垂径定理课件北师大版数学九年级下册

*3.3垂径定理第三章圆问题:赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.

探究一

如图，AB

是⊙O

的一条弦，作直径

CD，使CD⊥AB，垂足为

M.1垂径定理及其推论ABOCDM(1)右图是轴对称图形吗？

如果是，其对称轴是什么？圆的对称性：

圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线，圆的对称轴有无穷多条.连接

OA，OB，则OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中，∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴点

A和点

B关于

CD对称.ABOCDM合作证明圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.(2)你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.ABOCDM证明：连接

OA，OB，则OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中，∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM，∠AOC=∠BOC.∴∠AOD=180°－∠AOC，

∠BOD=180°－∠BOC.∴∠AOD=∠BOD.ABOCDM垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，(条件)推导格式：你能用几何语言表示吗？定义总结∴AM=BM，

，.(结论)例1

如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm，OE=6cm，则AB=

cm.·OABE解析：连接

OA.∴AB=2AE=16(cm).16

∵OE⊥AB，典例精析想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？是不是，因为没有垂直.是不是，因为

AB，CD都不是直径.OABCABOEABDCOEABOCDE一条直线：⑤平分弦所对的劣弧①过圆心

②垂直于弦③平分弦④平分弦所对的优弧思考探索

上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？垂径定理ABOCDM探究二

如图，AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB

的直径CD，交AB

于点M

．ABOCDM(1)这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？(2)你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.ABOCDM解：(1)连接

AO、BO，则

AO=BO.又∵AM=BM，∴∠AMO=∠BMO=90°.∴

CD⊥AB.∴△AOM≌△BOM(SSS).证明举例由垂径定理可得归纳总结垂径定理的逆定理

平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.·OABCD“不是直径”这个条件能去掉吗？

如果不能，请举出反例.圆的两条直径是互相平分的.特别说明：垂径定理的本质是：满足其中任两条，必定同时满足另三条（1）一条直线过圆心（2）这条直线垂直于弦（3）这条直线平分不是直径的弦（4）这条直线平分不是直径的弦所

对的优弧（5）这条直线平分不是直径的弦所

对的劣弧知二推三ABCDOhrd赵州桥中，弦长

a，弦心距

d，弓形高

h，半径

r

之间有以下关系：指圆心

O

到弦的距离

d+h=r数量关系总结垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形回顾导入解得R≈27.3.即赵州桥主桥拱的半径约为27.3m.∴R2=(R

-

7.23)2

+18.52，解：如图，过桥拱所在圆的圆心

O作

AB的垂线，交

于点

C，交弦

AB于点

D，则

CD=7.23.由垂径定理，得

AD=AB=18.5，设⊙O的半径为

Rm.在Rt△AOD中，AO=R，OD=R-7.23，AD=18.5.由勾股定理，得

例2如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧

CD，点

O

是弧

CD

的圆心)，其中

CD=600m，E

为弧

CD

上的一点，且

OE⊥CD，垂足为

F，EF=90m.求这段弯路的半径.解:连接

OC.●

OCDEF┗设这段弯路的半径为

Rm,则

OF=(R-90)m.根据勾股定理，得解得

R=545.∴这段弯路的半径约为

545m.1.如图

a、b，一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的半径为

7cm，则弓形的高为＿_＿＿____cm.C图b

DCBOADOAB图a2或

12

指弦中点到弦所对的弧中点的距离练一练垂径定理内容推论辅助线一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦（不是直径）;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.两条辅助线：连半径，作弦心距构造

Rt△

利用勾股定理计算或建立方程.基本图形及变式图形圆心到弦的距离1.已知⊙O中，弦

AB=8cm，圆心到

AB

的距离为

3cm，则此圆的半径为

cm.52.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦

MN∥EF，且

MN=12cm，EF=16cm，则弦

MN和

EF之间的距离为

cm.14或23.(朝阳区期末)

圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，且构造简单、施工方便.某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为

1m

的圆，如图所示，若水面宽

AB

=

0.8

m，求水的最大深度.AB0.8解：如图，作

OC⊥AB于点

C，连接

OA，∴∠ACO

=

90