2024年安徽省名校之约中考数学第一次联考试卷

2024年安徽省名校之约中考数学第一次联考试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．1．（4分）计算1﹣（﹣3）的结果是（）A．﹣2 B．4 C．﹣4 D．22．（4分）一个长方体的左视图、主视图及相关数据如图所示，则其俯视图的面积为（）A．6 B．8 C．12 D．243．（4分）下列运算正确的是（）A．2a•3a＝6a2 B．4a﹣3a＝1 C．a+a＝a2 D．a3÷（﹣a2）＝a4．（4分）据《安徽经济新闻网》2024年1月10日报道：2024年伊始，合肥高新区传来好消息，南岗科技成果加速器北区已经正式开工建设．总投资约16.9亿元，总建筑面积约24.7万平方米．其中数据16.9亿用科学记数法表示为（）A．1.69×10 B．1.69×108 C．1.69×109 D．1.69×10105．（4分）如图，AB∥CD，点E为直线AB上方一点，DE，BE．若DE⊥CD，∠BDC＝25°，则∠ABE的度数是（）A．125° B．130° C．135° D．140°6．（4分）不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．7．（4分）如图，以正方形纸片ABCD的顶点A为圆心，AB长为半径画弧，用这个纸片制作一个无底的圆锥．若正方形的边长为1，则圆锥底面的半径为（）A． B． C． D．18．（4分）无论x取何实数时，二次函数y＝x2﹣（2m+1）x+m2的值始终为正数，则m的取值范围是（）A． B． C． D．9．（4分）2024年元旦期间，某超市为了增加销售额，举办了“购物抽奖”活动：凡购物达到200元即可抽奖1次，…，依次类推．抽奖方式为：在不透明的箱子中有四个形状相同的小球，四个小球上分别写有对应奖品的价值为10元、15元、20元和“谢谢惠顾”的字样，随机从四个小球抽取一个；抽奖2次时，…，依次类推．小明和妈妈一共购买了420元的物品，获得了两次抽奖机会（）A． B． C． D．10．（4分）如图，在▱ABCD中，AB＝4，∠DAE＝60°，DE为∠ADC的角平分线，点G为CF的中点，连接AG（）A．2 B． C．4 D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）若估算的值在整数n和（n+1）之间．12．（5分）若2，3，6，a，b这五个数据的方差是3，则4，5，8，b+2这五个数据的方差是．13．（5分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与反比例函数，B，与x轴交于点C（3，0），与y轴交于点D（0，2），则k＝．14．（5分）抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．（1）当△ABD是等腰直角三角形时，点D的坐标为；（2）当△ABC是直角三角形时，a的值为．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）计算：+（π+1）0﹣（﹣1）2024．16．（8分）春节期间，某商店用21000元购进一批纯牛奶，很快售完，每箱的进价提高了5%，同样用21000元购进的数量比第一次少了20箱．求第一次购进每箱纯牛奶的进价．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）在所给网格中，以点O为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC的位似比为2：1，并写出点A1的坐标；（2）作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C．18．（8分）定义：a，b，m为实数，若a+b＝m的对称数．（1）2与4是关于的对称数，7与是关于3的对称数；（2）若a＝﹣2x2+3（x2+x）﹣4，且a与b是关于﹣1的对称数，试用含有x的代数式表示b．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）数学兴趣小组在学习解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识进行综合实践活动．他们选择测量一座砖塔AB的高度，在点C处测得砖塔顶端A的仰角为45°到达斜坡上的D点，在点D处测得砖塔顶端A的仰角为30°．若斜坡CF的坡比i＝1：3，C，E在同一水平线上．（1）求点D到水平线BE的距离；（2）求砖塔AB的高度（结果保留根号）．20．