第40讲带电粒子在电场中运动的综合问题（讲义）

第40讲带电粒子在电场中运动的综合问题目录复习目标网络构建考点一带电粒子在力电等效场中的圆周运动【夯基·必备基础知识梳理】知识点方法概述及应用【提升·必考题型归纳】考向1竖直电场中的等效场问题考向2水平电场中的等效场问题考点二带电粒子在交变电场中的运动【夯基·必备基础知识梳理】知识点1交变电场中的直线运动处理方法知识点2交变电场中的偏转处理方法【提升·必考题型归纳】考向1交变电场中的直线运动考向2交变电场中的偏转考点三用动力学、能量和动量观点解决力电综合问题【夯基·必备基础知识梳理】知识点1力电综合问题的处理流程知识点2电场中的功能关系【提升·必考题型归纳】考向1用动力学和能量观点解决力电综合问题考向2用能量和动量观点解决力电综合问题真题感悟会利用动力学、能量和动量的观点处理带电粒子在电场中直线运动、曲线运动问题。考点要求考题统计考情分析三大观点在力电综合问题中的应用2023年山西卷第12题2022年福建卷第8题2022年辽宁卷第14题高考对带电粒子在电场中运动的综合问题的考查较为频繁，大多在综合性的计算题中出现，题目难度较大。考点一带电粒子在力电等效场中的圆周运动知识点方法概述及应用1.方法概述等效思维方法是将一个复杂的物理问题,等效为一个熟知的物理模型或问题的方法。对于这类问题,若采用常规方法求解,过程复杂,运算量大。若采用等效法求解,则能避开复杂的运算,过程比较简捷。2.方法应用先求出重力与电场力的合力,将这个合力视为一个等效重力,将a=F合考向1竖直电场中的等效场问题1．如图所示，长为L的细线拴一个带电荷量为+q、质量为m小球，重力加速度为g，球处在竖直向上的匀强电场中，电场强度为E，小球能够在竖直平面内做圆周运动，则（）A．小球受到的电场力跟重力是一对平衡力B．小球在最高点的速度一定不小于C．小球运动到最高点时，电势能最小D．小球运动到最低点时，机械能最大【答案】C【详解】A．小球能够在竖直平面内做圆周运动，重力与电场力反向，电场力大小可能等于重力，则小球在竖直平面内做匀速圆周运动；电场力大小也可能大于重力，则二者合力（称为等效重力）竖直向上，相当于重力方向向上，最高点为等效最低点，小球通过时速度最大；最低点为等效最高点，小球通过时速度最小；电场力大小还可能小于重力，则相当于重力方向不变，重力加速度减小；A错误；B．由A选项分析可知，小球可能以较小的速度（小于）在竖直平面内做匀速圆周运动，B错误；C．圆周上最高点电势最低，小球带正电，由知经过最高点时电势能最小，C正确；D．圆周上最低点电势最高，小球经过时电势能最大，由小球机械能与电势能之和不变可知，小球经过最低点时机械能最小，D错误。故选C。2．如图所示，带电小球用绝缘细线悬挂在O点，在竖直平面内做完整的变速圆周运动，小球运动到最高点时，细线受到的拉力最大。已知小球运动空间存在竖直向下的匀强电场，电场强度为E，小球质量为m，带电量为q，细线长为l，重力加速度为g，则（）A．小球带正电B．电场力大于重力C．小球运动到最低点时速度最大D．小球运动过程最小速度至少为【答案】BD【详解】AB．因为小球运动到最高点时，细线受到的拉力最大，可知重力和电场力的合力（等效重力）方向向上，则电场力方向向上，且电场力大于重力，小球带负电，故A错误，B正确；C．因重力和电场力的合力方向向上，可知小球运动到最高点时速度最大，故C错误；D．由于等效重力竖直向上，所以小球运动到最低点时速度最小，最小速度满足即故D正确；故选BD。考向2水平电场中的等效场问题3．如图所示，为竖直平面内的绝缘光滑轨道，其中部分为倾角为的斜面，部分为半径为R的四分之三圆弧轨道，与斜面平滑相切，C为轨道最低点，整个轨道放置在水平向右的匀强电场中。现将一带正电质量为m的小滑块从斜面上A点由静止释放，小滑块恰能到达圆弧轨道的D点。已知重力加速度为g，下列说法正确的是（）A．释放点A到斜面底端B的距离为B．小滑块运动到C点时对轨道的压力为C．小滑块运动过程中最大动能为D．小滑块从D点飞出后恰好落在轨道上的B点【答案】A【详解】小滑块恰能到达圆弧轨道的D点，表明小球能通过轨道的等效最高点D，由几何关系得，与水平方向的夹角为，则得所以轨道等效最高点为圆心左上，重力和电场力的合力为在D点有A．从A点到D点，由动能定理得解得故A正确；B．从C点到D点由动能定理得在C点有解得根据牛顿第三定律得小滑块运动到C点时对轨道的压力为，故B错误；C．小滑块运动到D点的对称点等效最低点时速度最大，由动能定理得解得故C错误；D．小球从D点抛出后，做类平抛运动，假设刚好落到B点，则有；则在合力方向的位移为则假设错误，故D错误。故选A。4．如图所示，在竖直面内有一半径为R的圆环型轨道，轨道内部最低点A处有一质量为m的光滑带正电的小球（可视作质点），其所带电荷量为q，在圆环区域内存在着方向水平向右的匀强电场，电场强度E=，现给小球一个水平向右的初速度，使小球开始运动，以下说法正确的是（）A．若v0＞，则小球可以做完整的圆周运动B．若小球可以做完整的圆周运动，则轨道所给弹力的最大值与最小值相差4mgC．