2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列（苏科版）专题3.1 勾股定理-重难点题型（举一反三）含解析

2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列专题3.1勾股定理-重难点题型【苏科版】【题型1勾股定理的认识】【例1】（2021春•路南区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）已知a：b＝3：4，c＝10，则a＝，b＝；（2）已知a＝6，b＝8，则斜边c上的高h＝．【变式1-1】（2020秋•本溪期末）在Rt△ABC中，斜边AB＝3，则AB2+BC2+CA2＝．【变式1-2】（2021春•广州期中）在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝65°，则下列式子成立的是（）A．AC2+AB2＝BC2 B．AB2+BC2＝AC2 C．AC2﹣BC2＝AB2 D．AC2+BC2＝AB2【变式1-3】（2020春•灵山县期末）在直角三角形ABC中，∠C＝90°，两直角边长及斜边上的高分别为a，b，h，则下列关系式成立的是（）A．2a2+2bC．h2＝ab D．h2＝a2+b2【题型2利用勾股定理解勾股树问题】【例2】（2020秋•惠来县期末）如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（）A．16 B．25 C．144 D．169【变式2-1】（2021春•海淀区校级月考）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8cm，则图中所有正方形的面积的和是（）A．64cm2 B．81cm2 C．128cm2 D．192cm2【变式2-2】（2021春•汉阳区期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为6，10，4，6，则最大正方形E的面积是（）A．94 B．26 C．22 D．16【变式2-3】（2021春•天津期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC，AB为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，若S3＝9π，则S1+S2等于．【题型3利用勾股定理求线段长度】【例3】（2020秋•新吴区期中）已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AH＝8，则BC的长是（）A．21 B．15 C．6 D．21或9【变式3-1】（2021春•庆云县月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝25cm，AC＝15cm，CH⊥AB垂足为H，CH＝．【变式3-2】（2021春•天津期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，则BE的长为．【变式3-3】（2020秋•上海期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝6，AD＝3，那么BD＝．【题型4利用勾股定理求面积】【例4】（2020秋•青羊区校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，AD为∠BAC的角平分线，则三角形ADC的面积为（）A．3 B．10 C．12 D．15【变式4-1】（2020秋•肥西县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．若BC＝3，且BD：DC＝5：4，AB＝5，则△ABD的面积是．【变式4-2】（2020秋•锦江区校级期中）已知△ABC中，AB＝17，BC＝21，CA＝10，求BC边上的高及△ABC的面积、【变式4-3】（2020秋•中原区校级月考）如图所示，在△ABC中，点D是BC上的一点，已知AC＝CD＝5，AD＝6，BD=52，则△ABCA．18 B．36 C．72 D．125【题型5勾股定理的验证】【例1】（2021春•海淀区校级期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A． B． C． D．【变式5-1】（2020秋•中牟县期中）1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（）A．S△EDA＝S△CEB B．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD C．S△EDA+S△CEB＝S△CDE D．S四边形AECD＝S四边形DEBC【变式5-2】（2020秋•仓山区校级期末）在学习勾股定理时，我们学会运用图（Ⅰ）验证它的正确性．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×12ab，即（a+b）2＝c2+4×12ab．由此推出勾股定理a2+b2＝（1）请你用图（Ⅱ）的面积表达式验证勾股定理（其中四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间的部分是一个小正方形EFGH，AE＝a，BE＝b，AB＝c）；（2）请你用图（Ⅲ）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证：（x+y）2＝x2+2xy+y2．【变式5-3】（2020春•包河区校级期中）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c），也可以表示为4×12ab+（a﹣b）2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．（2）如图③，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，画在如图4的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．【题型6勾股定理的应用】【例6】（2021春•涪城区校级期中）如图，有一直立标杆，它的上部被风从B处吹折，杆顶C着地，离杆脚2m，修好后又被风吹折，因新断处D比前一次低0.5m，故杆顶E着地比前次远1m，求原标杆的高度．【变式6-1】（2021春•永定区期中）如图，木工师傅将一根长2.5米的梯子（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，这时梯足B到墙底端O的距离是0.7米，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4米到点A′时，梯足将外移多少米？【变式6-2】（2020秋•沙坪坝区期末）如图是某“飞越丛林”俱乐部新近打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，长方形CDEF为一木质平台的主视图．