2023-2024学年人教版数学九年级上册同步专题热点难点专项练习：圆

2023-2024学年人教版数学九年级上册同步专题热点难点专项练习

专题24.7圆（章节复习+考点讲练）

思维导图知识索引

在一个平面内，线段3绕它固定的一个端点。描述性

旋转一周，另一个端点4所形成的图形叫做圆定义

圆的

将圆心为。，半径为，的圆看成是所有到定点渊集合性

定义

距离等于定长质点的集合定义圆

的_^cz^r-1->TinJJAUya1^-|-,

圆心和半径确定圆的要素圆是轴对称图形，垂役疋理井目平分弦所对的两条现

轴

对对称轴是直径所在

的直线群.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，

称

园胜田并且平分弦所对的两条弧

经过国心的弦叫做直径连接圆上任意两

性

的

点的线段叫做弦

圆

直径是弦，但弦不一定是直径对

称

的定义：顶点在圆心的角叫做圆心角

大于半圆的弧叫做优弧，

性

优弧中圆心角宀烟在同圆或等国中，相等的圆心角

用三个字母表示

心圆的对祢中心疋理所对的弧相等，所对的弦也相等

小于半圆的弧叫做劣弧，对

劣弧是圆心

圆上任意两点称在同园或等圆中，两个圆心角、两条弧、

用两个字母表示弧、弦、圆心角、

间的部分叫做

有关性两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那

弦心距之间的关系

圆的仕意一条直径的两个圆弧，简称弧慨念么它们所对应的其余各组量都分别相等

端点把国分成两条期,毎

条弧都叫做半圆半圆

半国是弧，但弧不一定是半国7母点在国上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角

圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半

半径相等或直径相等能够重合的两个圆叫做等圆等圆

同弧或等弧所对的圆周角相等

上后用"宀日二在同圆或等圆中,能够

长度相守的弧不一疋疋等弧重合的弧叫做等弧推论

半国（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径

点在圆外"=>£>（宀“如果一个多边形是所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做

疋义国内接多边形，这个园叫做多边形的外接国

不在同一条直线上的三点确定一个国

国内蒯边彩,■“4+N8郷

三角形外接圆的圆心是三角形三条边的

垂直平分线的交点，叫做三角形的外心

性质圆内接四边形的对角互补，

点相国的0NB+NA180。

三角形外心的性质：三角形的外心到三角形点在圆上

三个顶点的距离相等，等于外接圆的半径位置关系

锐角三角形的外心在三角形内部，

直角三角形的外心是斜边的中点，各边相等、各角相等的多边形

定义

钝角三角形的外心在三角形外部是正多边形

点在国内<="+0正多边形外接圆的圆心叫做

中心中心角半径A

正多边形的中心

边心距，

正条边形的外接国的半径叫做

相交<=>rf<r半径

有关概念正多边形的半径

相切<=>4〈r位置关系

正多边形每一边所对的圆心角叫做

中心角

相离<=>rf<r正多边形的中心角

正多边形

切线的中心到正多边形的一边的距离叫做

圖的切为垂直于过切点的半径边心距

性质ffl0正多边形的边心距

如果直线和圆只有一个公共点，

❹定义中心角、外角、内角、边心距、

这时直线是圆的切线半径、边长、周长

切线的

如果用/•,那么直綫与园相切❷"与通关系正多边形的

判定正多边形S=；M催正多边形的周长

有关计算

作半径，证垂直经过半径的外端并且垂直于的面枳尾边心距）

作垂直，证半径这条半径的直线是圆的切线

周长相等时，正多边形的边数越多，面枳越大

经过国外一点的切线上，这点与切点之间直线和圆的

定义正多边形的画法平分圆周

线F殳的长，叫做这点到圆的切线长位置关系

从国外一点引圆的两条切线，它们的切线长相宀裡

等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角疋性定义：由组成圆心角的两条半径和圆心所对的弧围成的图形叫做扇形

定义：与三角形各边都相切的圆叫做

三角形的内切国

圖的

内切圆的圆心是三角形

内心到三角形三边切线长有关

三条角平分线的交点，

的距离相等计算

叫做三角形的内心三角形的

直角三角形内切圆的半径=3+加0+2内切国

（«,。是直角边长，，是斜边长）

S=僵三角形的周长，

三角形的面积

展内切国的半径）J

知识模块精讲讲练

知识点01：圆的定义、性质及与圆有关的角

1.圆的定义

⑴线段0A绕着它的一个端点。旋转一周,另一个端点A所形成的封闭曲线,叫做圆.

