2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列专题11.7 三角形章末题型过关卷（人教版）含解析

2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列第11章三角形章末题型过关卷【人教版】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2022•安徽）如图是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”（图1）和梅花图案（图2）（图中的折扇无重叠），则梅花图案中的五角星的五个锐角均为（）A．36° B．42° C．45° D．48°2．（3分）（2022•兴平市一模）如图，CM是△ABC的中线，△BCM的周长比△ACM的周长大3cm，BC＝8cm，则AC的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm3．（3分）（2022秋•原州区期末）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（）A． B． C． D．4．（3分）（2022秋•西青区期末）小芳有两根长度为5cm和10cm的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择长度为（）的木条．A．5cm B．3cm C．17cm D．12cm5．（3分）（2022秋•曲靖期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝128°，P是△ABC的内角∠ABC的平分线BP1与外角∠ACE的平分线CP1的交点；P2是△BP1C的内角∠P1BC的平分线BP2与外角∠P1CE的平分线CP2的交点；P3是△BP2C的内角∠P2BC的平分线BP3与外角∠P2CE的平分线CP3的交点；依次这样下去，则∠P6的度数为（）A．2° B．4° C．8° D．16°6．（3分）（2022春•忠县期末）设三角形ABC与某长方形相交于如图所示的A、E、D、F点，如果∠C＝90°，∠B＝30°，∠BAF＝15°，那么∠CDE＝（）A．35° B．40° C．45° D．50°7．（3分）（2022秋•宁津县期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝（）A．180° B．240° C．360° D．540°8．（3分）（2022春•西乡塘区校级期末）如图，已知△ABC中，点D、E分别是边BC、AB的中点．若△ABC的面积等于8，则△BDE的面积等于（）A．2 B．3 C．4 D．59．（3分）（2022秋•巴州区期末）若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（）A．14或15 B．13或14 C．13或14或15 D．14或15或1610．（3分）（2022秋•猇亭区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（）A．10° B．15° C．30° D．40°二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2022春•金堂县期末）一个多边形的一个外角为α，且该多边形的内角和与α的和等于840°，则这个多边形的边数为，α＝度．12．（3分）（2022春•海安市校级月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝42°，将△ABC沿着射线BC方向平移得到△DEF，连接CD．在整个平移过程中，若∠ACD和∠CDE的度数存在2倍关系，则∠CDE＝度．13．（3分）（2022秋•江汉区期末）如图，将一副三角尺的两个锐角（30°角和45°角）的顶点P叠放在一起，没有重叠的部分分别记作∠1和∠2，若∠1与∠2的和为61°，则∠APC的度数是．14．（3分）（2022秋•新田县期中）在同一平面内有n个点，其中任意三点不在同一直线上．已知3个点两两相接可得到1个三角形，如图1；4个点两两相接可得到4个三角形（以这4个点为顶点的三角形）如图2；5个点两两相接可得到10个三角形（以这5个点为顶点的三角形）如图3，…；则10个点两两相接可得到个三角形（以这10个点为顶点的三角形）．15．（3分）（2022•合肥开学）若对图1中星形截去一个角，如图2，再对图2中的角进一步截去，如图3，则图中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝度．16．（3分）（2022春•射阳县期中）如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠DFB＝45°；③∠ADC＝∠GCD；④CA平分∠BCG．其中正确的结论是（填序号）．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2022春•建邺区校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝35°，点D在BC上，∠BAC＝∠ADC，点E在AB上，（1）若DE∥AC，求∠ADE的度数．（2）当∠BED的度数是时，△BDE是直角三角形．18．（6分）（2022春•隆回县期末）如图，已知三角形EFG的顶点E，F分别在直线AB和CD上，且AB∥CD．若∠EFG＝90°，∠FEG＝30°，∠EGF＝60°．（1）当∠2＝2∠1时，求∠1的度数．（2）设∠AEG＝α，∠CFG＝β，求α和β的数量关系（用含α，β的等式表示）．19．（8分）（2022春•思明区校级期中）如图1，在五边形ABCDE中，AE∥BC，∠A＝∠C．（1）猜想AB与CD之间的位置关系，并说明理由；（2）如图2，延长DE至F，连接BE，若∠1＝∠3，∠AEF＝2∠2，∠AED＝2∠C﹣140°，求∠C的度数．20．（8分）（2022秋•正阳县期末）图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：个；（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．21．（8分）（2022春•盐湖区校级期末）已知：∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC＝x°．（1）如图1，若AB∥ON，则①∠ABO的度数是；②当∠BAD＝∠ABD时，x＝；当∠BAD＝∠BDA时，x＝．（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．22．（8分）（2022春•海陵区期末）直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动．（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有两个角度数的比是3：2，请直接写出∠ABO的度数．23．（8分）（2022春•淮安期末）【概念认识】如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．【问题解决】（1）如图②，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，求∠BDC的度数；（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，且∠BPC＝140°，求∠A的度数；【延伸推广】（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°（m＞54），∠B＝54°，直接写出∠BPC的度数．（用含m的代数式表示）第11章三角形章末题型过关卷【人教版】参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2022•安徽）如图是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”（图1）和梅花图案（图2）（图中的折扇无重叠），则梅花图案中的五角星的五个锐角均为（）A．