2023年高考数学文科模拟考试试卷及答案

高考数学模拟考试试卷及答案（一）（文

科）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小

题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设i是虚数单位，复数在为纯虚数，则实数a的值为（）

1+1

A.1B.-1C.1D.-2

2

2.集合A={0,1,2,3,4},B={x|（x+2）（x-1）<0},则AAB=

（）

A.{0,1,2,3,4}B.{0,1,2,3}C.{0,1,2}D.{0,

1}

3.已知向量左（1,2）,t=（-2,m）,若则Z+3EI等于（）

A.-VToB.C.3yf5D-2a

4.设a「2,数列{1+aJ是以3为公比的等比数列，则a4=（）

A.80B.81C.54D.53

5.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个

边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）

正视图左视图

俯视图

第1页（共28页）

A.2cm2B.cm3C.3^0m3D.3cm3

6.执行如图所示的程序框图，若输出i的值是9,则判断框中的横线

上可以填入的最大整数是（）

A.4B.8C.12D.16

7.已知I,m,n为三条不同直线，a,0,丫为三个不同平面，则下

列判断正确的是（）

A.若m〃a,n〃a,则m〃n

B.若m_La,n〃0,a±P，则m_Ln

C.若aCB=l,m〃a,m〃仇则m〃l

D.若aGB=m,any=n,l±m,l±n,则l_La

8.已知6Q(0,1)，则y-一~小的最小值为()

2sin0cos0

A.6B.10C.12D.16

‘肝y-240

9.已知变量x,y满足r-yn<o,则弋的取值范围为（)

2x-y+230

A.[0,g]B.[0,+8)C.(-8,和D.[0]

第2页（共28页）

_22

10.已知直线I：y=kx与椭圆C：三■+J=lQ〉b〉0)交于A、B两点，

a2b2

其中右焦点F的坐标为(c,0),且AF与BF垂直，则椭圆C的离心

率的取值范围为()

A.除1)B.(0,泊C.噜,1)D.(0,冬

b-a科'K

11.对于实数a、b,定义运算"3"：a®b=i',设f(x)=(2x

.b'-a£a>b

-3)®(x-3),且关于x的方程f(x)=k(kWR)恰有三个互不相

同的实根x2>x3，则XJXz-X?取值范围为()

A.(0,3)B.(-1,0)C.(-8,o)D.(-3,0)

12.f(x)是定义在(0,+8)上的非负可导函数，且满足x「(x)

Wf(x),对任意的正数a、b,若a<b,则必有()

A.af(a)Wbf(b)B.af(a)2bf(b)C.af(b)<bf(a)

D.af(b)2bf(a)

二.填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.

13.圆(x+2)2+(y-2)2=2的圆心到直线x-y+3=0的距离等

于.

14.已知函数丫=$访(oox+巾)(w>0,0<巾W二)的部分图象如示，

则巾的值为.

第3页(共28页)

15.定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(x-2)=f

(x+2),且x£=(-2,0)时，f(x)=2x+±则f

2

17.已知等差数列｛aj满足：a3=7,25+27=26.｛aj的前n项和为S«

(工)求及S。；

4

(11)令6n=—八=—I(n£N*),n求数列｛b｝的前nn项和T.

n

18.已知函数f(x)=-2sir)2x+2盛sinxcosx+1

(I)求f(x)的最小正周期及对称中心

(口)若*£[-?，义],求f(X)的最大值和最小值.

19.某流感病研究中心对温差与甲型H1N1病毒感染数之间的相关关

系进行研究，他们每天将实验室放入数量相同的甲型H1N1病毒和

100只白鼠，然后分别记录了4月1日至4月5日每天昼夜温差与实

验室里100只白鼠的感染数，得到如下资料:

日4月1日4月2日4月34月4日4月5日

期□

温101311127

差

感染2332242917

数

(1)求这5天的平均感染数;

(2)从4月1日至4月5日中任取2天，记感染数分别为x,y用(x,

y)的形式列出所有的基本事件，其中(X,y)和(V，X)视为同一

事件，并求|x-y|W3或|x-y|29的概率.

