一维应变平面波课件

一维平面应变波,有：（6-1）第六章一维应变平面波

设均匀作用在横截面上，所有非零的应力分量和应变分量都只是X和t的函数.根据对称性，有(6-2)第1页/共60页控制方程以为未知函数的一阶偏微分方程组：(6-4a)(6-4b)或者可以得到以为未知函数的一阶偏微分方程组：第六章一维应变平面波第2页/共60页当以纵向位移为未知函数，有二阶偏微分方程组：(6-5)其中，为一维应变平面纵波波速第六章一维应变平面波第3页/共60页§6.2一维应变弹性波对于各向同性线弹性体，Hooke定律具有如下的形式：(6-6)第六章一维应变平面波第4页/共60页各应变分量定义如下：当式（6-6）以张量形式表示时，有(6-7)(6-8)第六章一维应变平面波第5页/共60页

和是Lame系数：引入体积应变及静水压力（即平均法应力之负值）(6-9)引入代表畸变的应变偏量和应力偏量(6-10)(6-11)(6-12)第六章一维应变平面波第6页/共60页广义Hooke定律：由此，一维应变()条件下的纵向应力应变关系为容变律部分畸变律部分(6-13)为体积模量：(6-14)(6-15)侧限弹性模量第六章一维应变平面波第7页/共60页将式(6-15)代入式(6-5)可知一维应变弹性纵波波速侧限应力为：(6-16)(6-17)①同号，三向受压或三向受拉.②一维应变弹性纵波速度比一维应力弹性纵波要快.第六章一维应变平面波在1.1-1.22之间。第8页/共60页③一维应变弹性纵波是各向同性、线弹性、无限介质中的平面无旋波。钢铜铝玻璃橡胶11295562810814526287*10-45.944.566.325.81.04第9页/共60页§6.3一维应变下的弹塑性本构关系屈服准侧可表示为：当计及应变硬化性能时，Y是塑性应变的函数：也可取作塑性功的函数而一维应力下的塑性功为应力对塑性应变的导数第六章一维应变平面波(6-20)(6-22)(6-23)(6-21)第10页/共60页可见假定总应变是弹性部分和塑性部分之和且弹性阶段有塑性阶段，根据式(6-22)(6-23)，应有由此可知一维应力下塑性变形阶段曲线的斜率可表示为称为塑性硬化模量，等于常数时即为线性硬化材料。(6-24)(6-25)(6-26)(6-27)第六章一维应变平面波第11页/共60页

在三维应力的一般情况下，假定材料各向相同性的，静水压力对屈服没有影响，以及Bauschinger效应可以忽略，则最常用的两个屈服准则有：Mises准则（最大畸变能准则）和Tresca准则（最大切应力准则）Mises准则：(弹性畸变能达到临界值时材料开始塑性变形).(6-28)第七章一维应变平面波第12页/共60页Tresca准则:(最大切应力达到临界值是材料开始塑性变形)。(6-29)在一维应变条件下，这两个屈服准则具有相同的形式：(7-30)理想塑性材料(Y=Y0)屈服轨迹是固定不变的;2)对于各向同性硬化材料，则屈服轨迹的上下界将随着塑性变形或塑性功的增加，保持与静水压力线对称并且平行地向外扩大。第13页/共60页Hugoniot弹性极限:一维应变条件下对轴向应力而言的初始屈服极限为

(6-31)第七章一维应变平面波第14页/共60页假定塑性变形对体积变形没有贡献，即

则容变律完全是弹性性质的，再结合

则一维应变条件下的弹塑性应力应变关系可写为：容变律：畸变律：(6-34)(6-33)(6-35)(6-32)第15页/共60页加载时的轴向弹塑性应力应变关系(6-36)第16页/共60页1)理想塑性材料，

