平面解析几何（直线与圆锥曲线的位置关系）五年高考数学真题分类汇编

五年2018-2022高考数学真题按知识点分类汇编

24-平面解析几何（直线与圆锥曲线的位置关系）

（含解析）

一、单选题

1.（2021•全国.统考高考真题）设B是椭圆U9+y2=ι的上顶点，

点尸在C上，则归却的最大值为（）

A.IB.√6C.√5D.2

2.（2021・天津•统考高考真题）已知双曲线!4=i（α>o,b>θ）的右焦

点与抛物线V=2pχ（p>0）的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A,

5两点，交双曲线的渐近线于C、。两点，若∣S∣=0∣AB∣.则双曲线

的离心率为（）

A.y/2B.√3C.2D.3

3.（2020.全国.统考高考真题）设。为坐标原点，直线X=。与双曲

线U,E=SO"）的两条渐近线分别交于。,E两点，若一8E的面

积为8,则C的焦距的最小值为（）

A.4B.8C.16D.32

4.（2020・全国•统考高考真题）设。为坐标原点，直线χ=2与抛物

线C:∕=2px（p>0）交于£）,E两点，ODLOE,则C的焦点坐标

为（）

A.B.1别C.（1,0）D.（2,0）

5.（2020.全国.统考高考真题）设双曲线C\-£=1（a>。，

b>0）的左、右焦点分别为B,F2,离心率为右.尸是C上一点，

且BPLBP.若△「//出的面积为4,则α=（）

A.1B.2C.4D.8

6.（2020•全国•统考高考真题）设与心是双曲线Uχ2-1∙=1的两个

焦点，。为坐标原点，点P在C上且IOPI=2,则△「用耳的面积为

（）

A.17B.3C.S彳D.2

22

7.（2018•全国•高考真题）已知双曲线C：[-V=I，O为坐标原

点，F为C

的右焦点，过尸的直线与C的两条渐近线的交点分别为"、N.若

OMN为直角三角形，则IMM=

A.IB.3C.2√3D.4

8.(2018.全国.高考真题)设抛物线Cy2=4x的焦点为居过点

(-2,0)且斜率为I的直线与。交于M,N两点，则FM.尸N=

A.5B.6C.7D.8

9.(2019•全国•高考真题)已知F是双曲线uq-1=ι的一个焦

45

点，点尸在C上，。为坐标原点，若IoH=IoF|,则aOPF的面积为

A.：35B.；7C.ʌ9D.《

2222

二、多选题

10.(2022•全国•统考高考真题)已知。为坐标原点，点41,1)在抛

物线C:f=2py(p>0)上，过点B(OI)的直线交C于P,Q两点，则

()

A.C的准线为y=τB.直线AB与C相切

C.∖0P∖-∖0Q∖>∖0AfD.∖BP∖-∖BQ∖>∖BA∖2

11.(2022.全国.统考高考真题)已知O为坐标原点，过抛物线

UV=2px(p>0)焦点/的直线与。交于A,8两点，其中A在第一象

限，点M3。)，若IAFI=IAM则()

A.直线AB的斜率为2#B.IOBI=IOFI

C.∖AB∖>4∖OF∖D.Ztt4Λf+ZOBM<180°

三、填空题

12.(2022・全国•统考高考真题)已知直线/与椭圆l+[=ι在第一

O3

象限交于A,B两点，/与％轴，y轴分别交于"，N两点，且

IM4I=INB∖,∖MNI=2后,则/的方程为.

13.（2021•全国•高考真题）已知耳，K为椭圆C1+4=1的两个焦

IO4

点，P,Q为。上关于坐标原点对称的两点，且|P。=忻闾，则四边

形PF1QF2的面积为.

14.(2020.海南.高考真题)斜率为由的直线过抛物线CV=4%的

焦点,且与。交于A,B两点、,则IABI=.

15.(2018•全国•高考真题)已知点M(T")和抛物线aV=4x,过C

的焦点且斜率为左的直线与C交于A,8两点.若ZAA仍=90。，则

2

16.(2018•浙江•高考真题)已知点尸(0,1)，椭圆t+y=%(加>1)

上两点A,B满足AP=2PB,则当m=时，点B横坐标的

绝对值最大.

四、解答题

17.(2022•全国•统考高考真题)已知椭圆石的中心为坐标原点，

对称轴为X轴、>轴，且过A(0,-2),B(∣T两点.

(1)求E的方程；

⑵设过点P(b2)的直线交石于M,N两点,过M且平行于％轴的直

线与线段AB交于点T,点"满足M7=77∕.证明：直线"N过定

点.

18.(2022・全国•统考高考真题)设抛物线uV=2px(p>0)的焦点为

四点D(P,O),过尸的直线交C于M,N两点.当直线MZ)垂直于光

轴时，IMFI=3.