(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.

细节剖析：

①圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小;确定一个圆应先确定圆心,再确定半径,二者缺一不可；

②圆是一条封闭曲线.

2.圆的性质

(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形,绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形,对

称中心是圆心.

在同圆或等圆中,两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等,那么

它所对应的其他各组分别相等.

(2)轴对称：圆是轴对称图形,经过圆心的任一直线都是它的对称轴.

(3)垂径定理及推论：

①垂直于弦的直径壬分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.

③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.

④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.

⑤平行弦夹的弧相等.

细节剖析：

在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这

五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.(注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦

不能是直径)

3.两圆的性质

(1)两个圆是一个轴对称图形,对称轴是两圆连心线.

(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦,相切两圆的连心线经过切点.

4.与圆有关的角

(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.

圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.

(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.

圆周角的性质：

①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.

②同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.

③90°的圆周角所对的弦为直径;半圆或直径所对的圆周角为直角.

④如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.

⑤圆内接四边形的对鱼互补；外角等于它的内对角.

细节剖析：

(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上;②角的两边都和圆相交.

(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.

知识点02：与圆有关的位置关系

1.判定一个点P是否在。。上

设。。的半径为r，0P=d，则有

d＞「0点卩在。0外；d=r0点p在上；d＜尸=点卩在。0内.

细节剖析：

点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的,即知道位置关系就可以确定数量关系;知道

数量关系也可以确定位置关系.

2.判定几个点AA..-A在同一个圆上的方法

当40=40==4。=k时，4、4、4在。o上.

3.直线和圆的位置关系

设。0半径为R,点。到直线/的距离为d.

(1)直线/和。o没有公共点o直线和圆相离,=d＞R-

(2)直线/和00有唯一公共点O直线/和。0相切=d=R.

(3)直线/和00有两个公共点O直线/和。0相交。dvR.

4.切线的判定、性质

(1)切线的判定：

①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线.

(2)切线的性质：

①圆的切线垂直于过切点的半径.

②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.

③经过切点作切线的垂线经过圆心.

(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.

(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线,它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线

的夹角.

5.圆和圆的位置关系

设0Q的半径为足r［R>r),圆心距01。：,=a'.

(1)OQ和C：Q没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部=口4外离

=d>R+r.

(2)oq和没有公共点，且05的每一个点都在OQ内部=0/内含=d<&-r

(3)o0］和04有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部=O。>C4外切

=d=R+r.

(4)oq和。5有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在。。］内部=oo?Q，，内切

=d=R-r-

(5)oq^D82有两个公共点QOOr相交<d<&+儿

知识点03：三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形

1.三角形的内心、外心、重心、垂心

(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点,它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三

角形三边的距离相等，通常用“I”表示.

(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点,它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形

内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距

离相等，通常用0表示.

(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部;它到顶点的距离是到对边中点距离的丄倍，

通常用G表示.

(4)垂心：是三角形三边高线的交点.

细节剖析：

(1)任何一个三角形都有且只有一个内切圆,但任意一个圆都有无数仝外切三角形；

(2)解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的

一半,即(S为三角形的面积,P为三角形的周长，r为内切圆的半径).

2

(3)三角形的外心与内心的区另IJ：

名称确定方法图形性质

A

外心(三角形三角形三边中垂线的(l)0A=0B=0C；(2)外心不一

外接圆的圆交占1定在三角形内部

心)J

内心(三角形三角形三条角平分线(1)到三角形三边距离相等；

内切圆的圆的交点1(2)OA、OB、0C分别平分N

心)BAC、/ABC、ZACB；⑶内

B

心在三角形内部.