小敏经过现场测量得知：CD＝1米，AD＝15米，于是小敏大胆猜想立柱AB段的长为10米，请判断小敏的猜想是否正确？如果正确，请写出理由，如果错误，请求出立柱AB段的正确长度．【变式6-3】（2021春•南川区期中）为了积极宣传防疫，南川区政府采用了移动车进行广播，如图，小明家在南大街这条笔直的公路MN的一侧点A处，小明家到公路MN的距离为600米，假使广播车P周围1000米以内能听到广播宣传，广播车P以250米/分的速度在公路MN上沿PN方向行驶时，若小明此时在家，他是否能听到？若能，请求出他总共能听到多长时间的广播？专题3.1勾股定理-重难点题型【苏科版】【知识点1勾股定理】在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c【题型1勾股定理的认识】【例1】（2021春•路南区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）已知a：b＝3：4，c＝10，则a＝，b＝；（2）已知a＝6，b＝8，则斜边c上的高h＝．【分析】（1）设a＝3k，则b＝4k，由勾股定理求出c＝5k，再根据c＝10求出k的值，进而得到a与b的值；（2）首先根据勾股定理求得斜边c＝10；然后由面积法来求斜边上的高线．【解答】解：（1）设a＝3k，则b＝4k，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴c=a2+b∵c＝10，∴5k＝10，解得k＝2，∴a＝3×2＝6，b＝4×2＝8；（2）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝8，∴c=a2设斜边上的高为h，则12ab=12∴h=abc故答案是：6，8；4.8．【点评】本题考查了勾股定理的运用，直角三角形面积的求法，需同学们灵活掌握．注意：（1）中可根据勾股定理求出已知边所占的份数，进一步求解；（2）中掌握直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．【变式1-1】（2020秋•本溪期末）在Rt△ABC中，斜边AB＝3，则AB2+BC2+CA2＝．【分析】由三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理得到斜边的平方等于两直角边的平方和，根据斜边AB的长，可得出两直角边的平方和，然后将所求式子的后两项结合，将各自的值代入即可求出值．【解答】解：∵△ABC为直角三角形，AB为斜边，∴AC2+BC2＝AB2，又AB＝3，∴AC2+BC2＝AB2＝9，则AB2+BC2+CA2＝AB2+（BC2+CA2）＝9+9＝18．故答案为：18【点评】此题考查了勾股定理，是一道基本题型．熟练掌握勾股定理是解本题的关键．【变式1-2】（2021春•广州期中）在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝65°，则下列式子成立的是（）A．AC2+AB2＝BC2 B．AB2+BC2＝AC2 C．AC2﹣BC2＝AB2 D．AC2+BC2＝AB2【分析】根据在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝65°，可以得到∠C的度数，然后根据勾股定理，即可判断各个选项中的说法是否正确．【解答】解：在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝65°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形，∴AC2+BC2＝AB2，故选项D正确，选项A、B、C错误，故选：D．【点评】本题考查勾股定理、三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的知识解答．【变式1-3】（2020春•灵山县期末）在直角三角形ABC中，∠C＝90°，两直角边长及斜边上的高分别为a，b，h，则下列关系式成立的是（）A．2a2+2bC．h2＝ab D．h2＝a2+b2【分析】设斜边为c，根据勾股定理得出c=a2【解答】解：设斜边为c，根据勾股定理得出c=a2∵12ab=12∴ab=a2+b2•h，即a2b2＝a2h2+b∴a2b即1a2故选：B．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．【题型2利用勾股定理解勾股树问题】【例2】（2020秋•惠来县期末）如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（）A．16 B．25 C．144 D．169【分析】根据勾股定理解答即可．【解答】解：根据勾股定理得出：AB=AC∴EF＝AB＝5，∴阴影部分面积是25，故选：B．【点评】此题考查勾股定理，关键是根据如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2解答．【变式2-1】（2021春•海淀区校级月考）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8cm，则图中所有正方形的面积的和是（）A．64cm2 B．81cm2 C．128cm2 D．192cm2【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，利用四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积进而求出即可．【解答】解：∵所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，∴正方形A的面积＝a2，正方形B的面积＝b2，正方形C的面积＝c2，正方形D的面积＝d2，又∵a2+b2＝x2，c2+d2＝y2，∴正方形A、B、C、D的面积和＝（a2+b2）+（c2+d2）＝x2+y2＝82＝64（cm2），则所有正方形的面积的和是：64×3＝192（cm2）．故选：D．【点评】本题主要考查了勾股定理，根据数形结合得出正方形之间面积关系是解题关键．【变式2-2】（2021春•汉阳区期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为6，10，4，6，则最大正方形E的面积是（）A．94 B．26 C．22 D．16【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积．【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2＝S3，即S3＝6+10+4+6＝26．故选：B．【点评】本题考查了勾股定理的应用．能够发现正方形A，B，C，D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形的面积．【变式2-3】（2021春•天津期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC，AB为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，若S3＝9π，则S1+S2等于．