ

`:tanZ.ABC=tan60o==VJ，

BM

.∙.CΛ∕=√3,

VcosNABD=cos30o=,

BN,2

：.BN,=正,

3

-.DN'=-,

3

点E的坐标为：(华，√3),

故选：C.

3.【答案】D

【解答】解：•.・四边形"8是菱形，ZABC=60°,

第32页（共120页）

.∙.ZBJZ)=120o,BC=AD,ZDAC=-ΛBAD=60o,

2

.∙./DAF=NCBE,

•・•BE=AF9

∖ADF三ABCE(SAS),

：.DF=CE9ZBCE=ZADF,故Z正确，不符合题意；

VAB=AD,Z.BAF=/DAF,AF=AF,

:.∖BAF=∖DAF(SAS),

.∙.AADF=NABF,

.∙.ZABF=ZBCE,

/.ZBGC=180°-(ZGBC+ZGCB)=180°-ZCBE=120°,故5正确,不符合题意;

•・•ZEBG=ZECB,ZBEG=ZCEB,

.∙.∖BEGskCEB,

-B-E=-E-G-，

CEBE

:.BE2=CExEG,

∙.∙BE=AF,

:.AF1=EGEC,故C正确，不符合题意；

以BC为底边，在8C的下方作等腰AOBC,使/OBC=NoCB=30。,

∙.∙NBGC=120。，BC=I,

.∙.点G在以。为圆心，。8为半径的圆上运动，

连接/。，交。。于G,此时/G最小，/。是8C的垂直平分线,

∙.∙OB=OC,NBOC=I20°,

.∙.ZBCO=30°,

第33页（共120页）

O

.∙.ZACO=909

:.ZOAC=30°,

.∙.OC=-,

3

:.AO=2OC=—,

3

.∙.∕G的最小值为/0-0C=立，故。错误，符合题意.

3

故选：D.

4.【答案】D

【解答】解：根据题意，可得Z)P=Zem,BM=tcm,

∙.∙AD=IOCrn,BC=8c∕n,

.,.AP=(∖O-t)cm,CM=(S-t)cm,

当四边形ABMP为矩形时，AP=BM,

即IOT=f,

解得f=5,

故/选项不符合题意；

当四边形CDPM为平行四边形，DP=CM,

即r=8-/，

解得"4,

故8选项不符合题意；

当Cr)=PA/时，分两种情况：

①四边形CDPM是平行四边形，

止匕时CM=PO,

即8-f=f,

解得f=4,

②四边形Cz)PM是等腰梯形，

过点/作MGLZO于点G,过点C作CTZJ./。于点“，如图所示:

第34页(共120页)

AH

贝IJ乙MGP=/CHD=90o,

•・•PM=CD,GM=HC,

:.AMGPwACHD(HL),

:.GP=HD9

•・•/G=力尸+GP=Io-√+'-(8-f)

2

又BM=t,

［八Z—(8—Z)

.∙.10-√+------------=t,

2

解得f=6，

综上，当C。=PM时,t=4s或6s,

故C选项不符合题意,。选项符合题意,

故选：D.

5.【答案】B

【解答】解：如图，当点N在X轴的正半轴上或原点时，过点。作QA_LON于点H,

0TJ.OA/于点九设Q(XJ).