2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列（苏科版）专题2.4 角平分线的性质和判定-重难点题型（举一反三）含解析

2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列专题2.4角平分线的性质和判定-重难点题型【苏科版】【知识点1角平分线的作法】①以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.

②分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.

③画射线OC.即射线OC即为所求.【题型1角平分线的作法及应用】【例1】（2020秋•曲靖校级月考）如图所示，已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB，作法的合理顺序是．（将①②③重新排列）①作射线OC；②以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于D、E；③分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点【变式1-1】（2020•连城县模拟）如图，已知∠MON，点B，C分别在射线OM，ON上，且OB＝OC．（1）用直尺和圆规作出∠MON的角平分线OP，在射线OP上取一点A，分别连接AB、AC（只需保留作图痕迹，不要求写作法）．（2）在（1）的条件下求证：AB＝AC．【变式1-2】（2020秋•沛县期中）如图，已知点D在△ABC的边AB上，且AD＝CD，（1）用直尺和圆规作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，判断DE与AC的位置关系，并写出证明过程．【变式1-3】（2021秋•孟州市校级期中）数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下：根据以上情境，解决下列问题：作法：（如图1）①在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD＝OE．②分别以D、E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C③作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线．小聪只带来直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线（如图2），方法如下：步骤：①利用三角板上的刻度，在OA和OB上分别截取OM、ON，使OM＝ON．②分别过M、N作OM、ON的垂线，交于点P．③作射线OP，则OP为∠AOB的平分线．小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线．①李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是．②小聪的作法正确吗？请说明理由．③请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法．（要求：作出图形，写出作图步骤，不予证明）【知识点2角平分线的性质】角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.

用符号语言表示角的平分线的性质定理：

若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.

【题型2角平分线的性质的应用】【例2】（2021春•毕节市期末）如图，已知△ABC中，∠C＝90o，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝10，则△DEB的周长为（）A．9 B．5 C．10 D．不能确定【变式2-1】（2021春•汉寿县期中）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，垂足是D且∠ADB＝∠C，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【变式2-2】（2020秋•增城区期末）如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（）cm2．A．24 B．27 C．30 D．33【变式2-3】（2021春•武侯区校级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，且DE＝DG，S△ADG＝24，S△AED＝18，则△DEF的面积为（）A．2 B．3 C．4 D．6【题型3角平分线的性质与等积法】【例3】（2020秋•云南期末）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是152cm2，AB＝20cm，AC＝18cm，求DE的长．【变式3-1】（2021春•浦江县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，若AD平分∠BAC交BC于点D，求BD的长．【变式3-2】（2020春•番禺区校级期中）点P为△ABC三内角平分线的交点，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，BC＝8cm，求：点P到三边的距离．【变式3-3】（2020秋•渝水区校级期中）知识储备：（1）如图1，AD是△ABC的高，则△ABC的面积S△ABC=12BC•比例的性质：若ba=d知识运用：（2）如图2，BE是△ABC的角平分线，运用上述知识，求证：ABBC知识延展：如图3，△ABC的角平分线BE平分△ABC的周长，求证：△ABC是等腰三角形．【题型4角平分线的性质与全等】【例4】（2020秋•肇源县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC．求证：BD＝DF．【变式4-1】（2020秋•平山县期中）如图，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．【变式4-2】（2021春•盐田区校级期中）已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，点F是OC上的另一点，连接DF，EF．求证：DF＝EF．【变式4-3】如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于12EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点（1）求证：AP平分∠CAB；（2）若∠ACD＝114°，求∠MAB的度数；（3）若CN⊥AM，垂足为N，求证：△CAN≌△CMN．【知识点3角平分线的判定】角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.用符号语言表示角的平分线的判定：

若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB

【题型5角平分线的判定】【例5】（2020秋•鼓楼区校级期中）如图，l3与两条平行公路l1，l2三条公路相交，若要在l1上确定某个位置，使其到另两条公路的距离相等，这样的位置有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个【变式5-1】（2020秋•长垣市月考）如图为三条两两相交的公路，某石化公司拟建立一个加油站，计划使得该加油站到三条公路的距离相等，则加油站的可选位置有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式5-2】（2020秋•夏津县期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．以上均不正确【变式5-3】（2021春•道县期末）如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上．其中正确的是（）A．①②③④ B．①②③ C．④ D．②③【题型6角平分线的性质与判定综合】【例6】（2020秋•朝阳区校级期中）如图，OD平分∠AOB，OA＝OB，P是OD上一点，PM⊥BD于点M，PN⊥AD于点N．求证：PM＝PN．【变式6-1】（2020秋•临西县期末）已知：如图，BP、CP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N．求证：PA平分∠MAN．【变式6-2】（2020秋•常熟市期中）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．（1）求∠CAD的度数；（2）求证：DE平分∠ADC；（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．【变式6-3】（2020秋•庆阳期中）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA于点H．（1）若PH＝8cm，求点P到直线BC的距离；（2）求证：点P在∠HAC的平分线上．专题2.4角平分线的性质和判定-重难点题型【苏科版】【知识点1角平分线的作法】①以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.

②分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.