第4页(共28页)

20.如图，已知三棱锥A-BPC中，AP±PC,ACJ_BC,M为AB的中

点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形.

(I)求证：BC_L平面APC；

(II)若BC=3,AB=10,求点B到平面DCM的距离.

22_

21.已知椭圆C：与+4=1(a>b>0),圆Q：(x-2)2+(y-

a?『

2=2的圆心Q在椭圆C上，点P(0,6)到椭圆C的右焦点的距离

为我.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点P作互相垂直的两条直线I1，12,且I1交椭圆C于A,B两

点，直线［交圆Q于C,D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面

e

(1)求f(X)的单调区间;

第5页(共28页)

(2)设g(x)=xF(x),其中f'(x)为f(x)的导函数.证明：对

任意x>0,g(x)<l+e-2.

第6页(共28页)

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小

题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设i是虚数单位，复数在为纯虚数，则实数a的值为()

1+1

A.1B.-1C.1D.-2

2

【考点】A5：复数代数形式的乘除运算.

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不

为0求得a值.

[解答]解：产T-Q+i尤为纯虚数,

1+iCl+i)(1-i)2

号,解得：a=l.

[a+lWO

故选：A.

2.集合A={0,1,2,3,4},B={x|(x+2)(x-1)<0},则AAB=

()

A.{0,1,2,3,4}B.{0,1,2,3}C.{0,1,2}D.{0,

1}

【考点】IE：交集及其运算.

【分析】求出B中不等式的解集确定出B,找出A与B的交集即可.

【解答】解：由B中不等式解得：-2WxWl,即8=[-2,1],

VA={0,1,2,3,4},

.\AnB={0,1},

第7页(共28页)

故选：D.

3.已知向量W=(L2),E=(-2,m),若.〃&则|2；+3石|等于()

A.V7oB.4A/5C.mD.2y

【考点】9R：平面向量数量积的运算.

【分析】根据鼻〃％,算出手(-2,-4),从而得出2a+3b=<-%

-8),最后根据向量模的计算公式，可算出|2*五|的值.

【解答】解：2),b-(-2,m)且，〃I,

.*.lXm=2X(-2),可得m=-4

由此可得w=(l,2),庆(-2,⑷，

，2舅3.(-4,-8),得%+五|=V(-4)2K-8)2=4V5

故选：B

4.设a『2,数列｛1+a』是以3为公比的等比数列，则a4=()

A.80B.81C.54D.53

【考点】8G：等比数列的性质；8H：数列递推式.

【分析】先利用数列｛1+a』是以3为公比的等比数列以及a『2,求出

数列｛1+aJ的通项，再把n=4代入即可求出结论.

【解答】解：因为数列｛1+aJ是以3为公比的等比数列，且a:2

所以其首项为l+a:3.

其通项为：l+an=(1+aJX3n-i=3n.

当n=4时，l+a4=34=81.

/，34=80-

第8页(共28页)

故选A.

5.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个

边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）

1Al*11«~~=~~H

W△

正视图左视图

俯视图

A.2cm2B.，.侑cm3C.3J^cm3D.3cm3

【考点】L!：由三视图求面积、体积.

【分析】由几何体的三视图得到原几何体的底面积与高，进而得到该

几何体的体积.

【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体为底面是直角梯形，

高为6的四棱锥，

故选：B.

6.执行如图所示的程序框图，若输出i的值是9,则判断框中的横线

第9页（共28页）

上可以填入的最大整数是（）

【考点】EF：程序框图.

【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S,i的值，

当S=16,i=9时，不满足条件，退出循环，输出i的值为9,则判断

框中的横线上可以填入的最大整数为：16

【解答】解：模拟执行程序框图，可得

i=l

S=0

满足条件，S=l,i=3

满足条件，S=4,i=5

满足条件,S=9,i=7

满足条件，S=16,i=9

由题意，此时，不满足条件，退出循环，输出i的值为9,

则判断框中的横线上可以填入的最大整数为：16,

故选：D.