（10分）如图，已知点P为⊙O外一点，点A为⊙O上一点，AC是⊙O的直径，∠PAC的平分线AD交⊙O于点D，连接OD．（1）求证：OD∥BM；（2）若，⊙O的直径为4，求AB的长度．六、（本题满分12分）21．（12分）为了迎接中考体育测试，学校想了解九年级学生的准备情况，随机抽取了部分学生的检测成绩进行调查，其中：A等级表示检测分数为57分～60分，B等级表示检测分数为53分～56分，D等级表示检测分数为48分及以下．请你结合图中信息解答下列问题：（1）样本中B等级的人数所在扇形统计图中的圆心角的度数是；（2）把条形统计图补充完整；（3）已知该校九年级的学生有600人，根据样本估计全校九年级学生D等级的人数；（4）根据抽样调查的结果，为学校提一个合理的建议．七、（本题满分12分）22．（12分）问题情境：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，CD是边AB上的高，点E为AC上一点，过点D作DF⊥DE交BC于点F．猜想与证明：（1）如图1，当点E为边AC的中点时，试判断点F是否为边BC的中点；（2）如图2，连接EF，试判断△DEF与△ABC是否相似；问题解决：（3）如图3，当CE＝CF时，试求线段CF的长．八、（本题满分14分）23．（14分）已知抛物线y＝a（x+2）（x﹣4）（a为常数，且a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），经过点B的直线与抛物线的另一交点为点D（1）如图1，若点D的横坐标为3，试求抛物线的函数表达式；（2）如图2，若DE＝BE，试确定a的值；（3）如图3，在（1）的情形下，连接AC，点P为抛物线在第一象限内的点，连接BP交AC于点Q△APQ﹣S△BCQ取最大值时，试求点P的坐标．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．1．（4分）计算1﹣（﹣3）的结果是（）A．﹣2 B．4 C．﹣4 D．2【解答】解：1﹣（﹣3）＝4+3＝4，故选：B．2．（4分）一个长方体的左视图、主视图及相关数据如图所示，则其俯视图的面积为（）A．6 B．8 C．12 D．24【解答】解：由图可得：俯视图为长为4，宽为3的长方形，∴其俯视图的面积为7×4＝12，故选：C．3．（4分）下列运算正确的是（）A．2a•3a＝6a2 B．4a﹣3a＝1 C．a+a＝a2 D．a3÷（﹣a2）＝a【解答】解：A、2a⋅3a＝3a2，故原选项计算正确，符合题意；B、4a﹣8a＝a，不符合题意；C、a+a＝2a，不符合题意；D、a3÷（﹣a4）＝﹣a，故原选项计算错误；故选：A．4．（4分）据《安徽经济新闻网》2024年1月10日报道：2024年伊始，合肥高新区传来好消息，南岗科技成果加速器北区已经正式开工建设．总投资约16.9亿元，总建筑面积约24.7万平方米．其中数据16.9亿用科学记数法表示为（）A．1.69×10 B．1.69×108 C．1.69×109 D．1.69×1010【解答】解：16.9亿＝1690000000＝1.69×104．故选：C．5．（4分）如图，AB∥CD，点E为直线AB上方一点，DE，BE．若DE⊥CD，∠BDC＝25°，则∠ABE的度数是（）A．125° B．130° C．135° D．140°【解答】解：∵AB∥CD，∠BDC＝25°，∴∠ABD＝180°﹣∠BDC＝155°，∵DE⊥CD，∴∠EDC＝90°，∴∠BDE＝∠EDC﹣∠BDC＝65°，∵BE＝DE，∴∠EBD＝∠BDE＝65°，∴∠ABE＝360°﹣∠EBD﹣∠ADB＝140°．故选：D．6．（4分）不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：，解不等式①得：x＞8，解不等式②得：x≤2，∴不等式组的解集为：1＜x≤2，在数轴上表示如图所示：，故选：B．7．（4分）如图，以正方形纸片ABCD的顶点A为圆心，AB长为半径画弧，用这个纸片制作一个无底的圆锥．若正方形的边长为1，则圆锥底面的半径为（）A． B． C． D．1【解答】解：设圆锥的底面半径为r，由题意得：，解得：，故选：A．8．（4分）无论x取何实数时，二次函数y＝x2﹣（2m+1）x+m2的值始终为正数，则m的取值范围是（）A． B． C． D．【解答】解：由题知，因为二次函数y＝x2﹣（2m+4）x+m2的值始终为正数，且a＝1＞2，所以[﹣（2m+1）]7﹣4×m2＜8，解得，．故选：D．9．（4分）2024年元旦期间，某超市为了增加销售额，举办了“购物抽奖”活动：凡购物达到200元即可抽奖1次，…，依次类推．