③画射线OC.即射线OC即为所求.【题型1角平分线的作法及应用】【例1】（2020秋•曲靖校级月考）如图所示，已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB，作法的合理顺序是．（将①②③重新排列）①作射线OC；②以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于D、E；③分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点【解题思路】根据角平分线的作法进行解答．【解答过程】解：作法：（1）以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于D、E；（2）分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点（3）作射线OC，所以OC就是所求作的∠AOB的平分线．故题中的作法应重新排列为：②③①．故答案为：②③①．【变式1-1】（2020•连城县模拟）如图，已知∠MON，点B，C分别在射线OM，ON上，且OB＝OC．（1）用直尺和圆规作出∠MON的角平分线OP，在射线OP上取一点A，分别连接AB、AC（只需保留作图痕迹，不要求写作法）．（2）在（1）的条件下求证：AB＝AC．【解题思路】（1）根据作角平分线的方法画图即可；（2）先判断出∠POB＝∠POC，进而根据全等三角形的判定定理和性质即可得到结论．【解答过程】解：（1）如图所示：射线OP即为所求；（2）由（1）知，OP是∠MON的角平分线，∴∠POB＝∠POC，在△ABO与△ACO中OB=OC∠AOB=∠AOC∴△ABO≌△ACO（SAS），∴AB＝AC．【变式1-2】（2020秋•沛县期中）如图，已知点D在△ABC的边AB上，且AD＝CD，（1）用直尺和圆规作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，判断DE与AC的位置关系，并写出证明过程．【解题思路】（1）根据角平分线的尺规作图可得；（2）先由AD＝CD知∠A＝∠DCA，继而得∠BDC＝∠A+∠DCA＝2∠A，再由DE平分∠BDC知∠BDC＝2∠BDE，从而得∠BDE＝∠A，从而得证．【解答过程】解：（1）如图所示，DE即为所求．（2）DE∥AC．理由如下：因为AD＝CD，所以∠A＝∠DCA，所以∠BDC＝∠A+∠DCA＝2∠A，因为DE平分∠BDC，所以∠BDC＝2∠BDE，所以∠BDE＝∠A，所以DE∥AC．【变式1-3】（2021秋•孟州市校级期中）数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下：根据以上情境，解决下列问题：作法：（如图1）①在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD＝OE．②分别以D、E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C③作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线．小聪只带来直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线（如图2），方法如下：步骤：①利用三角板上的刻度，在OA和OB上分别截取OM、ON，使OM＝ON．②分别过M、N作OM、ON的垂线，交于点P．③作射线OP，则OP为∠AOB的平分线．小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线．①李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是．②小聪的作法正确吗？请说明理由．③请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法．（要求：作出图形，写出作图步骤，不予证明）【解题思路】①根据全等三角形的判定即可求解；②根据HL可证Rt△OMP≌Rt△ONP，再根据全等三角形的性质即可作出判断；③根据用刻度尺作角平分线的方法作出图形，写出作图步骤即可．【解答过程】解：①李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法SSS；故答案为SSS；②小聪的作法正确．理由：∵PM⊥OM，PN⊥ON∴∠OMP＝∠ONP＝90°，在Rt△OMP和Rt△ONP中，∵OP=OPOM=ON∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），∴∠MOP＝∠NOP，∴OP平分∠AOB．③如图所示：步骤：①利用刻度尺在OA、OB上分别截取OG＝OH，②连接GH，利用刻度尺作出GH的中点Q，③作射线OQ，则OQ为∠AOB的平分线．【知识点2角平分线的性质】角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.

用符号语言表示角的平分线的性质定理：

若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.