第10页（共28页）

7.已知I,m,n为三条不同直线，a,仇丫为三个不同平面，则下

列判断正确的是（）

A.若m〃a,n〃a,则m〃n

B.若m_La,n〃0,a_LB，则m_Ln

C.若aG0=l,m〃a,m〃B，则m〃l

D.若aCB=m,aCv=n,l_Lm,l_Ln,则l_La

【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系.

【分析】根据常见几何体模型举出反例，或者证明结论.

【解答】解：（A）若m〃a,n//a,则m与n可能平行，可能相交,

也可能异面，故A错误；

（B）在正方体ABCD-AEC，DZ中,设平面ABCD为平面a,平面CDDC

为平面B，直线BB;为直线m,直线AB为直线n,

则m_La,n〃0,a_L0,但直线AB与BB，不垂直，故B错误.

（C）设过m的平面Y与a交于a,过m的平面。与B交于b,

m//a,mey,aAy=a»

m〃a,

同理可得：m〃b.

a〃b,Vbep,a0,

VaAP=l,aua,a//1,

/.I/7m.

第11页（共28页）

故c正确.

(D)在正方体ABCD-ABUD，中，设平面ABCD为平面a,平面ABB7V

为平面B，平面CDDC为平面v，

则aA0=AB,any=CD,BC±AB,BC±CD,但BC平面ABCD,故D

错误.

故选：C.

8.已知ee(0,二)，则y―7^—H~出的最小值为()

2sinocosu

A.6B.10C.12D.16

【考点】HW：三角函数的最值.

［分析］y=—\--I-----—=(————)(cos20+sin20),由止匕

sinocostiginocogb

利用基本不等式能求出y=12a+95a的最小值・

sin0cos6

【解答】解：V0e(0,—),.-.sine,cos0e(0,1),

222

第12页(共28页)

/.y=—\—H---—=(—K,—H-------~)(cos20+sin20)

sin2ecos2esin2eCOS29

一工+94-cos：Bj.gsinT

sin29cos26

210+21。/8.9sin2e

Vsin20cos26

=16.

当且仅当c。5：3-9K.e时,取等号，

sin,8cos^6

Ay=.\Q一~廿的最小值为16.

sinWcosy

故选：D.

*+y-2《0

9.已知变量x,y满足,xf+i<o,则白•的取值范围为()

,2x^+2>0

A.[0,-|-]B.[0,+8)C.(-8,t]D.[?。]

【考点】7C：简单线性规划.

【分析】画出约束条件的可行域，利用所求表达式的几何意义求解即

可.

‘犬+y-240

【解答】解：不等式卜51<0表示的平面区域为如图所示△ABC,

L2x-y+2>0

设Q(3,0)平面区域内动点P(x,V)，则上二kPQ,

x-3

当P为点A时斜率最大，A(0,0),C(0,2).

当P为点C时斜率最小，所以上*[-•1，0].

x-33

故选：D.

第13页(共28页)

,_22

10.已知直线I：y=kx与椭圆C：J+J^lla〉b〉0）交于A、B两点，

a2b2

其中右焦点F的坐标为（c,0）,且AF与BF垂直，则椭圆C的离心

率的取值范围为（）

A.挈1）B.（0,券］C.噜,1）D.（0,乎）

【考点】K4：椭圆的简单性质.

【分析】由AF与BF垂直，运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一

半，再由椭圆的性质可得c>b,结合离心率公式和a,b,c的关系，

即可得到所求范围.

【解答】解：由AF与BF垂直，

运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半，

可得||OA|=|OF|=c,

由|OA|>b,即c>b,可得C2>b2=a2-C2,

即有C2>—32,

2

可得返<e<l.

2

故选：C.

