12.2.4三角形全等的判定AAS解析版

三角形全等的判定AAS知识点管理知识点管理归类探究夯实双基，稳中求进归类探究用AAS判定三角形全等概念两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）【注】：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.题型一：通过添加条件利用AAS，判定三角形全等【例1】（2022·河南洛阳·八年级期末）如图，点E，点F在直线AC上，，AD∥BC，若想利用“”说明，需要添加的条件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据AD∥BC，可得∠A=∠C，再根据全等三角形的判定，逐项判断即可求解．【详解】解：∵AD∥BC，∴∠A=∠C，∵，∴A、添加，可利用AAS说明，故本选项符合题意；B、添加，不能说明，故本选项不符合题意；C、添加，不能说明，故本选项不符合题意；D、添加，可利用SAS说明，故本选项不符合题意；故选：A【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．变式训练【变式1-1】（2021·福建·厦门双十中学八年级期中）如图，D在上，E在上，且，要说明．（1）若以“”为依据，还须添加的一个条件是________________；（2）若以“”为依据，还须添加的一个条件为___【答案】

##

##【分析】（1）根据的条件证明即可；（2）根据的条件证明即可；【详解】（1）∵，，∴当时，；故答案是；（2）∵，，∴当时，；故答案是；【点睛】本题主要考查了探索三角形全等的条件，准确分析证明是解题的关键．【变式1-2】（2021·山西吕梁·八年级期中）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，且AB＝AC，要依据“AAS”判定ABE≌ACD，则还需要添加的条件是_____．【答案】∠ADC＝∠AEB（答案不唯一）【分析】添加条件：∠ADC＝∠AEB，再由已知条件AB=AC和公共角∠A可利用ASA定理证明．【详解】解：添加条件：∠ADC＝∠AEB，在和中，，∴（ASA），故答案为：∠ADC＝∠AEB．（答案不唯一）【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．【变式1-3】（2021·湖北武汉·八年级期中）如图，AC和BD相交于O点，若OA＝OD，用“AAS”证明△AOB≌△DOC还需增加条件_________．【答案】∠B=∠C【分析】结合已知和图形分析，已经有一边和一角对应相等，而且角是边的邻角，所以只需再添加这边的对角即可．【详解】∵OA=OD，∠AOB=∠DOC，∴当∠B=∠C时，符合AAS定理，故答案为：∠B=∠C．【点睛】本题考查全等三角形“AAS”判定定理，能结合图形分析是解题关键．题型二：直接利用AAS证明三角形全等【例题2】（2022·湖南永州·八年级期末）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，BE＝CF，AC∥DE，∠A＝∠D．(1)求证：△ABC≌△DFE；(2)若BF＝20，EC＝8，求BC的长．【答案】(1)见解析(2)14【分析】（1）求出∠ACB＝∠DEF，BC＝FE，利用AAS证明△ABC≌△DFE即可；（2）利用线段和差求出BE的长即可解决问题．（1）证明：∵AC∥DE，∴∠ACB＝∠DEF，∵BE＝CF，∴BE＋CE＝CF＋CE，即BC＝FE，在△ABC和△DFE中，，∴△ABC≌△DFE（AAS）；（2）∵BF＝20，EC＝8，∴BE＋CF＝20−8＝12，∵BE＝CF，∴BE＝CF＝6，∴BC＝BE＋EC＝6＋8＝14．【点睛】本题考查全等三角形的判定、平行线的性质、线段的和差计算等知识，解题的关键是正确寻找证明三角形全等的条件解决问题，属于中考常考题型．变式训练【变式2-1】（2022·山东济南·七年级期末）如图，，是内部一条射线，若，于点E，于点F．求证：．【答案】见解析【分析】根据同角的余角相等得到，利用，得到，然后利用“AAS”来证明三角形全等．【详解】证明：，，，，，，．