(1)求。的方程；

(2)设直线MaN。与C的另一个交点分别为A,B,记直线MMAB的

倾斜角分别为α]∙当α-6取得最大值时，求直线AB的方程.

19.(2022.全国•统考高考真题)已知点42,1)在双曲线

22

C：事-T4=l(α>l)上，直线/交C于P,。两点，直线ARAQ的斜率

ClQ—1

之和为O.

⑴求/的斜率；

（2）若tanNP40=2√Σ,求的面积.

20.（2022•全国•统考高考真题）已知双曲线Ur/=So"）的

右焦点为尸（2,0）,渐近线方程为y=±6χ.

（1）求C的方程；

⑵过F的直线与C的两条渐近线分别交于A,8两点，点

PaM在。上,且为>z>o,χ>o.过尸且斜率为-右的直线

与过。且斜率为后的直线交于点M

.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立:

①M在AB上；@PQ//AB.(3)∣M4HMB∣.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

21.(2022•全国.统考高考真题)在直角坐标系My中，曲线C的参

2+t2+s

X---------

数方程为Wα为参数)，曲线G的参数方程为<6t(S为

y=JiJ=-y∕s

参数).

(1)写出Cl的普通方程；

(2)以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的

极坐标方程为2cos6-sin”0,求G与G交点的直角坐标，及G与6交

点的直角坐标.

22.(2022・浙江•统考高考真题)如图，已知椭圆［+丁=1.设A,

8是椭圆上异于/W)的两点，且点在线段AB上，直线PAPB

分别交直线y=-；x+3于C,。两点.

⑴求点P到椭圆上点的距离的最大值；

(2)求ICm的最小值.

22

23.(2022•北京•统考高考真题)已知椭圆：E*+方=Im>6>0)的

一个顶点为A(Ql)，焦距为2g.

(1)求椭圆上的方程；

⑵过点尸(-2,1)作斜率为人的直线与椭圆石交于不同的两点3,C,直

线AB,AC分别与X轴交于点M,N,当IMNl=2时，求攵的值.

24.(2021•全国•统考高考真题)在平面直角坐标系Xoy中，已知点

Λ(-√17.θ)>鸟(折，03吗HM用=2,点”的轨迹为C∙

(1)求C的方程；

(2)设点T在直线X=；上，过7的两条直线分别交C于A、8两点和

P,Q两点，且附∙∣用=ITPHTQI,求直线AB的斜率与直线产。的斜率

之和.

25.(2021•全国•统考高考真题)已知抛物线Ud=2Py(P>0)的焦点

为F,且尸与圆加:炉+4+4)2=1上点的距离的最小值为4.

(1)求P；

(2)若点尸在"上，PAPB是C的两条切线，A,B是切点，求的面

积的最大值.

26.(2021・全国•统考高考真题)已知抛物线Uy2=2PX(P>0)的焦点

F到准线的距离为2.

(1)求C的方程；

(2)已知O为坐标原点，点尸在C上，点。满足PQ=9QF,求直

线。。斜率的最大值.

22

27.(2021•北京•统考高考真题)已知椭圆E：］+方=i(α>∕,>θ)一个

顶点40,-2),以椭圆E的四个顶点为顶点的四边形面积为46.

(1)求椭圆石的方程；

(2)过点尸(0,-3)的直线/斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两

点B,C,直线A8,AC分别与直线交产-3交于点M,N,当

IPM+∣PN≤15时,求左的取值范围.

28.(2021•全国•统考高考真题)已知椭圆C的方程为

4+⅛=l(α>⅛>0),右焦点为尸("O),且离心率为小.

ab3

(1)求椭圆。的方程；

(2)设M,N是椭圆。上的两点，直线MN与曲线χ2+y2="(χ>O)相

切.证明：M,N,F三点共线的充要条件是IAZNI=G.

29.(2021•浙江•统考高考真题)如图，已知F是抛物线

y'2px(p>0)的焦点，M是抛物线的准线与％轴的交点，且IMFI=2,

（1）求抛物线的方程；

（2）设过点尸的直线交抛物线与A、8两点，斜率为2的直线/与

直线X轴依次交于点P,Q,R,N,且IRM=IPNHQNI,

求直线/在X轴上截距的范围.

22

30.（2021・天津•统考高考真题）已知椭圆，+A=ι（稣h>θ）的右焦

ab

点为F,上顶点为8,离心率为雪，且忸尸I=石.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线/与椭圆有唯一的公共点M,与y轴的正半轴交于点N,

过N与斯垂直的直线交X轴于点P.若MPUBF,求直线/的方程.

31.（2020.全国.统考高考真题）已知A、8分别为椭圆及

⅛+y2=l（«>1）的左、右顶点，G为石的上顶点，AGGB=S,P为

a

直线x=6上的动点，肉与石的另一交点为C,PB与石的另一交点

为D.

（1）求E的方程；

（2）证明：直线CO过定点.