第14页（共28页）

11.对于实数a、b,定义运算"®"：a®b=J'，设f(x)=(2x

>-a,a>b

-3)®(x-3),且关于x的方程f(x)=k(kWR)恰有三个互不相

同的实根x2>x3，则XJXz-X?取值范围为()

A.(0,3)B.(-1,0)C.(-8,o)D.(-3,0)

【考点】30：函数的图象；53：函数的零点与方程根的关系.

【分析】根据定义求出f(x)解析式，画出图象，判断即可.

【解答】w：va0b=fb?ri

_b-a,a>b

'-y义0

/.f(x)=(2x-3)®(x-3)=\',

-3x'+6x,x20

其图象如下图所示:

,，，Xl*X2*X3e(-3,0),

故选：D.

第15页(共28页)

12.f(x)是定义在(0,+8)上的非负可导函数，且满足x「(x)

Wf(x),对任意的正数a、b,若a<b,则必有()

A.af(a)<bf(b)B.af(a)2bf(b)C.af(b)<bf(a)

D.af(b)2bf(a)

【考点】6A：函数的单调性与导数的关系.

【分析】由已知条件判断出f'(x)W0,据导函数的符号与函数单调

性的关系判断出f(x)的单调性，利用单调性判断出f(a)与f(b)

的关系，利用不等式的性质得到结论.

【解答】解：(x)是定义在(0,+8)上的非负可导函数且满足

xfz(x)(x),

令F(x)史幺贝肝，(x)=xf'

xx2

Vxfz(x)-f(x)<0

.•.Fz(x)<0,AF(x)=岂立在(0,+8)上单调递减或常函数

X

,对任意的正数a、b,a<b

.•.皿》皿，

ab

,任意的正数a、b,a<b,

af(b)<bf(a)

故选：C.

二.填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.

13.圆(x+2)2+(y-2)2=2的圆心到直线x-y+3=0的距离等于

2一'

第16页(共28页)

【考点】J9：直线与圆的位置关系.

【分析】求出圆的圆心坐标，利用点到直线的距离公式求解即可.

【解答】解：圆（x+2）2+（y-2）2=2的圆心（-2,2）,

圆（x+2）2+（y-2）2=2的圆心到直线x-y+3=0的距离d』?芝gL述.

Vl+l2

故答案为：述.

2

14.已知函数丫=$而（u）x+巾）（u）＞0,0V巾W二）的部分图象如示,

则巾的值为4-

—3—

【考点】HK：由丫=A$访（cox+巾）的部分图象确定其解析式.

【分析】先利用函数图象，计算函数的周期，再利用周期计算公式计

算3的值，最后将点（等，0）代入，结合力的范围，求力值即可

【解答】解：由图可知T=2（52LJL）=n,.-.0）=221=2

63T

/.y=sin（2x+6）

代入（三，0）,得sin（mM））=0

33

巾=Ti+2kH,k£Z

丁0〈巾W二

.•.巾

3

故答案为4

15.定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(x-2)=f

第17页（共28页）

(x+2),且x£=(-2,0)时，f(x)=2x+—,则f=f(1)=-f(1),

2

代入函数的表达式求出函数值即可.

【解答】解：•••定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),

函数f(x)为奇函数，

又Tf(x-2)=f(x+2),

函数f(x)为周期为4是周期函数，

f=f(1)=-f(-1)=-2-i--=-1,

2

故答案为：-1.

16.已知^ABC的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值

为叵,则这个三角形最小值的正弦值是空.

2—14—

【考点】8F：等差数列的性质.

【分析】设三角形的三边分别为a、b、c,且a>b>c>0,设公差为

d=2,求出a=c+4和b=c+2,由边角关系和条件求出sinA,求出A=60。

或120°,再判断A的值，利用余弦定理能求出三边长，由余弦定理

和平方关系求出这个三角形最小值的正弦值.