在和中，，

．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，利用“AAS”来证明三角形全等是解答关键．【变式2-2】（2022·广西河池·八年级期末）如图，中，是边上的中线，，为直线上的点，连接，，且．求证：．【答案】见解析【分析】由中线定义得BD=CD，由平行线性质得，∠FCD＝∠EBD，∠DFC＝∠DEB，即可由AAS得出结论．【详解】证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∵BECF，∴∠FCD＝∠EBD，∠DFC＝∠DEB，在△CDF和△BDE中，，∴△CDF≌△BDE（AAS）．【点睛】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．【变式2-3】（2021·辽宁兴城·八年级期末）如图，，且，，是上两点，，．求证：．【答案】见详解【分析】先根据余角的性质，可得∠A＝∠C，再根据AAS，即可得到结论．【详解】证明∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠C＋∠D＝90°，∠A＋∠D＝90°，∠AFB＝∠CED＝90°∴∠A＝∠C，又∵AB＝CD，∠AFB＝∠CED，∴（AAS）【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练运用全等三角形的判定定理是本题的关键．AAS证明全等的应用题型三：全等三角形性质与AAS判定的综合运用【例题3】（2022·山东济南·七年级期末）如图，，是线段上的两点，，EB∥CD，．求证：．【答案】证明见解析．【分析】根据两直线平行，同位角相等，求出，然后证明和全等，再利用全等三角形的对应边相等进行解答．【详解】，，，即，在和中，≌，．【点睛】方法总结:证明线段相等或角相等可以通过证明三角形全等而得到，所以可以根据题目给出的已知条件，考虑证明三角形全等，还需要什么条件这些条件怎样可以得到.由对应边角相等的条件边得到三角形全等，这是全等三角形的判定;由三角形全等得到对应的边角相等，这是全等三角形的性质.变式训练【变式3-1】（2022·河北石家庄·八年级期末）如图，在的平分线上取点E，连接并延长与交于点D，连接并延长与交于点C，使，连接．(1)求证：．(2)若，，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）利用AAS证明△OCE≌△ODE即可；（2）由△OCE≌△ODE，得∠CEO＝∠DEO＝∠CED＝55°，再利用三角形外角的性质可得答案．（1）∵，∴，∵平分，∴在和中，∴∴．（2）∵，∴，，

∴，∴【点睛】题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识，证明△OCE≌△ODE是解题的关键．【变式3-2】（2022·山东济南·七年级期末）已知：如图，，，点，在线段AD上，．求证：．【答案】证明见解析【分析】利用平行线的性质可得，再根据全等三角形的判定与性质可得，然后可得结论．【详解】证明：∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质．掌握其性质定理是解决此题的关键．【变式3-3】（2021·陕西师大附中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，若∠1＝∠2，AB＝ED，求证：DB＝CD．【答案】见解析【分析】根据AB∥CD，可得∠ABD＝∠EDC，利用AAS证明△ABD≌△EDC，即可得结论．【详解】解：证明：∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠EDC，在△ABD和△EDC中，，∴△ABD≌△EDC（AAS），∴DB＝CD．【点睛】此题考查了平行线的性质和三角形全等的证明，解题的关键是根据题意找到证明三角形全等需要的条件．题型四：AAS的实际应用【例题4】（2020·驻马店市第一高级中学分校七年级期中）如图，小明和小华两家位于A，B两处，隔河相望．要测得两家之间的距离，小明设计如下方案：从点B出发沿河岸画一条射线BF，在BF上截取，过点D作，取点E使E，C，A在同一条直线上，则DE的长就是A，B之间的距离，说明他设计的道理．【分析】根据两直线平行，内错角相等可得，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等解答；【详解】解：，，在和中，，，，即的长就是、两点之间的距离．【点睛】此题型主要考查了全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．变式训练【变式4-1】（2021·湖南湘西土家族苗族自治州·八年级期末）如图，小强学习全等三角形后，用10块高度都是5cm的相同长方体积木，搭了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．【答案】两堵木墙之间的距离为50cm．【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明即可，利用全等三角形的性质进行解答．【详解】解：由图可得，∠ACB＝90°，∠ACD+∠BCE＝90°又∠ACD+∠CAD＝90°∠CAD＝∠BCE在和中，AD=CE=3×5=15cmBE=CD=7×5=35cmDE=CD+CE=35+15=50cm答：两堵木墙之间的距离是50cm．题型五：三垂直模型与AAS的综合运用【例题5】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为D，E．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若BD＝2cm，CE＝4cm，DE＝cm．【答案】（1）见解析；（2）6【分析】（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根据等角的余角相等得∠CAE＝∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA；（2）根据全等三角形的性质得出AE＝BD，AD＝CE，于是DE＝AE+AD＝BD+CE．【详解】证明：（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD，∵在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（AAS），（2）∵△ABD≌△ACE，∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE，∵BD＝2cm，CE＝4cm，∴DE＝6cm；故答案为：6．变式训练【变式5-1】（2019·福建期中）如图1，将一块等腰直角三角板ABC的直角顶点C置于直线l上，图2是由图1抽象出的几何图形，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E．（1）△ACD与△CBE全等吗？说明你的理由．（2）猜想线段AD、BE、DE之间的关系．（直接写出答案）【答案】（1）详见解析；（2）AD=BE-DE；【分析】（1）观察图形，结合已知条件，可知全等三角形为：△ACD与△CBE．根据AAS即可证明；（2）由（1）知△ACD≌△CBE，根据全等三角形的对应边相等，得出CD=BE，AD=CE，从而求出线段AD、BE、DE之间的关系．【详解】证明：（1）∵AD⊥CD，BE⊥CD，∴∠ADC=∠CEB=90°，又∵∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CBE=90°-∠ECB．在△ACD与△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS）；（2）AD=BE-DE，理由如下：∵△ACD≌△CBE，∴CD=BE，AD=CE，又∵CE=CD-DE，∴AD=BE-DE．【变式5-2】（2019·河南月考）（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D，E．求证：△AEC≌△CDB．（2）如图2，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S＝．【答案】（1）见解析；（2）S=50．【分析】（1）因为BD⊥l，AE⊥l，可得∠AEC=∠CDB，结合题意得到∠CAE=∠BCD，再根据AAS证明即可．（2）利用（1）中结论，根据全等三角形的性质进行计算即可解决问题．【详解】（1）如图1中，