【题型2角平分线的性质的应用】【例2】（2021春•毕节市期末）如图，已知△ABC中，∠C＝90o，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝10，则△DEB的周长为（）A．9 B．5 C．10 D．不能确定【解题思路】先利用角平分线的性质得到DE＝DC，再证明Rt△ACD≌Rt△AED得到AC＝AE，然后利用等线段代换得到△DEB的周长＝AB．【解答过程】解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC，在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=ADDC=DE∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE，∵AC＝BC，∴BC＝AE，∴△DEB的周长＝BD+DE+BE＝BD+CD+BE＝BC+BE＝AE+BE＝AB＝10．故选：C．【变式2-1】（2021春•汉寿县期中）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，垂足是D且∠ADB＝∠C，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据等角的余角相等求出∠ABD＝∠CBD，再根据垂线段最短可知DP⊥BC时DP最小，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DP＝AD．【解答过程】解：∵BD⊥CD，∠A＝90°∴∠ABD+∠ADB＝90°，∠CBD+∠C＝90°，∴∠ABD＝∠CBD，由垂线段最短得，DP⊥BC时DP最小，此时，DP＝AD＝3．故选：C．【变式2-2】（2020秋•增城区期末）如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（）cm2．A．24 B．27 C．30 D．33【解题思路】过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，根据角平分线的性质得OE＝OD＝3，OF＝OD＝3，由于S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC，所以根据三角形的面积公式可计算出△ABC的面积．【解答过程】解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，∴OE＝OD＝3，同理可得OF＝OD＝3，∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC=12×OE×AB+12×OD=32（AB+BC+∵△ABC的周长是18，∴S△ABC=32×18＝27（故选：B．【变式2-3】（2021春•武侯区校级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，且DE＝DG，S△ADG＝24，S△AED＝18，则△DEF的面积为（）A．2 B．3 C．4 D．6【解题思路】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线的性质得到DH＝DF，进而证明Rt△DEF≌Rt△DGH，根据全等三角形的性质得到△DEF的面积＝△DGH的面积，根据题意列出方程，解方程得到答案．【解答过程】解：过点D作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，∴DH＝DF，在Rt△DEF和Rt△DGH中，DF=DHDE=DG∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），∴△DEF的面积＝△DGH的面积，设△DEF的面积＝△DGH的面积＝S，同理可证，Rt△ADF≌Rt△ADH，∴△ADF的面积＝△ADH的面积，∴24﹣S＝18+S，解得，S＝3，故选：B．【题型3角平分线的性质与等积法】【例3】（2020秋•云南期末）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是152cm2，AB＝20cm，AC＝18cm，求DE的长．【解题思路】根据S△ABC＝S△ABD+S△ACD，再利用角平分线的性质即可解决问题．【解答过程】解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE＝DF，∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，∴S△ABC=1∵△ABC面积是152cm2，AB＝20cm，AC＝18cm，∴152=1∴10DE+9DF＝152，∵DE＝DF，∴19DE＝152，∴DE＝8．【变式3-1】（2021春•浦江县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，若AD平分∠BAC交BC于点D，求BD的长．【解题思路】过A点作AH⊥BC于H，过D点作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如图，利用面积法先求出AH=245，再根据角平分线的性质得到DE＝DF，接着利用面积法得到12AB•DE+12AC•DF=12AB•AC，则可求出DE=247，然后利用12【解答过程】解：过A点作AH⊥BC于H，过D点作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如图，∵12AH•BC=12AC∴AH=6×8∵AD平分∠BAC，∴DE＝DF，∵12AB•DE+12AC•DF=1∴3DE+4DF＝24，∴DE=24∵S△ABD=12AH•BD=12∴BD=6×【变式3-2】（2020春•番禺区校级期中）点P为△ABC三内角平分线的交点，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，BC＝8cm，求：点P到三边的距离．【解题思路】根据点P为三角形三个内角平分线的交点，作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，连接PA，PB，PC，可得PD＝PE＝PF，根据三角形的面积公式即可求出点P到三边的距离．【解答过程】解：∵点P为三角形三个内角平分线的交点，作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，连接PA，PB，PC，如图，∴PD＝PE＝PF，设PD＝PE＝PF＝R，由三角形的面积公式得：S△ACB＝S△APC+S△APB+S△BPC，∴12×AC×BC=12×AC×R+12×6×8＝6R+8R+10R，R＝2，即PD＝2cm．答：点P到三边的距离为2cm．【变式3-3】（2020秋•渝水区校级期中）知识储备：（1）如图1，AD是△ABC的高，则△ABC的面积S△ABC=12BC•比例的性质：若ba=d知识运用：（2）如图2，BE是△ABC的角平分线，运用上述知识，求证：ABBC知识延展：如图3，△ABC的角平分线BE平分△ABC的周长，求证：△ABC是等腰三角形．【解题思路】2．作EF⊥AB，EG⊥BC，BH⊥AC，垂足分别是F，G，H，根据角平分线的性质得到EF＝EG，根据三角形的面积公式即可得到结论；3．由（1）得到ABBC【解答过程】2．证明：作EF⊥AB，EG⊥BC，BH⊥AC，垂足分别是F，G，H，∵BE平分∠ABC，∴EF＝EG，∵S△ABE=1∴S△ABE∵S△ABE=1∴S△ABE∴ABBC3．证明：由（1）知ABBC∴ABBC∵AB+AE＝BC+CE，∴ABBC∴AB＝BC，∴△ABC是等腰三角形．【题型4角平分线的性质与全等】【例4】（2020秋•肇源县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC．求证：BD＝DF．【解题思路】因为∠C＝90°，DE⊥AB，所以∠C＝∠DEB，又因为AD平分∠BAC，所以CD＝DE，已知BE＝FC，则可根据SAS判定△CDF≌△EDB，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答过程】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DC＝DE，在△DCF和△DEB中，DC=DE∠C=∠BED∴△DCF≌△DEB，（SAS），∴BD＝DF．【变式4-1】（2020秋•平山县期中）如图，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．【解题思路】先过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，构造全等三角形：Rt△PCE和Rt△PDF，这两个三角形已具备两个条件：90°的角以及PE＝PF，只需再证∠EPC＝∠FPD，根据已知，两个角都等于90°减去∠CPF，那么三角形全等就可证．【解答过程】解：PC与PD相等．理由如下：过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F．∵OM平分∠AOB，点P在OM上，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE＝PF（角平分线上的点到角两边的距离相等）又∵∠AOB＝90°，∠PEO＝∠PFO＝90°，∴四边形OEPF为矩形，∴∠EPF＝90°，∴∠EPC+∠CPF＝90°，又∵∠CPD＝90°，∴∠CPF+∠FPD＝90°，∴∠EPC＝∠FPD＝90°﹣∠CPF．在△PCE与△PDF中，∵∠PEC=∠PFDPE=PF∴△PCE≌△PDF（ASA），∴PC＝PD．【变式4-2】（2021春•盐田区校级期中）已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，点F是OC上的另一点，连接DF，EF．求证：DF＝EF．【解题思路】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD＝PE，利用“HL”证明Rt△OPD和Rt△OPE全等，根据全等三角形对应边相等可得OD＝OE，再利用“边角边”证明△ODF和△OEF全等，然后利用全等三角形对应边相等证明即可．【解答过程】证明：∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE，在Rt△OPD和Rt△OPE中，OP=OPPD=PE∴Rt△OPD≌Rt△OPE（HL），∴OD＝OE，∵OC是∠AOB的平分线，∴∠DOF＝∠EOF，在△ODF和△OEF中，OD=OE∠DOF=∠EOF∴△ODF≌△OEF（SAS），∴DF＝EF．【变式4-3】如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于12EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点（1）求证：AP平分∠CAB；（2）若∠ACD＝114°，求∠MAB的度数；（3）若CN⊥AM，垂足为N，求证：△CAN≌△CMN．【解题思路】（1）利用基本作图得到AE＝AF，PE＝PF，则可根据“SSS“判断△AEP≌△AFP，从而得到∠EAP＝∠FAP；（2）利用平行线的性质可计算出∠BAC＝66°，然后利用角平分线的定义可计算出∠MAB的度数；（3）利用CD∥AB得到∠BAM＝∠CMA，加上∠CAM＝∠BAM，所以∠CAM＝∠CMA，则CA＝CM，则可利用“AAS”判断△CAN≌△CMN．【解答过程】（1）证明：连接PE、PF，如图，由作法得AE＝AF，PE＝PF，而AP＝AP，∴△AEP≌△AFP（SSS），∴∠EAP＝∠FAP，即AP平分∠CAB；（2）解：∵CD∥AB，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴∠BAC＝180°﹣114°＝66°，∵AP平分∠CAB，∴∠MAB=12∠（3）解：∵CD∥AB，∴∠BAM＝∠CMA，∵∠CAM＝∠BAM，∴∠CAM＝∠CMA，∴CA＝CM，∵CN⊥AM，∴∠CNA＝∠CNM，在△CAN和△CMN中∠CAN=∠CMN∠ANC=∠MNC∴△CAN≌△CMN（AAS）．【知识点3角平分线的判定】角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.用符号语言表示角的平分线的判定：