36° B．42° C．45° D．48°【分析】根据图（1）先求出梅花扇的内角的度数是120°，则两锐角的和等于60°，把梅花图案连接成正五边形，求出每一个内角的度数，然后解答即可．【解答】解：如图，梅花扇的内角的度数是：360°÷3＝120°，180°﹣120°＝60°，正五边形的每一个内角＝（5﹣2）•180°÷5＝108°，∴梅花图案中的五角星的五个锐角均为：108°﹣60°＝48°．故选：D．2．（3分）（2022•兴平市一模）如图，CM是△ABC的中线，△BCM的周长比△ACM的周长大3cm，BC＝8cm，则AC的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【分析】根据三角形中线的特点进行解答即可．【解答】解：∵CM为△ABC的AB边上的中线，∴AM＝BM，∵△BCM的周长比△ACM的周长大3cm，∴（BC+BM+CM）﹣（AC+AM+CM）＝3cm，∴BC﹣AC＝3cm，∵BC＝8cm，∴AC＝5cm，故选：C．3．（3分）（2022秋•原州区期末）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（）A． B． C． D．【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是选项C．故选：C．4．（3分）（2022秋•西青区期末）小芳有两根长度为5cm和10cm的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择长度为（）的木条．A．5cm B．3cm C．17cm D．12cm【分析】设木条的长度为xcm，再由三角形的三边关系即可得出结论．【解答】解：设木条的长度为xcm，则10﹣5＜x＜10+5，即5＜x＜15．故选：D．5．（3分）（2022秋•曲靖期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝128°，P是△ABC的内角∠ABC的平分线BP1与外角∠ACE的平分线CP1的交点；P2是△BP1C的内角∠P1BC的平分线BP2与外角∠P1CE的平分线CP2的交点；P3是△BP2C的内角∠P2BC的平分线BP3与外角∠P2CE的平分线CP3的交点；依次这样下去，则∠P6的度数为（）A．2° B．4° C．8° D．16°【分析】根据角平分线的定义得∠PBC=12∠ABC，∠PCE=12∠ACE，再根据三角形外角性质得∠ACE＝∠A+∠ABC，∠PCE＝∠PBC+∠P，于是得到12（∠A+∠ABC）＝∠PBC+∠P=12∠ABC+∠【解答】解：∵△ABC的内角平分线BP与外角平分线CP1交于P1，∴∠P1BC=12∠ABC，∠P1CE=1∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∠P1CE＝∠P1BC+∠P1，∴12（∠A+∠ABC）＝∠P1BC+∠P1=12∠ABC+∠∴∠P1=12∠A同理∠P2=12∠P∴∠P6＝2°，故选：A．6．（3分）（2022春•忠县期末）设三角形ABC与某长方形相交于如图所示的A、E、D、F点，如果∠C＝90°，∠B＝30°，∠BAF＝15°，那么∠CDE＝（）A．35° B．40° C．45° D．50°【分析】根据三角形外角性质求出∠CFA＝∠B+∠BAF＝45°，根据长方形的性质得出DE∥AF，根据平行线的性质得出∠CDE＝∠CFA，再得出答案即可．【解答】解：∵∠B＝30°，∠BAF＝15°，∴∠CFA＝∠B+∠BAF＝30°+15°＝45°，∵DE∥AF，∴∠CDE＝∠CFA＝45°，故选：C．7．（3分）（2022秋•宁津县期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝（）A．180° B．240° C．360° D．540°【分析】根据多边形内角与外角、三角形内角和定理、三角形外角性质进行推理计算即可．【解答】解：如图，由三角形外角性质可知：∠1＝∠F+∠B，∠2＝∠A+∠E，∴在四边形ADCG中，由四边形内角和可知：∠D+∠C+∠2+∠1＝360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．故选：C．8．（3分）（2022春•西乡塘区校级期末）如图，已知△ABC中，点D、E分别是边BC、AB的中点．若△ABC的面积等于8，则△BDE的面积等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵点D是边BC的中点，△ABC的面积等于8，∴S△ABD=12S△∵E是AB的中点，∴S△BDE=12S△ABD故选：A．9．（3分）（2022秋•巴州区期末）若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（）A．14或15 B．13或14 C．13或14或15 D．14或15或16【分析】根据不同的截法，找出前后的多边形的边数之间的关系得出答案．【解答】解：如图，n边形，A1A2A3…An，若沿着直线A1A3截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数少1，若沿着直线A1M截去一个角，所得到的多边形，与原来的多边形的边数相等，若沿着直线MN截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数多1，因此将一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数为13或14或15，故选：C．10．（3分）（2022秋•猇亭区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（）A．10° B．15° C．30° D．40°【分析】利用四边形内角和是360°可以求得∠DAB+∠ABC＝150°．然后由角平分线的性质，邻补角的定义求得∠PAB+∠ABP的度数，所以根据△ABP的内角和定理求得∠P的度数即可．【解答】解：如图，∵∠D+∠C＝210°，∠DAB+∠ABC+∠C+∠D＝360°，∴∠DAB+∠ABC＝150°．又∵∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，∴∠PAB+∠ABP=12∠DAB+∠ABC+12（180°﹣∠ABC）＝90°+1∴∠P＝180°﹣（∠PAB+∠ABP）＝15°．故选：B．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2022春•金堂县期末）一个多边形的一个外角为α，且该多边形的内角和与α的和等于840°，则这个多边形的边数为六，α＝120度．【分析】多边形外角一定小于180°，利用840除以180可得4余120，可得这个多边形的边数为6，外角α是120°．【解答】解：∵840÷180＝4…120，∴这个多边形的边数为：4+2＝6，α＝120°，故答案为：六；120．12．（3分）（2022春•海安市校级月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝42°，将△ABC沿着射线BC方向平移得到△DEF，连接CD．在整个平移过程中，若∠ACD和∠CDE的度数存在2倍关系，则∠CDE＝14或28或42度．【分析】根据题意作出图形，记直线AC与直线DE的交点为点G，由平移得AB∥DE，得到∠BAC＝∠AGD＝42°，然后由∠AGD是△CDG的外角得到∠AGD和∠EDC、∠ACD之间的数量关系，进而求得∠CDE的度数．【解答】解：如图，记直线AC与直线DE的交点为点G，由平移得，AB∥DE，∴∠BAC＝∠AGD＝42°，如图1，当∠EDC＝2∠ACD时，∵∠AGD是△CDG的外角，∴∠AGD＝∠EDC+∠ACD，∴2∠ACD+∠ACD＝42°，∴∠ACD＝14°，∴∠CDE＝28°，如图2，当∠ACD＝2∠EDC时，2∠EDC+∠EDC＝42°，∴∠CDE＝14°，如图3，当点G在AC和DE延长线的交点时，∠ACD＝∠CDF，∴∠ACD＝2∠CDE，∵∠ACD是△CDG的外角，∴∠ACD＝∠AGD+∠CDE，又∵∠AGD＝42°，∴∠CDE+42°＝2∠CDE，∴∠CDE＝42°，综上所述，∠CDE的度数为28°或14°或42°，故答案为：28或14或42．