重庆市某中学校2023届高三4月诊断模拟数学含解析

数学试题

注意事项：

1.作答前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效.

3.考试结束后，答题卡交回.

一、选择题：本题共8小题、每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

（1-2i）z=|2五+i|-i-

1.已知复数z满足,7।I，则z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】先运用复数的除法规则求出z,再根据复数的几何意义求解.

|2V2+i|-i^_j(3-i)(l+2i)1

【详解】即+'=42何+俨=33]

l-2i~-l-2i-(l-2i)(l+2i)-+

』=l—i,实部为1,虚部为-1,所以］在第四象限;

故选：D.

2.已知在ABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,则“向24=5皿25”是“。="’的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据sin2A=sin2B结合三角函数的性质，可得A=B或A+B=—,进而可求解.

2

【详解】若sin2A=sin28,则2A=28+2E,ZeZ或2A+28=7i+2Z7i,ReZ,

兀

由于在三角形中，所以2A=23或24+26=兀，故A=B或4+8=一，

2

TT

当A=_B时，则。=>，但A+3=一时-，a,b关系不确定;

2

反过来，若则必有A=3，sin2A=sin2B.故“sin2A=sin25”是的必要不充分条件,

故选：B

2

3.已知抛物线y2=2px（p>0）的准线过双曲线方一丁=1的一个焦点，则。=（）

A.1B.2C.4D.8

【答案】C

【解析】

2

【分析】求出抛物线：/=2px的准线方程和双曲线,一)，2=1的焦点坐标，由条件列方程求".

【详解】抛物线V=2px(p>0)的准线方程为x=g,

双曲线土一丁=1的左焦点的坐标为(-2,0),右焦点的坐标为(2,0),

因为抛物线y2=2Px的准线过双曲线会一V=1的一个焦点，

所以3=2,

2

所以p=4,

故选：C.

4.林业部门规定：树龄500年以上的古树为一级，树龄300~500年之间的古树为二级，树龄100~299年的

古树为三级，树龄低于100年不称为古树.林业工作者为研究树木年龄，多用年轮推测法，先用树木测量

生长锥在树干上打孔，抽取一段树干计算年轮个数，由经验知树干截面近似圆形，年轮宽度依次构成等差

数列.现为了评估某棵大树的级别，特测量数据如下：树干周长为3.14米，靠近树芯的第5个年轮宽度为

0.4cm,靠近树皮的第5个年轮宽度为0.2cm,则估计该大树属于()

A.一级B.二级C.三级D.不是古树

【答案】C

【解析】

【分析】由条件抽象出等差数列的基本量，再结合等差数列的前〃项和，求〃.

【详解】设树干的截面圆的半径为，树干周长2用=3.14,

r=0.5m=50cm,从内向外数：=0.4,a„_4=0.2,S,=r=50=(%+=0.3〃,/.

“n2

〃=史£仪]67年，所以为三级.

3

故选:C

5.已知函数y=/(x)(xeR)如满足：/(x+3)=-f(x),/(-x)+/(x)=0,且xe[-3,0)时，

/(x)=log8(x+4),则/(2024)=()

A.—3B.—C.0D.—

33

【答案】B

【解析】

【分析】先判断出函数“X)是周期为6的周期函数，再利用周期性直接求解即可.

【详解】由f(x+3)=-/0),则/(x+6)=-/(x+3)=/(x),

所以函数/*)是周期为6的周期函数，

又F(-x)+/(x)=0,即/(X)=-/(-%),

所以/(2024)=/(2)=-/(-2)=-log82=-1.

故选：B.

6.在正三棱柱ABC-A4G中，43=2，=3,以G为球心，—为半径的球面与侧面ABB,4

3

的交线长为()

,2年R4后「26乳8后

A.-----------D.-----V—.----n

9939

【答案】B

【解析】

【分析】设2为的中点，证明GA，平面根据球的截面性质确定交线的形状，结合弧长

公式求交线长.

【详解】设R为Ag的中点，连接CA，

因为Ag=A8=2,△A4G为等边三角形，

所以CR=6

因为G2J,A|81,C}D]±A4j,481cA41=4，4耳,A4,u平面ABgA,

所以CQi_L平面43gA，

所以以G为球心，叵为半径的球面与平面ABgA的交线为以。为圆心的圆,

3

可得交线即以，为圆心，逆为半径的圆弧，

3

设该圆弧与分别相交于点M,N,

因为MD}=，AA=1，

所以cosNM0A=，因为NMRA

71

所以NM24=_

6

所以NMD|N=F，

故交线长/=1乂2兀乂空=公包.

