2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列专题24.5 圆内接四边形【六大题型】（举一反三）（人教版）含解析

2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列专题24.5圆内接四边形【六大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1利用圆内接四边形的性质求角度】 1【题型2利用圆内接四边形的性质求线段长度】 2【题型3利用圆内接四边形的性质求面积】 3【题型4利用圆内接四边形判的性质断结论的正误】 4【题型5利用圆内接四边形的性质进行证明】 5【题型6利用圆内接四边形的性质探究角或线段间的关系】 7【知识点1圆内接四边形】圆的内接四边形对角互补四边形是的内接四边形【题型1利用圆内接四边形的性质求角度】【例1】（2022•自贡）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD的度数是（）A．90° B．100° C．110° D．120°【变式1-1】（2022•云州区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD．当四边形OBCD是菱形时，则∠OBA+∠ODA的度数是（）A．65° B．60° C．55° D．50°【变式1-2】（2022•蜀山区校级三模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE．若∠BCD＝2∠BAD，若连接OD，则∠DOE的度数是．【变式1-3】（2022秋•包河区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1+∠2＝64°，∠3+∠4＝°．【题型2利用圆内接四边形的性质求线段长度】【例2】（2022•碑林区校级四模）如图所示，四边形ABCD是圆O的内接四边形，∠A＝45°，BC＝4，CD＝22，则弦BD的长为（）A．25 B．35 C．10 D．210【变式2-1】（2022•延边州二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，过B点作BH⊥AD于点H，若∠BCD＝135°，AB＝4，则BH的长度为（）A．2 B．22 C．32 D．不能确定【变式2-2】（2022•宁津县模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是（）A．(3，1) B．(-3，1) C．【变式2-3】（2022秋•汉川市期中）已知M是弧CAB的中点，MP垂直于弦AB于P，若弦AC的长度为x，线段AP的长度是x+1，那么线段PB的长度是．（用含有x的代数式表示）【题型3利用圆内接四边形的性质求面积】【例3】（2022•贺州模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC：∠ADC＝2：1，AB＝2，点C为BD的中点，延长AB、DC交于点E，且∠E＝60°，则⊙O的面积是（）A．π B．2π C．3π D．4π【变式3-1】（2022秋•青山区期中）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠AOD+∠BOC＝180°．若AD＝2，BC＝6，则△BOC的面积为（）A．3 B．6 C．9 D．12【变式3-2】（2022•鹿城区模拟）如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AB＝AD，点E在CD的延长线上，且DE＝BC，连接AE，若AE＝4，则四边形ABCD的面积为．【变式3-3】（2022•碑林区校级一模）如图，已知AC＝22，以AC为弦的⊙O上有B、D两点，且∠BAC＝∠DAC，则四边形ABCD的面积最大值为．【题型4利用圆内接四边形判的性质断结论的正误】【例4】（2022•银川模拟）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD把它的4个内分角成8个角，用下列关于角的等量关系不一定成立的是（）A．∠1＝∠4 B．∠1+∠2+∠3+∠5＝180° C．∠4＝∠7 D．∠ADC＝∠2+∠5【变式4-1】（2022秋•西湖区校级期中）若四边形ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立（）A．∠A：∠B：∠C：∠D＝1：2：3：4 B．∠A：∠B：∠C：∠D＝2：3：1：4 C．∠A：∠B：∠C：∠D＝3：1：2：4 D．∠A：∠B：∠C：∠D＝4：3：2：1【变式4-2】（2022•南皮县模拟）如图，已知四边形ABEC内接于⊙O，点D在AC的延长线上，CE平分∠BCD交⊙O于点E，则下列结论中一定正确的是（）A．AB＝AE B．AB＝BE C．AE＝BE D．AB＝AC【变式4-3】（2022•碑林区校级模拟）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，CP交AB于点E．（1）判断△ABC的形状，证明你的结论；（2）①若P是AB的中点，求证：PC＝PA+PB；②若点P在AB上移动，判断PC＝PA+PB是否成立，证明你的结论【题型5利用圆内接四边形的性质进行证明】【例5】（2022•思明区校级一模）已知四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝90°，P为CD上一动点（不与点C，D重合）．（1）若∠BPC＝30°，BC＝3，求⊙O的半径；（2）若∠A＝90°，AD=AB，求证：PB﹣PD=【变式5-1】（2022秋•陵城区期末）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，如图2，四边形ABCD内接于⊙O，AD=BD，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．【变式5-2】（2022•龙岩模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E．（1）若∠ADC＝86°，求∠CBE的度数；（2）若AC＝EC，求证：AD＝BE．【变式5-3】（2022•天津）如图，⊙O和⊙O′都经过A、B两点，过B作直线交⊙O于C，交⊙O′于D，G为圆外一点，GC交⊙O于E，GD交⊙O′于F．求证：∠EAF+∠G＝180°．【题型6利用圆内接四边形的性质探究角或线段间的关系】【例6】（2022春•涟水县校级期末）如图1，已知△ABC，AB＝AC，以边AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE．（1）求证：DE＝DC．（2）如图2，连接OE，将∠EDC绕点D逆时针旋转，使∠EDC的两边分别交OE的延长线于点F，AC的延长线于点G．试探究线段DF、DG的数量关系．【变式6-1】（2022•赤峰）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AB＝AC．（1）若∠BAC＝40°，求∠ADC的度数；（2）若BD⊥AC交AC于点E，请判断∠BAC和∠DAC之间的数量关系，并证明．【变式6-2】（2022秋•香洲区校级期中）画∠A，在∠A的两边分别取点B，点C，在∠A的内部取一点P，连接PB，PC．探索BPC与∠A，∠B，∠C之间的数量关系，并证明你的结论．【变式6-3】（2022•阜宁县二模）我们学过圆内接四边形，学会了它的性质；圆内接四边形对角互补．下面我们进一步研究．（1）在图（1）中．∠ECD是圆内接四边形ABCD的一个外角．请你探究∠DCE与∠A的关系．并说明理由．（2）请你应用上述结论解答下题：如图（2）已知ABCD是圆内接四边形，F、E分别为BD，AD延长线上的点．如果DE平分∠FDC．求证：AB＝AC．