若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB

【题型5角平分线的判定】【例5】（2020秋•鼓楼区校级期中）如图，l3与两条平行公路l1，l2三条公路相交，若要在l1上确定某个位置，使其到另两条公路的距离相等，这样的位置有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个【解题思路】根据角平分线的性质可作直线l2与l3夹角的平分线与直线l1的交点即为符合条件的点．【解答过程】解：作直线l2与l3夹角的平分线OA，OB，交直线l1于A，B两点，则在l1上到另两条公路的距离相等的位置有点A和点B两个位置．故选：B．【变式5-1】（2020秋•长垣市月考）如图为三条两两相交的公路，某石化公司拟建立一个加油站，计划使得该加油站到三条公路的距离相等，则加油站的可选位置有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解题思路】从已知提供的条件结合角平分线的性质进行思考，在三角形内部三条角平分线相交于同一点，三外角平分线有三交点，除去深水湖泊那里的交点，共有三个；【解答过程】解：在三角形内部三条角平分线相交于同一点，三外角平分线有三交点，除去深水湖泊那里的交点，共有三个，故选：C．【变式5-2】（2020秋•夏津县期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．以上均不正确【解题思路】过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据题意可得PE＝PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB；【解答过程】解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，∵两把完全相同的长方形直尺，∴PE＝PF，∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选：A．【变式5-3】（2021春•道县期末）如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上．其中正确的是（）A．①②③④ B．①②③ C．④ D．②③【解题思路】根据在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上对各小题分析判断即可得解．【解答过程】解：∵点P到AE、AD、BC的距离相等，∴点P在∠BAC的平分线上，故①正确；点P在∠CBE的平分线上，故②正确；点P在∠BCD的平分线上，故③正确；点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上，故④正确，综上所述，正确的是①②③④．故选：A．【题型6角平分线的性质与判定综合】【例6】（2020秋•朝阳区校级期中）如图，OD平分∠AOB，OA＝OB，P是OD上一点，PM⊥BD于点M，PN⊥AD于点N．求证：PM＝PN．【解题思路】由已知容易求证△OBD≌△OAD（SAS），可得∠3＝∠4，再根据角平分线性质的逆定理，可证PM＝PN．【解答过程】证明：∵OD平分∠AOB，∴∠1＝∠2．在△OBD和△OAD中，OB=OA∠1=∠2∴△OBD≌△OAD（SAS）．∴∠3＝∠4．∵PM⊥BD，PN⊥AD，∴PM＝PN．【变式6-1】（2020秋•临西县期末）已知：如图，BP、CP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N．求证：PA平分∠MAN．【解题思路】作PD⊥BC于点D，根据角平分线的性质得到PM＝PD，PN＝PD，得到PM＝PN，根据角平分线的判定定理证明即可．【解答过程】证明：作PD⊥BC于点D，∵BP是△ABC的外角平分线，PM⊥AB，PD⊥BC，∴PM＝PD，同理，PN＝PD，∴PM＝PN，又PM⊥AB，PN⊥AC，∴PA平分∠MAN．【变式6-2】（2020秋•常熟市期中）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．（1）求∠CAD的度数；（2）求证：DE平分∠ADC；（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．【解题思路】（1）根据直角三角形的性质求出∠FAE，根据补角的定义计算，得到答案；（2）过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，根据角平分线的性质得到EF＝EG，EF＝EH，等量代换得到EG＝EH，根据角平分线的判定定理证明结论；（3）根据三角形的面积公式求出EG，再根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答过程】（1）解：∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，∴∠FAE＝90°﹣50°＝40°，∵∠BAD＝100°，∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°；（2）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，∵∠FAE＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD，∴EF＝EG，∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，∴EF＝EH，∴EG＝EH，∵EG⊥AD，EH⊥BC，∴DE平分∠ADC；（3）解：∵S△ACD＝15，∴12×AD×EG+12×CD×EH＝15，即12解得，EG＝EH=5∴EF＝EH=5∴△ABE的面积=12×AB×EF=【变式6-3】（2020秋•庆阳期中）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA于点H．（1）若PH＝8cm，求点P到直线BC的距离；（2）求证：点P在∠HAC的平分线上．【解题思路】（1）作PQ⊥BE于Q，如图，利用角平分线的性质得到PH＝PQ＝8cm；（2）根据角平分线的性质得到PD＝PQ，PH＝PQ，则PD＝PH，然后根据角平分线的性质定理的逆定理得到结论．【解答过程】（1）解：作PQ⊥BE于Q，如图，∵BP平分∠ABC，∴PH＝PQ＝8，即点P到直线BC的距离为8cm；（2）证明：∵PC平分∠ACE，∴PD＝PQ，而PH＝PQ，∴PD＝PH，∴点P在∠HAC的平分线上．专题2.5等腰三角形-重难点题型【苏科版】【知识点1等腰三角形】（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.【题型1等腰三角形的性质（角度问题）】【例1】（2021•绍兴）如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D，E分别在边AB，AC上，BD＝BC＝CE，连结CD，BE．（1）若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE的度数；（2）写出∠BEC与∠BDC之间的关系，并说明理由．【变式1-1】（2020春•益阳期末）如图，已知∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，EF过点O且EF∥BC．