13．（3分）（2022秋•江汉区期末）如图，将一副三角尺的两个锐角（30°角和45°角）的顶点P叠放在一起，没有重叠的部分分别记作∠1和∠2，若∠1与∠2的和为61°，则∠APC的度数是68°．【分析】先求30°和45°重合部分的角的度数，再加上∠1与∠2的和即可得到答案．【解答】解：三角板重合部分的角的度数＝（30+45﹣61）÷2＝7°，∴∠APC＝7°+∠1+∠2＝7°+61°＝68°．故答案为：68°．14．（3分）（2022秋•新田县期中）在同一平面内有n个点，其中任意三点不在同一直线上．已知3个点两两相接可得到1个三角形，如图1；4个点两两相接可得到4个三角形（以这4个点为顶点的三角形）如图2；5个点两两相接可得到10个三角形（以这5个点为顶点的三角形）如图3，…；则10个点两两相接可得到120个三角形（以这10个点为顶点的三角形）．【分析】根据3个点两两相接可得到1个三角形，4个点两两相接可得到4个三角形，5个点两两相接可得到10个三角形，可得连接n个点可得三角形的个数是n(n-1)(n-2)6【解答】解：由图可知，3个点两两相接可得到1个三角形，3×2×164个点两两相接可得到4个三角形，4×3×265个点两两相接可得到10个三角形，5×4×36…n个点两两相接可得三角形的个数是n(n-1)(n-2)6则10个点两两相接可得到10×9×86故答案为：120．15．（3分）（2022•合肥开学）若对图1中星形截去一个角，如图2，再对图2中的角进一步截去，如图3，则图中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝1080度．【分析】根据图中可找出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，并且每截去一个角则会增加180度，由此即可求出答案．【解答】解：根据图中可得出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，每截去一个角则会增加180度，所以当截去5个角时增加了180×5度，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝180×5+180＝1080°．16．（3分）（2022春•射阳县期中）如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠DFB＝45°；③∠ADC＝∠GCD；④CA平分∠BCG．其中正确的结论是①②③（填序号）．【分析】根据角平分线的性质，垂直的性质及三角形内角和定理依次判断求解．【解答】解：∵EG∥BC，且CG⊥EG于G，∴∠BCG+∠G＝180°，∵∠G＝90°，∴∠BCG＝180°﹣∠G＝90°，∵∠GEC+∠GCE＝90°，∠BCA+∠GCE＝90°，∴∠GEC＝∠BCA，∵CD平分∠BCA，∴∠GEC＝∠BCA＝2∠DCB，∴①正确．∵CD，BE平分∠BCA，∠ABC，∴∠BFD＝∠BCF+∠CBF=12（∠BCA+∠∴②正确．∵∠GCE+∠ACB＝90°，∠ABC+∠ACB＝90°，∴∠GCE＝∠ABC，∵∠GCD＝∠GCE+∠ACD＝∠ABC+∠ACD，∠ADC＝∠ABC+∠BCD，∴∠ADC＝∠GCD，∴③正确．∵∠GCE+∠ACB＝90°，∴∠GCE与∠ACB互余，∴④错误．故答案为：①②③．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2022春•建邺区校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝35°，点D在BC上，∠BAC＝∠ADC，点E在AB上，（1）若DE∥AC，求∠ADE的度数．（2）当∠BED的度数是90°或55°时，△BDE是直角三角形．【分析】（1）根据平行线的性质可得∠BED＝∠BAC，再根据三角形外角等于和它不相邻的两个内角和即可得∠ADE＝∠B＝35°；（2）根据直角三角形两个锐角互余可得∠BED＝90°﹣35°＝55°，然后利用直角三角形定义即可得结论．【解答】解：（1）∵DE∥AC，∴∠BED＝∠BAC，∵∠BAC＝∠ADC，∴∠BED＝∠ADC，∵∠BED＝∠EAD+∠ADE，∠ADC＝∠B+∠BAD，∴∠ADE＝∠B＝35°；（2）当∠BED的度数是90°或55°时，△BDE是直角三角形．理由如下：当∠BED的度数是90°时，△BDE是直角三角形．当∠BDE＝90°，∴∠BED＝90°﹣35°＝55°时，△BDE是直角三角形．故答案为：90°或55°．18．（7分）（2022春•隆回县期末）如图，已知三角形EFG的顶点E，F分别在直线AB和CD上，且AB∥CD．若∠EFG＝90°，∠FEG＝30°，∠EGF＝60°．（1）当∠2＝2∠1时，求∠1的度数．（2）设∠AEG＝α，∠CFG＝β，求α和β的数量关系（用含α，β的等式表示）．【分析】（1）由平行线的性质可得∠EFC＝∠1+30°，再根据平角的定义可求解；（2）过G点作GM∥AB，则MG∥CD，利用平行线的性质可得∠AEG+∠EGF+∠CFG＝360°，结合∠EGF＝60°可求解．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠BEF＝∠EFC，∵∠FEG＝30°，∴∠EFC＝∠1+30°，∵∠2+∠EFC+90°＝180°，∠2＝2∠1，∴2∠1+∠1+30°+90°＝180°，解得∠1＝20°；（2）过G点作GM∥AB，∴∠AEG+∠EGM＝180°，∵AB∥CD，∴MG∥CD，∴∠MGF+∠CFG＝180°，∴∠AEG+∠EGM+∠MGF+∠CFG＝360°，即∠AEG+∠EGF+∠CFG＝360°，∵∠EGF＝60°，∴∠AEG+∠CFG＝300°．∵∠AEG＝α，∠CFG＝β，∴α+β＝300°．19．（8分）（2022春•思明区校级期中）如图1，在五边形ABCDE中，AE∥BC，∠A＝∠C．（1）猜想AB与CD之间的位置关系，并说明理由；（2）如图2，延长DE至F，连接BE，若∠1＝∠3，∠AEF＝2∠2，∠AED＝2∠C﹣140°，求∠C的度数．【分析】（1）AB与CD平行，理由为：由AE∥BC，根据两直线平行同旁内角互补，可得：∠A+∠B＝180°，然后由∠A＝∠C，根据等量代换可得：∠C+∠B＝180°，然后根据同旁内角互补两直线平行，即可证明AB与CD平行；（2）由AE∥BC，根据两直线平行，内错角相等，同旁内角互补，可得：∠2＝∠3，∠A+∠ABC＝180°，由∠1＝∠3，根据等量代换可得：∠1＝∠2＝∠3，∠ABC＝2∠2，由∠AEF＝2∠2，根据等量代换可得：∠A+∠ABC＝∠A+2∠2＝∠A+∠AEF＝180°，然后根据平角的定义可得：∠AEF+∠AED＝180°，进而可得∠A＝∠AED，由∠A＝∠C，可得：∠AED＝∠C，结合∠AED＝2∠C﹣140°计算可求解∠C的度数．【解答】解：（1）猜想：AB∥CD，理由：∵AE∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝∠C，∴∠C+∠B＝180°，∴AB∥CD；（2）∵AE∥BC，∴∠2＝∠3，∠A+∠ABC＝180°，∵∠1＝∠3，∴∠1＝∠2＝∠3，∠ABC＝2∠2，∵∠AEF＝2∠2，∴∠A+∠ABC＝∠A+2∠2＝∠A+∠AEF＝180°，∵∠AEF+∠AED＝180°，∴∠A＝∠AED，∵∠A＝∠C，∴∠AED＝∠C，∵∠AED＝2∠C﹣140°，∴∠C＝2∠C﹣140°，解得：∠C＝140°．20．（8分）（2022秋•正阳县期末）图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：6个；（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．