【分析】根据勾股定理和圆的面积公式，可以得到S1+S2的值，从而可以解答本题．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∵S1＝π（AC2）2×12，S2＝π（BC2）2×12，S3＝π（∴S1+S2＝π（AC2）2×12+π（BC2）2×12=π（∵S3＝9π，∴S1+S2＝9π，故答案为：9π．【点评】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【题型3利用勾股定理求线段长度】【例3】（2020秋•新吴区期中）已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AH＝8，则BC的长是（）A．21 B．15 C．6 D．21或9【分析】高线AH可能在三角形的内部也可能在三角形的外部，本题应分两种情况进行讨论．分别依据勾股定理即可求解．【解答】解：如图所示，在Rt△ABH中，∵AB＝17，AH＝8，∴BH=17在Rt△ACH中，∵AC＝10，AH＝8，∴CH=10∴当AH在三角形的内部时，如图1，BC＝15+6＝21；当AH在三角形的外部时，如图2，BC＝15﹣6＝9．∴BC的长是21或9．故选：D．【点评】本题考查的是勾股定理，在解答此题时要进行分类讨论，不要漏解．【变式3-1】（2021春•庆云县月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝25cm，AC＝15cm，CH⊥AB垂足为H，CH＝．【分析】利用勾股定理得出BC的长，再利用三角形面积求法得出HC的长．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据勾股定理可得：BC=AB∵Rt△ABC的面积=12×BC×AC=12∴20×15＝25×CH，解得，CH＝12（cm）．答案为12cm．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．【变式3-2】（2021春•天津期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，则BE的长为．【分析】根据线段垂直平分线的性质，可以得到AE＝BE，再根据勾股定理，即可求得BE的长．【解答】解：连接AE，∵ED是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，设AE＝BE＝x，∵AC＝9，BC＝12，∴CE＝12﹣x，∵∠ACE＝90°，∴AC2+CE2＝AE2，即92+（12﹣x）2＝x2，解得x=758故答案为：758．【点评】本题考查勾股定理、线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式3-3】（2020秋•上海期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝6，AD＝3，那么BD＝．【分析】根据勾股定理求出CD，再根据勾股定理用BD表示出BC，根据题意列出方程，解方程得到答案．【解答】解：在Rt△ACD中，CD=AC2-A在Rt△BCD中，BC=CD在Rt△ABC中，BC=AB∴27+BD2解得，BD＝9，故答案为：9．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．【题型4利用勾股定理求面积】【例4】（2020秋•青羊区校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，AD为∠BAC的角平分线，则三角形ADC的面积为（）A．3 B．10 C．12 D．15【分析】作DH⊥AC于H，如图，先根据勾股定理计算出AC＝10，再利用角平分线的性质得到DB＝DH，进行利用面积法得到12×AB×CD=12DH×AC，则可求出DH，然后根据三角形面积公式计算S【解答】解：作DH⊥AC于H，如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC=62∵AD为∠BAC的角平分线，∴DB＝DH，∵12×AB×CD=12DH∴6（8﹣DH）＝10DH，解得DH＝3，∴S△ADC=12故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．也考查了角平分线的性质．【变式4-1】（2020秋•肥西县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．若BC＝3，且BD：DC＝5：4，AB＝5，则△ABD的面积是．【分析】根据角平分线的性质，可以得到DE＝DC，然后根据BC＝3，且BD：DC＝5：4，可以得到DC的长，从而可以得到DE的长，再根据AB的长，即可计算出△ABD的面积．【解答】解：作DE⊥AB于点E，∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DC＝DE，∵BC＝3，且BD：DC＝5：4，∴DC＝3×45+4∴DE=43∵AB＝5，DE⊥AB，∴△ABD的面积是：AB⋅DE2=故答案为：103．【点评】本题考查勾股定理、角平分线的性质，解答本题的关键是求出DE的长，利用数形结合的思想解答．【变式4-2】（2020秋•锦江区校级期中）已知△ABC中，AB＝17，BC＝21，CA＝10，求BC边上的高及△ABC的面积、【分析】作AD⊥BC于D，设CD＝x，根据勾股定理列出方程，解方程求出x，根据勾股定理求出AD，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：作AD⊥BC于D，设CD＝x，则BD＝21﹣x，在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，∴AC2﹣CD2＝AB2﹣BD2，即102﹣x2＝172﹣（21﹣x）2，解得，x＝6，即CD＝6，则AD=AC△ABC的面积=12×BC×AD【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．【变式4-3】（2020秋•中原区校级月考）如图所示，在△ABC中，点D是BC上的一点，已知AC＝CD＝5，AD＝6，BD=52，则△ABCA．18 B．36 C．72 D．125【分析】先作辅助线，AE⊥CD于点E，CF⊥AD于点F，然后根据勾股定理，可以得到CF的长，再根据等积法可以得到AE的长，然后即可计算出△ABC的面积．【解答】解：作AE⊥CD于点E，作CF⊥AD于点F，∵AC＝CD＝5，AD＝6，CF⊥AD，∴AF＝3，∠AFC＝90°，∴CF=AC∵CD⋅AE2=∴5AE2=解得．AE=245∵BD=52，CD∴BC=152∴△ABC的面积是：BC⋅AE2=故选：A．【点评】本题考查勾股定理、等腰三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【知识点2勾股定理的验证】勾股定理的验证主要通过拼图法完成，这种方法是以数形转换为指导思想，图形拼补为手段，各部分面积之间的关系为依据来实现的．用面积方法证明勾股定理是最常见的一种方法.