22

32.（2020•全国•统考高考真题）已知椭圆C曝+J=M0<5<5）的离心

25m~

率为芈，A,8分别为C的左、右顶点.

4

(1)求C的方程；

(2)若点尸在C上，点。在直线x=6上，且∣8P∣=∣8Q∣,BPlBQ,求

△"Q的面积.

33.(2020・山东•统考高考真题)已知椭圆CW+]=i(a>6>0)的

ab-

离心率为孝，且过点A(2,l).

(1)求C的方程:

(2)点M,N在C上，且AW_L/W,ADIMN,。为垂足.证明：存

在定点。，使得I国I为定值.

22

34.(2020.海南.高考真题)已知椭圆C：A%=i(稣b>0)过点"

(2,3),点A为其左顶点，且A"的斜率为T,

(1)求C的方程；

(2)点N为椭圆上任意一点，求AAMN的面积的最大值.

•>,>

35.(2020.北京・统考高考真题)已知椭圆。推+会=1过点

A(—2,-1),且α=2⅛.

(I)求椭圆。的方程：

(II)过点B(T,0)的直线/交椭圆C于点M，N,直线MANA分别交直线

χ=-4于点RO.求的值.

22

36.(2020・天津•统考高考真题)已知椭圆£+方=i(a>6>0)的一个

顶点为A(O，-3),右焦点为F,且IOAROF|,其中。为原点.

(I)求椭圆的方程；

(11)已知点C满足30C=OF,点8在椭圆上(8异于椭圆的顶

点)，直线AB与以C为圆心的圆相切于点尸，且尸为线段AB的中

点.求直线钻的方程.

v2

37.(2020•浙江•统考高考真题)如图，已知椭圆G：5+/=I，抛

物线G：V=2px(p>()),点A是椭圆G与抛物线C2的交点，过点A的

直线/交椭圆G于点S交抛物线C2于M(3,M不同于A).

(I)若p=I(o，求抛物线G的焦点坐标；

(II)若存在不过原点的直线/使M为线段AB的中点，求P的最

大值.

38.(2020.江苏.统考高考真题)在平面直角坐标系Xoy中，已知

椭圆£4+[=1的左、右焦点分别为B,点A在椭圆E上且在

第一象限内，AF2LF1F2,直线AB与椭圆石相交于另一点股

(1)求尸2的周长；

(2)在无轴上任取一点P,直线AP与椭圆E的右准线相交于点

Q,求ORQP的最小值；

(3)设点M在椭圆E上，记△OAB与的面积分别为5∕,

52,若S2=3S∕,求点M的坐标.

39.(202。山东.统考高考真题)已知抛物线的顶点在坐标原点

。，椭圆：+丁=1的顶点分别为4,4,4,B,其中点4为抛物线

42

(2)若过点A的直线/与抛物线交于〃，N两点，且

(OM+cw)∕∕A4,求直线/的方程.

40.(2019•全国•统考高考真题)已知曲线C产1,。为直线

产-;上的动点，过。作。的两条切线，切点分别为A,B.

(1)证明：直线AB过定点：

(2)若以风0,f为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB

的中点，求四边形ADBE的面积.

41.(2019•全国•高考真题)已知点4-2,0),3(2,0),动点M(X,y)

满足直线AM与BM的斜率之积为记M的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；

(2)过坐标原点的直线交C于P,。两点，点P在第一象限，

PEJ_x轴，垂足为连结。石并延长交C于点G.

(i)证明：PQG是直角三角形；

(ii)求PQG面积的最大值.

42.(2018•全国•高考真题)设抛物线GW=4χ的焦点为F,过厂且

斜率为Z(QO)的直线/与C交于A,B两点，21=8.

(1)求/的方程；

(2)求过点4,8且与C的准线相切的圆的方程.

43.(2019•全国•高考真题)已知抛物线CV=3%的焦点为入斜

率为5的直线/与C的交点为A,B,与％轴的交点为P∙

(1)若IAFl+∣B用=4,求/的方程；

(2)若AP=3PB,求∣43∣.

44.(2018•全国•高考真题)设椭圆c]+/=]的右焦点为尸，过尸

的直线/与C交于A，B两点，点”的坐标为(2,0).

(1)当/与X轴垂直时，求直线AM的方程；

(2)设。为坐标原点，证明：Nai例=NaI仍.

45.(2019•全国•高考真题)已知点A,3关于坐标原点O对称，

IABI=4,OM过点A,B且与直线x+2=0相切.

（1）若A在直线1+y=0上，求。M的半径.

（2）是否存在定点尸，使得当A运动时，IMAl—IMPl为定值？

并说明理由.

46.（2018.全国•高考真题）已知斜率为左的直线/与椭圆G[+1=

交于A,8两点，线段AB的中点为M（l,，〃）（心0）.