【分析】（1）根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个；（3）先根据“8字形”中的角的规律，可得∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P②，再根据角平分线的定义，得出∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，将①+②，可得2∠P＝∠D+∠B，进而求出∠P的度数；（4）同（3），根据“8字形”中的角的规律及角平分线的定义，即可得出2∠P＝∠D+∠B．【解答】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B，故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；故“8字形”共有6个，故答案为：6；（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，②∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，即2∠P＝∠D+∠B，又∵∠D＝50度，∠B＝40度，∴2∠P＝50°+40°，∴∠P＝45°；（4）关系：2∠P＝∠D+∠B．∠D+∠1＝∠P+∠3①∠B+∠4＝∠P+∠2②①+②得：∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，∵∠DAB和∠DCB的平分线AP和CP相交于点P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4∴2∠P＝∠D+∠B．21．（8分）（2022春•盐湖区校级期末）已知：∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC＝x°．（1）如图1，若AB∥ON，则①∠ABO的度数是20°；②当∠BAD＝∠ABD时，x＝120；当∠BAD＝∠BDA时，x＝60．（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．【分析】利用角平分线的性质求出∠ABO的度数是关键，分类讨论的思想．【解答】解：（1）①∵∠MON＝40°，OE平分∠MON，∴∠AOB＝∠BON＝20°，∵AB∥ON，∴∠ABO＝20°，②∵∠BAD＝∠ABD，∴∠BAD＝20°，∵∠AOB+∠ABO+∠OAB＝180°，∴∠OAC＝120°，∵∠BAD＝∠BDA，∠ABO＝20°，∴∠BAD＝80°，∵∠AOB+∠ABO+∠OAB＝180°，∴∠OAC＝60°；故答案为：①20°；②120，60；（2）①当点D在线段OB上时，∵OE是∠MON的角平分线，∴∠AOB=12∠∵AB⊥OM，∴∠AOB+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝70°，若∠BAD＝∠ABD＝70°，则x＝20若∠BAD＝∠BDA=12（180°﹣70°）＝55°，则若∠ADB＝∠ABD＝70°，则∠BAD＝180°﹣2×70°＝40°，∴x＝50②当点D在射线BE上时，因为∠ABE＝110°，且三角形的内角和为180°，所以只有∠BAD＝∠BDA，此时x＝125．综上可知，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角，且x＝20、35、50、125．22．（8分）（2022春•海陵区期末）直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动．（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有两个角度数的比是3：2，请直接写出∠ABO的度数60°或72°．【分析】（1）先求解∠BAO+∠ABO＝90°，结合角平分线的定义可得∠BAE+∠ABE＝45°，再利用三角形的内角和定理可求求解∠AEB的度数；（2）由平角的定义求解∠BAP+∠ABM＝270°，利用角平分线的定义可求∠DAB+∠ABC＝135°，根据四边形的内角和定理可求∠ADC+∠BCD＝225°，再由角平分线的定义及三角形的内角和定理可求解；（3）先求解∠EAF＝90°，∠ABO＝2∠E，结合有两个角度数的比是3：2分4种情况可求解．【解答】解：（1）不变．∵MN⊥PQ，∴∠AOB＝90°，∵∠AOB+∠BAO+∠ABO＝180°，∴∠BAO+∠ABO＝90°，∵AE平分∠BAO，BE平分∠ABO，∴∠BAE=12∠BAO，∠ABE=1∴∠BAE+∠ABE＝45°，∵∠BAE+∠ABE+∠AEB＝180°，∴∠AEB＝135°；（2）不变．∵∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠BAP+∠ABM＝180°+180°﹣90°＝270°，∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，∴∠DAB=12∠BAP，∠ABC=1∴∠DAB+∠ABC＝135°，∵∠DAB+∠ABC+∠ADC+∠BCD＝360°，∴∠ADC+∠BCD＝225°，∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，∴∠CDE=12∠ADC，∠DCE=1∴∠CDE+∠DCE＝112.5°，∴∠CED＝67.5°；（3）∵AE平分∠BAO，AF平分∠OAG，∴∠EAO=12∠BAO，∠FAO=1∵∠BAO+∠OAG＝180°，∴∠EAO+∠FAO＝90°，即∠EAF＝90°，∵OE平分∠BOQ，∴∠∠BOQ＝2∠EOQ，∵∠EOQ＝∠E+∠OAE，∠BOQ＝∠ABO+∠BAO，∴∠ABO＝2∠E，在△AEF中，∵有两个角度数的比是3：2，故有4种情况：①∠EAF：∠E＝3：2，∠E＝60°，∠ABO＝120°；（不成立）②∠EAF：∠F＝3：2，∠E＝30°，∠ABO＝60°；③∠F：∠E＝3：2，∠E＝36°，∠ABO＝72°；④∠E：∠F＝3：2，∠E＝54°，∠ABO＝108°（不成立）．∴∠ABO为60°或72°．故答案为：∠ABO为60°或72°．23．（8分）（2022春•淮安期末）【概念认识】如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．【问题解决】（1）如图②，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，求∠BDC的度数；（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，且∠BPC＝140°，求∠A的度数；【延伸推广】（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°（m＞54），∠B＝54°，直接写出∠BPC的度数．（用含m的代数式表示）【分析】（1）根据题意可得当BD是“邻AB三分线”时，∠BD′C＝80°+15°＝95°；当BD是“邻BC三分线”时，∠BD″C＝80°+30°＝110°；（2）结合（1）根据BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，且∠BPC＝140°，即可求∠A的度数；（3）分4种情况进行画图计算：情况一：如图①，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时，可得∠BPC=23∠A=23m°；情况二：如图②，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，可得∠BPC=13∠A=13m°；情况三：如图③，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，可得∠BPC=23∠A+13∠ABC=23m°+18°；情况四：如图④，当BP和CP分别是“邻【解答】解：（1）如图，当BD是“邻AB三分线”时，∠BD′C＝80°+15°＝95°；当BD是“邻BC三分线”时，∠BD″C＝80°+30°＝110°；（2）在△BPC中，∵∠BPC＝140°，∴∠PBC+∠PCB＝40°，又∵BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，∴∠PBC=13∠ABC，∠PCB=1∴13∠ABC+13∴∠ABC+∠ACB＝120°，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝60°；（3）分4种情况进行画图计算：情况一：如图①，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时，∴∠BPC=23∠A=情况二：如图②，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，∴∠BPC=13∠A=情况三：如图③，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，∴∠BPC=23∠A+13∠情况四：如图④，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，∠BPC=13∠A-13∠综上所述：∠BPC的度数为：23m°或13m°或23m°+18°或专题12.1全等三角形的性质【八大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\t"正文,1"\hTOC\o"1-1"\h\u【题型1全等图形的概念】 1【题型2全等三角形的对应元素判断】 2【题型3全等三角形的性质（求长度）】 3【题型4全等三角形的性质（求角度）】 4【题型5全等三角形的性质（判断结论）】 5【题型6全等三角形的性质（探究角度之间的关系）】 6【题型7全等三角形的性质（动点问题）】 7【题型8全等三角形的性质（证明题）】 8【知识点1全等图形的概念】能完全重合的图形叫做全等图形.【知识点2全等图形的性质】两个图形全等，它们的形状相同，大小相同.【题型1全等图形的概念】【例1】（2022春•偃师市期末）下列说法不正确的是（）A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同 B．图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关 C．全等图形的面积相等，面积相等的两个图形是全等图形 D．全等三角形的对应边相等，对应角相等【变式1-1】（2021秋•思南县期中）有下列说法，其中正确的有（）①两个等边三角形一定能完全重合；②如果两个图形是全等图形，那么它们的形状和大小一定相同；③两个等腰三角形一定是全等图形；④面积相等的两个图形一定是全等图形．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-2】（2021秋•蔡甸区期中）如图，有①～⑤5个条形方格图，每个小方格的边长均为1，则②～⑤中由实线围成的图形与①中由实线围成的图形全等的有（）A．②③④ B．③④⑤ C．②④⑤ D．②③⑤【变式1-3】（2021春•宁德期末）在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于．【知识点3全等三角形的性质】全等三角形的对应边相等，对应角相等.（另外全等三角形的周长、面积相等，对应边上的中线、角平分线、高线均相等）【题型2全等三角形的对应元素判断】【例2】（2021秋•南沙区期末）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是（）A．115° B．65° C．40° D．25°【变式2-1】（2021秋•大连期中）如图，△ABN≌△ACM，∠B和∠C是对应角，AB和AC是对应边，其它对应边及对应角正确的是（）A．∠ANB和∠AMC是对应角 B．∠BAN和∠CAB是对应角 C．AM和BM是对应边 D．BN和CN是对应边【变式2-2】（2021春•泰兴市期末）边长都为整数的△ABC和△DEF全等，AB与DE是对应边，AB＝2，BC＝4，若△DEF的周长为奇数，则DF的值为（）A．3 B．4 C．3或5 D．3或4或5【变式2-3】（2021秋•鲁甸县期末）如果△ABC的三边长分别为3，5，7，△DEF的三边长分别为3，3x﹣2，2y﹣1，若这两个三角形全等，则x+y＝．【题型3全等三角形的性质（求长度）】【例3】（2021秋•青田县期末）如图，已知△ABC≌△DEF，B，E，C，F在同一条直线上．若BF＝8cm，BE＝2cm，则CE的长度（）cm．A．5 B．4 C．3 D．2【变式3-1】（2022秋•巴南区期末）如图，△ABC≌△BDE，AB⊥BD，AB＝BD，AC＝4，DE＝3，CE的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【变式3-2】（2020秋•永嘉县校级期末）如图，已知△ABC≌△DBE，点A，C分别对应点D，E，BC交DE于点F，∠ABD＝∠E，若BE＝10，CF＝4，则EF的长为（）A．4 B．5 C．6 D．7【变式3-3】（2021春•沙坪坝区期末）如图，△ABC中，点D、点E分别在边AB、BC上，连结AE、DE，若△ADE≌△BDE，AC：AB：BC＝2：3：4，且△ABC的周长比△AEC的周长大6．则△AEC的周长为．【题型4全等三角形的性质（求角度）】【例4】（2022春•鼓楼区校级期末）如图，△ABC≌△A′B′C′，边B′C′过点A且平分∠BAC交BC于点D，∠B＝27°，∠CDB′＝98°，则∠C′的度数为（）A．60° B．45° C．43° D．34°【变式4-1】（2021秋•民权县期末）如图，△ABC≌△ADE，且AE∥BD，∠BAD＝94°，则∠BAC的度数的值为（）A．84° B．60° C．48° D．43°【变式4-2】（2021秋•招远市期中）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝56°，则∠CAF的度数为（）A．36° B．24° C．56° D．34°【变式4-3】（2022春•武侯区期末）如图，在△ABC中，在边BC上取一点D，连接AD，在边AD上取一点E，连接CE．若△ADB≌△CDE，∠BAD＝α，则∠ACE的度数为（）A．α B．α﹣45° C．45°﹣α D．90°﹣α【题型5全等三角形的性质（判断结论）】【例5】（2022•龙岗区模拟）如图，△ABC≌△A′B′C，且点B′在AB边上，点A′恰好在BC的延长线上，下列结论错误的是（）A．∠BCB′＝∠ACA′ B．∠ACB＝2∠B C．∠B′CA＝∠B′AC D．B′C平分∠BB′A′【变式5-1】（2021春•海口期末）如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论①AC＝AF，②∠FAB＝∠EAB，③EF＝BC，④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式5-2】（2021秋•新乐市期末）如图，△ABD≌△EBC，AB＝12，BC＝5，A，B，C三点共线，则下列结论中：①CD⊥AE；②AD⊥CE；③∠EAD＝∠ECD；正确的是【变式5-3】（2021秋•五常市期末）如图，点E是CD上的一点，Rt△ACD≌Rt△EBC，则下结论：①AC＝BC，②AD∥BE，③∠ACB＝90°，④AD+DE＝BE，成立的有个．【题型6全等三角形的性质（探究角度之间的关系）】【例6】（2022•长春二模）如图，△AOB≌△ADC，点B和点C是对应顶点，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（）A．α＝β B．α＝2β C．α+β＝90° D．α+2β＝180°【变式6-1】（2021秋•林州市期末）如图，点D，E，F分别在△ABC的边AB，BC，CA上（不与顶点重合），设∠BAC＝α，∠FED＝θ．若△BED≌△CFE，则α，θ满足的关系是（）A．α+θ＝90° B．α+2θ＝180° C．α﹣θ＝90° D．