【题型5勾股定理的验证】【例1】（2021春•海淀区校级期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A． B． C． D．【分析】先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可．【解答】解：A、∵12ab+12c2+12ab=12（a+∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、∵4×12ab+c2＝（a+b）2∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C、∵4×12ab+（b﹣a）2＝c2∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键．【变式5-1】（2020秋•中牟县期中）1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（）A．S△EDA＝S△CEB B．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD C．S△EDA+S△CEB＝S△CDE D．S四边形AECD＝S四边形DEBC【分析】用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而证明勾股定理．【解答】解：根据勾股定理可得：S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD．故选：B．【点评】本题考查了勾股定理的证明依据．此类证明要转化成该图形面积的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果．【变式5-2】（2020秋•仓山区校级期末）在学习勾股定理时，我们学会运用图（Ⅰ）验证它的正确性．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×12ab，即（a+b）2＝c2+4×12ab．由此推出勾股定理a2+b2＝（1）请你用图（Ⅱ）的面积表达式验证勾股定理（其中四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间的部分是一个小正方形EFGH，AE＝a，BE＝b，AB＝c）；（2）请你用图（Ⅲ）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证：（x+y）2＝x2+2xy+y2．【分析】（1）根据大正方形的面积﹣小正方形的面积＝4个直角三角形的面积，即可证明；（2）可以拼成一个边长是x+y的正方形，它由两个边长分别是x、y的正方形和两个长、宽分别是x、y的长方形组成；【解答】解：（1）大正方形的面积为：c2，中间小正方形面积为：（b﹣a）2；四个直角三角形面积和为：4×12ab由图形关系可知：大正方形面积＝小正方形面积+四直角三角形面积，即有：c2＝（b﹣a）2+4×12ab＝b2﹣2ab+a2+2ab＝a2+b2（2）如图示：大正方形边长为（x+y）所以面积为：（x+y）2，它的面积也等于两个边长分别为x，y和两个长为x宽为y的矩形面积之和，即x2+2xy+y2所以有：（x+y）2＝x2+2xy+y2成立；【点评】此题考查勾股定理问题，注意熟练掌握通过不同的方法计算同一个图形的面积来证明一些公式的方法．【变式5-3】（2020春•包河区校级期中）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c），也可以表示为4×12ab+（a﹣b）2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．（2）如图③，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，画在如图4的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；（2）运用勾股定理在Rt△ABD和Rt△ADC中求出AD2，列出方程求解即可；（3）画出边长为a+b和a+2b的矩形即可．【解答】解：（1）梯形ABCD的面积为12(a+b)(a+b)=也可以表示为12ab+12即a2+b2＝c2；（2）在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝42﹣x2＝16﹣x2；在Rt△ADC中，AD2＝AC2﹣DC2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2；所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2，解得x=94（3）如图，由此可得（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2．【点评】此题主要考查了勾股定理的证明与应用，熟练掌握相关定理是解答此题的关键．【知识点3勾股定理的应用】（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．

（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．【题型6勾股定理的应用】【例6】（2021春•涪城区校级期中）如图，有一直立标杆，它的上部被风从B处吹折，杆顶C着地，离杆脚2m，修好后又被风吹折，因新断处D比前一次低0.5m，故杆顶E着地比前次远1m，求原标杆的高度．【分析】由题中条件，可设原标杆AB的高为x，进而再依据勾股定理建立平衡方程，进而求解即可．【解答】解：依题意得AC＝2，AE＝3，设原标杆的高为x，∵∠A＝90°，∴由题中条件可得AB2+AC2＝BC2，即AB2+22＝（x﹣AB）2，整理，得x2﹣2ABx＝4，同理，得（AB﹣0.5）2+32＝（x﹣AB+0.5）2，整理，得x2﹣2ABx+x＝9，解得x＝5．∴原来标杆的高度为5米．【点评】本题主要考查了简单的勾股定理的应用问题，能够熟练掌握．【变式6-1】（2021春•永定区期中）如图，木工师傅将一根长2.5米的梯子（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，这时梯足B到墙底端O的距离是0.7米，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4米到点A′时，梯足将外移多少米？【分析】在直角△ABO中，已知AB，BO可以求AO，在△A′OB′中，再利用勾股定理计算出B′O的长，进而可得BB′的长．【解答】解：在直角△ABO中，AB为斜边，已知AB＝2.5米，BO＝0.7米，则根据勾股定理求得AO=AB∵A点下移0.4米，∴A′O＝2米，在Rt△A′OB′中，已知A′B′＝2.5米，A′O＝2米，则根据勾股定理B′O=A'B'∴BB′＝OB′﹣BO＝1.5﹣0.7＝0.8（米），所以梯子向外平移0.8米．【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了勾股定理的灵活运用，本题中找到AB＝A′B′的等量关系是解题的关键．