(1)证明：⅛<-∣;

(2)设厂为C的右焦点，P为C上一点,且松+FA+FB=O.证明：

网，∣FP∣,网成等差数列，并求该数列的公差.

22

47.(2019•全国•高考真题)已知耳,乃是椭圆C言+/=i(a>b>0)的

两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点.

(1)若尸。尸2为等边三角形，求C的离心率；

(2)如果存在点P,使得P口%，且桃的面积等于16,求8的

值和a的取值范围.

48.(2019•北京•高考真题)已知椭圆u,+*ι的右焦点为(LO),

且经过点A(Qi).

(I)求椭圆。的方程；

(II)设。为原点，直线/：y=履+f(f≠±i)与椭圆C交于两个不同点

P,Q,直线AP与X轴交于点直线AQ与X轴交于点N,若

IoM∙∣CW]=2,求证：直线/经过定点.

49.(2018•全国•高考真题)设抛物线GV=2x,点A(2,0),

β(-2-0),过点A的直线/与C交于M,N两点.

(1)当/与X轴垂直时，求直线BM的方程；

(2)证明：ZABM=ZABN.

22

50.(2019・天津•高考真题)设椭圆a+〉"/，〉。)的左焦点为

F,上顶点为8.已知椭圆的短轴长为4,离心率为与.

(I)求椭圆的方程；

(II)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线总

与X轴的交点，点N在y轴的负半轴上.若IONI=IOFl(。为原点)，且

OPLMN,求直线PS的斜率.

51.（2018♦北京•高考真题）已知抛物线Cy2=2px经过点P（1,

2）.过点Q（0,1）的直线/与抛物线。有两个不同的交点A,

B,且直线而交y轴于直线PS交y轴于N.

（I）求直线/的斜率的取值范围；

（II）设。为原点，QM=%Q。，QN=μQO,求证：）为定值.

Λμ.

52.（2018.全国•高考真题）已知斜率为左的直线/与椭圆G99

交于A,B两点.线段AB的中点为M（l,利）（机＞0）.

(1)证明：⅛＜-p

(2)设厂为C的右焦点，P为C上一点，且b+弘+FB=0.证明：

M+]网=2网.

22

53.(2018•天津•高考真题)设椭圆»1(。＞匕＞0)的右顶点为

A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为争IM=屈.

(1)求椭圆的方程；

(2)设直线/：，=点伏＜。)与椭圆交于尸，。两点，/与直线A8交于点

M,且点P,M均在第四象限.若aBPM的面积是VBPQ面积的2

倍，求我的值.

54.(2018・天津•高考真题)设椭圆5+孑=1(。＞。＞0)的左焦点为

F,上顶点为注已知椭圆的离心率为半，点A的坐标为(。,0),且

∣FB∣∙∣Aβ∣=6√2.

(I)求椭圆的方程；

(II)设直线/:y=EQ0)与椭圆在第一象限的交点为P,且/与直

线AB交于点Q.若鬻=乎SinNAOQ(O为原点)，求k的值.

55.(2018.北京.高考真题)已知椭圆m±+]=i(α＞b＞0)的离心率

a-b-

为白，焦距为2√Σ∙斜率为左的直线/与椭圆M有两个不同的交点A、

B.

(I)求椭圆M的方程；

(II)若Z=I,求Ul的最大值;

(III)设P(-2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭

圆M的另一个交点为。.若C、。和点共线，求女.

56.(2019•天津•高考真题)设椭圆5+营=1(»＞0)的左焦点为尸，

左顶点为A,上顶点为A已知GlOAI=2∣O8∣(。为原点).

(I)求椭圆的离心率；

(II)设经过点尸且斜率为1的直线/与椭圆在X轴上方的交点为

P,圆C同时与X轴和直线/相切，圆心C在直线x=4上，且

OC//AP,求椭圆的方程.

57.(2018.浙江•高考真题)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)

一点，抛物线Cy2=4x上存在不同的两点A,5满足孙，PB的中

点均在C上.

(I)设AB中点为M,证明：PM垂直于y轴；

2

(II)若尸是半椭圆V+J=1(X<O)上的动点，求△/¾8面积的取值

4

范围.

58.(2019•浙江•高考真题)如图，已知点尸(1，0)为抛物线

ν=2px(p>0)的焦点，过点尸的直线交抛物线于48两点，点C在抛

物线上，使得ABC的重心G在X轴上，直线AC交X轴于点。，且。在

点F右侧.记AAFGZQG的面积为5I,52.

(1)求。的值及抛物线的准线方程；

(2)求兴的最小值及此时点G的坐标.

59.(2019•江苏•高考真题)如图，在平面直角坐标系XOy中，椭

22

圆C:=+今=1("∕7>O)的焦点为B(-1、O),F2(1,0).过改作

X轴的垂线/,在X轴的上方，/与圆尸2：(x-i)2+y2=4/交于点A,与

椭圆C交于点D连结AB并延长交圆B于点B,连结BF2交椭圆

。于点石，连结。已知。B=g.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）求点石的坐标.