抽奖方式为：在不透明的箱子中有四个形状相同的小球，四个小球上分别写有对应奖品的价值为10元、15元、20元和“谢谢惠顾”的字样，随机从四个小球抽取一个；抽奖2次时，…，依次类推．小明和妈妈一共购买了420元的物品，获得了两次抽奖机会（）A． B． C． D．【解答】解：列表得：101520谢谢惠顾102025301015253035152030354020谢谢惠顾1015200由表格可得，共有16种等可能出现的结果，∴小明和妈妈获得奖品总值不低于30元的概率＝，故选：C．10．（4分）如图，在▱ABCD中，AB＝4，∠DAE＝60°，DE为∠ADC的角平分线，点G为CF的中点，连接AG（）A．2 B． C．4 D．【解答】解：如图所示：当点F与点D重合时，点G在点G1处，此时DG1＝CG3，当点F与点E重合时，点G在点G2处，此时CG2＝EG4，∴G1G2为△CDE的中位线，∴G8G2∥DE，且，∵点G为CF的中点，∴GG2为△CDF的中位线，∴GG1∥DF，，∴点G在G1G4上运动，当AG⊥G1G2时，AG的值最小，∵在▱ABCD中，AB＝3，∠DAE＝60°，∴AB∥CD，CD＝AB＝4，∴∠ADC＝180°﹣∠DAE＝120°，DG1＝CG6＝AD＝2，∴，∵DE为∠ADC的角平分线，∴，∴∠CG1G5＝∠CDE＝60°，∴∠AG1G2＝180°﹣∠CG6G2﹣∠AG1D＝90°，即AG2⊥G1G2，∴AG的最小值为AG2，∵DE∥G1G2，∴DE⊥AG7，∵AD＝DG1，∠ADE＝60°，∴，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）若估算的值在整数n和（n+1）之间4．【解答】解：∵，又∵，即42＜20＜62，∴，又∵的值在整数n和（n+5）之间，∴n＝4．故答案为：4．12．（5分）若2，3，6，a，b这五个数据的方差是3，则4，5，8，b+2这五个数据的方差是3．【解答】解：由题意知，数据4，5，5，b+2这五个数据是将原数据分别加2所得，∴新数据的波动幅度与原数据一致，∴这五个数据的方差是7，故答案为：3．13．（5分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与反比例函数，B，与x轴交于点C（3，0），与y轴交于点D（0，2），则k＝．【解答】解：∵C（3，0），4），∴OC＝3，OD＝2，如图，作AE⊥x轴于E，，则∠AEC＝∠DOC＝90°，∴AE∥OD，∴△ACE∽△DCO，∴，∵AD＝AB＝BC，∴，∴，，∴OE＝OC﹣CE＝6﹣2＝1，∴，∴，故答案为：．14．（5分）抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．（1）当△ABD是等腰直角三角形时，点D的坐标为（1，﹣2）；（2）当△ABC是直角三角形时，a的值为．【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），6），∴OA＝1，OB＝3，∴AB＝8，设函数的对称轴与x轴的交点为E，∵△ABD是等腰直角三角形，∴DE＝AE＝BE＝2，∴D点坐标为（1，﹣8），故答案为：（1，﹣2）；（2）∵CO⊥AB，AC⊥BC，∴∠ACB＝∠COB＝90°，∴∠ACO+∠OAC＝∠BAC+∠ABC＝90°，∴∠ACO＝∠ABC，∴△OAC∽△OCB，∴OC5＝OA×OB＝3，∵C点在y轴的负半轴上，∴c＝﹣，将点A（﹣2，0），0）代入y＝ax5+bx﹣3中，∴，解得，故答案为：．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）计算：+（π+1）0﹣（﹣1）2024．【解答】解：+（π+4）0﹣（﹣1）2024＝﹣8﹣（2﹣）+4﹣1＝﹣2﹣4++1﹣6＝﹣4+．16．（8分）春节期间，某商店用21000元购进一批纯牛奶，很快售完，每箱的进价提高了5%，同样用21000元购进的数量比第一次少了20箱．求第一次购进每箱纯牛奶的进价．【解答】解：设第一次购进每箱纯牛奶的进价为x元，则第二次购进每箱纯牛奶的进价为（1+5%）x，由题意得：，解得：x＝50，经检验，x＝50是分式方程的解；∴第一次购进每箱纯牛奶的进价为50元．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）在所给网格中，以点O为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC的位似比为2：1，并写出点A1的坐标；（2）作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C．【解答】解：（1）如图，△A1B1C2即为所求．