2α+θ＝180°【变式6-2】（2022春•徐汇区校级期末）如图，N，C，A三点在同一直线上，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN等于（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：4【变式6-3】（2022•定远县模拟）如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D∥EB′∥BC，BE、CD交于点F，若∠BAC＝α，∠BFC＝β，则（）A．2α+β＝180° B．2β﹣α＝145° C．α+β＝135° D．β﹣α＝60°【题型7全等三角形的性质（动点问题）】【例7】（2021秋•柘城县期中）如图，∠C＝∠CAM＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，点P在线段AC上，以2cm/s速度从点A出发向点C运动，到点C停止运动．点Q在射线AM上运动，且PQ＝AB．若△ABC与△PQA全等，则点P运动的时间为（）A．4s B．2s C．2s或3s或4s D．2s或4s【变式7-1】（2021春•浦东新区校级期末）△ABC中，AB＝AC＝12厘米，∠B＝∠C，BC＝9厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为3厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为（）A．2.5 B．3 C．2.25或3 D．1或5【变式7-2】（2021春•和平区期末）如图，CA⊥AB于点A，AB＝8，AC＝4，射线BM⊥AB于点B，一动点E从A点出发以2个单位/秒沿射线AB运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，若点E经过t秒（t＞0），△DEB与△BCA全等，则t的值为秒．【变式7-3】（2021春•高新区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以每秒1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E、作QF⊥l于F，当点P运动秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等．【题型8全等三角形的性质（证明题）】【例8】（2021秋•大化县期中）如图所示，已知△ABD≌△CFD，AD⊥BC于D．（1）求证：CE⊥AB；（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的长．【变式8-1】（2021秋•海淀区校级期中）如图，A，E，C三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE．（1）线段DE，CE，BC有怎样的数量关系？请说明理由．（2）请你猜想△ADE满足什么条件时，DE∥BC，并证明．【变式8-2】（2021秋•灌云县月考）如图所示，A，C，E三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE．（1）求证：BC＝DE+CE；（2）当△ABC满足什么条件时，BC∥DE？【变式8-3】（2021秋•定远县校级期中）如图所示，△ACD≌△ECD，△CEF≌△BEF，∠ACB＝90°．（1）求证：CD⊥AB；（2）求∠B的度数；（3）求证：EF∥AC．专题12.1全等三角形的性质【八大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\t"正文,1"\hTOC\o"1-1"\h\u【题型1全等图形的概念】 1【题型2全等三角形的对应元素判断】 3【题型3全等三角形的性质（求长度）】 5【题型4全等三角形的性质（求角度）】 7【题型5全等三角形的性质（判断结论）】 10【题型6全等三角形的性质（探究角度之间的关系）】 13【题型7全等三角形的性质（动点问题）】 16【题型8全等三角形的性质（证明题）】 20【知识点1全等图形的概念】能完全重合的图形叫做全等图形.【知识点2全等图形的性质】两个图形全等，它们的形状相同，大小相同.【题型1全等图形的概念】【例1】（2022春•偃师市期末）下列说法不正确的是（）A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同 B．图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关 C．全等图形的面积相等，面积相等的两个图形是全等图形 D．全等三角形的对应边相等，对应角相等【分析】直接利用全等图形的定义与性质分别分析得出答案．【解答】解：A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同，正确，不合题意；B．图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关，正确，不合题意；C．全等图形的面积相等，但是面积相等的两个图形不一定是全等图形，故此选项错误，符合题意；D．全等三角形的对应边相等，对应角相等，正确，不合题意；故选：C．【变式1-1】（2021秋•思南县期中）有下列说法，其中正确的有（）①两个等边三角形一定能完全重合；②如果两个图形是全等图形，那么它们的形状和大小一定相同；③两个等腰三角形一定是全等图形；④面积相等的两个图形一定是全等图形．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】直接利用全等图形的性质分别分析得出答案．【解答】解：①两个等边三角形不一定能完全重合，故此选项不合题意；②如果两个图形是全等图形，那么它们的形状和大小一定相同，故此选项符合题意；③两个等腰三角形不一定是全等图形，故此选项不合题意；④面积相等的两个图形不一定是全等图形，故此选项不合题意．故选：A．【变式1-2】（2021秋•蔡甸区期中）如图，有①～⑤5个条形方格图，每个小方格的边长均为1，则②～⑤中由实线围成的图形与①中由实线围成的图形全等的有（）A．②③④ B．③④⑤ C．②④⑤ D．②③⑤【分析】本题可通过旋转，看后边四个实线图形能和①中图形完全重合的便是①的全等形．【解答】解：②以右下角顶点为定点顺时针旋转90°后，两个实线图形刚好重合，③中为平行四边形，而①中为梯形，所以不能和①中图形完全重合，④可上下反转成②的情况，然后旋转可和①中图形完全重合，⑤可旋转180°后可和①中图形完全重合，故选：C．【变式1-3】（2021春•宁德期末）在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于．【分析】沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．画出所有的分割方案，即可得到最长分割线的长度．【解答】解：分割方案如图所示：由图可得，最长分割线的长度等于7．故答案为：7．【知识点3全等三角形的性质】全等三角形的对应边相等，对应角相等.（另外全等三角形的周长、面积相等，对应边上的中线、角平分线、高线均相等）【题型2全等三角形的对应元素判断】【例2】（2021秋•南沙区期末）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是（）A．115° B．65° C．40° D．25°【分析】根据三角形内角和定理求出∠2，根据全等三角形的性质解答即可．【解答】解：由三角形内角和定理得，∠2＝180°﹣115°﹣25°＝40°，∵两个三角形全等，∴∠1＝∠2＝40°，故选：C．【变式2-1】（2021秋•大连期中）如图，△ABN≌△ACM，∠B和∠C是对应角，AB和AC是对应边，其它对应边及对应角正确的是（）A．∠ANB和∠AMC是对应角 B．∠BAN和∠CAB是对应角 C．AM和BM是对应边 D．BN和CN是对应边【分析】全等三角形的对应顶点在对应位置，按顺序找即可．关键要细心，找对对应角和对应边．【解答】解：∵△ABN≌△ACM，∠B和∠C是对应角，AB与AC是对应边，∴对应边：AN与AM，BN与CM；对应角：∠BAN＝∠CAM，∠ANB＝∠AMC．故选：A．【变式2-2】（2021春•泰兴市期末）边长都为整数的△ABC和△DEF全等，AB与DE是对应边，AB＝2，BC＝4，若△DEF的周长为奇数，则DF的值为（）A．