60.（2018•江苏•高考真题）在平面直角坐标系My中，椭圆。过

点（6,；），焦点小-百,0）,马（石,0）,圆。的直径为耳E∙

（1）求椭圆。及圆。的方程；

（2）设直线/与圆O相切于第一象限内的点尸.

①若直线/与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；

②直线/与椭圆C交于AB两点.若,OAB的面积为半，求直线/的

方程.

参考答案：

1.A

【分析】设点4知儿)，由依题意可知，8(0,1),亨+尤=1,再根据

两点间的距离公式得到IPBh然后消元，即可利用二次函数的性质

求出最大值.

【详解】设点。伍，九)，因为WO」)，∣÷^=1,所以

|尸3「=X：+(%-if=5(1—y；)+(%-=Yy；—2%+6=τ(%++y,

而T4%41,所以当先=-；时，陷的最大值为∣^.

故选：A.

【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距

离公式，并利用消元思想以及二次函数的性质即可解出.易错点是

容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B最远的点，或者认

为是椭圆的长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误

的，要注意将距离的平方表示为二次函数后，自变量的取值范围是

一个闭区间，而不是全体实数上求最值..

2.A

【分析】设公共焦点为(G。)，进而可得准线为x=-c,代入双曲线及

渐近线方程，结合线段长度比值可得Y=/:再由双曲线离心率公

式即可得解.

【详解】设双曲线5W=I(α>0")与抛物线V=2px(p>0)的公共焦点

为(c,0),

则抛物线V=2px(p>0)的准线为X=Y,

令X=Y,则54=1，解得y=±g所以IABl=聆

又因为双曲线的渐近线方程为y=±"所以∣81=拳,

所以竺E=宏史，即c=√⅛,所以/=/"=9，

aa2

所以双曲线的离心率e=5=&.

故选：A.

3.B

【分析】因为cW-∕=l(α>0,6>0),可得双曲线的渐近线方程是

aD

y=±-χ,与直线”联立方程求得。，两点坐标，即可求得

aχ=E

∖ED∖,根据.0。E的面积为8,可得M值，根据2C=2√^77,结合均值

不等式，即可求得答案.

【详解】C』-E=I(a>O,b>O)

二双曲线的渐近线方程是y=±"

a

直线…与双曲线cJ∕=l(α>O,b>O)的两条渐近线分别交于。，E

两点

不妨设。为在第一象限，E在第四象限

x=af_

联立b,解得

y=—x

aIy=8

故。(a,A)

X=ar_

联立b,解得

[y=-fy

y=——Q%

故E(a,-b)

:.\ED\=2b

，面积为：S^oDE=gaχ2b=ab=8

双曲线U*-∕=l(α>(U>0)

其焦总巨为2c=2√a2+b2>2^^=2√16=8

当且仅当α=b=2夜取等号

二C的焦距的最小值：8

故选：B.

【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌

握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等

式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，

属于中档题.

4.B

【分析】根据题中所给的条件结合抛物线的对称性，可

知ZOoX=NEQx=?,从而可以确定出点。的坐标，代入方程求得P的

值，进而求得其焦点坐标，得到结果.

【详解】因为直线x=2与抛物线V=2px（p>0）交于民。两点，且

ODLOE,

根据抛物线的对称性可以确定NQoX=NEOX=?,所以。（2,2）,

代入抛物线方程4=4p,求得P=I,所以其焦点坐标为（J,。），

故选：B.

【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直

线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物

线的焦点坐标，属于简单题目.

5.A

【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离

心率公式，即可得出答案.

【详解】*，…6，根据双曲线的定义可得|附HP/=24,

5△嘲=；1叼∙∣%∣=4,即∣/∣∙∣朋|=8,

l

F1PIF2P,.∙]PF1∖+∖PF2f=（2c↑,

2

.∙.（∖PFl∖-∖PF2∖'f+2∖PFl∖-∖PF2∖=4c,即^-5/+4=0,解得α=l,

故选：A.

【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾

股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.

6.B

【分析】由丹心尸是以P为直角直角三角形得到IPG,+∣P初2=[6,再

利用双曲线的定义得到WMITP5∣∣=2,联立即可得到IP用IP∕=iI,代

入5"收=J尸甲IPEI中计算即可.

【详解】由已知，不妨设%-2,0）,与（2,0）,

则a=l,c=2,因为IOpI=2=小用,

所以点P在以耳心为直径的圆上，

即KFj是以P为直角顶点的直角三角形,

故∣/F+∣P6∣2=∣"6∣2,

即∣PKf+∣P❷∣2=16,又IlP耳ITP玛∣=2α=2,

222

所以4=||「用-|"Il=IPFlI+∖PF21-2∖PFiIlPΛ∣=16-2∖PFt∖∖PF2∖,

解得IPGIl%I=6,所以SAW=gIWIlPF2I=3

故选：B

【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双

曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.