【变式6-2】（2020秋•沙坪坝区期末）如图是某“飞越丛林”俱乐部新近打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，长方形CDEF为一木质平台的主视图．小敏经过现场测量得知：CD＝1米，AD＝15米，于是小敏大胆猜想立柱AB段的长为10米，请判断小敏的猜想是否正确？如果正确，请写出理由，如果错误，请求出立柱AB段的正确长度．【分析】如答图，延长FC交AB于点G，则CG⊥AB，AG＝CD＝1米，GC＝AD＝15米，设BG＝x米，则BC＝（26﹣1﹣x）米，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：不正确；理由：如答图，延长FC交AB于点G，则CG⊥AB，AG＝CD＝1米，GC＝AD＝15米，设BG＝x米，则BC＝（26﹣1﹣x）米，在Rt△BGC中，∵BG2+CG2＝CB2，∴x2+152＝（26﹣1﹣x）2，解得x＝8，∴BA＝BG+GA＝8+1＝9（米），∴小敏的猜想错误，立柱AB段的正确长度长为9米．【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确的作出辅助线是解题的关键．【变式6-3】（2021春•南川区期中）为了积极宣传防疫，南川区政府采用了移动车进行广播，如图，小明家在南大街这条笔直的公路MN的一侧点A处，小明家到公路MN的距离为600米，假使广播车P周围1000米以内能听到广播宣传，广播车P以250米/分的速度在公路MN上沿PN方向行驶时，若小明此时在家，他是否能听到？若能，请求出他总共能听到多长时间的广播？【分析】根据小明A到公路MN的距离为600米＜1000米，可以判断能否听到；根据勾股定理得到BP＝BQ＝800米，求得PQ＝1600米，于是得到结论．【解答】解：小明能听到宣传，理由：∵村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米，∴小明能听到宣传；如图：假设当宣讲车行驶到P点开始小明听到广播，行驶到Q点小明听不到广播，则AP＝AQ＝1000米，AB＝600米，∴BP＝BQ=1000∴PQ＝1600米，∴小明听到广播的时间为：1600÷250＝6.4（分钟），∴他总共能听到6.4分钟的广播．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题时结合生活实际，便于更好的理解题意．专题3.2勾股定理的逆定理-重难点题型【苏科版】【题型1直角三角形判别的条件】【例1】（2021春•蜀山区校级期中）下列条件中，不能判定ABC为直角三角形的是（）A．a：b：c＝5：12：13 B．∠A：∠B：∠C＝2：3：5 C．a＝9k，b＝40k，c＝41k（k＞0） D．a＝32，b＝42，c＝52【变式1-1】（2021春•庐阳区校级期中）△ABC的三边为a，b，c且（a+b）（a﹣b）＝c2，则该三角形是（）A．锐角三角形 B．以c为斜边的直角三角形 C．以b为斜边的直角三角形 D．以a为斜边的直角三角形【变式1-2】（2020秋•天宁区校级期中）△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列条件中能判定是直角三角形的是．（填写序号）（1）a：b：c＝5：12：13，（2）a＝1.5，b＝2.5，c＝2，（3）（a﹣b）2+2ab＝c2，（4）∠A：∠B：∠C＝3：4：5，（5）a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1（n为大于1的正整数）【变式1-3】（2021春•汉阳区校级期中）如图，在单位为1的正方形网格图中有a，b，c，d四条线段，从中任取三条线段所构成的三角形中恰好是直角三角形的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【题型2勾股数】【例2】（2020秋•岐山县期中）下列四组数中，是勾股数的是（）A．0.3，0.4，0.5 B．32，42，52 C．30，40，50 D．13，14，【变式2-1】（2021春•武昌区期中）在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．则当a＝24时，b+c的值为（）a68101214…b815243548…c1017263750…A．250 B．288 C．300 D．574【变式2-2】（2021春•肥乡区月考）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：；（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为和．【变式2-3】（2020秋•蕉城区期中）满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．（1）请把下列三组勾股数补充完整：①，8，10②5，，13③8，15，．（2）小敏发现，很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成2mn，那么另外两个数可以写成m2+n2，m2﹣n2，如4＝2×2×1，5＝22+12，3＝22﹣12．请你帮小敏证明这三个数2mn，m2+n2，m2﹣n2是勾股数组．（3）如果21，72，75是满足上述小敏发现的规律的勾股数组，求m+n的值．【题型3格点图中求角度】【例3】（2020秋•南关区校级期末）如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC的度数为45°．【变式3-1】（2020秋•朝阳区期末）如图所示的正方形网格中，A，B，C，D，P是网格线交点．若∠APB＝α，则∠BPC的度数为（用含α的式子表示）．【变式3-2】（2021春•海淀区校级月考）如图，正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则∠AOB+∠COD＝°．【变式3-3】（2021春•海淀区校级期中）如图所示的是正方形网格，则∠MDC﹣∠MAB＝°（点A，B，C，D，M．网格线交点）．【题型4勾股定理及逆定理的应用（求线段长度）】【例4】（2020秋•淮安期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E，且AD2﹣DC2＝BC2，AC＝16，CD：AD＝3：5，求BC的长．【变式4-1】（2021春•江岸区校级月考）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AH＝3，CH＝4，AC＝5，求BH的长．【变式4-2】（2020秋•沙县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝15，D是AB上一点，BD＝9，CD＝12，求AC长．【变式4-3】（2021春•莲湖区期中）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，DE是BC的垂直平分线，交BC于点D，AB于点E，求DE的长．