（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数；（2）若∠BOC＝130°，∠1：∠2＝3：2，求∠ABC、∠ACB的度数．【变式1-2】（2020春•宁德期末）如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，CD是△ABC的高，BE是△ABC的角平分线，CD与BE交于点P．当∠A的大小变化时，△EPC的形状也随之改变．（1）当∠A＝44°时，求∠BPD的度数；（2）设∠A＝x°，∠EPC＝y°，求变量y与x的关系式；（3）当△EPC是等腰三角形时，请直接写出∠A的度数．【变式1-3】（2020秋•仓山区期中）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，AC＝AD，∠BAC＝∠BDC＝α，∠CAD＝β．（1）求证：∠ABD＝∠ADC；（2）当∠AED＝65°时，求β﹣2α的度数；（3）α+2β＝180°时，求证：BD＝CD．【题型2等腰三角形的性质（周长问题）】【例2】（2020秋•罗庄区期中）如图，在△ABC中，AB＝BC，中线AD将这个三角形的周长分成18和15两部分，则AC的长为．【变式2-1】（2020春•卧龙区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4cm，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，若DE＝6cm，EC＝1cm，则四边形ABFD的周长为cm．【变式2-2】（2020秋•延津县期中）一个等腰三角形的周长为28cm．（1）如果底边长是腰长的1.5倍，求这个等腰三角形的三边长；（2）如果一边长为10cm，求这个等腰三角形的另两边长．【变式2-3】（2020春•东营期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是边AB的垂直平分线，交AB于E、交AC于D，连接BD．（1）若∠A＝40°，求∠DBC的度数；（2）若△BCD的周长为16cm，△ABC的周长为26cm，求BC的长．【题型3等腰三角形的性质（多结论问题）】【例3】（2021春•商河县期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝20°；④当∠BAD＝30°时，BD＝CE．其中正确的结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【变式3-1】（2020春•宿州期中）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则下列四个结论中，①AB上一点与AC上一点到D的距离相等；②AD上任意一点到AB、AC的距离相等；③∠BDE＝∠CDF；④BD＝CD，AD⊥BC．其中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式3-2】（2020春•开福区校级期末）如图，CE、CB分别是△ABC和△ADC的中线，且AC＝AB，则下列结论中：①BC＝BD；②∠ECB＝∠BCD；③∠ACE＝∠BDC；④CD＝2CE．正确结论的序号为．【变式3-3】如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当∠BAD＝30°时，BD＝CE；④当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝30°．其中正确的结论是（把你认为正确结论的序号都填上）．【题型4等腰三角形的性质（三线合一问题）】【例4】（2019秋•红花岗区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．（1）若∠C＝40°，求∠BAD的度数；（2）求证：FB＝FE．【变式4-1】（2020秋•伊犁州期末）如图，已知：△ABC中，AB＝AC，BD和CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且相交于O点．①试说明△OBC是等腰三角形；②连接OA，试判断直线OA与线段BC的关系，并说明理由．【变式4-2】如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A＝∠ABE（1）求证：ED平分∠AEB；（2）若AB＝AC，∠A＝38°，求∠F的度数．【变式4-3】（2021春•宣汉县期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E、F分别是边AB、AC上的点，且EF∥BC．（1）试说明△AEF是等腰三角形；（2）试比较DE与DF的大小关系，并说明理由．【题型5等腰三角形的判定（个数问题）】【例5】（2020秋•汇川区期末）如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．9【变式5-1】（2020秋•西华县期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO＝60°，在坐标轴上找一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【变式5-2】（2020春•蕲春县期中）已知在平面直角坐标系xOy中，O（0，0），A（4，3）点B在x轴或y轴上移动，若O、A、B三点可构成等腰三角形，则符合条件的B点有（）A．9个 B．8个 C．7个 D．6个【变式5-3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以C为原点，AC所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（）A．6个 B．7个 C．8个 D．9个【题型6等腰三角形的判定（证明问题）】【例6】（2021春•新城区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点E在BC上，点F在AB的延长线上，连接AE，CF，且AE＝CF，BF＝BE．求证：△ABC是等腰三角形．【变式6-1】（2020秋•鼓楼区校级期中）如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD与CE相交于点F．（1）证明：BA＝BC；（2）求证：△AFC为等腰三角形．【变式6-2】（2020秋•包河区期末）如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．（1）求证：△ABC是等腰三角形．（2）若AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求△ABC的周长．【变式6-3】如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE．求证：△ABC是等腰三角形．（过D作DG∥AC交BC于G）专题2.5等腰三角形-重难点题型【苏科版】【知识点1等腰三角形】（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.【题型1等腰三角形的性质（角度问题）】【例1】（2021•绍兴）如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D，E分别在边AB，AC上，BD＝BC＝CE，连结CD，BE．