专题24.6直线与圆的位置关系及切线的判定与性质【十大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1已知距离及半径判断直线与圆的位置关系】 2【题型2已知直线与圆的位置关系确定取值范围】 4【题型3根据直线与圆的位置关系确定交点个数】 6【题型4利用直线与圆的位置关系求最值】 9【题型5定义法判断切线】 13【题型6切线的判定（连半径证垂直）】 15【题型7切线的判定（作垂直证半径）】 19【题型8利用切线的性质求线段长度】 23【题型9利用切线的性质求角度】 27【题型10利用切线的判定与性质的综合运用】 30【知识点1直线与圆的位置关系】直线与圆的位置关系设的半径为，圆心到直线的距离为则有：相交：直线和圆有两个公共点直线和相交相切：直线和圆只有一个公共点直线和相切相离：直线和圆没有公共点直线和相离【题型1已知距离及半径判断直线与圆的位置关系】【例1】（2022春•金山区校级月考）已知同一平面内有⊙O和点A与点B，如果⊙O的半径为6cm，线段OA＝10cm，线段OB＝6cm，那么直线AB与⊙O的位置关系为（）A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．【解答】解：∵⊙O的半径为6cm，线段OA＝10cm，线段OB＝6cm，即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，∴点A在⊙O外．点B在⊙O上，∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，故选：D．【变式1-1】（2022秋•韶关期末）已知⊙O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为5，那么直线l与⊙O的位置关系是（）A．直线l与⊙O相交 B．直线l与⊙O相切 C．直线l与⊙O相离 D．无法确定【分析】根据“若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离”即可得到结论．【解答】解：∵⊙O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为5，3＜5，∴直线l与⊙O相离．故选：C．【变式1-2】（2022秋•川汇区期末）在平面直角坐标系中，原点为O，点P在函数y=14x2-1的图象上，以点PA．相离 B．相切 C．相交 D．三种情况均有可能【分析】设P（t，14t2﹣1），利用两点间的距离公式计算出OP=14t2+1，再计算出P点到直线y＝﹣2的距离为14t【解答】解：设P（t，14t2∴OP=t2+(∵抛物线的顶点坐标为（0，﹣1），∴P点在直线y＝﹣2的上方，∴P点到直线y＝﹣2的距离为14t2﹣1﹣（﹣2）=14∴P点到直线y＝﹣2的距离等于圆的半径，∴以点P为圆心，以OP为半径的圆与直线y＝﹣2的位置关系是相切．故选：B．【变式1-3】（2022秋•自贡期末）如图，⊙O的半径为5，圆心O到一条直线的距离为2，则这条直线可能是（）A．l1 B．l2 C．l3 D．l4【分析】利用直线与圆的位置的判定方法进行判断．【解答】解：∵直线l1与⊙O相切，∴圆心O到一条直线l1的距离为5，∵直线l2与⊙O相离，∴圆心O到一条直线l2的距离大于5，∵直线l3与l4与⊙O相交，∴圆心O到一条直线l3和直线l4的距离都小于5，而圆心O到直线l3的距离较小，∴圆心O到一条直线的距离为2，这条直线可能是直线l3．故选：C．【题型2已知直线与圆的位置关系确定取值范围】【例2】（2022秋•北仑区期末）⊙O的半径为5，若直线l与该圆相交，则圆心O到直线l的距离可能是（）A．3 B．5 C．6 D．10【分析】根据直线l和⊙O相交⇔d＜r，即可判断．【解答】解：∵⊙O的半径为5，直线l与⊙O相交，∴圆心D到直线l的距离d的取值范围是0≤d＜5，故选：A．【变式2-1】（2022•松江区校级模拟）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以点C为圆心的圆与斜边AB有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是（）A．0≤r≤125 B．125≤r≤3 C．125≤【分析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，∵AC＝3，BC＝4．如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，∴AB＝5，当直线与圆相切时，d＝r，圆与斜边AB只有一个公共点，圆与斜边AB只有一个公共点，∴CD×AB＝AC×BC，∴CD＝r=12当直线与圆如图所示也可以有交点，∴125≤故选：C．【变式2-2】（2022秋•丛台区校级期中）已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，以点B为圆心r为半径作圆，且⊙B与边CD有唯一公共点，则r的取值范围为（）A．3≤r≤4 B．3≤r＜5 C．3≤r＜4 D．3≤r≤5【分析】由于BD＞AB＞BC，根据点与圆的位置关系得到3≤r≤5．【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，∴BD＝AC=AB2+BC2=5，AD∵以点B为圆心作圆，⊙B与边CD有唯一公共点，∴⊙B的半径r的取值范围是：3≤r≤5；故选：D．【变式2-3】（2022秋•丛台区校级期中）以坐标原点O为圆心，作半径为4的圆，若直线y＝﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（）A．0≤b＜22 B．﹣42≤b≤42 C．﹣22＜b＜22 D．﹣42＜【分析】求出直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限，和当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时b的值，则相交时b的值在相切时的两个b的值之间．【解答】解：当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图．在y＝﹣x+b中，令x＝0时，y＝b，则与y轴的交点是B（0，b），当y＝0时，x＝b，则与y轴的交点是A（b，0），则OA＝OB＝b，即△OAB是等腰直角三角形，在Rt△ABC中，AB=OA连接圆心O和切点C，则OC＝4，OC⊥AB，∵S△AOB=12OA•OB=12∴4=OA⋅OB则b＝42；同理，当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b＝﹣42；则若直线y＝﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是﹣42＜b＜42故选：D．【题型3根据直线与圆的位置关系确定交点个数】【例3】（2022秋•武汉期末）已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．无法确定【分析】利用直线与圆的位置关系的判断方法得到直线l和⊙O相离，然后根据相离的定义对各选项进行判断．【解答】解：∵⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，即圆心O到直线l的距离大于圆的半径，∴直线l和⊙O相离，∴直线l与⊙O没有公共点．故选：A．【变式3-1】（2022秋•武汉期末）直角△ABC，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以A为圆心，4.8长度为半径的圆与直线BC的公共点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．不能确定【分析】根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行判断．若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，∴BC＝10，∴斜边上的高为：AB⋅ACBC∴d＝4.8cm＝rcm＝4.8cm，∴圆与该直线BC的位置关系是相切，交点个数为1，故选：B．【变式3-2】（2022•武汉模拟）一个圆的半径是5cm，如果圆心到直线距离是4cm，那么这条直线和这个圆的公共点的个数是（）个．A．0 B．1 C．2 D．0或1或2【分析】根据当圆的半径r＞圆心到直线的距离d时，直线与圆相交，即可得出直线l和这个圆的公共点的个数．【解答】解：∵圆的半径是5cm，如果圆心到直线距离是4cm，∴r＞d，∴直线与圆相交，∴这条直线和这个圆的公共点的个数为2．故选：C．