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17四月2024高斯型求积公式4.3高斯型求积公式

问题:是否有比等距节点的Newton-Cotes型求积公式更高代数精度的求积公式?最高能达到多大?高斯求积公式高斯求积公式权函数定义:设[a,b]是有限或无限区间,

(x)是定义在[a,b]上的非零可积函数，若其满足则称

(x)是[a,b]上的一个权函数。在高等数学中介绍付立叶级数时，曾提到函数系1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,…,cosnx,sinnx,…中，由于任意两个函数乘积在区间[-

，+

]上的积分都等于零，则说这个函数系在[-

，+

]上是正交的，并称这个函数系为正交函数系。

定义1(a)：设函数f(x),g(x)

[a,b],且

则称f(x)与g(x)在[a,b]上正交.正交多项式定义1(b)：设函数f(x),g(x)

[a,b],且

则称f(x)与g(x)在[a,b]上带权

(x)正交.正交多项式称为权函数定义2高斯点与正交多项式的零点常见的正交多项式及高斯求积公式勒让德多项式(Legendre)切比雪夫多项式(Chebyshev)拉盖尔多项式(Laguerre)埃尔米特多项式(Hermite)高斯-勒让德求积公式2.Legendre多项式的性质:nxkAknxkAk1026±0.9324695142±0.6612093865±0.2386191861036076157300.46791393462±0.577350269213±0.774596669200.55555555560.88888888897±0.9491079123±0.7415311856±0.405845151400.12948496620.27970539150.38183005050.41795918374±0.8611363116±0.33998104360.34785484510.65214515498±0.9602898565±0.7966664774±0.5255324099±010122853630.22238103450.31370664590.36268378345±0.9061798459±0.538469310100.23692688510.47862867050.5688888889高斯-切比雪夫求积公式2.Chebyshev多项式的性质:一般积分区间[a,b]的处理高斯积分公式的数值稳定型Gauss型求积公式的构造方法(1)求出区间[a,b]上权函数为W(x)的正交多项式pn(x).(2)求出pn

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