3 B．4 C．3或5 D．3或4或5【分析】根据三角形的三边关系求得AC的范围，然后根据全等三角形的对应边相等即可求解．【解答】解：AC的范围是2＜AC＜6，则AC的奇数值是3或5．△ABC和△DEF全等，AB与DE是对应边，则DE＝AB＝2，当DF＝AC时，DF＝3或5．当DF＝BC时，DF＝4．故选：D．【变式2-3】（2021秋•鲁甸县期末）如果△ABC的三边长分别为3，5，7，△DEF的三边长分别为3，3x﹣2，2y﹣1，若这两个三角形全等，则x+y＝．【分析】根据全等三角形的对应边相等列出方程，解方程分别求出x、y，计算即可，注意分类讨论．【解答】解：∵两个三角形全等，∴3x﹣2＝5，2y﹣1＝7或3x﹣2＝7，2y﹣1＝5，解得：x=73，y＝4或x＝3，则x+y=19故答案为：193【题型3全等三角形的性质（求长度）】【例3】（2021秋•青田县期末）如图，已知△ABC≌△DEF，B，E，C，F在同一条直线上．若BF＝8cm，BE＝2cm，则CE的长度（）cm．A．5 B．4 C．3 D．2【分析】根据全等三角形的性质得出BC＝EF，求出BE＝CF＝2cm，再求出答案即可．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∴BC﹣CE＝EF﹣CE，∴BE＝CF，∵BE＝2cm，∴CF＝BE＝2cm，∵BF＝8cm，∴CE＝BF﹣BE﹣CF＝8﹣2﹣2＝4（cm），故选：B．【变式3-1】（2022秋•巴南区期末）如图，△ABC≌△BDE，AB⊥BD，AB＝BD，AC＝4，DE＝3，CE的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据全等三角形的性质和线段的和差即可得到结论．【解答】解：∵△ABC≌△BDE，∴BE＝AC＝4，BC＝DE＝3，∴CE＝BE﹣BC＝1，故选：A．【变式3-2】（2020秋•永嘉县校级期末）如图，已知△ABC≌△DBE，点A，C分别对应点D，E，BC交DE于点F，∠ABD＝∠E，若BE＝10，CF＝4，则EF的长为（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】根据全等三角形性质，可得：∠ABC＝∠DBE，进而得出∠ABD＝∠FBE，得出∠FBE＝∠E，得出BF＝EF即可．【解答】解：∵△ABC≌△DBE，∴∠ABC＝∠DBE，BE＝BC，∴∠ABC﹣∠DBF＝∠DBE﹣∠DBF，即∠ABD＝∠FBE，∵∠ABD＝∠E，∴∠FBE＝∠E，∴BF＝EF＝BC﹣CF＝10﹣4＝6，故选：C．【变式3-3】（2021春•沙坪坝区期末）如图，△ABC中，点D、点E分别在边AB、BC上，连结AE、DE，若△ADE≌△BDE，AC：AB：BC＝2：3：4，且△ABC的周长比△AEC的周长大6．则△AEC的周长为．【分析】由AC：AB：BC＝2：3：4，可设AC＝2x，AB＝3x，BC＝4x．△ABC的周长比△AEC的周长大6，可推断出x＝2，故AC＝4，BC＝8．由△ADE≌△BDE，得AE＝BE，故C△AEC＝AE+EC+AC＝BE+EC+AC＝BC+AC＝12．【解答】解：∵△ADE≌△BDE，∴BE＝AE．∴C△AEC＝AE+EC+AC＝BE+EC+AC＝BC+AC．∵AC：AB：BC＝2：3：4，∴设AC＝2x，AB＝3x，BC＝4x．∵△ABC的周长比△AEC的周长大6，∴C△ABC﹣C△AEC＝6．∴（AB+BC+AC）﹣（BC+AC）＝6．∴AB＝3x＝6．∴x＝2．∴AC＝2x＝4，BC＝4x＝8．∴C△AEC＝BC+AC＝8+4＝12．故答案为：12．【题型4全等三角形的性质（求角度）】【例4】（2022春•鼓楼区校级期末）如图，△ABC≌△A′B′C′，边B′C′过点A且平分∠BAC交BC于点D，∠B＝27°，∠CDB′＝98°，则∠C′的度数为（）A．60° B．45° C．43° D．34°【分析】根据对顶角相等求出∠ADB，根据三角形内角定理求出∠BAD，根据角平分线的定义求出∠BAC，进而求出∠C，根据全等三角形对应角相等解答即可．【解答】解：∵∠CDB′＝98°，∴∠ADB＝∠CDB′＝98°，∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝55°，∵AB′平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAD＝110°，∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝43°，∵△ABC≌△A′B′C′，∴∠C′＝∠C＝43°，故选：C．【变式4-1】（2021秋•民权县期末）如图，△ABC≌△ADE，且AE∥BD，∠BAD＝94°，则∠BAC的度数的值为（）A．84° B．60° C．48° D．43°【分析】根据全等三角形的性质得出∠BAC＝∠EAD，AB＝AD，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ADB＝∠ABD＝43°，根据平行线的性质得出∠EAD＝∠ADB＝43°，再求出答案即可．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠EAD，AB＝AD，∵∠BAD＝94°，∴∠ADB＝∠ABD=12×∵AE∥BD，∴∠EAD＝∠ADB＝43°，∴∠BAC＝∠EAD＝43°，故选：D．【变式4-2】（2021秋•招远市期中）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝56°，则∠CAF的度数为（）A．36° B．24° C．56° D．34°【分析】根据全等三角形的性质得出∠BCA＝∠ECD，求出∠BCE＝∠ACF，求出∠ACF＝56°，再根据直角三角形的两锐角互余得出即可．【解答】解：∵△ABC≌△DEC，∴∠BCA＝∠ECD，∴∠BCA﹣∠ECA＝∠ECD﹣∠ECA，即∠BCE＝∠ACF，∵∠BCE＝56°，∴∠ACF＝56°，∵AF⊥CD，∴∠AFC＝90°，∴∠CAF＝90°﹣∠ACF＝＝34°，故选：D．【变式4-3】（2022春•武侯区期末）如图，在△ABC中，在边BC上取一点D，连接AD，在边AD上取一点E，连接CE．若△ADB≌△CDE，∠BAD＝α，则∠ACE的度数为（）A．α B．α﹣45° C．45°﹣α D．90°﹣α【分析】根据全等三角形的性质可得∠ADB＝∠CDE，AD＝CD，∠DCE＝∠BAD，进一步可得∠CDE＝90°，∠ACD＝45°，即可求出∠ACE的度数．【解答】解：∵△ADB≌△CDE，∴∠ADB＝∠CDE，AD＝CD，∠DCE＝∠BAD，∵∠ADB+∠CDE＝180°，∴∠CDE＝90°，∴∠ACD＝∠CAD＝45°，∵∠BAD＝α，∴∠DCE＝α，∴∠ACE＝45°﹣α，故选：C．【题型5全等三角形的性质（判断结论）】【例5】（2022•龙岗区模拟）如图，△ABC≌△A′B′C，且点B′在AB边上，点A′恰好在BC的延长线上，下列结论错误的是（）A．∠BCB′＝∠ACA′ B．∠ACB＝2∠B C．∠B′CA＝∠B′AC D．B′C平分∠BB′A′【分析】根据全等三角形的性质得出BC＝B′C，∠ACB＝∠A′CB′，∠B＝∠A′B′C，再逐个判断即可．【解答】解：∵△ABC≌△A′B′C，∴BC＝B′C，∠ACB＝∠A′CB′，∠B＝∠A′B′C，A．∵∠ACB＝∠A′CB′，∴∠ACB﹣∠ACB′＝∠A′CB′﹣∠ACB′，∴∠BCB′＝∠ACA′，故本选项不符合题意；B．∵BC＝B′C，∴∠B＝∠CB′B，∴∠A′CB′＝∠B+∠BB′C＝2∠B，∵∠ACB＝∠A′CB′，∴∠ACB＝2∠B，故本选项不符合题意；C．不能推出∠B′CA＝∠B′AC，故本选项符合题意；D．∵∠B＝∠BB′C，∠B＝∠A′B′C，∴∠A′B′C＝∠BB′C，即B′C平分∠BB′A′，故本选项不符合题意；故选：C．【变式5-1】（2021春•海口期末）如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论①AC＝AF，②∠FAB＝∠EAB，③EF＝BC，④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等结合图象解答即可．