7.B

【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求

得其右焦点的坐标，从而得到NFON=30。，根据直角三角形的条件，

可以确定直线MN的倾斜角为60或120'根据相关图形的对称性，得

知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为60、利用点斜

式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得

M(3,√3),∕V(∣,-^),利用两点间距离公式求得网的值.

详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为士9，且右焦点为22,0),

从而得到NFoN=30。，所以直线MN的倾斜角为60。或120。，

根据双曲线的对称性，设其倾斜角为6。。，

可以得出直线MN的方程为.y=向X-2),

分别与两条渐近线产裂和丫=-冬联立，

求得M(3,6),N(3,-日,

所以IMM=J(3-∙∣y+(6+争=3,故选B.

点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要

先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直

线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确

定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线MN的斜率，结

合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求

得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.

8.D

【分析】首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，涉及

到直线与抛物线相交，联立方程组，消元化简，求得两点

M(1,2),N(4,4),再利用所给的抛物线的方程，写出其焦点坐标，之后

应用向量坐标公式，求得尸M=(0,2),FN=(3,4),最后应用向量数量积

坐标公式求得结果.

【详解】根据题意，过点(-2,0)且斜率为§的直线方程为

2i

y=g(zχ+2),

,_2

与抛物线方程联立>=不"2),消元整理得：√-6j÷8=0,

y=4χ

解得M(1,2),N(4,4),又F(LO),

所以FM=(0,2),FN=(3,4),

从而可以求得FM∙FN=0x3+2χ4=8,故选D.

【点睛】该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满

足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的

方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出

M(1,2),N(4,4),之后借助于抛物线的方程求得F(LO),最后一步应用向

量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结

果，也可以不求点M、N的坐标，应用韦达定理得到结果.

9.B

【解析】设夕(即九)，因为I。H=IoFI再结合双曲线方程可解出闻，再

利用三角形面积公式可求出结果.

【详解】设点,(知几),则子-耳=1①.

又IoH=IO目=√?Ti=3,

∙∙∙⅞2+%2=9②.

由①②得城=1，

BPboI=|>

∙∙∙SMW=；|°碎R=；x3x|=|,

故选B∙

【点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系

导致求解不畅.

10.BCD

【分析】求出抛物线方程可判断A,联立AB与抛物线的方程求交

点可判断B,利用距离公式及弦长公式可判断C、D.

【详解】将点A的代入抛物线方程得l=2p,所以抛物线方程为

r=y,故准线方程为y=1,A错误；

k,m=Jn）=2，所以直线AB的方程为y=2x-l,

I-U

（V=2,χ—1

联立已=Y,可得d-2x+l=0,解得x=l,故B正确；

设过B的直线为/,若直线/与）'轴重合，则直线/与抛物线C只有一

个交点，

所以，直线/的斜率存在，设其方程为y="τ,P（XQ）Q（XQz）,

联立，2_V,得χ2-fcr+l=0,

Δ=⅛2-4>0

2

所以，xl+x2=∣（,所以4>2或k<-2,Xy2=。々）=1,

xix2=1

又IOPI=J片+y；=JM+y∣2,IθQ|=y]x~+yl=yJy2+yl,

所以IOPl∙∣OQi=JXy2（1+必）（1+%）="依xZ¾=U|>2=|ft4『,故C正确；

因为IBPl=√Γi不Ixl∣,∣βe∣=√ΓTP^∣x2∣,

所以1叫1阳|=（1+公）|中21=1+公>5,而|8A『=5,故D正确.

故选：BCD

11.ACD

【分析】由IM=I四及抛物线方程求得4乎,小），再由斜率公式即

可判断A选项；表示出直线AB的方程，联立抛物线求得

8（争_冬），即可求出|。却判断B选项；由抛物线的定义求出

即可判断C选项；由OA∙O8<0,M4∙M8<0求得NAO8,

ZAMB为钝角即可判断D选项.

【详解】对于A,易得嘴,0),由IAFI=IAMl可得点A在FM的垂直平

分线上，则A

P

点横坐标为Tj3p,

24

代入抛物线可得＞J2p∙^=∣p2,则4日,与），则直线A8的斜率为

yf6p

3/n=2®A正确；

T-?

对于B,由斜率为2#可得直线A3的方程为χ=3%y+^,联立抛物

线方程得炉-京川-炉=。，

设8（”），则监p+%=当，则％=-埋，代入抛物线得

2oj

2

=2pw,解得x,=g贝∣JB(%-

ɔJ

则阳=WJ+'喇2=萼平小勺B错误；

对于C,由抛物线定义知：IABI=?+g+p=等＞2p=4∣OF∣,C正确；

对于D,次诙（冬季.冷一冬哼冬冬（普用岑＜0,则

NAoB为钝角，

又曲迈=（《冬G冬一季）=一4号卜冬,季卜/＜0,则

"WB为钝角,

y.ZAOB+ZAMB+ZOAM+ZOBM=3,60,则NoAM+/OBW<180,D正确.