【变式3-3】（2022秋•沭阳县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以点C为圆心，r为半径画圆．（1）当r＝2.4时，⊙C与边AB相切；（2）当r满足3＜r≤4或r＝2.4时，⊙C与边AB只有一个交点；（3）随着r的变化，⊙C与边AB的交点个数还有哪些变化？写出相应的r的值或取值范围．【分析】（1）当⊙C与边AB相切时，则d＝r，由此求出r的值即可；（2）根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案；（3）随着r的变化，⊙C与边AB的交点个数由0个、1个、2个三种情况．【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB于点D，∵AC＝3，BC＝4．如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，∴AB＝5，当直线与圆相切时，d＝r，圆与斜边AB只有一个公共点，圆与斜边AB只有一个公共点，如图1，∴CD×AB＝AC×BC，∴CD＝r＝2.4，故答案为：r＝2.4．（2）①当直线与圆相切时，即d＝r＝2.4，圆与斜边AB只有一个公共点，圆与斜边AB只有一个公共点，②当直线与圆如图所示也可以有一个交点，如图2，∴3＜r≤4，故答案为：3＜r≤4或r＝2.4；（3）①如图3，当0≤r＜2.4时，圆C与边AB有0个交点；②如图1，当r＝2.4时，圆C与边AB有1个交点；③如图4，当2.4＜r≤3时，圆C与边AB有2个交点；④如图2，当3＜r≤4时，圆C与边AB有1个交点；⑤如图5，当r＞4时，圆C与边AB有0个交点；综上所述，当0≤r＜2.4或r＞4时，圆C与边AB有0个交点；当3＜r≤4或r＝2.4时，圆C与边AB有1个交点；当2.4＜r≤3时，圆C与边AB有2个交点．【题型4利用直线与圆的位置关系求最值】【例4】（2022秋•常熟市期中）如图，直线y=34x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是以C（1，0）为圆心，1为半径的圆上任意一点，连接PA，PB，则△A．5 B．10 C．15 D．20【分析】作CH⊥AB于H交⊙O于E、F．当点P与E重合时，△PAB的面积最小，求出EH、AB的长即可解决问题【解答】解：作CH⊥AB于H交⊙O于E、F．∵C（1，0），直线AB的解析式为y=34∴直线CH的解析式为y=-43x由y=-43x+∴H（-45，∴CH=(1+∵A（4，0），B（0，3），∴OA＝4，OB＝3，AB＝5，∴EH＝3﹣1＝2，当点P与E重合时，△PAB的面积最小，最小值=1故选：A．【变式4-1】（2022秋•凉山州期末）点A是半径为2的⊙O上一动点，点O到直线MN的距离为3．点P是MN上一个动点．在运动过程中若∠POA＝90°，则线段PA的最小值是13．【分析】根据勾股定理用OP表示出PA，根据垂线段最短解答即可．【解答】解：∵∠POA＝90°，∴PA=O当OP最小时，PA取最小值，由题意得：当OP⊥MN时，OP最小，最小值为3，∴PA的最小值为：4+3故答案为：13．【变式4-2】（2022•乐亭县一模）如图，⊙O的半径是5，点A在⊙O上．P是⊙O所在平面内一点，且AP＝2，过点P作直线l，使l⊥PA．（1）点O到直线l距离的最大值为7；（2）若M，N是直线l与⊙O的公共点，则当线段MN的长度最大时，OP的长为21．【分析】（1）如图1，当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l距离的最大，于是得到结论；（2）如图2，根据已知条件得到线段MN是⊙O的直径，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）如图1，∵l⊥PA，∴当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l的距离最大，最大值为AO+AP＝5+2＝7；（2）如图2，∵M，N是直线l与⊙O的公共点，当线段MN的长度最大时，线段MN是⊙O的直径，∵l⊥PA，∴∠APO＝90°，∵AP＝2，OA＝5，∴OP=O故答案为：7，21．【变式4-3】（2022•广汉市模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，点D为线段BC上一动点．以CD为⊙O直径，作AD交⊙O于点E，连BE，则BE的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】连接CE，可得∠CED＝∠CEA＝90°，从而知点E在以AC为直径的⊙Q上，继而知点Q、E、B共线时BE最小，根据勾股定理求得QB的长，即可得答案．【解答】解：如图，连接CE，∴∠CED＝∠CEA＝90°，∴点E在以AC为直径的⊙Q上，∵AC＝10，∴QC＝QE＝5，当点Q、E、B共线时BE最小，∵BC＝12，∴QB=B∴BE＝QB﹣QE＝8，故选：B．【知识点2切线的判定】（1）切线判定：=1\*GB3①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线=2\*GB3②和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）=3\*GB3③如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线（2）切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．【题型5定义法判断切线】【例5】（2022•淮安模拟）下列直线中，一定是圆的切线的是（）A．过半径外端的直线 B．与圆心的距离等于该圆半径的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆有公共点的直线【分析】根据选项举出反例图形即可判断A、C、D；根据切线的判定即可判断B．【解答】解：切线的判定定理有：①经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，②与圆心的距离等于该圆的半径的直线是圆的切线，A、如图EF不是⊙O的切线，故本选项错误；B、与圆心的距离等于该圆的半径的直线是圆的切线，故本选项正确；C、如图，EF⊥半径OA，但EF不是⊙O的切线，故本选项错误；D、如上图，EF⊙O有公共点，但EF不是⊙O的切线，故本选项错误；故选：B．【变式5-1】（2022秋•嘉定区期末）下列四个选项中的表述，正确的是（）A．经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 B．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 D．经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线【分析】根据切线的判定对各个选项进行分析，从而得到答案．【解答】解：由切线的判定定理可知：经过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线，故A，B，D选项不正确，C选项正确，故选：C．【变式5-2】（2022秋•东台市校级月考）下列命题：（1）垂直于半径的直线是圆的切线．（2）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．（3）到圆心距离等于半径的直线是圆的切线．（4）和三角形三边所在直线都相切的圆有且只有一个．其中不正确的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．1个【分析】利用切线的性质进行判断后即可得到答案．【解答】解：（1）过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，原命题错误．（2）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，原命题正确．（3）到圆心距离等于半径的直线是圆的切线，正确．（4）和三角形三边所在直线都相切的圆有且只有四个，原命题错误．故选：A．【变式5-3】（2022秋•慈溪市期末）已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点P（点E，F在点P的两旁），下列条件能判定直线EF与⊙O相切的是（）A．