2)各向同性硬化材料，为确定，实际上也是确定畸变律的斜率，即。

由一维应变条件下变形的对称性，及塑性变形对体积变形无贡献的假定式（6-32）可知，三个塑性主应变中只有一个是独立的，即：

(6-38)(6-37)第17页/共60页当作为轴向塑性应变的函数，计及应变硬化时，由式(6-35)中的畸变律可知在弹性阶段和塑性阶段分别有：

假定总应变是弹性部分和塑性部分之和，有：

定义畸变律塑性段曲线的斜率之半为塑性剪切刚度，则有(6-40)(6-39)第18页/共60页当作为塑性功的函数时,由于一维应变条件下有

因而可得

塑性剪切模量可写作：

各向同性硬化材料在一维应变条件下的轴向应力应变关系的斜率可表示为

(6-41)(6-42)第19页/共60页反向弹性加载；反向屈服；反向塑性加载；加卸载轨迹：第20页/共60页§6.4一维应变弹塑性波一维应变条件下的关系，是以假定弹性变形部分服从Hooke定律为前提的。在此基础上，来讨论一维应变弹塑性波的传播。在加载阶段，一维应变弹性波波速按式为塑性波波速为由于，因而由上式可知，从而有第21页/共60页理想塑性材料:

1、应力应变关系的塑性段是水平线，应力应变之间不再具有一一对应的关系。2.一维应变情况,可以用应变率无关理论来处理应力波问题;轴向应力和轴向应变之间则具有对应的单值函数关系，而且在塑性段呈线性，其斜率取决于k.

第22页/共60页2、一般情况下，一维应变塑性波波速是塑性应变或塑性功的函数。对于线性硬化材料和理想塑性材料，塑性波速为常数，分别以和表述为：

3、在一维应力下，塑性波速一般比弹性波速小得多，可相差一个量级。而一维应变下的塑性波速则较高，其下限是理想塑性假定下的体波波速。如果，体波波速接近于杆中的弹性纵波波速，。(6-47)第23页/共60页4.在卸载阶段，初始是弹性卸载，按式(6-44)卸载扰动以无限介质中弹性纵波波速传播。由于，即弹性卸载扰动传播得比塑性加载扰动快，因此和一维应力中情况一样，视情况的不同存在有追赶卸载和迎面卸载等问题。不过，由于比大得不多，在追赶卸载过程中塑性加载波的衰减较一维应力波中的要慢。

第24页/共60页5.和一维应力波相比，一维应变弹塑性波的一个最具特色的问题是在尚未卸到零而满足反向塑性屈服条件时(见式7-30)，将传播所谓反向塑性加载波。在反向塑性加载阶段，既然塑性波速小于弹性波速，即晚传播的反向塑性加载扰动比早传播的弹性卸载扰动传播得慢，因此这两波阵面的距离在传播过程中将愈拉愈远。第25页/共60页§7.6固体高压状态方程前面所讨论的一维应变弹塑性波，都以材料的弹性变形部分遵循Hooke定律为前提。显然，这只在小应变的条件下成立。在较高压力、较大变形时，弹性模量实际上不再是常数，而是应变或应力的函数。这时，本构方程中的弹性变形部分也是非线性的。由于在高压下，固体材料抗畸变的能力(即剪切强度)常可近似地忽略不计，因而本构关系中的畸变律部分也就可暂时忽略不计，而只考虑容变律部分。换言之，此时本构关系就简化成了静水压力和体积应变或比体积之间的关系，也称为固体高压状态方程。相当于把高压下固体材料看成如同无粘性的可压缩流体一样第26页/共60页实际上，固体高压状态方程不仅在固体剪切强度可忽略的高压下，对于固体中冲击波的研究是必需的；而且在固体剪切强度不可忽略的条件下，对于非线性弹塑性波的传播的研究，也是必不可少的。

对体积应变，按工程应变来定义，记作，有

式中：是材料初始化比体积（）

相应的体积模量为

这是以Lagrange观点来描述的体积模量，可称为Lagrange体积模量。(6-48)(6-49)第27页/共60页如果体积应变按对数应变（真应变）来定义，记作，有：

