2023一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型专题36 复数的三角表示-2023一轮数学讲义+题型细分与精练（解析版）

专题36复数的三角表示题型一复数的代数式与三角式互换类型1代数式化为三角式【例1】将下列各复数转化为三角形式（辐角取辐角主值）：（1）；（2）-2i；（3）；（4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）∵，，，又，∴，∴.（2）∵，，，又，∴，∴.（3）∵，，，又，∴，∴.（4）∵，，，又，∴.∴.【变式1-1-1】把下列复数的代数形式化成三角形式.（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】（1）.因为与对应的点在第四象限，所以，所以.（2）.因为与对应的点在第四象限，所以，所以.【变式1-1-2】已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)的三角形式是r(cosθ＋isinθ)，试写出下列各复数的三角形式．（1）z1＝－a＋bi；（2）z2＝－a－bi；(3)z3＝a－bi.【答案】（1）z1＝r[cos(π－θ)＋isin(π－θ)]（2）z2＝r[cos(π＋θ)＋isin(π＋θ)]（3）z3＝r[cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)]【解析】（1）z1＝r(－cosθ＋isinθ)＝r[cos(π－θ)＋isin(π－θ)]．（2）z2＝r(－cosθ－isinθ)＝r[cos(π＋θ)＋isin(π＋θ)]．(3)z3＝r(cosθ－isinθ)＝r[cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)]．【变式1-1-3】将下列复数代数式化为三角式：（1）；（2）.（3）；（4）.【答案】见解析【解析】（1）=；（2）=.（3）=；（4）=当时∴当时∴=.类型2三角形式化为代数式【例1-2】把下列复数的三角形式化成代数形式.（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】（1）.（2）.【变式1-2-1】复数z＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,5)－isin\f(π,5)))(i是虚数单位)的三角形式是()A．3eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,5)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,5)))))B．3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,5)＋isin\f(π,5)))C．3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(4π,5)＋isin\f(4π,5)))D．3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(6π,5)－isin\f(6π,5)))【答案】C【解析】z＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cos\f(π,5)＋isin\f(π,5)))＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(4π,5)＋isin\f(4π,5))).故选C.【变式1-2-2】将下列各复数的三角形式转化为代数形式：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.题型二复数的辅角主值【例2】复数sin40°－icos40°的辐角主值是()A．40°B．140°C．220°D．310°【答案】D【解析】∵sin40°＝cos310°，－cos40°＝sin310°，∴sin40°－icos40°＝cos310°＋isin310°.故复数的辐角主值为310°.【变式2-1】复数的辐角主值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，故复数z的辐角主值为.【变式2-2】把复数z1与z2对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数式和它的辐角主值分别是（）A．，B．C．D．【答案】B【解析】由题可知，则，，可知对应的坐标为，则它的辐角主值为.【变式2-3】计算eq\f(i,cos120°＋isin120°)的辐角主值为()A.eq\f(5π,6)B.eq\f(7π,6)C.eq\f(11π,6)D.eq\f(5π,3)【答案】C【解析】解法一：原式＝eq\f(i,－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i)＝eq\f(\r(3),2)－eq\f(1,2)i＝coseq\f(11π,6)＋isineq\f(11π,6).故选C.解法二：原式＝eq\f(cos90°＋isin90°,cos120°＋isin120°)＝cos(－30°)＋isin(－30°)＝cos330°＋isin330°，因为330°＝eq\f(11π,6).故选C.【变式2-4】已知复数z满足(z＋1)(＋1)=|z|2，且是纯虚数.（1）求z；（2）求z的辐角主值.【答案】见解析【解析】由(z＋1)(＋1)=|z|2得z＋z＋＋1=|z|2.∵z=|z|2，∴z＋＋1=0，∴z＋=－1，由是纯虚数得，∴，∴2z=2，∴z=1.于是z，是方程x2＋x＋1=0的两根，解得，所以.当时，z的辐角主值为；当时，z的辐角主值为.题型三三角形式下复数的乘、除法【例3】计算下列各式：（1）；（2）；【答案】（1）；（2）【解析】（1）.（2）.【变式3-1】计算下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.【变式3-2】（）A． B． C． D．【答案】C【解析】.【变式3-3】（）A． B． C． D．【答案】B【解析】.【变式3-4】计算的结果是（）A．-9 B．9 C．-1 D．1【答案】B【解析】.题型四三角形式下复数乘、除法的几何意义【例4】把复数1＋i对应的向量按顺时针方向旋转eq\f(π,2)，所得到的向量对应的复数是________．【答案】1－i【解析】(1＋i)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))))＝eq\r(,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,4)＋isin\f(π,4)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))))＝eq\r(,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(π,2)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(π,2)))))＝eq\r(,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))))＝1－i.【变式4-1】将复数1+i对应的向量OM绕原点按逆时针方向旋转π4，得到的向量OM1，那么A.2iB.2iC.22+【答案】B【解析】复数1+i的三角形式是2那么向量OM12cos【变式4-2】如图，向量对应的复数为，把绕点O按逆时针方向旋转120°，得到.求向量对应的复数（用代数形式表示）.【答案】【解析】向量对应的复数为：.【变式4-3】把复数z1与z2对应的向