若v0=，则小球将在轨道最高点B处脱离轨道D．若v0=，则小球不会脱离轨道【答案】BCD【详解】小球同时受到重力和电场力作用，这时可认为小球处于等效重力场中，小球受到的等效重力为等效重力加速度为小球可以做完整的圆周运动，则有与竖直方向的夹角如下图所示在等效重力场中应用机械能守恒定律可得解得，A错误；B．若小球可以做完整的圆周运动，则小球在等效重力场中最低点轨道所给的弹力最大，等效最高点轨道所给的弹力最小，在最低点有在最高点有小球从最低点到最高点的过程中，有解得轨道所给弹力的最大值与最小值相差为C．若v0=，小球到达最高点B处的过程中，重力做负功，电场力不做功，则有解得故可得小球将在轨道最高点B处脱离轨道，C正确；D．在等效重力场中，当v0=时，小球没有超过等效重力场中的半圆，故小球不会脱离轨道，D正确。故选BCD。考点二带电粒子在交变电场中的运动知识点1交变电场中的直线运动处理方法1.此类题型一般有三种情况:一是粒子做单向直线运动(一般用牛顿运动定律求解);二是粒子做往返运动(一般分段研究);三是粒子做偏转运动(一般根据交变电场的特点分段研究)。2.分析时从两条思路出发:一是力和运动的关系,根据牛顿第二定律及运动学规律分析;二是功能关系。3.注重全面分析(分析受力特点和运动特点),抓住粒子的运动具有周期性和在空间上具有对称性的特征,求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的边界条件。4.交变电场中的直线运动（方法实操展示）Ut图像vt图像轨迹图知识点2交变电场中的偏转处理方法（带电粒子重力不计，方法实操展示）Ut图轨迹图vv0v0v0v0v0v0vyt图ttOvyv0T/2T单向直线运动AB速度不反向ttOvyv0往返直线运动AB速度反向TT/2v0考向1交变电场中的直线运动1．如图所示，两平行金属板竖直放置，左极板接地，中间有小孔。右极板电势随时间变化的规律如图所示。电子原来静止在左极板小孔处。（电子电量为e，不计重力作用）下列说法中正确的是（）A．若从时刻释放电子，电子将始终向右运动，直到打到右极板上B．若从时刻释放电子，电子可能在两板间振动C．若从时刻释放电子，在恰好到达右极板，则到达右极板时电子的为D．若从时刻释放电子，在时刻到达右极板，则到达右极板时的电子的动能是【答案】AD【详解】AB．若t=0时刻释放电子，电子将重复先加速后减速，直到打到右极板，不会在两板间振动，所以A正确，B错误；CD．设两极板距离为，极板间电场强度大小若从时刻释放电子，在时刻到达右极板，则电子经历了先加速再减速后加速三个过程，每段加速度大小相同，则每段位大小相同，均为。全过程由动能定理得得又得，C错误，D正确。故选AD。2．如图甲所示，直线加速器由一个金属圆板（序号为0）和多个横截面积相同的金属圆筒组成，其中心轴线在同一直线上，圆筒的长度遵照一定的规律依次增加。圆板和圆筒与交流电源相连，序号为奇数的圆筒和电源的一极相连，圆板和序号为偶数的圆筒和该电源的另一极相连，交变电源两极间电势差的变化规律如图乙所示。若电压的绝对值为U，电子电量大小为e，电子通过圆筒间隙的时间可以忽略不计。在t=0时刻，圆板中央的一个电子在圆板和圆筒之间的电场中由静止开始加速，沿中心轴线冲进圆筒1，电子在每个圆筒中运动的时间均小于T，且电子均在电压变向时恰从各圆筒中射出，不考虑相对论效应，则（）A．由于静电屏蔽作用，圆筒内不存在电场B．电子运动到第n个圆筒时动能为neUC．在时奇数圆筒相对偶数圆筒的电势差为负值D．第n个和第n+1个圆筒的长度之比为【答案】ABD【详解】A．由于静电屏蔽作用，圆筒内不存在电场，A正确；B．电子每经过一个间隙，电场力做功eU，根据动能定理，电子运动到第n个圆筒时动能为电子运动到第n个圆筒时动能为neU，B正确；C．因为，时圆筒1相对圆板的电势差为正值，同理，奇数圆筒相对偶数圆筒的电势差为正值，C错误；D．根据动能定理得；；；第n个和第n+1个圆筒的长度之比为解得，D正确。故选ABD。考向2交变电场中的偏转3．如图甲，一带电粒子沿平行板电容器中线MN以速度v平行于极板进入（记为时刻），同时在两板上加一按图乙变化的电压。已知粒子比荷为k，带电粒子只受静电力的作用且不与极板发生碰撞，经过一段时间，粒子以平行极板方向的速度射出。则下列说法中正确的是（）A．粒子射出时间可能为 B．粒子射出的速度大小为C．极板长度满足 D．极板间最小距离为【答案】D【详解】AB．粒子进入电容器后，在平行于极板方向做匀速直线运动，垂直极板方向的运动图像如图所示因为粒子平行极板射出，可知粒子垂直板的分速度为0，所以射出时刻可能为、、……，满足（，2，3……）粒子射出的速度大小必定为v，故AB错误；C．极板长度（，2，3……）故C错误；D．因为粒子不跟极板碰撞，则应满足；；联立求得故D正确。故选D。4．如图甲所示，两平行金属板水平放置，间距为，金属板长为，两金属板间加如图乙所示的电压（，初始时上金属板带正电）。一粒子源射出的带电粒子恰好从上金属板左端的下边缘水平进入两金属板间。