339

故选：B.

7.函数/(x)=Asin(Q)x+°),(A>0,a)>(),。</<兀)的部分图象如图中实线所示，图中圆C与

/(X)的图象交于M,N两点，且M在〉轴上，则下说法正确的是()

A.函数/(x)的最小正周期是日兀

上单调递减

C.函数/(x)的图象向左平移专个单位后关于直线x对称

D.若圆C的半径为点，则函数f(x)的解析式为〃力=与sin(2x+m)

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数的图象，求得/(力的最小正周期，可判定A错误；利用五点作图法，求得。=],结

合三角函数的性质，可判定B错误；利用三角函数的图形变换得到平移后的函数解析式为g(x)=Acos2x,

进而判定C错误；利用=|OM「+|OC『，求得A的值，可判定D正确.

【详解】解：由函数/(x)图象，可得点。的横坐标为己，

所以函数/(力的最小正周期为7=2日—(一当]=兀，所以A不正确：

36

//j|jITILJI

又由G=-=2,且/(——)=0,即sin[2x(——)+(p]=sin(——+夕)=0,

T663

7T7T

根据五点作图法且0<9<兀，可得—5+9=(),解得0=§,

.__.../7兀兀、_r/口/,>兀/57r兀、

因为工£(一二,一二),可得2%+彳£(---,

123363

结合三角函数的性质，可得函数/(X)在(-工,-三)是先减后增的函数，所以B错误;

将函数/(x)的图象向左平移专个单位后，得到g(x)=Asin(2x+/=Acos2x,

可得对称轴的方程为2x=kit,keZ,即1=一、keZ,

2

所以X=:不是函数g(x)的对称轴，所以C错误；

当x=()时，可得/(0)=Asing=*A,即0M=^A,

若圆的半径为1|,则满足|。1/『=依加「+|012,即(居)2=(#A>+q)2

解得4=牛，所以的解析式为〃力=坐sin(2x+工],所以D正确.

故选：D.

8.己知定义在R上的函数/(X)满足，/(石+工2)=/(百)+/(±)，且当犬>0时，〃X)>0,/⑴=1,

则关于x的不等式2"，⑴+2"""+2/卜2)47的解集为()

A.[1,+8)B.[-1,1]C.[—2,2]D.[2,+oo)

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意得/(可为R上的奇函数，且为增函数，又由题得2/(*)+2一小)+/小2)«(,令

g(x)=2〃*)+2-仆)+/(/),得g(x)为R上的偶函数，且在[0,+©)上单调递增，得g(x)Wg⑴即可

解决.

【详解】由题知，定义在R上的函数/(x)满足，/(石+9)=/(%)+/(£)，

且当x>0时，/(x)>0,41)=1,

所以〃0+0)=〃0)+/(0),即/(0)=0,

又/(x)+〃f)=/(x—力=/(0)=0，

所以“X)为R上的奇函数，

设玉<X2，/(xj-/(w)=/(xj-/(x+9一%)=一/(马一七)<0,

所以“X)为R上的增函数，

因为2,+/W+2-(司+2/(寸)<7o2/(x)+2力、)+/(x2)<1,

令g(x)=2/(A)+2-/W+/(x2),

因为g(x)=2尔)+2一小)+/卜2)为R上的偶函数，且在[(),+a)上单调递增，g(l)=g,

所以g(x)4g⑴，

所以TWxWl,

故选：B.

二、选择题：本大题共4小题、每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符

合题目要求的.全部选对的得5分、有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.已知平面向量。=(一2,1),6=(4,2),c=(2,f),则下列说法正确的是()

A.若b，则f=4

B.若&〃e,则，=—i

3

C.若，=1,则向量a在d上的投影向量为-gc

D.若r>T,则向量b与c的夹角为锐角

【答案】BC

【解析】

【分析】根据向量线性运算即数量积公式可判断AB选项，根据投影向量定义可得判断C选项，由

可得从c>0,但此时向量在与C的夹角可以为零角并非锐角，可得D错误.