（1）若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE的度数；（2）写出∠BEC与∠BDC之间的关系，并说明理由．【解题思路】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BDC＝∠BCD=12（180°﹣80°）＝50°，根据三角形的内角定理得到∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，推出△BCE是等边三角形，得到∠（2）根据等腰三角形的性质得到∠CBE＝∠BEC＝α，再根据△BDC的内角和等于180°，求得β，得出α+β的值，于是得到结论．【解答过程】解：（1）∵∠ABC＝80°，BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD=1∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝40°，∴∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，∵CE＝BC，∴△BCE是等边三角形，∴∠EBC＝60°，∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝80°﹣60°＝20°；（2）∠BEC与∠BDC之间的关系：∠BEC+∠BDC＝110°，理由：设∠BEC＝α，∠BDC＝β，在△ABE中，α＝∠A+∠ABE＝40°+∠ABE，∵CE＝BC，∴∠CBE＝∠BEC＝α，∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝∠A+2∠ABE＝40°+2∠ABE，在△BDC中，BD＝BC，∴∠BDC+∠BCD+∠DBC＝2β+40°+2∠ABE＝180°，∴β＝70°﹣∠ABE，∴α+β＝40°+∠ABE+70°﹣∠ABE＝110°，∴∠BEC+∠BDC＝110°．【变式1-1】（2020春•益阳期末）如图，已知∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，EF过点O且EF∥BC．（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数；（2）若∠BOC＝130°，∠1：∠2＝3：2，求∠ABC、∠ACB的度数．【解题思路】（1）由角平分线的定义可求解∠OBC＝25°，∠OCB＝30°，再利用三角形的内角和定理可求解；（2）由已知条件易求∠1，∠2的度数，根据平行线的性质即可得∠OBC，∠OCB的度数，利用角平分线的定义可求解．【解答过程】解：（1）∵∠ABC和∠ACB的平分线BO与CO相交于点O，所以∠EBO＝∠OBC=12∠ABC，∠FCO＝∠又∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，∴∠OBC＝25°，∠OCB＝30°，∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝125°；（2）∵∠BOC＝130°，∴∠1+∠2＝50°，∵∠1：∠2＝3：2，∴∠1=35×50°=30°∵EF∥BC，∴∠OBC＝∠1＝30°，∠OCB＝∠2＝20°，∵∠ABC和∠ACB的平分线BO与CO相交于点O，∴∠ABC＝60°，∠ACB＝40°．【变式1-2】（2020春•宁德期末）如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，CD是△ABC的高，BE是△ABC的角平分线，CD与BE交于点P．当∠A的大小变化时，△EPC的形状也随之改变．（1）当∠A＝44°时，求∠BPD的度数；（2）设∠A＝x°，∠EPC＝y°，求变量y与x的关系式；（3）当△EPC是等腰三角形时，请直接写出∠A的度数．【解题思路】（1）根据等边对等角求出等腰△ABC的底角度数，再根据角平分线的定义得到∠ABE的度数，再根据高的定义得到∠BDC＝90°，从而可得∠BPD；（2）按照（1）中计算过程，即可得到∠A与∠EPC的关系，即可得到结果；（3）分①若EP＝EC，②若PC＝PE，③若CP＝CE，三种情况，利用∠ABC+∠BCD＝90°，以及y=45+x4解出【解答过程】解：（1）∵AB＝AC，∠A＝44°，∴∠ABC＝∠ACB＝（180﹣44）°÷2＝68°，∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝34°，∴∠BPD＝90°﹣34°＝56°；（2）∵∠A＝x°，∴∠ABC＝（180﹣x）°÷2＝（90-x由（1）可得：∠ABP=12∠ABC＝（45-x∴∠EPC＝y°＝∠BPD＝90°﹣（45-x4）°＝（即y与x的关系式为y=45+x（3）设∠A＝x°，∠EPC＝y°，①若EP＝EC，则∠ECP＝∠EPC＝y°，而∠ABC＝∠ACB＝（90-x2）°，∠ABC+∠则有：（90-x2）°+（90-x2-∴（90-x2）°+（90-x解得：x＝36；②若PC＝PE，则∠PCE＝∠PEC＝（180﹣y）°÷2＝（90-y由①得：∠ABC+∠BCD＝90°，∴（90-x2）°+[（90-x又y=45+x解得：x=180③若CP＝CE，则∠EPC＝∠PEC＝y°，∠PCE＝180°﹣2y°，由①得：∠ABC+∠BCD＝90°，∴（90-x2）°+（90-x2）°﹣（180﹣2y解得：x＝0，不符合，综上：当△EPC是等腰三角形时，∠A的度数为36°或（1807【变式1-3】（2020秋•仓山区期中）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，AC＝AD，∠BAC＝∠BDC＝α，∠CAD＝β．（1）求证：∠ABD＝∠ADC；（2）当∠AED＝65°时，求β﹣2α的度数；（3）α+2β＝180°时，求证：BD＝CD．【解题思路】（1）由∠AED是△ABE和△CDE的外角，∠BAC＝∠BDC＝α可知∠ABD＝∠ACD，由AC＝AD可得∠ACD＝∠ADC，等量代换即可；（2）根据∠AED是△CDE的外角表示出∠AED的度数，由条件∠AED＝65°，进行变形即可；（3）延长BA到F，使AF＝AC，通过SAS证△ADF≌△ADC得FD＝CD，再通过等边对等角证BD＝FD即可证出．【解答过程】（1）证明：∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，∵∠AED是△ABE和△CDE的外角，∠BAC＝∠BDC＝α，∴∠AED＝∠ABD+α＝∠ACD+α，∴∠ABD＝∠ACD，∵∠ACD＝∠ADC，∴∠ABD＝∠ADC；（2）∵AC＝AD，∠CAD＝β，∴∠ACD=12（180°﹣β）＝90°∵∠AED是△CDE的外角，∠BDC＝α，∴∠AED＝∠ACD+α＝90°-12∵∠AED＝65°，∴90°-12∴β﹣2α＝50°；（3）解：延长BA到F，使AF＝AC，连接FD，∵∠BAC＝α，∠CAD＝β，∴∠DAF＝180°﹣α﹣β，∵α+2β＝180°，∴∠DAF＝180°﹣α﹣β＝α+2β﹣α﹣β＝β＝∠DAC，在△ADF和△ADC中AF=AC∠DAF=DAC∴△ADF≌△ADC（SAS），∴FD＝CD，∠F＝∠ACD，∵由（1）得∠ABD＝∠ACD，∴∠F＝∠ABD，∴FD＝BD，∴CD＝BD【题型2等腰三角形的性质（周长问题）】【例2】（2020秋•罗庄区期中）如图，在△ABC中，AB＝BC，中线AD将这个三角形的周长分成18和15两部分，则AC的长为9或13．【解题思路】设AB＝BC＝2x，AC＝y，则BD＝CD＝x，则有两种情况，根据等腰三角形的性质以及三角形三边关系解答．