该粒子源能随时间均匀发射质量为、电荷量为的带电粒子，初速度，重力忽略不计，则（）A．能从板间飞出的粒子在板间运动的时间为B．能从板间飞出的粒子束进入极板的时刻为C．若粒子在时刻进入两极板之间，粒子飞出极板时的偏移量是D．若发射时间足够长，则能够从两金属板间飞出的粒子占总入射粒子数的比例为【答案】D【详解】A．由于粒子只受到竖直方向的电场力作用，将粒子的运动进行分解，则粒子做类平抛运动。水平方向上不受外力故做匀速直线运动，竖直方向做匀加速直线运动。故能从板间飞出的粒子在板间运动的时间为故A错误；C．设粒子在两金属板间运动时的加速度为，则若粒子在时刻进入两极板之间，则它在竖直方向上先加速向下的时间，有粒子运动之后电场反向，开始在竖直方向上减速向下，则根据竖直方向的对称性原则，粒子会再经过的时间竖直分速度减速为零，共经历的时间从两金属板间飞出。如下图所示粒子飞出极板时的总偏移量故C错误；BD．由题意可知，只有在时间段内进入才有可能飞出。假设时刻进入两金属板间的粒子可以飞出，则飞出时偏移量为则假设不成立，时刻进入两金属板间的粒子会打在金属板上。下金属板临界：在第一个周期内设带电粒子在时刻进入两金属板间，它在竖直方向上先加速向下再经过时间后电场反向，开始在竖直方向减速向下，根据对称性，再经过时间竖直方向速度减速为0，恰好从下金属板右端飞出，则如C中情形相同。则所以可知能从板间飞出的粒子束进入极板的时刻为。上金属板临界：在第一个周期内设带电粒子在时刻进入两金属板间，它在竖直方向上先加速向下再经过时间后电场反向，开始在竖直方向减速向下，根据对称性，再经过时间竖直方向速度减速为0，然后加速向上直到恰好从上金属板右端飞出，运动轨迹如下图所示：可知解得或（舍去）所以在第一个周期内带电粒子不碰到金属板而能够飞出的时刻满足则第一个周期内能够飞出的粒子占第一周期内入射粒子总数的比例，与足够长的时间内飞出的粒子占入射粒子总数的比例相同，均为故B错误，D正确。故选D。考点三用动力学、能量和动量观点解决力电综合问题知识点1力电综合问题的处理流程知识点2电场中的功能关系1．电场中的功能关系(1)若只有静电力做功电势能与动能之和保持不变。(2)若只有静电力和重力做功电势能、重力势能、动能之和保持不变。(3)除重力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化。(4)所有外力对物体所做的功等于物体动能的变化。2．电场力做功的计算方法(1)WAB＝qUAB(普遍适用)(2)W＝qExcosθ(适用于匀强电场)(3)WAB＝－ΔEp＝EpA－EpB(从能量角度求解)(4)W电＋W非电＝ΔEk(由动能定理求解)考向1用动力学和能量观点解决力电综合问题1．如图所示，一电荷量为+q、质量为m的小物块处于一倾角为37°的光滑斜面上，当整个装置被置于一水平向右的匀强电场中时，小物块恰好静止。重力加速度为g，，。（1）求匀强电场的电场强度大小；（2）若将电场强度减小为原来的，则物块的加速度为多大？（3）若将电场强度减小为原来的，求物块下滑距离为L时的动能。【答案】（1）；（2）0.3g；（3）0.3mgL【详解】（1）小物块静止在斜面上，受到重力、静电力和斜面支持力，受力分析如图所示则有；联立解得（2）若电场强度减小为原来的，即则由牛顿第二定律得解得（3）电场强度变化后，物块下滑距离为L时，重力做正功，静电力做负功，由动能定理得解得2．如图，在水平地面上固定一倾角为的粗糙绝缘斜面，斜面处于电场强度大小为、方向沿斜面向下的匀强电场中。一劲度系数为的绝缘轻质弹簧的一端固定在斜面底端，整根弹簧处于自然状态。一质量为、带电量为的滑块从距离弹簧上端为处静止释放，滑块在运动过程中电量保持不变，设滑块与弹簧接触过程没有机械能损失，弹簧始终处在弹性限度内，物块与斜面间动摩擦因数为，重力加速度大小为。（1）求滑块从静止释放到与弹簧上端接触瞬间所经历的时间；（2）若滑块在沿斜面向下运动的整个过程中最大速度大小为，求滑块从静止释放到速度大小为过程中弹簧弹性势能的增加量。【答案】（1）；（2）【详解】（1）滑块从静止释放到与弹簧刚接触的过程中做初速度为零的匀加速直线运动，设加速度大小为，则有；联立可得（2）滑块速度最大时受力平衡，设此时弹簧压缩量为，则有从静止释放到速度达到最大的过程中，由动能定理得联立可得考向2用能量和动量观点解决力电综合问题3．如图所示，一个质量为，带电量为的小球放置在光滑绝缘水平面上，并压缩（不连接）固定在墙上绝缘弹簧，释放后，以的速度冲上放置在水平面上质量为、半径为的绝缘1/4圆弧形物体。从上点离开后，正好进入水平向右、场强大小为的有界匀强电场，到达最高点时恰好与静止悬挂的绝缘小球在水平方向发生弹性碰撞。悬挂的绳长，悬绳右边无电场。取。求：（1）离开时，的速度。（2）到达最高点时，对绳的拉力。（3）落回地面后能否追上？若不能追上，求落回地面后的速度。若能追上，求的最大速度。【答案】（1）2m/s；（2）6N，方向竖直向上；（3）追不上，最大速度为。【详解】（1）对冲上分析，水平方向动量守恒，设向右为正方向则