【解答】解：不妨设三角形的三边分别为a、b、c,且a>b>c>0,

设公差为d=2,三个角分别为、A、B、C,

贝I]a-b=b-c=2,可得b=c+2,a=c+4,

Z.A>B>C,

•••最大角的正弦值为亚，，sinA=亚，

22

由A£(0°,180°)得,A=60°或120°,

第18页(共28页)

当A=60。时，VA>B>C,.,.A+B+C<180°,不成立；

即A=120°,则cosA=b2+c2a2=(c+2)2+c2(c+4)2=」,

2bc2c(c+2)2

化简得铲二』，解得c=3,

2c2

b=c+2=5,a=c+4=7,

2,22

Z.cosC=a+bk~c_49+25-9-13

2ab■2X7X514

又CW(0°,180。)，贝11sinCn^/^Z^n等，

•••这个三角形最小值的正弦值是2度,

14

故答案为：达.

14

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明

过程或演算步骤.）

17.已知等差数列｛aj满足：a3=7,25+27=26.｛aj的前n项和为S。.

（I）求a”及1

4

bf—（n£N*）,｛bnT.

（口）令n=一"求数列｝的前项和

an-1nn

【考点】8E：数列的求和；84：等差数列的通项公式；85：等差数列

的前n项和.

【分析】（工）设等差数列同｝的公差为d,由于23=7,a5+a7=26,可

得fl”#,，解得3，d,利用等差数列的通项公式及其前n项和

1

2a1+10d=26

公式即可得出.

（口）由（I）可得利用“裂项求和”即可得出.

nnCn+lJnn+1

【解答】解：（I）设等差数列｛aj的公差为d,

第19页（共28页）

a3=7,a5+a7=26,

aj+2d=7

解得a『3,d=2,

2a[+10*26

；

.\an=3+2(n-1)=2n+l

S；3ni啊D><2=n2+2n.

(H)——/—

Z2

an-l(2n+l)-ln(n+l)nn+1

18.已知函数f(x)=-2sin2x+2^3sinxcosx+l

(I)求f(x)的最小正周期及对称中心

(n)若斗］,求f(X)的最大值和最小值.

【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象.

【分析】(1)利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin

(UJX+巾)的形式，即可求周期和对称中心.

(2)xe［,工］时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数

63

的图象和性质，求出f(x)的取值最大和最小值.

【解答】解：(1)函数f(x)=-2sir)2x+2\,像inxcosx+1,

化简可得:f(x)=cos2x-l+^/jsin2x+l

=Qsin2x+cos2x=2sin(2x+—TT).

.♦.f(x)的最小正周期T=^1^二兀，

由2x+3=kn(k£Z)可得对称中心的横坐标为x=三kn;二

6212

.•.对称中心0),(kez).

第20页(共28页)

(2)xG[-—,士时，2X+EQ[」，2]

63666

当2x+t=—?时，函数f(x)取得最小值为二X2二-1.

662

当2x+2L=二时，函数f(x)取得最大值为2X1=2.

62

19.某流感病研究中心对温差与甲型H1N1病毒感染数之间的相关关

系进行研究，他们每天将实验室放入数量相同的甲型H1N1病毒和

100只白鼠，然后分别记录了4月1日至4月5日每天昼夜温差与实

验室里100只白鼠的感染数,得到如下资料:

日4月1日4月2日4月34月4日4月5日

期日

温101311127

差

感染2332242917

数

(1)求这5天的平均感染数;

(2)从4月1日至4月5日中任取2天，记感染数分别为x,y用(x,

y)的形式列出所有的基本事件，其中(X,y)和(y,x)视为同一

事件，并求|x-y|W3或|x-y|29的概率.

【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率.

【分析】(1)由已知利用平均数公式能求出这5天的平均感染数.

(2)利用列举法求出基本事件总数n=10,设满足1x-y|29的事件

为A,设满足|x-y|W3的事件为B,利用列举法能求出|x-y|W3或

第21页(共28页)

|x-y|^9的概率.