【详解】解：已知平面向量a=(-2,1),方=(4,2),c=(2,f),

对于A,若b上c，可得5年=0,即4x2+27=0,解得］=T,所以A选项错误；

-22

对于B,若a〃c,根据平面向量共线性质，可得——=一，即》=-1,所以B选项正确:

1t

对于C,若/=1,贝ijc=(2,l),

a-c_-4+1_3

由投影向量定义可知向量a在c上的投影向量为=5彳J，=一二°,

所以C选项正确；

对于D,若贝iJb-c=4x2+2r=8+2，〉0，所以池,工)二向白>0；

但当"1时'CM‘3丽=”+22X「+12=W^7

此时向量。与C的夹角为0°,所以D选项错误；

故选：BC.

10.已知IA:x2+y2-10x-i0y=0,B.x2+y2-6x+2y-40=0,则下列说法正确的是()

A.两圆位置关系是相交

B.两圆的公共弦所在直线方程是x+3y+10=0

C.A上到直线x+3y-10=0的距离为加的点有四个

D.若尸(x,y)8上任意一点，则［(x-5>+(y-5)2］山=90+406

【答案】ACD

【解析】

【分析】先将‘A,右的一般方程化成标准方程，再利用圆心距与两半径之差和半径之和比较即可判

断A；联立两圆的方程，化简即可得到公共弦所在直线方程，进而即可判断B：先求得4(5,5)到直线

x+3y-10=0的距离/，再比较2d与&的大小即可判断C；依题意得［(x-5)2+(y—5)2］",的几何意

义为4(5,5)到8上点的距离的平方的最大值，再结合选项A求解即可判断D.

【详解】对于A,由/4:x2+r-10x-10y=0,即(x—5))+(y—5了=50,其圆心为A(5,5),半径为

RA=5叵,

B:x2+y2-6x+2y-40=0,即(x—3『+(y+1)?=50,其圆心为B(3,-l),半径为6,=50,

则两圆的圆心距为|/3|=，4+36=2而,则此一&<|A@</?A+&,即两圆相交，故A正确;

x2+r-10x-10y=0

对于B,联立两圆的方程<化简得x+3y-10=0,故B错误;

x?+y?-6x+2y-40=0

"端叽厢’"=2加<5四，所以

对于C,由A(5,5)到直线x+3y-10=0的距离为d

A上到直线x+3y-10=0的距离为痴的点有四个，故C正确;

对于D,依题意得［(X—5)2+(>-5)2］心的几何意义为A(5,5)到03上点的距离的平方的最大值，

所以结合选项A得［(X—5)2+(y—5)2、=(|明+RB『=仅碗+=90+4075,故D正确.

故选：ACD.

11.一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列4个结论，其中正确的有()

3

A.从中任取3球，恰有一个白球的概率是g

4

B.从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为一

3

3

C.现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则第一次取到红球且第二次也取到红球的概率为g

D.从中有放回取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为黑

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据古典概型概率公式求解即可判断A；根据二项分布求概率公式计算即可求判断B；根据独立

事件的概率公式计算即可判断C；根据对立事件的概率求解即可判断D.

c1C23

【详解】A：所求的概率为2=—於叶=三，故A正确；

2224

B：取到红球的次数X6（6,一）,所以其方差为6x-x（l--）=一,故B正确;

3333

43

C：第一次取到红球的概率为一，第二次取到红球的概率为一，

432

所以第一次取到红球且第二次取到红球的概率为一x—=-,故C错误;

655

2

D：每次取到红球的概率为

所以至少有一次取到红球的概率为故D正确.

故选：ABD.

12.下列说法中，其中正确的是（）

A.命题："1（：20,_?_》_1*0”的否定是“\^<0,/一%-1<0”

化简端备的结果为2

C.C：+2C；,+22C；+23C；,+...+2nC；；=3"

D.在三棱锥P-A3C中，PA=AB=PB=AC=25CP=2jd，点。是侧棱形的中点，且

CD=g则三棱锥P-ABC的外接球。的体积为冬色.

3

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据存在性量词命题的否定即可判断A；根据二倍角的正弦、余弦公式和诱导公式计算即可判

断B；根据二项式定理即可判断C；利用线面垂直的判定定理可得4。_L平面AW，结合正弦定理、勾

股定理和球的体积公式计算即可判断D.

【详解】A：命题：“h士0/3-太-1±0”的否定是“\/》20/3一%-1<0"，故A错；

COS250-sin250_coslO_coslO_sin80_

B：sin40°sin50°-sin40°cos40°-I.-1.«"，故B正确;

—sin80—sinc8n0

22

C：C+2C：+22C：+23C：+…+2"C：=(l+2)"=3",故C正确；

D：如图所示，

c

由PA=AC=26，CP=2屈，则92+4。2=。尸2,得出J_AC,

由。是PB的中点，PA=AB=PB=2瓜易知：为等边三角形且AD=3,

又CD=gi,所以C42+AZ)2=。。2,得C4IAD,

又A。AP=A,4尸,4。匚平面物8，所以AC_L平面RW.