相应的体积模量为

这是以Euler观点来描述的体积模量，称为Euler体积模量。

显然，和之间有如下关系：

(6-50)(6-51)(6-52)一维应变条件下第28页/共60页Bridgman方程P.W.Bridgman（1949）曾对数十种元素和化合物在高达1GPa~10GPa（104bar~105bar）的静高压条件下研究了它们的体积压缩随静压力变化的情况。根据试验测定结果，提出了如下经验公式：(6-54)第29页/共60页由式(6-54)可求得体积模量作为静水压的函数关系：

(6-55)可见，随着的增加而增大，如图所示。

凹曲线的形式反映了固体材料对体积压缩的抗力随压缩变形程度的增大而增大，从而愈来愈难压缩这一物理图像。第30页/共60页由于约为10-5bar-1~10-6bar-1量级，式(6-55)表明至少需要0.1GPa~1GPa(103bar~104bar)量级的压力，才变化约1%。这说明了为什么通常只在高压下才计及弹性容变律的非线性特则。当时，把式(6-55)展开为幂级数并忽略高阶小量后可得:

可见相当于低压时线弹性容变律的体积模量，而是当近似作为的线性函数是表征随的变化率系数

有时也采用其它函数形式的关系，利用Bridgman的试验数据进行曲线拟合来确定有关的材料常数。(6-56)第31页/共60页D.C.Pack,W.M.Evans,H.J.Jane(1948)在固体物理理论分析的基础上建议采用如下的关系：

在一维应变条件下，由于，上式化为：(6-57a)(6-57b)第32页/共60页Murnagham方程

如果从Euler体积模量定义式(6-51)出发，并类似于式(6-56)来考察随线性变化的情况，即设

式中：和均为材料常数，则关系归结为解常微分方程：

这里。根据初始条件可解得：

(6-58)(6-59b)(6-59a)第33页/共60页在一维应变条件下则化为：

式(6-59a)在形式上与理想气体的等熵方程相类似。

因此，式(6-59)通常称为Murnagham方程或固体等熵状态方程。式中材料常数和常由等熵条件下的波传播实验测试来确定。对于金属，的典型值为4.(6-59c)第34页/共60页Grüneisen方程

Bridgman方程和Murnagham方程分别描述了等温过程和等熵过程的关系，因而它们都只是特定热力学条件下的固体状态方程，不足以描述当温度T或熵S有变化时的更一般条件下的材料各状态参量间的相互关系。也就是说，一般条件下的固体状态方程不是能由和两个状态参量间的关系所能代表的，必须考虑，和其他热力学参量间的关系。

例如，可以采用一系列不同温度下的Bridgman方程（等温p-V曲线），或一系列不同熵值下的Murnagham方程（等熵p-V曲线）来描述。第35页/共60页温度形式的状态方程

熵形式的状态方程

显然，Bridgman方程只不过是曲面与恒温平面的截线，而Murnagham方程只不过是曲面与恒熵平面的截线。这些截线的斜率则分别确定了等温体积模量和等熵体积模量。(6-60)热力学状态量第36页/共60页上两式对于高压下固体中的冲击波研究来说，都是不太适用的。因为结合前面关于冲击波波阵面上质量守恒、动量守恒和能量守恒条件的讨论，这些守恒方程所涉及到的状态参量，在忽略材料畸变的情况下，只包含静水压力、比体积和内能，而并未直接涉及到温度T或熵S。所以，比较方便的是采用把、、三者联系起来的所谓内能形式的状态方程：

或等价地：

引入如下定义的新参量：

称为Grüneisen系数。(6-61)第37页/共60页Grüneisen系数代表在定容条件下压力对于单位体积内能的变化率，即定容条件下每增加单位体积内能时增加的压力值。

根据热力学第一、第二定律，有：

对于等容过程有

这里是定容比热容；另一方面，等容条件下还有

因而

(6-63)(6-62)第38页/共60页于是;