OP＝5 B．OE＝OF C．O到直线EF的距离是4 D．OP⊥EF【分析】根据切线的判定定理可求得需要满足和条件，即可求得答案．【解答】解：∵点P在⊙O上，∴只需要OP⊥EF即可，故选：D．【题型6切线的判定（连半径证垂直）】【例6】（2022•顺德区一模）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠ADB＝∠BDC＝60°，过点A作AE∥BC交CD延长线于点E．（1）求∠ABC的大小；（2）证明：AE是⊙O的切线．【分析】（1）根据圆周角定理得到∠CAB＝∠BDC＝60°，∠ACB＝∠ADB＝60°，根据等边三角形的性质解答即可；（2）连接AO并延长交BC于F，根据垂径定理的推论得到AF⊥BC，根据平行线的性质得到AF⊥AE，根据切线的判定定理证明结论．【解答】（1）解：由圆周角定理得：∠CAB＝∠BDC＝60°，∠ACB＝∠ADB＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°；（2）证明：连接AO并延长交BC于F，∵AB＝AC，∴AB=∴AF⊥BC，∴AF⊥AE，∵OA是⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线．【变式6-1】（2022•昭平县一模）如图，AB是⊙O的弦，OP⊥AB交⊙O于C，OC＝2，∠ABC＝30°．（1）求AB的长；（2）若C是OP的中点，求证：PB是⊙O的切线．【分析】（1）连接OA、OB，根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠ABC＝60°，则∠OAD＝30°，所以OD=12OA＝1，AD=3OD=3，再根据垂径定理得AD＝BD，所以（2）由（1）∠BOC＝60°，则△OCB为等边三角形，所以BC＝OB＝OC，∠OBC＝∠OCB＝60°，而CP＝CO＝CB，则∠CBP＝∠P，可计算出∠CBP＝30°，所以∠OBP＝∠OBC+∠CBP＝90°，于是根据切线的判定定理得PB是⊙O的切线．【解答】（1）解：连接OA、OB，如图，∵∠ABC＝30°，OP⊥AB，∴∠AOC＝60°，∴∠OAD＝30°，∴OD=12OA∴AD=3OD=又∵OP⊥AB，∴AD＝BD，∴AB＝23；（2）证明：由（1）∠BOC＝60°，而OC＝OB，∴△OCB为等边三角形，∴BC＝OB＝OC，∠OBC＝∠OCB＝60°，∴C是OP的中点，∴CP＝CO＝CB，∴∠CBP＝∠P，而∠OCB＝∠CBP+∠P，∴∠CBP＝30°∴∠OBP＝∠OBC+∠CBP＝90°，∴OB⊥BP，∴PB是⊙O的切线．【变式6-2】（2022春•朝阳区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的圆O分别交AB，AC于点E，F，连接EF．求证：BC是圆O的切线．【分析】连接OD，根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得出∠CAD＝∠ODA，根据平行线的判定得出OD∥AC，求出OD⊥BC，再根据切线的判定推出即可．【解答】证明：连接OD，∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠OAD，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴AC⊥BC，∴OD⊥BC，∵OD过圆心O，∴BC是圆O的切线．【变式6-3】（2022秋•武夷山市期末）如图，点P是⊙O的直径AB延长线上的一点（PB＜OB），点E是线段OP的中点．在直径AB上方的圆上作一点C，使得EC＝EP．求证：PC是⊙O的切线．【分析】连接OC，根据线段中点的定义得到OE＝EP，求得OE＝EC＝EP，得到∠COE＝∠ECO，∠ECP＝∠P，根据切线的判定定理即可得到结论．【解答】证明：连接OC，∵点E是线段OP的中点，∴OE＝EP，∵EC＝EP，∴OE＝EC＝EP，∴∠COE＝∠ECO，∠ECP＝∠P，∵∠COE+∠ECO+∠ECP+∠P＝180°，∴∠ECO+∠ECP＝90°，∴OC⊥PC，∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线．【题型7切线的判定（作垂直证半径）】【例7】（2022•武汉模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3．（1）求证：AC是⊙D的切线；（2）求线段AC的长．【分析】（1）过点D作DF⊥AC于F，求出BD＝DF等于半径，得出AC是⊙D的切线．（2）先证明△BDE≌△DCF（HL），根据全等三角形对应边相等及切线的性质的AB＝AF，得出AB+EB＝AC．【解答】证明：（1）过点D作DF⊥AC于F；∵AB为⊙D的切线，∴∠B＝90°∴AB⊥BC∵AD平分∠BAC，DF⊥AC∴BD＝DF∴AC与⊙D相切；（2）在△BDE和△DCF中；∵BD＝DF，DE＝DC，∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），∴EB＝FC．∵AB＝AF，∴AB+EB＝AF+FC，即AB+EB＝AC，∴AC＝5+3＝8．【变式7-1】（2022秋•滨海县期末）如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是（）A．以OA为半径的圆 B．以OB为半径的圆 C．以OC为半径的圆 D．以OD为半径的圆【分析】根据直线与圆的位置关系的判定方法进行判断．【解答】解：∵OD⊥a于D，∴以点O为圆心，OD为半径的圆与直线a相切．故选：D．【变式7-2】（2022•椒江区一模）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．【分析】过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，根据切线的性质得出AB⊥OD，根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质得出OE＝OD，从而证得结论．【解答】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，∵AB与⊙O相切于点D，∴AB⊥OD，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平分线，∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径，∵圆心到直线的距离等于半径，∴AC是⊙O的切线．【变式7-3】（2022秋•丹江口市期中）如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若正方形ABCD的边长为10，求⊙O的半径．【分析】（1）首先连接OE，并过点O作OF⊥CD，由OA长为半径的⊙O与BC相切于点E，可得OE＝OA，OE⊥BC，然后由AC为正方形ABCD的对角线，根据角平分线的性质，可证得OF＝OE＝OA，即可判定CD是⊙O的切线；（2）由正方形ABCD的边长为10，可求得其对角线的长，然后由设OA＝r，可得OE＝EC＝r，由勾股定理求得OC=2r，则可得方程r+2r＝10【解答】（1）证明：连接OE，并过点O作OF⊥CD．∵BC切⊙O于点E，∴OE⊥BC，OE＝OA，又∵AC为正方形ABCD的对角线，∴∠ACB＝∠ACD，∴OF＝OE＝OA，即：CD是⊙O的切线．（2）解：∵正方形ABCD的边长为10，∴AB＝BC＝10，∠B＝90°，∠ACB＝45°，∴AC=AB2∵OE⊥BC，∴OE＝EC，设OA＝r，则OE＝EC＝r，∴OC=OE∵OA+OC＝AC，∴r+2r＝102解得：r＝20﹣102．∴⊙O的半径为：20﹣102．【知识点3切线的性质】（1）切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径（2）切线性质的推论：=1\*GB3①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点=2\*GB3②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心【题型8利用切线的性质求线段长度】【例8】（2022•新平县模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，点C是切点，弦CF⊥AB于点E，连接AC．