设球心为。且在过△PAB中心垂直于面PAB的垂线上，点。到底面PAB的距离为d=、AC=6,

2

PA2G0

y*—________—______—)

由正弦定理得的外接圆半径2sin60-g，

2x——

2

球C的半径CA=A=,/+/=J(G『+22=币,

所以三棱锥P—ABC的外接球0的体积为丫=?2=?(不了=空答.故D正确.

故选：BCD.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上.

13.某个品种的小麦麦穗长度(单位：cm)的样本数据如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、

9.6、9.9、11.2、10.6、11.7,则这组数据的第80百分位数为.

【答案】10.8

【解析】

【分析】将数据从小到大排序后，运用百分位数的运算公式即可.

【详解】数据从小到大排序为：8.6、8.9、9.1、9.6、9.7、9.8、9.9、10.2、10.6、10.8、11.2、11.7,共有

12个，

所以12x80%=9.6,

所以这组数据的第80百分位数是第10个数即：10.8.

故答案为：10.8

14.二项式（x+展开式中常数项是.（填数字）

【答案】240

【解析】

【分析】根据二项式的展开通项公式求解即可.

【详解】展开式的通项公式为乙|=C"6-，2）=2'C/告，

3

令6——r=0,解得r=4,

2

所以常数项为24G=240,

故答案为：240.

15.已知a,〃为正实数，直线y=2x-a与曲线y=In（2x+A）相切，则,+：的最小值为

【答案】9

【解析】

【分析】由直线y=2x-a与曲线y=ln（2x+0）相切可得。+力=1,后由基本不等式可得答案.

【详解】设切点为（毛,%），［in（2x+冲］'22

-------,则切线斜率可表示为:;-----r，由题有

2x+h2/+b

2

2=＞2x0+b=1.又切线可表示为:

2x0+b

2

y=-------(%—%)+In(2%+Z?)=2x—a=>a=———In(2/+b),代入

-2x0+b

2x0+h=1可得。=2/=>〃+〃=1,又a,b为正实数，贝I

41/41、/1、4ba厂八14ba厂八皿口、b4/7a2,1.口

—(〃+/?)=--1---1-5>2,------1-5=9,当且仅当一=不，M即n。=一,8=一时取等号.

abb)ab\abab33

故答案为：9.

16.经过坐标原点O的直线与椭圆C：1（。＞人＞0）相交于A,B两点,过A垂直于AB的直线

与C交于点。，直线。8与y轴相交于点E,若OB-OE=2|o目2,则C的离心率为.

【答案】

22

【解析】

【分析】设直线BD的方程为卜="+巩么=0）,与椭圆方程联立，由0分。后=2|。目2求得点B的纵坐

,1

标，进而利用韦达定理得到其横坐标，从而得到点。的坐标，然后根据43_LA。，由阳==一不一化简

kAB

求解.

【详解】解：设直线BO的方程为丁="+加（％。0）,8（王,苗），。（马,必），

则A（f,-y）,E（O,m）,

y=kx+m

,+2kma2x+a2m2-a2b2=0,

显然存在人,〃?，使得A〉。，

2kma22k2ma".

故由韦达定理得用+/=-----，必+%=一—s------+2m，

b2+a2k2'2h2+a2k2

因为。8•o2=2|。目~，则y机=2〃/，即y=2m

mm2k2moi

则a=丁,3—,2m,《AB=A=2k,%=

k\kJ%b2+a2k2'

因为ABJ_AD,

所以心%=-12kma?c12kmcr、

即_

，222222

x1+x22kb+ak2k\b+ak)

-2k2a2+2b2+2k2a2=4,化简得"=2/,

所以e=£=Jl-(2[=加

----，

a\\a)2

故答案为：交.

2

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

3

17.设_48。的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且满足acos8-0cosA=《c

⑴求小

的值;

tanB

（2）若点。为边AB的中点，AB=10,CD=5,求3C的值.