故选：ACD.

12.x+√2γ-2√2=0

【分析】令AB的中点为E,设分Ay),B(x2,y2),利用点差法得到

koE-kAB=~,设直线48：y=履+m,k<0,m>O,求出M、N的坐标，

再根据Iwl求出％、〃J即可得解；

【详解】［方法一］：弦中点问题：点差法

令AB的中点为E,设A(XQJ,β(x2,y2),利用点差法得到

k()E∙%AB=,

设直线AB：y=辰+机，k<0,m>0,求出M、N的坐标，

再根据IMVl求出g〃?，即可得解；

解：令AB的中点为E,因为∣M4∣=∣NB∣,所以阿=IN国，

2222

设A(%,y),6(%,%),则W~++=l,~~÷--=19

16363

所以立一立+支_迂=0,即(XT2)&+々)+(必+%)μ-％)=0

663363

所以沁平Fa=gp⅛∙⅛4β-ɪ设直线4氏昨米+机，&<o,

∖X∖-∙X2ΛΛI+X2)22

m>0,

令X=O得y=a,令产0得*=_£,即M1£,o),N(Om),

所以斗史)，

m

W^×-⅜-=-^解得』当或k==（舍去）,

~2k

2

又IMM=26,BP∣Λ∕^V∣=yJm+^>j2m^=2χ∕3,解得机=2或m=-2(舍

去)，

［方法二］:直线与圆锥曲线相交的常规方法

解：由题意知，点E既为线段”的中点又是线段MN的中点,

设4(%,y∣),8(Λ2,%),设直线gy="+m,k<Q,m>0,

则M[-p0),N(0,m),《，因为IMNl=，所以IOEI=百

乙K乙J

y=kx-∖-m

联立直线AB与椭圆方程得y2消掉丫得(1+2公)/+4”依+2>-6=0

----1----=1

63

22

其中A=(4M⅛)-4(I+2k)(,2nr-6)>(),χ+x2=,

mtn

AAB中点E的横坐标号=-y∣*,又E・_2mk_m

2k'~2

∙.”<O,m>O,g，,又IOEl=J(-.A+q>=√J,解得m=2

2Y2k2

所以直线AB:y=-¥x+2,即x+√Σy-2√Σ=0

［方法三］:

令AB的中点为E,因为IM4∣=∣ΛB∣,所以IMEI=W同，

222,2

设A(ΛX),巩々，％),则十+与=1,-⅛-+~^=l,

P6363

所以寸_立+正_迂=O即(％->)(E+W)JX+%)(y「必)-o

663363

所以f'+'U'?=-1,即研∙L=-1,设直线Wy=6+机，k<0,

(Λl-x2χ%1+x2)22

m>O,

令X=O得V="?,令y=0得了=-即M1去0),N(0,m),所以

m

即-3=1'解得公旁或“考（舍去）,

~^2k

又IMNl=26,即IMNl=J/J?+（&〃『=2上,解得加=2或%=-2（舍

去），

13.8

【分析】根据已知可得PFiPF2,设IP耳=m,∣P玛1=〃,利用勾股定理

结合加+〃=8,求出"?〃，四边形用。鸟面积等于根〃，即可求解.

【详解】因为P,Q为C上关于坐标原点对称的两点，

且IPQH甲"，所以四边形尸耳。6为矩形,

22

设IPFi∣=my∖PF21=n,则m+n=8,m+n=48,

所以64=(m+〃)2=+2mn+π2=48+Itnn,

>nn=8,即四边形WQg面积等于8.

故答案为：8.

【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得

直线方程，与抛物线方程联立消去y并整理得到关于X的二次方

程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化

求得结果.

【详解】•••抛物线的方程为V=4x,.∙.抛物线的焦点F坐标为

F(LO),

又直线AB过焦点F且斜率为百，；.直线AB的方程为：

y=√3(jc-l)

代入抛物线方程消去y并化简得“70χ+3=0,

解法一：解得玉=；,工2=3

所以IAB∣=√∏Mx-x∕=√iTi∣3-;吟

解法二：Δ=l(X)-36=64>0

设A(Xl,y),B(x2,y2),IjIlJx1+x2=y,

过AB分别作准线X=T的垂线，设垂足分别为C。如图所示.

∖AB∖=∖AF∖+∖BF∖=∖AC∖+∖BD∖=xl+l+x2+↑=xl+¾+2=y

故答案为:y

【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转

化，弦长公式，属基础题.

15.2

【分析】方法一：利用点差法得到AB的斜率，结合抛物线定义可

得结果.