2.圆内接四边形和外切四边形

(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形,圆内接四边形对角互补,外角等于内对角.

(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.

知识点04：圆中有关计算

1.圆中有关计算

圆的面积公式：一=冗雜,周长C'-上Y.R.

力nR

圆心角为月。、半径为R的弧长/==-.

圆心角为月°，半径为R,弧长为，的扇形的面积=也Q=LR.

3602

弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.

圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R,母线长为/的圆柱的体积为开我。，侧面积为2評⑷，全面

积为2“必+7命.

圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R,母线长为，，高为右的圆锥的侧面积为工刘，全面积为

不必+兀胪，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有雜4■炉=户.

细节剖析：

(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的亠，

360

丄又行=芷

即360360

⑵在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就

可以求出第三个量.

S=Lah

⑶扇形面积公式’;，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式2有点类

似，可类比记忆；

„nnR21nnR_1

S.*==-xxR=—IR

（4）扇形两个面积公式之间的联系：，3601180：：.

考点一：圆的认识

【典例精讲】（2023•怀宁县一模）如图，。。的直径与弦切的延长线交于点E,若DE=OB,/AOC=87°,

则/£等于（）

A.42°B.29°C.21°D.20°

【思路点拨】利用半径相等得到，戸比则/根据三角形外角性质得/1=/〃叱/£,所以

Nl=2/£,同理得到价/£=3N£,然后利用/£=丄/力宏进行计算即可.

3

【规范解答】解：连接勿，如图，

VOB=DE,OB=OD,

：.DO^DE,

：.AE=ADOE,

,：4\=NDOE+4E,

；./1=2/£,

而OC=OD,

•••N4NL

・・・NC=2N£,

・•・AAOC=NGN£=3N£,

ZAAAOC=AX87°=29°.

33

故选：B.

G

【考点评析】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、

等圆、等弧等）.也考查了等腰三角形的性质.

【变式训练1-11（2022秋•厦门期末）我国东汉初年的数学典籍《周髀算经》中总结了对几何工具"矩”（即

直角形状的曲尺，如图1所示）的使用之道，其中就有“环矩以为圆”的方法.我国许多数学家对该方

法作了如下更具体的描述：如图2所示，在平面内固定两个钉子4B,保持“矩”的两边始终紧靠两钉

子的内侧，转动“矩”，则“矩”的顶点C的运动路线将会是一个圆.依此描述，请用你学过的一个数学

概念或定理解释“环矩以为圆”这种方法的道理：圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合.

【思路点拨】由圆的概念即可得到答案.

【规范解答】解：连接四，取46中点0,连接OG

'：ZACB=90Q,

二%=/AB,

动点。到。的距离是定值，

“矩”的顶点C的运动路线将会是一个圆.

应用数学概念或定理解释“环矩以为圆”这种方法的道理：圆是所有到定点的距离等于定长的点的集

合.

故答案为：圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合.

图1图2

【考点评析】本题考查圆的认识，关键是掌握圆的定义.

【变式训练1-2]（2022秋•哪西县期末）由所有到已知点。的距离大于或等于2,并且小于或等于3的点组

成的图形的面积为（）

A.4JiB.9JtC.5nD.13Ji

【思路点拨】根据题意、利用圆的面积公式计算即可.

【规范解答】解：由所有到已知点。的距离大于或等于2,并且小于或等于3的点组成的图形的面积为

以3为半径的圆与以2为半径的圆组成的圆环的面积，

BPitX32-itX22=5Jt,

故选：C.

【考点评析】本题考查的是圆的认识、圆的面积的计算，掌握圆的面积公式是解题的关键.

【变式训练（2022秋叶B江区期中）如图，半圆。的直径46=8,半径％丄相，，为弧AC上一点，DE

丄。C,DF1OA,垂足分别为£、F,求用的长.

【思路点拨】连接勿，利用三个角是直角的四边形是矩形判定四边形弧W是矩形，利用矩形的对角线

相等即可得到所求结论.

【规范解答】解：连接切.