【解答】解：(1)由题意这5天的平均感染数为：

的

-2-3--+-3--2-+-2-4-+--2-9--+-1--7=25-

5

(2)(x,y)的取值情况有：(23,32),(23,24),(23,29),(23,

17),

(32,24),(32,29),(32,17),(24,29),(24,17),(29,17),

基本事件总数n=10,

设满足|x-y|29的事件为A

则事件A包含的基本事件为：(23,32),(32,17),(29,17),共有

m=3个，

设满足|x-y|W3的事件为B,由事件B包含的基本事件为(23,24),

(32,29),共有m'=2个，

|x-y|W3或|x-y|29的概率P=P(A)+P(B)磊磊

20.如图，已知三棱锥A-BPC中，AP±PC,AC±BC,M为AB的中

点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形.

(I)求证:BC_L平面APC；

(II)若BC=3,AB=10,求点B到平面DCM的距离.

第22页(共28页)

/>

B

【考点】LW：直线与平面垂直的判定；MK：点、线、面间的距离计

算.

【分析】（I）根据正三角形三线合一，可得MDLPB,利用三角形中

位线定理及空间直线夹角的定义可得APXPB,由线面垂直的判定定

理可得AP_L平面PBC,即APXBC,再由ACXBC结合线面垂直的判

定定理可得BC_L平面APC；

（H）记点B到平面MDC的距离为h,则有丫乂=V.分别求

IVI-DBUCDDB-IMVIDUC

出MD长，及ABCD和△MDC面积，利用等积法可得答案.

【解答】证明：（［）如图，

•「△PMB为正三角形，

且D为PB的中点，

.*.MD±PB.

又TM为AB的中点，D为PB的中点，

.,.MD/7AP,

.,.AP±PB.

又已知APJ_PC,PBAPC=P,PB,PC平面PBC

.•.APJ_平面PBC,

Z.APXBC,

第23页（共28页）

XVACXBC,ACAAP=A,

.,.BC_L平面APC,...

解：(II)记点B到平面MDC的距离为h,则有V=V

IMVI-RDCrUDR-IVIUC.

VAB=10,

.*.MB=PB=5,

又BC=3,BC±PC,

二.PC=4,

,•%DC方"PC-BCB

又犯誓

•15M

VM-BCD^3,SABDC="2~•

在ZkPBC中,CD4PB=f，

XVMDXDC,

・'，21耽出0皿二争历

•H1L01i25r-_&V3

即点B到平面DCM的距离为孕.

5

22

21.已知椭圆C：号+J=1(a>b>0),圆Q：(x-2)2+(y-b)

a2b2

第24页（共28页）

2=2的圆心Q在椭圆C上，点P(0,正)到椭圆C的右焦点的距离

为限

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点P作互相垂直的两条直线I1，12,且§交椭圆C于A,B两

点，直线［交圆Q于C,D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面

积的取值范围.

【考点】K4：椭圆的简单性质.

【分析】(1)求得圆Q的圆心，代入椭圆方程，运用两点的距离公

式，解方程可得a,b的值，进而得到椭圆方程；

(2)讨论两直线的斜率不存在和为0,求得三角形MAB的面积为4；

设直线y=kx+近，代入圆Q的方程，运用韦达定理和中点坐标公式可

得M的坐标，求得MP的长，再由直线AB的方程为y=-工x+正，代

k

入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，由三角形的面积公式，化简

整理，由换元法，结合函数的单调性，可得面积的范围.

【解答】解：(1)圆Q：(x-2)2+(y-&)2=2的圆心为(2,正)，

代入椭圆方程可得号+4=1,

ab

由点p(o,V2)到椭圆c的右焦点的距离为正，即有瓜7=通，

解得C=2,即32-b2=4,

第25页(共28页)

解得a=2yj~^,b=2,

29

即有椭圆的方程为三-+x_=l；

84

（2）当直线丫丫二技，代入圆的方程可得x=2±次，

可得M的坐标为（2,叵）,又|AB|=4,

可得△MAB的面积为之X2X4=4；

设直线y=kx+、/^,代入圆Q的方程可得，（l+k2）X2-4x+2=0,

A/2+V2k2+2k

可得中点M（意,),

1+k2

MP|=4