点A1的坐标为（6，﹣7）．（2）如图，△A2B2C即为所求．18．（8分）定义：a，b，m为实数，若a+b＝m的对称数．（1）2与4是关于3的对称数，7与﹣1是关于3的对称数；（2）若a＝﹣2x2+3（x2+x）﹣4，且a与b是关于﹣1的对称数，试用含有x的代数式表示b．【解答】解：（1）∵2+4＝8，6÷2＝7，∴2与4是关于3的对称数，又3×2﹣7＝﹣1，∴7与﹣8是关于3的对称数．故答案为：3；﹣4；（2）根据题意得，﹣2x2+4（x2+x）﹣4+b＝﹣3×2，解得，b＝﹣x2﹣2x+2．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）数学兴趣小组在学习解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识进行综合实践活动．他们选择测量一座砖塔AB的高度，在点C处测得砖塔顶端A的仰角为45°到达斜坡上的D点，在点D处测得砖塔顶端A的仰角为30°．若斜坡CF的坡比i＝1：3，C，E在同一水平线上．（1）求点D到水平线BE的距离；（2）求砖塔AB的高度（结果保留根号）．【解答】解：（1）如图1，作DG⊥BE于G，∵斜坡CF的坡比i＝1：5，∴，设GD＝xm，则CG＝7xm，由题意得：，CD2＝GD7+CG2，∴，解得：x＝3，∴GD＝2m，∴点D到水平线BE的距离为2m；（2）如图6，作DH⊥AB于H，则∠DGB＝∠DHB＝∠HBG＝90°，∴四边形DGBH为矩形，∴DH＝BG，BH＝GD，设AB＝ym，则BC＝AB＝ym，∴BG＝BC+CG＝（6+y）m，AH＝AB﹣BH＝（y﹣2）m，∴，∴，解得：，∴，∴砖塔AB的高度为．20．（10分）如图，已知点P为⊙O外一点，点A为⊙O上一点，AC是⊙O的直径，∠PAC的平分线AD交⊙O于点D，连接OD．（1）求证：OD∥BM；（2）若，⊙O的直径为4，求AB的长度．【解答】（1）证明：∵AD平分∠PAC，∴∠MAD＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠MAD＝∠ODA，∴OD∥BM；（2）解：如图，连接BC，，∵AC为⊙O的直径，⊙O的直径为4，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，AC＝4，∵，∴，令AD＝x，则CD＝2x，由勾股定理得：AD2+CD6＝AC2，∴x2+（2x）2＝46，解得：，∴，，∵OD∥BM，∴∠M＝∠ODC，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠M＝∠OCD，∴AM＝AC＝4，∵∠ADC＝90°，∴，∵BC2＝CM3﹣（AM+AB）2，BC2＝AC6﹣AB2，∴AC2﹣AB5＝CM2﹣（AM+AB）2，即，解得：．六、（本题满分12分）21．（12分）为了迎接中考体育测试，学校想了解九年级学生的准备情况，随机抽取了部分学生的检测成绩进行调查，其中：A等级表示检测分数为57分～60分，B等级表示检测分数为53分～56分，D等级表示检测分数为48分及以下．请你结合图中信息解答下列问题：（1）样本中B等级的人数所在扇形统计图中的圆心角的度数是72°；（2）把条形统计图补充完整；（3）已知该校九年级的学生有600人，根据样本估计全校九年级学生D等级的人数；（4）根据抽样调查的结果，为学校提一个合理的建议．【解答】解：（1）样本中B等级的人数所在扇形统计图中的圆心角的度数是360°×（1﹣44%﹣28%﹣8%）＝72°，故答案为：72°；（2）本次抽取的总人数为：44÷44%＝100（人），故样本中B等级的人数为：100﹣44﹣3﹣28＝20（人），补全条形统计图如图所示：；（3）600×28%＝168（人），∴全校九年级学生D等级的人数为168人；（4）由扇形统计图可得：A等级的人数所占的比例为44%，不到一半，故应该合理加强学生的训练．七、（本题满分12分）22．（12分）问题情境：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，CD是边AB上的高，点E为AC上一点，过点D作DF⊥DE交BC于点F．猜想与证明：（1）如图1，当点E为边AC的中点时，试判断点F是否为边BC的中点；（2）如图2，连接EF，试判断△DEF与△ABC是否相似；问题解决：（3）如图3，当CE＝CF时，试求线段CF的长．【解答】解：（1）点F是边BC的中点，理由：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，∴，∵CD是边AB上的高，∴，∴，在Rt△BCD中，，∵CD⊥AB，∴∠B+∠BC