上式给出了由易于测定的热力学参量、和来确定Grüneisen系数的基本关系式。几种元素的参数可以计算出来。

假定只是函数：

对式(6-61)积分后可得

或改写为

Mie-Grüneisen状态方程(6-64)(6-65a)(6-65b)第39页/共60页

内能两部分组成：与温度无关的冷能和与温度相关的热能；冷能：0k时的内能；晶格势能（弹性能）；分子（离子，原子）间相互作用能，零点振动能等；热能：晶格动能，晶格热振动和电子热激活能；

不完全状态方程：利用，不能由热力学基本关系式直接得到其余各状态量，必须辅助其他热力学数据（如比容）。一般测量材料，再理论计算物态方程，半经验半理论方法。第40页/共60页§6.7高压下固体中的冲击波在固体剪切强度可以忽略的高压下，固体可当作非粘性可压缩流体来处理，只需计及固体高压状态方程与气体状态方程的差别。这种近似处理方法称为流体动力学近似。§6.7.1冲击突跃条件Lagrange形式高压下的固体,按流体动力学近似,可忽略与畸变有关的项。冲击突跃条件为Rankine-Hugoniot关系一维应力下的变形(6-66)第41页/共60页Euler形式设平面冲击波以空间波速D沿空间坐标x轴方向传播，如图.固定空间坐标系下的Euler形式的冲击突跃条件冲击波波阵面(6-67)第42页/共60页1）质量守恒条件，通过波阵面的质量流率守恒，即有：或2）动量守恒条件：则有3）能量守恒：第43页/共60页如果参考坐标系随冲击波前方的质点一起运动，则冲击波相对于其前方质点的相对空间波速为：代入式(6-67)，并且，那么，运动空间坐标系下Euler形式的R-H关系是(6-68)冲击波前未压缩；静止状态第44页/共60页五个未知参量：终态和冲击波波速A材料B材料对于一定的材料，在给定的初始条件和边界条件下，平面冲击波传播问题是定解的。在撞击界面有：第45页/共60页§6.7.2冲击绝热线冲击绝热线（Hugoniot线）：如果不具体规定边界条件，则对于一定的平衡初态，R-H关系连同状态方程一起给出了它们所包含的五个未知参量中任意两参量间的关系，例如，关系等等。最常用的有三种：第46页/共60页（1）

Hugoniot线JonesOE，1972特点：1）冲击突跃过程是一个非平衡的不可逆过程，冲击绝热线实际上只代表对于一定的平衡初态（称为Hugoniot线的心点）通过冲击突跃所可能达到的平衡终态点的轨迹，而并不表示材料在这一冲击突跃过程中所经历的相继的状态点。第47页/共60页2）冲击波的波速取决于Rayleigh线的斜率，Rayleigh线下的面积恰好代表冲击波波阵面上的内能突跃值。

3）初态和终态为热力学平衡态外，其余均为非平衡态。4）对于一定的材料，物质波速将完全由Rayleigh线斜率所定，但空间波速则还同时取决于冲击波波阵面前方的初态密度。第48页/共60页冲击突跃是不可逆熵增的过程微分：Rayleigh斜率上凹终态B斜率结论：第49页/共60页Hugoniot线与等熵绝热线以及等温线的关系

沿着Hugoniot线作对的全微分：

正常情况下：

压缩过程中与同号，因此上式表明：

如果，则有第50页/共60页Hugoniot线AB在经过初态点A的等熵线的上方，但在经过终态点B的等熵线的下方。

如果，则Hugoniot线斜率和等熵线斜率之差进一步增大，结论不变。

Rayleigh线AB与膨胀等熵线BC之间所包围的面积（阴影部分）正代表冲击突跃过程中不可逆的能量耗散，也表明冲击突跃是一个具有不可逆熵增的过程。第51页/共60页冲击压缩过程：从A到B过程中比内能变化（面积MABN）：等熵压缩过程中比内能变化（面积MAQN）冲击压缩过程与等熵古成中比内能变化之差（面积AFBQA