（1）求证：AC平分∠DCF；（2）若AD⊥CD，BE＝2，CF＝8，求AD的长．【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到∠OCD＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠ACO＝∠CAE，根据等角的余角相等可得出结论；（2）根据垂径定理得到CE=12CF＝4，根据勾股定理求出⊙【解答】（1）证明：连接OC，∵CD切⊙O于点C，∴∠OCD＝90°，∴∠ACD+∠ACO＝90°．∵CF⊥AB，∴∠AEC＝90°，∴∠ACF+∠CAE＝90°．∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAE，∴∠ACD＝∠ACF；（2）解：由（1）可知，∠ACD＝∠ACF．∵CF⊥AB，CF＝8，∴CE=12设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣3，在Rt△OEC中，OC2＝OE2+CE2，即r2＝（r﹣2）2+42，解得：r＝5，∴AE＝AB﹣BE＝10﹣2＝8，∵∠ACD＝∠ACF，AD⊥CD，CF⊥AB，∴AD＝AE＝8．【变式8-1】（2022•泸县一模）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的弦，过O作OH⊥AC于点H．若OH＝3，AB＝12，BO＝13，求：⊙O的半径和AC的长．【分析】利用切线的性质得∠OAB＝90°，则根据勾股定理可计算出OA＝5，再根据垂径定理得到AH＝CH，接着利用勾股定理计算出AH，从而得到AC的长．【解答】解：∵AB为切线，∴OA⊥AB，∴∠OAB＝90°，在Rt△OAB中，OA=O∵OH⊥AC，∴AH＝CH，在Rt△OAH中，AH=O∴AC＝2AH＝8，答：⊙O的半径为5，AC的长为8．【变式8-2】（2022•建邺区一模）如图，AB、CD是⊙O的切线，B、D为切点，AB＝2，CD＝4，AC＝10．若∠A+∠C＝90°，则⊙O的半径是4．【分析】连接OB，OD，根据切线的性质得到∠OBE＝∠ODE＝90°，延长AB，CD交于E，求得∠AEC＝90°，根据正方形的性质得到BE＝DE＝OB，设⊙O的半径是r，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：连接OB，OD，∵AB、CD是⊙O的切线，B、D为切点，∴∠OBE＝∠ODE＝90°，延长AB，CD交于E，∵∠A+∠C＝90°，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠OBE＝∠ODE＝90°，∴四边形ODEB是矩形，∵OB＝OD，∴四边形ODEB是正方形，∴BE＝DE＝OB，设⊙O的半径是r，∴AE＝r+2，CE＝r+4，∵AE2+CE2＝AC2，∴（r+2）2+（r+4）2＝102，解得：r＝4（负值舍去），∴⊙O的半径是4，故答案为：4．【变式8-3】（2022•新抚区校级三模）如图，△ACD内接于⊙O，AB是⊙O的切线，∠C＝45°，∠B＝30°．AD＝4，则AB长为（）A．4 B．22 C．23 【分析】如图，连接OA、OD，构造等腰直角△AOD和直角△AOB．首先利用勾股定理求得OA的长度，然后通过解直角△AOB求得边AB的长度．【解答】解：如图，连接OA、OD，∵∠C＝45°．∴∠AOD＝2∠C＝90°．又∵OA＝OD，AD＝4，∴AD2＝2OA2＝16，则OA＝22．又∵AB是⊙O的切线，∴∠OAB＝90°．∵∠B＝30°，OA＝22，∴AB=3OA＝26故选：D．【题型9利用切线的性质求角度】【例9】（2022•红桥区三模）已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D．（I）如图①，若∠AOP＝65°，求∠C的大小；（II）如图②，连接BD，若BD∥AC，求∠C的大小．【分析】（Ⅰ）根据切线的性质和三角形的内角和解答即可；（Ⅱ）连接OB，设∠AOP为x，利用三角形内角和解答即可．【解答】解：（Ⅰ）连接BO，∵PA、PB是⊙O的切线，∴∠APO＝∠BPO，PA⊥AO，PB⊥OB，∵∠AOP＝65°，∴∠APO＝90°﹣65°＝25°，∴∠BPO＝∠APO＝25°，＜∠AOP＝∠BPO+∠C，∴∠C＝∠AOP﹣∠BPO＝65°﹣25°＝40°，（Ⅱ）连接OB，设∠AOP＝x，∵PA、PB是⊙O的切线，∴∠APO＝∠BPO＝x，PA⊥AO，PB⊥OB，∴∠APO＝90°﹣∠AOP＝90°﹣x，∠BOP＝90°﹣∠BPO＝90°﹣x，∴∠BOC＝180°﹣∠AOP﹣∠BOP＝180°﹣2x，∴∠OCB＝90°﹣∠BOC＝90°﹣2x，∵OC∥BD，∴∠DBP＝∠C＝90°﹣2x，∴∠OBD＝2x，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD＝2x，∵∠OBD+∠ODB+∠DOB＝180°，∴x＝30°，∴∠C＝90°﹣2x＝30°．【变式9-1】（2022秋•香洲区期末）如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝35°，求∠P的度数．【分析】根据题意可以求得∠OAP和∠OBP的度数，然后根据∠BAC＝35°，即可求得∠P的度数．【解答】解：∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠BAC＝35°，OA＝OB，∴∠BAC＝∠OBA＝35°，∴∠PAB＝∠PBA＝55°，∴∠P＝180°﹣∠PAB﹣∠PBA＝70°，即∠P的度数是70°．【变式9-2】（2022•老河口市模拟）PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是⊙O上不与A，B重合的一点，若∠APB＝70°，则∠ACB的度数为55°或125°．【分析】根据切线的性质得到∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，再根据四边形内角和得到∠AOB＝110°，然后根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求∠ACB的度数．【解答】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，∵∠APB＝70°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，当点C在劣弧AB上，则∠ACB=12∠当点C′在优弧AB上，则∠AC′B＝180°﹣55°＝125°．则∠ACB的度数为55°或125°．故答案为：55°或125°．【变式9-3】（2022•曲阜市二模）已知BC是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，切点为A，AD交CB的延长线于点D，连接AB，AO．（Ⅰ）如图①，求证：∠OAC＝∠DAB；（Ⅱ）如图②，AD＝AC，若E是⊙O上一点，求∠E的大小．【分析】（Ⅰ）先由切线和直径得出直角，再用同角的余角相等即可；（Ⅱ）由等腰三角形的性质和圆的性质直接先判断出∠ABC＝2∠C，即可求出∠C．【解答】解：（Ⅰ）∵AD是⊙O的切线，切点为A，∴DA⊥AO，∴∠DAO＝90°，∴∠DAB+∠BAO＝90°，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠BAO+∠OAC＝90°，∴∠OAC＝∠DAB，（Ⅱ）∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠C，∵AD＝AC，∴∠D＝∠C，∴∠OAC＝∠D，∵∠OAC＝∠DAB，∴∠DAB＝∠D，∵∠ABC＝∠D+∠DAB，∴∠ABC＝2∠D，∵∠D＝∠C，∴∠ABC＝2∠C，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠C＝90°，∴2∠C+∠C＝90°，∴∠C＝30°，∴∠E＝∠C＝30°【题型10利用切线的判定与性质的综合运用】【例10】（2022•五华区三模）如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，且AD＝AB，以线段AB为直径作⊙O，分别交BD，AC于点E，点F，∠BAC＝2∠CBD．