∵BD⊥l，AE⊥l，

∴∠AEC=∠CDB=90°，

∴∠CAE+∠ACE=90°，

∴∠BCD+∠ACE=90°，

∴∠CAE=∠BCD，在△AEC和△CDB中,

∴△AEC≌△CDB（AAS）．

（2）如图2中，因为AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，

由（1）可知：△EFA≌△AGB，△BGC≌△CHD，

∴EF=AG=6，AF=BG=CH=3，CG=DH=4，

∴S=（6+4）×16-18-12=50．

故答案为50．链接中考链接中考【真题1】（2022·湖南长沙·中考真题）如图，AC平分，垂足分别为B，D．(1)求证：；(2)若，求四边形ABCD的面积．【答案】(1)见解析(2)12【分析】（1）由角平分线的定义和垂直的定义求出，结合已知条件，利用“AAS”即可求证；（2）由全等三角形的性质得，根据三角形的面积公式求出，再根据四边形ABCD的面积求解即可．(1)AC平分，，，；(2)，，，，，四边形ABCD的面积．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握它们是解题的关键．【真题2】（2021·广东广州·中考真题）如图，点E、F在线段BC上，，，，证明：．【答案】见解析【分析】利用AAS证明△ABE≌△DCF，即可得到结论．【详解】证明：∵，∴∠B=∠C，∵，，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．【真题3】（2021·甘肃兰州·中考真题）如图，点，在线段上，，，，求证：．【答案】见解析【分析】由可得，，进而根据AAS证明，即可证明．【详解】，，在与中，（AAS），．【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．【真题4】（2021·四川南充·中考真题）如图，，AD是内部一条射线，若，于点E，于点F．求证：．【答案】见详解【分析】根据AAS证明△BAE≌△ACF，即可得．【详解】证明：∵，∴∠BAE＋∠CAF＝90°，∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BEA＝∠AFC＝90°，∴∠BAE＋∠EBA＝90°，∴∠CAF＝∠EBA，∵AB＝AC，∴△BAE≌△ACF，∴．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．满分冲刺能力提升，突破自我满分冲刺【拓展1】（2022·山东日照·