【答案】⑴4；⑵4G

【解析】

33

【分析】（1）由acos3—〃cosA=—c,带入余弦定理整理可得/一〃=一,？，所以

55

,a2+c2-b2

tanA_sinAcosB

=-S——冬邑一=—~2＞带入后一k即可得解;

tan3cosAsinBb+c—a]bA-+b；—a~5

----------b

2bc

（2）作AB边上的高CE，垂足为E,因为tanA=CZ,tan8=CE,所咽2=些

AEBEtanBAE

tany4

又——=4,所以8E=4AE，因为点。为边A5的中点且A3=10,所以

tan8

BD=5,AE=2,DE=3,再根据勾股定理即可得解.

3

【详解】（1）因为QCOS3-hcosA=《c,

dc1+a1-b2,b2+c2-ia23

所以a-----------b-—--二--—---

2ca2bc5

3

BPa2-b2=-c2.

5

za2+c2-b2

又tanA_sinAcosB_a2xtc

tanBcosAsinBb1+c2-a2.

b

2bc

mstanAa2+c2-Z?28c25.

所以-----=———%——=—X—=4

tan8b'+c-a7~52c?

AB

D

(2)如图，作AB边上的高CE，垂足为E,

r-i£.CE_CE,tanABE

因为tanA-,tanB=---,所以-----=—

AEBEtanBAE

„tanA,“一

又-----=4,所以8E=4A£.

tanB

因为点。为边AB的中点，A5=10,所以8D=5,AE=2,OE=3.

在直角三角形CQE中，8=5,所以C£=店二?"=4.

在直角三角形BCE中，BE=8,所以BC="7F=4石.

18.己知数列｛4｝的前"项和为S“，且2S,,H+S“=2,4=1.

(1)求｛凡｝的通项公式;

(2)记〃=|q4…a,/，c„=log2bn,数列"的前〃项和为7；,求

【答案】(1)

⑵(=告

n+\

【解析】

【分析】(1)采用作差法，验证/是否符合通式，即可求解｛%｝的通项公式;

(2)求得=2,竽，化简得结合裂项求和法可求(•

【小问1详解】

•'2s“+]+Stl=2,

•2S”+S“_|=2(n>2),

两式相减得2an+l+a„=0(/i>2).

又4=1,2(6+/)+6=2,解得4=一；，

.(1Y-1

••a=—，

〃\2乙)

则｛《,｝的通项公式为％

【小问2详解】

19.如图所示，在三棱柱A3/一DCE中，点G、M分别是线段44、B厂的中点.

(2)若三棱柱ABb-OCE的侧面ABCD和AOE尸都是边长为2的正方形，平面ABC。1平面AOEF,

求二面角E-BG-F的余弦值；

【答案】(1)证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证明

即可；

(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.

【小问1详解】

取5E中点N,

则平行且等于,FE,AG也平行且等于工8。，而BC平行且等于所，

22

所以MN平行且等于4G,

因此四边形4MNG为平行四边形，AM//GN,

又AM0平面BEG,GNu平面BEG,

所以AM//平面BEG；

【小问2详解】

由已知易证AF_LA。,ATLAB,ABJ_A。建立以A为原点，以AB,AD,AF的方向为x轴，y轴，z轴

正方向的空间直角坐标系，

ZA

CC

则40,0,0),3(2,0,0),C(2,2,0),£>(0,2,0),E(0,2,2),F(0,0,2),G(0,l,0),M(1,0,1),

所以BE=(-2,2,2),BG=(-2,1,0),

设〃=(x,y,z)为面BEG的法向量，则

n-BE=-2x+2y+2z=0/、

{=〃=(—L—2,1),

n•BG=-2x+y=0

同理可求平面BFG的法向量为m=(一1,一2,—1),

Ln・m1+4-12

WH7(-1)2+(-2)2+i2x7(-1)2+(-2)2+(-1)23

所以二面角E-BG-户的余弦值为;2.

20.为了推进产业转型升级，加强自主创新，发展高端制造、智能制造，把我国制造业和实体经济搞上

去，推动我国经济由量大转向质强，许多企业致力于提升信息化管理水平.一些中小型工厂的规模不大，

在选择管理软件时都要进行调查统计.某一小型工厂自己没有管理软件的高级技术员，欲购买管理软件服

务公司的管理软件，并让其提供服务，某一管理软件服务公司有如下两种收费方案.

方案一：管理软件服务公司每月收取工厂4800元，对于提供的软件服务，每次另外收费200元；

方案二：管理软件服务公司每月收取工厂7600元，若每月提供的软件服务不超过15次，不另外收费，

若超过15次，超过部分的软件服务每次另外收费500元.