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若CD＝2，BC＝4，求点B到AC的距离．【分析】（1）连接AE，由圆周角定理得到∠AEB＝90°，由等腰三角形的性质得到∠BAE＝∠DAE，进而征得∠BAE＝∠CBD，得到∠ABE+∠CBD＝∠ABC＝90°，根据切线的判定即可证得BC是⊙O的切线；（2）连接BF，可得AF⊥AC，在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AB＝3，AC＝5，由三角形的面积公式即可求出BF．【解答】（1）证明：连接AE，∵线段AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BD，∠BAE+∠ABE＝90°，∵AD＝AB，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAC＝2∠BAE，∵∠BAC＝2∠CBD，∴∠BAE＝∠CBD，∴∠ABE+∠CBD＝∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，∵AB为⊙O的直径，∴BC是⊙O的切线；（2）解：连接BF，∵线段AB为⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∴AF⊥AC，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，BC＝4，AC＝AD+CD＝AB+2，∴AB2+42＝（AB+2）2，∴AB＝3，∴AC＝5，∵S△ABC=12AB•BC=12∴BF=AB⋅BC即点B到AC的距离为125【变式10-1】（2022•邵阳模拟）如图，AC是⊙O的直径，OD与⊙O相交于点B，∠DAB＝∠ACB．（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若∠ADB＝30°，DB＝2，求直径AC的长度．【分析】（1）根据圆周角定理得出∠ABC＝90°，求出∠ACB+∠CAB＝90°，求出∠OAD＝90°，再根据切线的判定得出即可；（2）根据含30°角的直角三角形的性质得出OA=12OD，求出【解答】（1）证明：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠CAB＝90°，又∵∠ACB＝∠DAB，∴∠DAB+∠CAB＝90°，即∠OAD＝90°，∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线；（2）解：由（1）可知∠OAD＝90°，∵∠ADB＝30°，∴OA=12OD=12（∵OA＝OB，BD＝2，∴OA＝2，∴AC＝2OA＝4．【变式10-2】（2022•衡阳）如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD交CD于点E，连接BE．（1）直线BE与⊙O相切吗？并说明理由；（2）若CA＝2，CD＝4，求DE的长．【分析】（1）连接OD，理由切线的性质可得∠ODE＝90°，然后利用平行线和等腰三角形的性质可得OE平分∠DOB，从而可得∠DOE＝∠EOB，进而可证△DOE≌△BOE，最后利用全等三角形的性质即可解答；（2）设⊙O的半径为r，先在Rt△ODC中，利用勾股定理求出r的长，再利用（1）的结论可得DE＝BE，最后在Rt△BCE中，利用勾股定理进行计算即可解答．【解答】解：（1）直线BE与⊙O相切，理由：连接OD，∵CD与⊙O相切于点D，∴∠ODE＝90°，∵AD∥OE，∴∠ADO＝∠DOE，∠DAO＝∠EOB，∵OD＝OA，∴∠ADO＝∠DAO，∴∠DOE＝∠EOB，∵OD＝OB，OE＝OE，∴△DOE≌△BOE（SAS），∴∠OBE＝∠ODE＝90°，∵OB是⊙O的半径，∴直线BE与⊙O相切；（2）设⊙O的半径为r，在Rt△ODC中，OD2+DC2＝OC2，∴r2+42＝（r+2）2，∴r＝3，∴AB＝2r＝6，∴BC＝AC+AB＝2+6＝8，由（1）得：△DOE≌△BOE，∴DE＝BE，在Rt△BCE中，BC2+BE2＝CE2，∴82+BE2＝（4+DE）2，∴64+DE2＝（4+DE）2，∴DE＝6，∴DE的长为6．【变式10-3】（2022•盘锦模拟）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝45°，连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，过点C作CE∥AD与BA的延长线交于点E．（1）求证：CE与⊙O相切；（2）若AD＝4，∠D＝60°，求线段AB，BC的长．【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得∠AOC＝90°，再根据AD∥EC，可得∠OCE＝90°，从而证明结论；（2）过点A作AF⊥EC交EC于F，由AD是圆O的直径，得∠ABD＝90°，又AD＝4，∠D＝60°，即得AB=3BD＝23，根据∠ABC＝45°，知△ABF是等腰直角三角形，AF＝BF=22AB=6，又△AOC是等腰直角三角形，OA＝OC＝2，得AC＝22，故CF=AC2-A【解答】（1）证明：连接OC，如图：∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝90°，∵AD∥EC，∴∠AOC+∠OCE＝180°，∴∠OCE＝90°，∴OC⊥CE，∵OC为半径，∴CE是⊙O的切线；（2）解：过点A作AF⊥BC于F，如图：∵AD是圆O的直径，∴∠ABD＝90°，∵AD＝4，∠D＝60°，∴∠BAD＝30°，∴BD=12∴AB=3BD＝23∵∠ABC＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF＝BF=22AB=2∵△AOC是等腰直角三角形，OA＝OC＝2，∴AC＝22，∴CF=A∴BC＝BF+CF=6答：线段AB的长为23，线段BC的长为6+第24章圆章末题型过关卷【人教版】参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（2022秋•梁平区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过小正方形网格的格点A、B、C，已知A点的坐标是（﹣3，5），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（﹣1，0） B．（0，0） C．（﹣1，1） D．（1，0）【分析】利用网格特点，作作AB和BC的垂直平分线，根据垂径定理的推论得到它们的交点P为该圆弧所在圆的圆心，然后写出P点坐标即可．【解答】解：作AB和BC的垂直平分线，它们的交点P为该圆弧所在圆的圆心，所以该圆弧所在圆的圆心坐标为（﹣1，0）．故选：A．2．（2022•青羊区校级自主招生）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝22，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为（）A．2 B．2 C．3 D．3【分析】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF＝2EH＝20E•sin∠EOH＝20E•sin60°，当半径OE最短时，EF最短，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直径AD，由圆周角定理可知∠EOH=12∠EOF＝∠BAC＝60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂径定理可知EF＝2【解答】解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，∵在Rt△ADB中，∠ABC＝45°，AB＝22，∴AD＝BD＝2，即此时圆的直径为2，由圆周角定理可知∠EOH=12∠EOF＝∠∴在Rt△EOH中，EH＝OE•sin∠EOH＝1×3∴EF＝2EH=3故选：C．