【题型5勾股定理及逆定理的应用（求面积）】【例5】（2020秋•槐荫区校级月考）如图△ABC的三边长为5，12，13，分别以三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分的面积为（）A．30 B．24 C．60 D．6013【变式5-1】（2021春•东城区校级期中）如图，四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝5，AD＝6，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．【变式5-2】（2020秋•陕西期末）已知，如图在△ABC中，BC＝6，AC＝8，DE⊥AB，DE＝7，△ABE的面积为35，求△ACB的面积．【变式5-3】（2020秋•卫辉市期末）如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA＝3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ的面积为多少？【题型6勾股定理及逆定理的实际应用】【例6】（2020秋•兰州期末）为了绿化环境，我县某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ADC＝90°，CD＝3米，AD＝4米，AB＝13米，BC＝12米．（1）求出空地ABCD的面积．（2）若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？【变式6-1】（2021春•茅箭区校级期末）某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ABC＝90°，BC＝6m，AB＝8m，AD＝26m，CD＝24m．（1）求出空地ABCD的面积．（2）若每种植1平方米草皮需要100元，问总共需投入多少元？【变式6-2】（2020秋•东台市期末）一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km．（1）若轮船速度为25km/小时，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间．（2）C岛在A港的什么方向？【变式6-3】（2020秋•叶县期末）如图（1）是超市的儿童玩具购物车，图（2）为其侧面简化示意图，测得支架AC＝24cm，CB＝18cm，两轮中心的距离AB＝30cm，求点C到AB的距离．（结果保留整数）专题3.2勾股定理的逆定理-重难点题型【苏科版】【知识点1勾股定理的逆定理】如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c【题型1直角三角形判别的条件】【例1】（2021春•蜀山区校级期中）下列条件中，不能判定ABC为直角三角形的是（）A．a：b：c＝5：12：13 B．∠A：∠B：∠C＝2：3：5 C．a＝9k，b＝40k，c＝41k（k＞0） D．a＝32，b＝42，c＝52【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．【解答】解：A、因为a：b：c＝5：12：13，设a＝5x，b＝12x，c＝13x，（5x）2+（12x）2＝（13x）2，故△ABC是直角三角形；B、∠A：∠B：∠C＝2：3：5，且∠A+∠B+∠C＝180°，所以∠C＝180°×52+3+5=90°，故△C、因为（9k）2＝（41k）2﹣（40k）2，故△ABC是直角三角形；D、因为（32）2＝（52）2﹣（42）2，故△ABC不是直角三角形．故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理．【变式1-1】（2021春•庐阳区校级期中）△ABC的三边为a，b，c且（a+b）（a﹣b）＝c2，则该三角形是（）A．锐角三角形 B．以c为斜边的直角三角形 C．以b为斜边的直角三角形 D．以a为斜边的直角三角形【分析】由题意可知：c2+b2＝a2，此三角形三边关系符合勾股定理的逆定理．【解答】解：由题意，a2﹣b2＝c2，∴b2+c2＝a2，此三角形三边关系符合勾股定理的逆定理，所以此三角形是以a为斜边的直角三角形．故选：D．【点评】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2＝c2，则三角形ABC是直角三角形．【变式1-2】（2020秋•天宁区校级期中）△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列条件中能判定是直角三角形的是．（填写序号）（1）a：b：c＝5：12：13，（2）a＝1.5，b＝2.5，c＝2，（3）（a﹣b）2+2ab＝c2，（4）∠A：∠B：∠C＝3：4：5，（5）a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1（n为大于1的正整数）【分析】直角三角形的判定方法，大约有以下几种：①勾股定理的逆定理，即三角形三边符合勾股定理；②三个内角中有一个是直角，或两个内角的度数和等于第三个内角的度数；根据两种情况进行判断即可．【解答】解：（1）（5x）2+（12x）2＝（13x）2，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，符合题意；（2）（1.5）2+（2）2＝（2.5）2，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，符合题意；（3）由（a﹣b）2+2ab＝c2，可得：a2+b2＝c2，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，符合题意；（4）∠A：∠B：∠C＝3：4：5，此时∠C＝75°，不能够判断△ABC是直角三角形，不符合题意；（5）（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，符合题意；故答案为：（1）（2）（3）（5）．【点评】此题主要考查了直角三角形的判定方法，只有三角形的三边长构成勾股数或三内角中有一个是直角的情况下，才能判定三角形是直角三角形．【变式1-3】（2021春•汉阳区校级期中）如图，在单位为1的正方形网格图中有a，b，c，d四条线段，从中任取三条线段所构成的三角形中恰好是直角三角形的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据图形和勾股定理可以求得a，b，c，d四条线段的长，然后根据勾股定理的逆定理，即可得到构成直角三角形的个数．【解答】解：由图可得，线段a，b，c，d的长度分别为：2，32，22，10，∵（2）2+（22）2＝（10）2，（10）2+（22）2＝（32）2，∴从a，b，c，d四条线段中任取三条线段所构成的三角形中恰好是直角三角形的个数为2，故选：B．【点评】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理和勾股定理的逆定理解答．【知识点2勾股数】满足a2+b2=c①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2=c②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．