【解答】解：∵△ABC≌△AEF，∴AC＝AF，故①正确；∠EAF＝∠BAC，∴∠FAC＝∠EAB≠∠FAB，故②错误；EF＝BC，故③正确；∠EAB＝∠FAC，故④正确；综上所述，结论正确的是①③④共3个．故选：C．【变式5-2】（2021秋•新乐市期末）如图，△ABD≌△EBC，AB＝12，BC＝5，A，B，C三点共线，则下列结论中：①CD⊥AE；②AD⊥CE；③∠EAD＝∠ECD；正确的是【分析】根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．【解答】解：延长AD交EC于点N，延长CD交AE于点M，∵△ABD≌△EBC，∴∠ABD＝∠EBC，AB＝EB，BD＝BC，∠DAB＝∠CEB，∵∠ABD+∠EBC＝180°，∠BAE＝∠BEA，∠BDC＝∠BCD，∴∠ABD＝∠EBC＝90°，∴∠BAE＝∠BEA＝45°，∠BDC＝∠BCD＝45°，∴∠BAE+∠BCD＝90°，∴∠AMC＝90°，∴CD⊥AE，故①正确；∵∠CEB+∠ECB＝90°，∠BAD＝∠BEC，∴∠BAD+∠ECB＝90°，∴∠ANC＝90°，∴AD⊥CE，故②正确；∵∠ADB＝∠EAD+∠AED＝∠EAD+45°，∠ECB＝∠ECD+∠BCD＝∠ECD+45°，∠ADB＝∠ECB，∴∠EAD＝∠ECD，故③正确；故填：①②③．【变式5-3】（2021秋•五常市期末）如图，点E是CD上的一点，Rt△ACD≌Rt△EBC，则下结论：①AC＝BC，②AD∥BE，③∠ACB＝90°，④AD+DE＝BE，成立的有个．【分析】根据全等三角形的性质得出AC＝BE，CD＝BC，∠ACD＝∠CBE，∠D＝∠BCE，根据以上结论即可推出AC＜BC，∠D≠∠BED，∠ACB＝90°，AD+DE＝CD＝BC＞BE，即可判断各个小题．【解答】解：∵Rt△ACD≌Rt△EBC，∴AC＝BE，∵在Rt△BEC中，BE＜BC，∴AC＜BC，∴①错误；∵∠CAD＝∠CEB＝∠BED＝90°，∠D＜∠CAD，∴∠D≠∠BED，∴AD和BE不平行，∴②错误；∵Rt△ACD≌Rt△EBC，∴∠ACD＝∠CEE，∠D＝∠BCE，∵∠CAD＝90°，∴∠ACD+∠D＝90°，∴∠ACB＝∠ACD+∠BDE＝90°，∴③正确；∵Rt△ACD≌Rt△EBC，∴AD＝CE，CD＝BC，CD＝CE+DE＝AD+DE＝BC，∵BE＜BC，∴AD+DE＞BE，∴④错误；故答案为：1．【题型6全等三角形的性质（探究角度之间的关系）】【例6】（2022•长春二模）如图，△AOB≌△ADC，点B和点C是对应顶点，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（）A．α＝β B．α＝2β C．α+β＝90° D．α+2β＝180°【分析】根据全等三角形对应边相等可得AB＝AC，全等三角形对应角相等可得∠BAO＝∠CAD，然后求出∠BAC＝α，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出∠OBC，整理即可．【解答】解：∵△AOB≌△ADC，∴AB＝AC，∠BAO＝∠CAD，∴∠BAC＝∠OAD＝α，在△ABC中，∠ABC=12（180°﹣∵BC∥OA，∴∠OBC＝180°﹣∠O＝180°﹣90°＝90°，∴β+12（180°﹣整理得，α＝2β．故选：B．【变式6-1】（2021秋•林州市期末）如图，点D，E，F分别在△ABC的边AB，BC，CA上（不与顶点重合），设∠BAC＝α，∠FED＝θ．若△BED≌△CFE，则α，θ满足的关系是（）A．α+θ＝90° B．α+2θ＝180° C．α﹣θ＝90° D．2α+θ＝180°【分析】由∠BAC＝α，得∠B+∠C＝180°﹣α，根据△BED≌△CFE，即有∠B＝∠C＝90°-12α，∠BDE＝∠FEC，故∠FEC+∠BED＝90°+12α，从而90°+【解答】解：∵∠BAC＝α，∴∠B+∠C＝180°﹣α，∵△BED≌△CFE，∴∠B＝∠C＝90°-12α，∠BDE＝∠∴∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B＝180°﹣（90°-12α）＝90°+∴∠FEC+∠BED＝90°+12∵∠FED＝θ，∠FEC+∠BED+∠FED＝180°，∴90°+12α+∴α+2θ＝180°，故选：B．【变式6-2】（2022春•徐汇区校级期末）如图，N，C，A三点在同一直线上，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN等于（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：4【分析】利用三角形的三角的比，求出三角的度数，再进一步根据各角之间的关系求出∠BCM、∠BCN的度数可求出结果．【解答】解：在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10设∠A＝3x°，则∠ABC＝5x°，∠ACB＝10x°3x+5x+10x＝180解得x＝10则∠A＝30°，∠ABC＝50°，∠ACB＝100°∴∠BCN＝180°﹣100°＝80°又△MNC≌△ABC∴∠ACB＝∠MCN＝100°∴∠BCM＝∠NCM﹣∠BCN＝100°﹣80°＝20°∴∠BCM：∠BCN＝20°：80°＝1：4故选：D．【变式6-3】（2022•定远县模拟）如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D∥EB′∥BC，BE、CD交于点F，若∠BAC＝α，∠BFC＝β，则（）A．2α+β＝180° B．2β﹣α＝145° C．α+β＝135° D．β﹣α＝60°【分析】延长C′D交AC于M，如图，根据全等的性质得∠C′＝∠ACD，∠C′AD＝∠CAD＝∠B′AE＝α，再利用三角形外角性质得∠C′MC＝∠C′+∠C′AM＝∠C′+2α，接着利用C′D∥B′E得到∠AEB＝∠C′MC，而根据三角形内角和得到∠AEB′＝180°﹣∠B′﹣α，则∠C′+2α＝180°﹣∠B′﹣α，所以∠C′+∠B′＝180°﹣3α，利用三角形外角性质和等角代换得到∠BFC＝∠C＝α+∠C′+∠B′，所以∠BFC＝β＝180°﹣2α，进一步变形后即可得到答案．【解答】解：延长C′D交AC于M，如图，∵△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，∴∠C′＝∠ACD，∠C′AD＝∠CAD＝∠B′AE＝α，∴∠C′MC＝∠C′+∠C′AM＝∠C′+2α，∵C′D∥B′E，∴∠AEB′＝∠C′MC，∵∠AEB′＝180°﹣∠B′﹣∠B′AE＝180°﹣∠B′﹣α，∴∠C′+2α＝180°﹣∠B′﹣α，∴∠C′+∠B′＝180°﹣3α，∵β＝∠BFC＝∠BDF+∠DBF＝∠DAC+∠ACD+∠B'＝α+∠ACD+∠B′＝α+∠C′+∠B′＝α+180°﹣3α＝180°﹣2α，即：2α+β＝180°．故选：A．【题型7全等三角形的性质（动点问题）】【例7】（2021秋•柘城县期中）如图，∠C＝∠CAM＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，点P在线段AC上，以2cm/s速度从点A出发向点C运动，到点C停止运动．点Q在射线AM上运动，且PQ＝AB．若△ABC与△PQA全等，则点P运动的时间为（）A．4s B．2s C．2s或3s或4s D．2s或4s【分析】分△ABC≌△PQA和△ABC≌△QPA两种情况，根据全等三角形的性质解答即可．【解答】解：当△ABC≌△PQA时，AP＝AC＝8，∵点P的速度为2cm/s，∴8÷2＝4（s）；当△ABC≌△QPA时，当AP＝BC＝4，∵点P的速度为2cm/s，∴4÷2＝2（s）故选：D．【变式7-1】（2021春•浦东新区校级期末）△ABC中，AB＝AC＝12厘米，∠B＝∠C，BC＝9厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上