3．（2022秋•宁波期末）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝6cm，则球的半径为（）A．3cm B．134cm C．154cm D．【分析】设球的平面投影圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，延长NO交BC于点M，连接OF，由垂径定理得：NF＝EN=12EF＝3（cm），设OF＝xcm，则OM＝（4﹣x）cm，再在Rt△MOF中由勾股定理求得【解答】解：设球的平面投影圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，延长NO交BC于点M，连接OF，如图所示：则NF＝EN=12EF＝3（∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴四边形CDNM是矩形，∴MN＝CD＝6cm，设OF＝xcm，则OM＝OF，∴ON＝MN﹣OM＝（6﹣x）cm，在Rt△ONF中，由勾股定理得：ON2+NF2＝OF2，即：（6﹣x）2+32＝x2，解得：x=15即球的半径长是154cm故选：C．4．（2022•武汉模拟）如图，AB为⊙O的直径，AE为⊙O的弦，C为优弧ABE的中点，CD⊥AB，垂足为D．若AE＝8，DB＝2，则⊙O的半径为（）A．6 B．5 C．42 D．43【分析】如图，连接CO，延长CO交AE于点T．设⊙O的半径为r．证明△AOT≌△COD（AAS），推出CD＝AT＝4，在Rt△COD中，根据OC2＝CD2+OD2，构建方程求解．【解答】解：如图，连接CO，延长CO交AE于点T．设⊙O的半径为r．∵AC=∴CT⊥AE，∴AT＝TE=12在△AOT和△COD中，∠ATO=∠CDO=90°∠AOT=∠COD∴△AOT≌△COD（AAS），∴CD＝AT＝4，在Rt△COD中，OC2＝CD2+OD2，∴r2＝42+（r﹣2）2，∴r＝5，故选：B．5．（2022•中山市三模）如图，AB是⊙O的直径，若AC＝2，∠D＝60°，则BC长等于（）A．4 B．5 C．3 D．2【分析】根据圆周角定理得出∠ACB＝90°，∠CAB＝∠D＝60°，求出∠ABC＝90°﹣∠CAB＝30°，根据含30度角的直角三角形的性质求出AB＝2AC＝4，再根据勾股定理求出BC即可．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠D＝60°，∴∠CAB＝∠D＝60°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝30°，∵AC＝2，∴AB＝2AC＝4，∴BC=AB2故选：D．6．（2022•株洲）如图所示，等边△ABC的顶点A在⊙O上，边AB、AC与⊙O分别交于点D、E，点F是劣弧DE上一点，且与D、E不重合，连接DF、EF，则∠DFE的度数为（）A．115° B．118° C．120° D．125°【分析】根据圆的内接四边形对角互补及等边△ABC的每一个内角是60°，求出∠EFD＝120°．【解答】解：四边形EFDA是⊙O内接四边形，∴∠EFD+∠A＝180°，∵等边△ABC的顶点A在⊙O上，∴∠A＝60°，∴∠EFD＝120°，故选：C．7．（2022•阳新县校级模拟）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（）A．① B．② C．③ D．④【分析】利用段完整的弧结合垂径定理确定圆心即可．【解答】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：A．8．（2022春•江夏区校级月考）如图，在⊙O中，弦AB＝5，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为（）A．5 B．2.5 C．3 D．2【分析】连接OD，如图，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，再求出CD即可．【解答】解：连接OD，如图，∵CD⊥OC，∴∠DCO＝90°，∴CD=O当OC的值最小时，CD的值最大，而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，∴CD＝CB=12AB即CD的最大值为2.5，故选：B．9．（2022•江汉区模拟）如图，由5个边长为1的小正方形组成的“L”形，圆O经过其顶点A、B、C，则圆O的半径为（）A．5 B．22 C．52 【分析】取AB的中点E，作EF⊥FC，取圆心O，连接OB，OC，根据圆的性质，再结合勾股定理即可求解．【解答】解：取AB的中点E，作EF⊥FC，取圆心O，连接OB，OC，则OB＝OC，∵小正方形的边长为1，∴CF=32，BE=1设OF＝x，则OE＝4﹣x，由勾股定理可得：CF2+OF2＝OC2，BE2+OE2＝OB2，∴CF2+OF2＝BE2+OE2，即(3解得x=7∴OC=O故选：D．10．（2022秋•孟村县期末）如图，点D是△ABC中BC边的中点，DE⊥AC于E，以AB为直径的⊙O经过D，连接AD，有下列结论：①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA=12AC；④DE是⊙A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④【分析】根据直径所对的圆周角是直角，即可判断出选项①正确；由O为AB中点，得到AO为AB的一半，故AO为AC的一半，选项③正确；由OD为三角形ABC的中位线，根据三角形的中位线定理得到OD与AC平行，由AC与DE垂直得到OD与DE垂直，即∠ODE为90°，故DE为圆O的切线，选项④正确．【解答】解：∵AB是⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，选项①正确；连接OD，如图，∵D为BC中点，O为AB中点，∴DO为△ABC的中位线，∴OD∥AC，又DE⊥AC，∴∠DEA＝90°，∴∠ODE＝90°，∴DE为圆O的切线，选项④正确；又OB＝OD，∴∠ODB＝∠B，∵AB为圆O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠EDA+∠ADO＝90°，∠BDO+∠ADO＝90°，∴∠EDA＝∠BDO，∴∠EDA＝∠B，选项②正确；由D为BC中点，且AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，∴AC＝AB，又OA=12∴OA=12则正确的结论为①②③④．故选：D．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（2022•平房区二模）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，CD＝2，则EC的长为213．【分析】连接BE，设⊙O的半径为R，由OD⊥AB，根据垂径定理得AC＝BC=12AB＝4，在Rt△AOC中，OA＝R，OC＝R﹣CD＝R﹣2，根据勾股定理得到（R﹣2）2+42＝R2，解得R＝5，则OC＝3，由于OC为△ABE的中位线，则BE＝2OC＝6，再根据圆周角定理得到∠ABE＝90°，然后在Rt△BCE中利用勾股定理可计算出【解答】解：连接BE，设⊙O的半径为R，如图，∵OD⊥AB，∴AC＝BC=12AB在Rt△AOC中，OA＝R，OC＝R﹣CD＝R﹣2，∵OC2+AC2＝OA2，∴（R﹣2）2+42＝R2，解得R＝5，∴OC＝5﹣2＝3，∴BE＝2OC＝6，∵AE为直径，∴∠ABE＝90°，在Rt△BCE中，CE=BC2故答案为：213．12．（2022•任城区校级三模）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为28°．【分析】设半圆圆心为O，连OA，OB，则∠AOB＝86°﹣30°＝56°，根据圆周角定理得∠ACB=12∠AOB，即可得到∠【解答】解：设半圆圆心为O，连OA，OB，如图，∵∠ACB=12∠而∠AOB＝86°﹣30°＝56°，∴∠ACB=1故答案为：28°．13．