【解答过程】解：设AB＝BC＝2x，AC＝y，则BD＝CD＝x，∵BC上的中线AD将这个三角形的周长分成18和15两部分，∴有两种情况：当3x＝18且x+y＝15时，解得x＝6，y＝9，即AC的长为9；当x+y＝18且3x＝15时，解得x＝5，y＝13，此时腰为10，即AC的长为13．综上所述，AC的长为9或13．故答案为：9或13．【变式2-1】（2020春•卧龙区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4cm，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，若DE＝6cm，EC＝1cm，则四边形ABFD的周长为22cm．【解题思路】根据平移的基本性质，得出四边形ABFD的周长＝AD+AB+BF+DF＝3+6+7+6，即可得出答案．【解答过程】解：根据题意，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，∴AD＝CF＝BE，BF＝BC+CF，DE＝AB＝AC＝DF＝6cm；又∵BC＝4cm，EC＝1cm，∴BE＝BC﹣EC＝3cm，∴AD＝CF＝BE＝3cm，BF＝BC+CF＝7cm，∴四边形ABFD的周长＝AD+AB+BF+DF＝3+6+7+6＝22cm．故答案为22．【变式2-2】（2020秋•延津县期中）一个等腰三角形的周长为28cm．（1）如果底边长是腰长的1.5倍，求这个等腰三角形的三边长；（2）如果一边长为10cm，求这个等腰三角形的另两边长．【解题思路】（1）设腰长＝acm，则底边长＝1.5acm，代入求出即可；（2）已知条件中，没有明确说明已知的边长是否是腰长，所以有两种情况讨论，还应判定能否组成三角形．【解答过程】解：（1）设腰长＝acm，则底边长＝1.5acm，∵三角形的周长是28cm，∴a+a+1.5a＝28，∴a＝8，1.5a＝12，∴这个等腰三角形的三边长分别为8cm，8cm，12cm；（2）①底边长为10cm，则腰长为：（28﹣10）÷2＝9，所以另两边的长为9cm，9cm，能构成三角形；②腰长为10cm，则底边长为：28﹣10×2＝8，以另两边的长为10cm，8cm，能构成三角形．因此另两边长为9cm，9cm或10cm，8cm．【变式2-3】（2020春•东营期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是边AB的垂直平分线，交AB于E、交AC于D，连接BD．（1）若∠A＝40°，求∠DBC的度数；（2）若△BCD的周长为16cm，△ABC的周长为26cm，求BC的长．【解题思路】（1）首先计算出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得AD＝BD，进而可得∠ABD＝∠A＝40°，然后可得答案；（2）根据线段垂直平分线的性质可得AD＝DB，AE＝BE，然后再计算出AC+BC的长，再利用△ABC的周长为26cm可得AB长，进而可得答案．【解答过程】解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∠A＝40°，∴∠ABC=180°-∠A∵DE是边AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠DBA＝∠A＝40°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝70°﹣40°＝30°；（2）∵△BCD的周长为16cm，∴BC+CD+BD＝16，∴BC+CD+AD＝16，∴BC+CA＝16，∵△ABC的周长为26cm，∴AB＝26﹣BC﹣CA＝26﹣16＝10，∴AC＝AB＝10，∴BC＝26﹣AB﹣AC＝26﹣10﹣10＝6cm．【题型3等腰三角形的性质（多结论问题）】【例3】（2021春•商河县期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝20°；④当∠BAD＝30°时，BD＝CE．其中正确的结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝40°，根据三角形的内角和和平角的定义即可得到∠BAD＝∠CDE；根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，根据三角形的内角和即可得到DE⊥AC；根据三角形外角的性质得到∠AED＞40°，求得∠ADE≠∠AED，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠BAD＝60°，根据全等三角形的性质得到BD＝CE．【解答过程】解：①∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝40°，∴∠BAD＝180°﹣40°﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣40°﹣∠ADB，∴∠BAD＝∠CDE；故①正确；②∵D为BC中点，AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠CDE＝50°，∵∠C＝40°，∴∠DEC＝90°，∴DE⊥AC，故②正确；③∵∠C＝40°，∴∠AED＞40°，∴∠ADE≠∠AED，∵△ADE为等腰三角形，∴AE＝DE，∴∠DAE＝∠ADE＝40°，∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠BAD＝60°，或∵△ADE为等腰三角形，∴AD＝DE，∴∠DAE＝∠AED＝70°，∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠BAD＝30°，故③错误，④∵∠BAD＝30°，∴∠CDE＝30°，∴∠ADC＝70°，∴∠CAD＝180°﹣70°﹣40°＝70°，∴∠DAC＝∠ADC，∴CD＝AC，∵AB＝AC，∴CD＝AB，∴△ABD≌△DCE（ASA），∴BD＝CE；故④正确；故选：C．【变式3-1】（2020春•宿州期中）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则下列四个结论中，①AB上一点与AC上一点到D的距离相等；②AD上任意一点到AB、AC的距离相等；③∠BDE＝∠CDF；④BD＝CD，AD⊥BC．其中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解题思路】根据等边对等角的性质可得∠B＝∠C，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AD上的点到AB、AC两边的距离相等，再根据等腰三角形三线合一的性质可得BD＝CD，AD⊥BC，然后对各小题分析判断解答即可．【解答过程】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴AB上一点与AC上一点到D的距离相等错误；AD上任意一点到AB、AC的距离相等正确，故①错误，②正确；又∵∠BDE＝90°﹣∠B，∠CDF＝90°﹣∠C，∴BDE＝∠CDF，故③正确；根据等腰三角形三线合一的性质，BD＝CD，AD⊥BC，故④正确，综上所述，正确的结论有②③④共3个．故选：C．【变式3-2】（2020春•开福区校级期末）如图，CE、CB分别是△ABC和△ADC的中线，且AC＝AB，则下列结论中：①BC＝BD；②∠ECB＝∠BCD；③∠ACE＝∠BDC；④CD＝2CE．