【题型2勾股数】【例2】（2020秋•岐山县期中）下列四组数中，是勾股数的是（）A．0.3，0.4，0.5 B．32，42，52 C．30，40，50 D．13，14，【分析】根据勾股数的定义逐一计算即可得出答案．【解答】解：A．0.3，0.4，0.5不是整数，不是勾股数；B．（32）2+（42）2＝337≠（52）2，∴32，42，52不是勾股数；C．∵302+402＝2500＝502，∴30、40、50是勾股数；D．(13)2+（14）2≠（15）2且13，14，15故选：C．【点评】本题考查了勾股数，能熟记勾股数的意义是解此题的关键．【变式2-1】（2021春•武昌区期中）在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．则当a＝24时，b+c的值为（）a68101214…b815243548…c1017263750…A．250 B．288 C．300 D．574【分析】先根据表中的数据得出规律，根据规律求出b、c的值，再求出答案即可．【解答】解：从表中可知：a依次为6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，•••，即24＝2×（10+2），b依次为8，15，24，35，48，•••，即当a＝24时，b＝122﹣1＝143，c依次为10，17，26，37，50，•••，即当a＝24时，c＝122+1＝145，所以当a＝24时，b+c＝143+145＝288，故选：B．【点评】本题考查了勾股数，能根据表中数据得出c＝（n+2）2﹣1，c＝（n+2）2+1是解此题的关键．【变式2-2】（2021春•肥乡区月考）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：；（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为和．【分析】（1）分析所给四组的勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；可得下一组勾股数：11，60，61；（2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一．【解答】解：（1）11，60，61；故答案为：11，60，61．（2）后两个数表示为n2-12和∵n2+（n2-12）2＝n2+n4-2n∴n2+（n2-12）2＝（n2又∵n≥3，且n为奇数，∴由n，n2-12，故答案为：n2-12，【点评】本题属规律性题目，考查的是勾股数之间的关系，根据题目中所给的勾股数及关系式进行猜想、证明即可．【变式2-3】（2020秋•蕉城区期中）满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．（1）请把下列三组勾股数补充完整：①，8，10②5，，13③8，15，．（2）小敏发现，很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成2mn，那么另外两个数可以写成m2+n2，m2﹣n2，如4＝2×2×1，5＝22+12，3＝22﹣12．请你帮小敏证明这三个数2mn，m2+n2，m2﹣n2是勾股数组．（3）如果21，72，75是满足上述小敏发现的规律的勾股数组，求m+n的值．【分析】（1）根据勾股数的定义即可求解；（2）根据勾股定理的逆定理即可求解；（3）先化简得：7，24，25，可得24＝2×3×4，25＝42+32，7＝42﹣32，依此可求m＝4，n＝3，再代入计算即可求解．【解答】解：（1）①6，8，10；②5.12，13；③8，15，17．故答案为：6，12，17；（2）证明：∵（m2﹣n2）2+（2mn）2＝m4+n4﹣2m2n2+4m2n2＝m4+n4+2m2n2，（m2+n2）2＝m4+n4+2m2n2，∴（m2﹣n2）2+（2mn）2＝（m2+n2）2，∴m2﹣n2，m2+n2，2mn是勾股数；（3）化简得：7，24，25，∵偶数24＝2×3×4，25＝42+32，7＝42﹣32，∴m＝4，n＝3，∴m+n＝7．【点评】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．【题型3格点图中求角度】【例3】（2020秋•南关区校级期末）如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC的度数为45°．【分析】连接AC，利用勾股定理计算出AC2、BC2、AB2，然后利用勾股定理逆定理可判断出△ABC是直角三角形，进而可得答案．【解答】解：连接AC，由勾股定理得：AC2＝22+12＝5，BC2＝22+12＝5，AB2＝12+32＝10，∴AC2+BC2＝5+5＝10＝BA2，∴△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°，故答案为：45．【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及勾股定理，关键是掌握运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．【变式3-1】（2020秋•朝阳区期末）如图所示的正方形网格中，A，B，C，D，P是网格线交点．若∠APB＝α，则∠BPC的度数为（用含α的式子表示）．【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可．【解答】解：∵AP2＝32+32＝18，AC2＝36，PC2＝32+32＝18，∴AC2＝AP2+PC2，∴∠APC＝90°，∴∠BPC＝∠APC﹣∠APB＝90°﹣α，故答案为：90°﹣α．【点评】此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理得出∠APC＝90°解答．【变式3-2】（2021春•海淀区校级月考）如图，正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则∠AOB+∠COD＝°．【分析】根据勾股定理求出OC、OB、BC的平方，再根据勾股定理的逆定理和等腰三角形的判定求出△COB是等腰直角三角形，求出∠COB＝45°，再求出答案即可．【解答】解：连接BC，由勾股定理得：OC2＝12+22＝5，OB2＝12+32＝10，BC2＝12+22，∴OC＝BC，OC2+BC2＝OB2，∴∠OCB＝90°，即△COB是等腰直角三角形，∴∠COB＝45°，∵∠DOA＝90°，∴∠AOB+∠COD＝∠DOA﹣∠COB＝45°，故答案为：45．【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理和等腰直角三角形的判定，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．【变式3-3】（2021春•海淀区校级期中）如图所示的是正方形网格，则∠MDC﹣∠MAB＝°（点A，B，C，D，M．网格线交点）．【分析】根据图形，可以分别求得ME、MD和DE的长，再根据勾股定理的逆定理即可得到∠EMD的度数．