（2022•曹县三模）如图，正五边形ABCDE内接于圆O，P为弧DE上的一点（点P不与点D、E重合），则∠CPD的度数为36°．【分析】连接OC，OD．求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题．【解答】解：如图，连接OC，OD．∵ABCDE是正五边形，∴∠COD=360°∴∠CPD=12∠故答案为：36°．14．（2022•青羊区校级自主招生）如图四边形ABCD内接于⊙O，BD平分∠ABC，直径AB＝6，∠ADC＝140°，则劣弧BD的长为73π【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣140°＝40°，根据角平分线的定义得到∠ABD=12∠ABC＝20°，根据圆周角定理得到∠BOD【解答】解：连接OD，∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝140°，∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣140°＝40°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=12∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A＝70°，∴∠BOD＝2∠A＝140°，∴劣弧BD的长=140⋅π×3180故答案为：73π15．（2022•青羊区校级自主招生）如图，已知扇形ACB中，∠ACB＝90°，以BC为直径作半圆O，过点O作AC的平行线，分别交半圆O，弧AB于点D、E，若扇形ACB的半径为8，则图中阴影部分的面积是203π﹣83【分析】连接CE．图中S阴影＝S扇形BCE﹣S扇形BOD﹣S△OCE．根据已知条件易求得OB＝OC＝OD＝4，BC＝CE＝8．∠ECB＝60°，OE＝43，所以由扇形面积公式、三角形面积公式进行解答即可．【解答】解：如图，连接CE．∵AC⊥BC，AC＝BC＝8，以BC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作弧AB，∴∠ACB＝90°，OB＝OC＝OD＝4，BC＝CE＝8．又∵OE∥AC，∴∠ACB＝∠COE＝90°．∴在直角△OEC中，OC＝4，CE＝8，∴∠CEO＝30°，∠ECB＝60°，OE＝43，∴S阴影＝S扇形BCE﹣S扇形BOD﹣S△OCE=60π×82360-90π×故答案为：203π﹣8316．（2022秋•望城区期末）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F．且AB＝8，AC＝15，BC＝17，则⊙O的半径是3．【分析】根据勾股定理的逆定理可得三角形ABC为直角三角形，再根据切线长定理即可求解．【解答】解：如图，连接OD、OE、OF，∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E．F，∴OE⊥AC，OF⊥AB，AE＝AF，∵AB＝8，AC＝15，BC＝17，即82+152＝172，∴△ABC为直角三角形，∴∠A＝90°，∴四边形AEOF是正方形，∴OE＝OF＝AE＝AF，设⊙O的半径是r，则AF＝AE＝r，BF＝BD＝8﹣r，EC＝DC＝15﹣r，∵BD+DC＝BC＝17，∴8﹣r+15﹣r＝17，解得r＝3．所以⊙O的半径是3．故答案为3．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（2022秋•锡山区校级月考）如图，P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是AB上的任意一点，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E．若PA＝4，求△PED的周长．【分析】由PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，根据切线长定理得到PA＝PB＝4，同理得DC＝DA，EC＝EB，再根据三角形周长的定义得到△PED的周长＝PD+DE+PE，然后利用等相等代换得到△PDE的周长＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB．【解答】解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，∴PA＝PB＝4，∵过点C的切线分别交PA、PB于点D、E，∴DC＝DA，EC＝EB，∴△PED的周长＝PD+DE+PE＝PD+DC+CE+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝4+4＝8．18．（2022秋•安徽期末）如图，四边形ABCD内接于圆，AD，BC的延长线交于点E，F是BD延长线上任意一点，AB＝AC．（1）求证：DE平分∠CDF；（2）求证：∠ACD＝∠AEB．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠CDE＝∠ABC，根据圆周角定理和等腰三角形的性质证明即可；（2）根据三角形外角的性质和图形得到∠CAE+∠E＝∠ABD+∠DBC，得到∠E＝∠ABD，根据圆周角定理证明．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆，∴∠CDE＝∠ABC，由圆周角定理得，∠ACB＝∠ADB，又∠ADB＝∠FDE，∴∠ACB＝∠FDE，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∴∠FDE＝∠CDE，即DE平分∠CDF；（2）∵∠ACB＝∠ABC，∴∠CAE+∠E＝∠ABD+∠DBC，又∠CAE＝∠DBC，∴∠E＝∠ABD，∴∠ACD＝∠AEB．19．（2022秋•广陵区期末）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ACB的平分线与AB交于点E，与⊙O交于点D，P为AB延长线上一点，且∠PCB＝∠PAC．（1）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若AC＝8，BC＝6，求⊙O的半径及AD的长．【分析】（1）连接OC，由圆周角定理得到∠CAB+∠CBA＝90°，由OB＝OC得到∠OCB＝∠OBC，进而证得∠OCP＝90°，根据圆的切线的判定定理即可证得直线PC是⊙O的切线；（2）在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AB，即可得到⊙O的半径为；由圆周角定理与等腰三角形的判定及已知条件证得△ABD为等腰直角三角形，根据勾股定理即可求出AD．【解答】解：（1）PC与⊙O相切，理由如下：连接OC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵∠PCB＝∠PAC，∴∠OCP＝∠OCB+∠PCB＝∠CAB+∠CBA＝90°，∵OC是⊙O的半径，∴直线PC是⊙O的切线；（2）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，AB2＝AC2+BC2，∴AB=A∴⊙O的半径为5；连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠BCD＝∠BAD，∠ACD＝∠ABD，∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠BCD，∴∠BAD＝∠ABD，∴AD＝BD，在Rt△ABD中，AC＝8，BC＝6，AB2＝AD2+BD2＝2AD2，∴2AD2＝102，∴AD2＝50，∴AD=50=520．（2022•宿迁）如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点，BP的延长线交⊙O于点Q，过点Q的⊙O的切线交OA延长线于点R．（Ⅰ）求证：RP＝RQ；（Ⅱ）若OP＝PA＝1，试求PQ的长．【分析】（I）要证明RP＝RQ，需要证明∠PQR＝∠RPQ，连接OQ，则∠OQR＝90°；根据OB＝OQ，得∠B＝∠OQB，再根据等角的余角相等即可证明；（II）延长AO交圆于点C，首先根据勾股定理求得BP的长，再根据相交弦定理求得Q