OCLABDELOC,DFLOA,

Z.AAOC=Z.DEO=Z.DFO=900,

...四边形盟加是矩形，

：.EF=OD.

"：OD=OA

：.EF=OA=4.

【考点评析】本题考查了圆的认识及矩形的判定与性质，解题的关键是利用矩形的判定方法判定四边形

DFOE为矩形.

考点二：垂径定理

【典例精讲】（2023•容县一模）如图，46是。。的直径，"是。。的弦，ABLCD,垂足为点£,切=8加,

AB=10cm,则AE=2cm.

【思路点拨】结合题意，由垂径定理可得46垂直平分切，然后在Rt△四。中运用勾股定理求得必即可

求解.

【规范解答】解：由题意可知，垂直平分0C=0A=-1-AB=5CIII>

,,CE^^CD=4cin,

在Rt△CEO中，OE=J0c2.CE2=452-42=3（cm）,

AE=OA-OE=2cm.

故答案为：2cm.

【考点评析】本题考查了垂径定理及勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理.

【变式训练2-1】（2022秋•华容区期末）如图，在平面直角坐标系中，。。经过点（0,10）,直线尸"x+2A

-4与。。交于8、C两点，则弦6c的最小值是（）

A.SJ历B.C.875D.以上都不对

【思路点拨】易知直线y=Ax+2A-4过定点〃（-2,-4）,运用勾股定理可求出OD,由。。经过点（0,

10）,可求出半径加二10,由于过圆内定点人的所有弦中，与必垂直的弦最短，因此只需运用垂径定理

及勾股定理就可解决问题.

【规范解答】解：对于直线尸Ax+24-4,

当x=-2时，y=-4,

故直线y="x+2A-4恒经过点(-2,-4),记为点D.

由于过圆内定点〃的所有弦中，与必垂直的弦最短，即当阳丄勿时，8C最短,

连接。8,0D,如图所示，

'：D(-2,-4),

OD=V(-2)2+(-4)2=2V5，

经过点(0,10),

.•.必二10,

BD=VOB2-OD2=7102-(2V5)2=4y1

OBLOD,

，BC=2BD=8遥，

...弦8c的最小值是875.

故选：C.

【考点评析】本题主要考查了直线上点的坐标特征、垂径定理、勾股定理等知识，发现直线恒经过点(-

2,-4)以及运用“过圆内定点〃的所有弦中，与必垂直的弦最短”这个经验是解决该题的关键.

【变式训练2-2】(2023•盐都区一模)如图，。。的半径为5,弦45=8,%丄然于点C,则%的长为()

A.1B.2C.3D.4

【思路点拨】由于W丄居于点G所以由垂径定理可得虹,研=4,在Rt△/以中，由勾股定理即可得

到答案.

【规范解答］解:'：OCVAB,48=8,

AC^-AB=4-

在中，的=5,%C=4,

由勾股定理可得：OC=VOA2-AC2=7S2-42=3-

故选：C.

【考点评析】本题考查了垂径定理，熟练运用垂径定理并结合勾股定理是解答本题的关键.

【变式训练2-3】.(2023•江汉区校级模拟)如图，然是。。直径，弦3丄四于点£,过点。作施交的

延长线于点G,垂足为点F,连结AC.

(1)求证：AC—CG-,

(2)若CD=EG=S,求小的长度.

【思路点拨】(1)欲证明只要证明//=NG；

(2)求出比=6,证明斯=丄尸G,利用勾股定理构建方程求解.

2

【规范解答】(1)证明：・・•切丄46,DFLCG,

：.ZDEB=ZBFG=90°,

■:/EBD=/FBG.

・•・/〃=NG,

/A=/D,

：.N/=NG,

：.CA=CG；

(2)解：CDLAB,

，・DE=EC=4,

：4D=/G,

•tan/?-tanG,

.EB=CE

,DEEG，

.•E—B_4―~，

48

,,EB=2,

•・BG=EG-EB=8-2=6,

.•tanG=^=丄/=•+%,

FG2

•.62=』彫+昭

4

•.FG:应豆（负根已经舍去）.

5

C

【考点评析】本