然后根据ME和MD的长，即可得到∠MDE的度数，从而可以得到∠MDC﹣∠MAB的度数．【解答】解：连接ME、DE，由图可知，∠MAB＝∠EDF，∴∠MDC﹣∠MAB＝∠MDC﹣∠EDF＝∠EDM，∵ME=12+22=5，∴ME2+MD2＝DE2，∴△END是直角三角形，∵ME＝ME，∴∠MDE＝45°，即∠MDC﹣∠MAB＝45°，故答案为：45．【点评】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【题型4勾股定理及逆定理的应用（求线段长度）】【例4】（2020秋•淮安期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E，且AD2﹣DC2＝BC2，AC＝16，CD：AD＝3：5，求BC的长．【分析】连接BD，根据线段垂直平分线的性质得出AD＝BD，求出DC2+BC2＝BD2，求出AD和CD，求出BD＝10，再根据勾股定理求出答案即可．【解答】连接BD，∵AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E，∴AD＝BD，∵AD2﹣DC2＝BC2，∴BD2﹣DC2＝BC2，即DC2+BC2＝BD2，∴∠C＝90°；∵AC＝16，CD：AD＝3：5，∴CD＝6，AD＝10，∵AD＝BD，∴BD＝10，在Rt△DCB中，由勾股定理得：BC=BD【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理和线段垂直平分线的性质等知识点，能熟记知识点是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．【变式4-1】（2021春•江岸区校级月考）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AH＝3，CH＝4，AC＝5，求BH的长．【分析】根据AH＝3，CH＝4，AC＝5，利用勾股定理的逆定理可以判断△AHC的形状，从而可以得到∠BHC＝90°，再根据勾股定理即可得到BH的长．【解答】解：∵AH＝3，CH＝4，AC＝5，∴AH2+CH2＝AC2，∴△ACH是直角三角形，∴∠AHC＝90°，∠CHB＝90°，∴BC2＝CH2+BH2，∵∠BCA＝90°，∴AB2﹣AC2＝BC2，∴AB2﹣AC2＝CH2+BH2，∴（AH+BH）2﹣AC2＝CH2+BH2，∵AH＝3，CH＝4，AC＝5，∴（3+BH）2﹣52＝42+BH2，解得BH=163即BH的长是163．【点评】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式4-2】（2020秋•沙县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝15，D是AB上一点，BD＝9，CD＝12，求AC长．【分析】根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】∵BC＝15，BD＝9，CD＝12，∴BD2+CD2＝92+122＝152＝BC2,∴∠CDB＝90°,∴CD⊥AB；∵AB＝AC，∴AC＝AB＝AD+BD＝AD+9,∵∠ADC＝90°,∴AC2＝AD2+CD2,∴(AD+9)2＝AD2+122,∴AD=72∴AC=72+9【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．【变式4-3】（2021春•莲湖区期中）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，DE是BC的垂直平分线，交BC于点D，AB于点E，求DE的长．【分析】利用勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形可得△ABC是直角三角形；根据线段垂直平分线的性质可得BE＝CE，设AE＝x，则EC＝4﹣x，根据勾股定理可得x2+32＝（4﹣x）2，求出x的值，再根据勾股定理即可求解．【解答】∵△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，又∵42+32＝52，即AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形；连接CE．∵DE是BC的垂直平分线，∴EC＝EB，设AE＝x，则EC＝4﹣x．∴x2+32＝（4﹣x）2．解之得x=78，即AE的长是7∴BE＝4-78∵BD=12BC=∴DE=BE【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理和勾股定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．【题型5勾股定理及逆定理的应用（求面积）】【例5】（2020秋•槐荫区校级月考）如图△ABC的三边长为5，12，13，分别以三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分的面积为（）A．30 B．24 C．60 D．6013【分析】先利用勾股定理的逆定理求出△ABC是直角三角形，再根据图形，阴影部分的面积等于两个小扇形的面积加上△ABC的面积减去大扇形的面积，然后列式计算即可得解．【解答】解：∵52+122＝169＝132，∴△ABC是直角三角形，由图可知，阴影部分的面积=12π（52）2+12π（122）2+12=258π+1448π＝30．故选：A．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，扇形的面积，观察图形，表示出阴影部分的面积是解题的关键．【变式5-1】（2021春•东城区校级期中）如图，四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝5，AD＝6，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．【分析】根据勾股定理可以求得AC的长，然后根据等腰三角形的性质和勾股定理可以得到CE的长，然后即可求得四边形ABCD的面积．【解答】解：连接AC，作CE⊥AD于点E，∵AB＝3，BC＝4，AB⊥BC，∴AC＝5，∵CD＝5，AD＝6，CE⊥AD，∴AE＝3，∠CEA＝90°，∴CE=52∴四边形ABCD的面积是：3×42+即四边形ABCD的面积是18．【点评】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式5-2】（2020秋•陕西期末）已知，如图在△ABC中，BC＝6，AC＝8，DE⊥AB，DE＝7，△ABE的面积为35，求△ACB的面积．【分析】根据三角形面积求出AB，推出AC、BC的平方和等于AB的平方，求出∠C＝90°，根据三角形面积公式求出即可．【解答】解：∵DE＝7，△ABE的面积为35，∴12×AB∴AB＝10，∵BC＝6，AC＝8，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠C＝90°，∴S△ABC=12【点评】本题考查了三角形的面积，勾股定理的逆定理的应用，