正确结论的序号为②③④．．【解题思路】取DC的中点F，连接BF，则CD＝2CF，通过证明△CEB≌△CFB可判定②④，结合三角形外角的性质可判定③，根据已知条件无法判定①．【解答过程】解：取DC的中点F，连接BF，则CD＝2CF，∵B为AD的中点，∴BF为△ACD的中位线，∴BF∥AC，AC＝2BF，∴∠CBF＝∠ACB，∵AB＝AC，E为AB的中点，∴AE＝BE＝BF，∠ABC＝∠ACB＝∠CBF，∵CB＝CB，∴△CEB≌△CFB（SAS），∴CE＝CF，∠ECB＝∠BCD，故②正确；∴CD＝2CE，故④正确；∵∠ABC＝∠ACB，∠ACB＝∠BDC+∠BCD，∠ABC＝∠ACE+∠ECB，∴∠ACE+∠ECB＝∠BDC+∠BCD，∵∠ECB＝∠BCD，∴∠ACE＝∠BDC，故③正确；根据已知条件无法证明BC＝BD，故①错误．故答案为②③④．【变式3-3】如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当∠BAD＝30°时，BD＝CE；④当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝30°．其中正确的结论是①②③（把你认为正确结论的序号都填上）．【解题思路】①根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝40°，根据三角形的内角和和平角的定义即可得到∠BAD＝∠CDE；故①正确；②根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，根据三角形的内角和即可得到DE⊥AC，故②正确；③根据全等三角形的性质得到BD＝CE；故③正确；④根据三角形外角的性质得到∠AED＞40°，求得∠ADE≠∠AED，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠BAD＝60°，故④错误．【解答过程】解：①∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝40°，∴∠BAD＝180°﹣40°﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣40°﹣∠ADB，∴∠BAD＝∠CDE；故①正确；②∵D为BC中点，AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠CDE＝50°，∵∠C＝40°，∴∠DEC＝90°，∴DE⊥AC，故②正确；③∵∠BAD＝30°，∴∠CDE＝30°，∴∠ADC＝70°，∴∠CAD＝180°﹣70°﹣40°＝70°，∴∠DAC＝∠ADC，∴CD＝AC，∵AB＝AC，∴CD＝AB，∴△ABD≌△DCE（ASA），∴BD＝CE；故③正确；④∵∠C＝40°，∴∠AED＞40°，∴∠ADE≠∠AED，∵△ADE为等腰三角形，∴AE＝DE，∴∠DAE＝∠ADE＝40°，∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠BAD＝60°，故④错误，故答案为：①②③．【题型4等腰三角形的性质（三线合一问题）】【例4】（2019秋•红花岗区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．（1）若∠C＝40°，求∠BAD的度数；（2）求证：FB＝FE．【解题思路】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠ADB＝90°，再利用等腰三角形的性质求出∠ABC即可解决问题．（2）只要证明∠FBE＝∠FEB即可解决问题．【解答过程】解：∵AB＝AC，∠C＝40°∴∠ABC＝∠C＝40°，∵BD＝CD，AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°．（2）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE=12∠∵EF∥BC，∴∠FEB＝∠CBE，∴∠FBE＝∠FEB，∴FB＝FE．【变式4-1】（2020秋•伊犁州期末）如图，已知：△ABC中，AB＝AC，BD和CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且相交于O点．①试说明△OBC是等腰三角形；②连接OA，试判断直线OA与线段BC的关系，并说明理由．【解题思路】①根据对边对等角得到∠ABC＝∠ACB，再结合角平分线的定义得到∠OBC＝∠OCB，从而证明OB＝OC；②首先根据全等三角形的判定和性质得到OA平分∠BAC，再根据等腰三角形的三线合一的性质得到直线AO垂直平分BC．【解答过程】解：①∵在△ABC中，AB＝AC，∴∠ABC＝∠BCA；∵BD、CE分别平分∠ABC、∠BCA，∴∠OBC＝∠BCO；∴OB＝OC，∴△OBC为等腰三角形．②在△AOB与△AOC中．∵AB=ACAO=AO∴△AOB≌△AOC（SSS）；∴∠BAO＝∠CAO；∴直线AO垂直平分BC．（等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合）解法二：∵OB＝OC，AB＝AC，∴OA垂直平分线段BC．【变式4-2】如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A＝∠ABE（1）求证：ED平分∠AEB；（2）若AB＝AC，∠A＝38°，求∠F的度数．【解题思路】（1）利用等腰三角形的三线合一即可解决问题．（2）根据等腰三角形的性质求出∠ABE，证明∠BDF＝90°．【解答过程】（1）证明：∵∠A＝∠ABE，∴EA＝EB，∵AD＝DB，∴DE是∠AEB的平分线．（2）解：∵∠A＝38°，∴∠ABE＝∠A＝38°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝71°，∵EA＝EB，AD＝DB，∴ED⊥AB，∠F＝90°﹣∠ABC＝19°．【变式4-3】（2021春•宣汉县期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E、F分别是边AB、AC上的点，且EF∥BC．（1）试说明△AEF是等腰三角形；（2）试比较DE与DF的大小关系，并说明理由．【解题思路】（1）首先利用等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，再结合平行线的性质得到∠AEF＝∠AFE，利用等角对等边即可证得；（2）根据等腰三角形三线合一的性质证得AD是线段EF的垂直平分线，然后根据线段的垂直平分线的性质即可证得．【解答过程】解：（1）∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C．又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，即△AEF是等腰三角形；（2）DE＝DF．理由如下：∵AD是等腰三角形ABC的底边上的高，∴AD也是∠BAC的平分线．又∵△AEF是等腰三角形，∴AG是底边EF上的高和中线，∴AD⊥EF，GE＝GF，∴AD是线段EF的垂直平分线，∴DE＝DF．【题型5等腰三角形的判定（个数问题）】【例5】（2020秋•汇川区期末）如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．9【解题思路】分AB是腰长时，根据网格结构，找