得即的速度为2m/s。（2）对冲上整个过程中，机械能分别守恒则；设与碰撞前的速度为，碰撞后的速度为，的速度为。竖直向上匀减速时间

水平方向匀加速

由

；

设在竖直最高点得速度为，则；解得由牛顿第三定律，对绳的拉力方向竖直向上；（3）经分析，离开电场后恰好与相切于点，则设落地时，速度为，分速度为，对与分析可知，水平方向动量守恒，设向右为正方向则

整个过程中，机械能分别守恒则得；，与弹簧作用后反向，速度为，故能追上。追上作用后回到地面，则；

解得；

故之后追不上，最大速度为。4．如图（a）所示，质量m1=2.0kg的绝缘木板A静止在水平地面上，质量m2=1.0kg可视为质点的带正电的小物块B放在木板A上某一位置，其电荷量为q=1.0×103C。空间存在足够大的水平向右的匀强电场，电场强度大小为E1=5.0×102V/m。质量m3=1.0kg的滑块C放在A板左侧的地面上，滑块C与地面间无摩擦力，其受到水平向右的变力F作用，力F与时刻t的关系为（如图b）。从t0=0时刻开始，滑块C在变力F作用下由静止开始向右运动，在t1=1s时撤去变力F。此时滑块C刚好与木板A发生弹性正碰，且碰撞时间极短，此后整个过程物块B都未从木板A上滑落。已知小物块B与木板A及木板A与地面间的动摩擦因数均为=0.1，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2。求：（1）撤去变力F瞬间滑块C的速度大小v1；（2）小物块B与木板A刚好共速时的速度v共；（3）若小物块B与木板A达到共同速度时立即将电场强度大小变为E2=7.0×102V/m，方向不变，小物块B始终未从木板A上滑落，则①木板A至少多长？②整个过程中物块B的电势能变化量是多少？【答案】（1）10.5m/s；（