（1）设管理软件服务公司月收费为y元，每月提供的软件服务的次数为x,试写出两种方案中y与x的

函数关系式；

（2）该工厂对该管理软件服务公司为另一个工厂过去20个月提供的软件服务的次数进行了统计，得到

如图所示的条形统计图，该工厂要调查服务质量，现从服务次数为13次和14次的月份中任选3个月求

这3个月，恰好是1个13次服务、2个14次服务的概率；

（3）依据条形统计图中的数据，把频率视为概率从节约成本的角度考虑该工厂选择哪种方案更合适，请

说明理由.

7600,%,15,xeN7

【答案】（1）方案一：产200x+4800,xGN,方案二:(2)—；(3)从

500%+100,x>15,xeN15

节约成本的角度考虑，该工厂选择方案一更合适，理由见解析.

【解析】

7600,x<15,xeN,

【分析】（1）由题意可得方案一：y=200x+4800,x^N,方案二：产＜

500x+100,x>15,xeN.

（2）记选择的3个月恰好是1个13次服务、2个14次服务为事件A,根据条形图，利用组合数可得

C；C：7

「(/1)=言~=—,即求.

Go15

（3）根据方案分别列出方案一与方案二中月收费的分布列，根据分布列求出数学期望，比较均值即可求

解.

【详解】解：(1)由题意知，方案一：中管理软件服务公司的月收费

y与x的函数关系式为y=200x+4800,x®N,

方案二：当x>15,xeN时，

y=7600+(x-15)x500=500x+100,xeN

所以管理软件服务公司的月收费y与x的函数关系为：

7600,%<15,xeN,

'500x+100,x>15,%eN.

(2)记选择的3个月恰好是1个13次服务、2个14次服务为事件A,

e或；7

则

cioID

(3)对于方案一，设管理软件服务公司的月收费为4元，

由条形统计图得E取值为统00,7600,7800,8000,8200,

P(^=7400)=0.1,

P(c=7600)=0.4,

P(C=7800)=0.1,

P("8000)=0.2,

P(勺8200)=0.2,

・・・，的分布列为：

74007600780080008200

P0.10.40.10.20.2

E(^)=7400X0.1+7600x0.4+7800x0.1+8000x0.2+8200x0.2=7800.

对于方案二，设管理软件服务公式的月收费为井元，

由条形统计图得〃的可能取值为7600,8100,8600,

P（片7600）=0.6,

P（/;=8100）=0.2,

P（〃二8600）=0.2,

工〃的分布列为:

760081008600

P0.60.20.2

£0/)=7600x0.6+8100x0.2+8600x0.2=7900.

，；E©<E⑺,

,从节约成本的角度考虑，该工厂选择方案一更合适.

22

21.在平面直角坐标系中，。为坐标原点，已知双曲线E：0-4=1(〃>0/>0)的右焦点/到双曲线

a~b

E的一条渐近线y=y/3x的距离为G.

(1)求双曲线£的方程；

(2)如图，过圆0：f+y2=1上一点”作圆。切线/与双曲线E的左右两支分别交于P,。两

点，以PQ为直径的圆经过双曲线E的右顶点A，求直线/的方程.

2

【答案】(1)X2_匕=]

3

0、V32百珑732也

(2)v-...x4-----或y=-----x------

3333

【解析】

【分析】(1)利用双曲线的性质即可求出双曲线的标准方程；

（2）由己知直线/的斜率存在，设/：y=kx+m,联立双曲线£与直线/的方程，由根与系数的关系得

2mk

123—左2

9，由AP・AQ=0,即可求出血与％的关系，由/与圆。：l2+,2=1相切，则

m+3

中2二一K

"I10

d=-]=1ITT=1+左~,联立求出％值即可.

Jl+%2

【小问1详解】

c=2

2

由题可得圈=。=1，片的方程：x

事＞b=G9"

2

【小问2详解】

由已知直线/的斜率存在，设/：y=kx+m,

/与圆O：d+y2=l相切，则d=一f—=1n=1+女2,

V1+F

3xy30'=（3-A?）%?_2利"-"-3=0,

联立双曲线E与直线/的方程：《

y=kx-¥m'7

设直线/与双曲线E的左右两支交于P（玉,乂）,。（工2，%）两点，

3-Fwo

所以<△=4/〃，+4"+3）（3一女2）〉o,可得04女2<3,

「「［、［2