【详解】［方法一］：点差法

设A(ΛI,X),3(Λ2,%),则卜「一：'，所以城-%2=4%-4刍

〔必=4%

取AB中点”(%%),分别过点A3作准线A-1的垂线，垂足分别为

A∖B,

因为ZAMB=90。,∖MM'∖=^∖AB∖=ɪɑAF∣+∣BF∣)=^(∖AA'∖+∣BB'∣),

因为“为AB中点，所以MAT平行于％轴，

因为M(-l,l),所以为=1,贝！］%+%=2即Z=2.

故答案为：2.

［方法二1：【最优解】焦点弦的性质

记抛物线的焦点为忆因为ZAMB=90。，则以48为直径的圆与准线

相切于点M，由抛物线的焦点弦性质可知MFLAB,所以

L=S=2∙

KFM

［方法三1：焦点弦性质+韦达定理

记抛物线的焦点为α因为功期=90。，则以AB为直径的圆与准线

相切于点M,记AB中点为N,则切为,点设AB:X=U+1,代入y2=4x

中，得y2-4(y-4=0,所以％+%=4f=2,得f=g,所以%=2.

［方法四］:【通性通法】暴力硬算

由题知抛物线C:y2=4X的焦点为F(l,0),设直线AB的方程为

y=⅛U-l)(⅛≠0),代入C：V=4x中得心;2_(2L2+4)χ+α2=o,设

A(X，乂),8(当，必)，则为+人=2"尸,电犯=1,同理有Y+%=)/%=~4,

kκ

由NAMB=90。，BPMA1MB

.又MA=(玉+l,y-l),M3=(x2+l,%-l),所以

2k1+44F

MAΛ∕B=(x+l,>>-l)∙(x+l,y-l)=—ʒ-------1=0,得&=2.

ll22KK

［方法五］:距离公式+直角三角形的性质

y+y=4m,

2AB

设直线为X=冲+1与V=4x联立得y-4my-4=0,则y.%=Y从

而4+/=加(%+%)+2=4>+2,可得AB的中点N(2>+I,2加)，所以

IMNI=J(2"+1+)+(2w-l)2.

又由弦长公式知IA81="+疗J(yA+%)2-4%%=4(1+叫.

由ZAM8=90。得2∣MNl=IABI,解得相二，所以％=^=2.

2m

［方法六］:焦点弦的性质应用

由题可知，线段AB为抛物线的焦点弦，ZAMB=90°,由于以抛物线

的焦点弦为直径的圆必与准线相切，又点M恰为抛物线准线上的

点，因此，以AB为直径的圆必与准线相切于点M.

过点"作平行于OX轴的直线交AB于点N,则N为圆心.

设Λ(xl,yl),B(x2,j2),∕V(x0,j0)(yl>0,j2<0),则y0=，产=1.

又因为*%=-p2=T,所以联立解得M=I+石.将M的值代入犬=你

中求得士=<5.

因为抛物线C的焦点尸a，。)，所以A=%=%=最冷=2.

-----------1

2

【整体点评】方法一：根据点差法找出直线AB的斜率与AB两点纵

坐标的关系，再根据抛物线定义求出加中点坐标，从而解出；

方法二：直接根据焦点弦的性质解出，是该题的最优解；

方法三：根据焦点弦性质可知，直线过点小，1),再根据韦达定理求

出直线AB的斜率；

方法四：直接设出直线方程，联立运算，属于解决直线与抛物线位

置关系问题的通性通法，思路直接，运算复杂；

方法五：反设直线，再通过联立，利用直角三角形的性质求解，运

算较复杂；

方法六：利用焦点弦的性质直接求出其中一点的坐标，再根据斜率

公式求出.

16.5

【分析】方法一：先根据条件得到A,8坐标间的关系，代入椭圆方

程解得3的纵坐标，即得8的横坐标关于相的函数关系，最后根据

二次函数性质确定最值即可解出.

【详解】［方法一］：点差法+二次函数性质

设A(XI,乂),伏々,〉2)，由AP=2PB得-Xl=2々，I-X=2(必-1)，，-凹=2%-3,

因为Af在椭圆上,所以［+"犯与+止九二苧+(2%-3)2=%即

十+(%-尹=?，与今+y；=，"相减得：＞2=~^~＞所以,

x^=-^(zn2-10w+9)=-^-(∕M-5)2+4≤4,当且仅当加=5时取最等号，即

，〃=5时，点3横坐标的绝对值最大.

故答案为：5.

［方法二］:【通性通法】设线+韦达定理

由条件知直线AB的斜率存在，设条4γ),3(电,必),直线AB的方程为

y="+1,

y=Ax+l(½≠O),联立，得(4公+1b2+8依+4_4〃?=0,根据韦达定

---Fy=727,

4

理得用+々=-疝鲁)•，由AP=2PB知丹=-22，代入上式解得々=疝■j^

^TK十1