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培优拓展13

洛必达法则速求参数范围规律方法1.不等式恒成立或能成立题目.能分离参数成a≥h(x)或a≤h(x),归结为求h(x)的某个最值(或其极限值)问题.常规方法不易求得最值或其极限值(往往多次求导后仍为超越结构).可考虑在某个端点或断点处应用洛必达法则求最值(或极限值).2.使用洛必达法则时,是对分子、分母分别求导,而不是对它们的商求导,求导之后再求极限得最值.对点训练1设函数f(x)=ex-1-x-ax2.(1)若a=0,求f(x)的单调区间;(2)当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围.解

(1)当a=0时,f(x)=ex-1-x,∴f'(x)=ex-1,当x>0时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x<0时,f'(x)<0,f(x)单调递减,∴函数f(x)的单调递增区间是(0,+∞),单调递减区间是(-∞,0).(2)当x≥0时,f(x)≥0,即ex-1-x≥ax2在[0,+∞)上恒成立.①当x=0时,e0-1-0≥a×0恒成立,a∈R;令h(x)=(x-2)ex+x+2(x>0).则h'(x)=(x-1)ex+1(x>0).h'(x)=(x-1)ex+1单调递增,∴h'(x)>(0-1)×e0+1=0,∴h(x)=(x-2)ex+x+2单调递增,所以h(x)在(0,+∞)上单调递增,且h(1)=0,因此当x∈(0,1)时,h(x)<0;当x∈(1,+∞)时,h(x)>0,所以当x∈(0,1)时,g'(x)<0,当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,所以g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.对点训练2(原创题)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2,当a=-1时,若∀x∈(-∞,0),都有f(x)≤ex恒成立,求b的取值范围.令h(x)=ex-2x2-x-1(x<0),则h'(x)=ex-4x-1.令m(x)=ex-4x-1(x<0),则m'(x)=ex-4,∴当x<0时,m'(x)=ex-4<0,∴h'(x)=ex-4x-1在(-∞,0)单调递减,∴∀x∈(-∞,0),h'(x)>e0-4×0-1=0,∴h(x)=ex-2x2-x-

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