2023一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型专题41 空间点、直线、平面的位置关系-2023一轮数学讲义+题型细分与精练(原卷版)

专题41空间点、直线、平面的位置关系题型一平面的概念与特点【例1】下列命题中正确命题的个数是()①三角形是平面图形；②四边形是平面图形；③四边相等的四边形是平面图形；④圆是平面图形．A．1B．2C．3D．4【变式1-1】关于平面的说法，正确的有（）①平面是绝对平的且是无限延展的；②平面的形状是平行四边形；③三角形可以表示平面；④某一个平面的面积为1m2；⑤8个平面重叠起来，要比5个平面重叠起来厚．A．1个B．2个C．3个D．4个【变式1-2】下列叙述中，一定是平面的是（）A．一条直线平行移动形成的面B．三角形经过延展得到的面C．组成圆锥的面D．正方形围绕一条边旋转形成的面【变式1-3】有以下命题：①8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；②有一个平面的长是，宽是；③平面是无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为()A．0B．1C．2D．3题型二符号的正确使用【例2】根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．（1）点P与直线AB；（2）点C与直线AB；（3）点M与平面AC；（4）点A1与平面AC；（5）直线AB与直线BC；（6）直线AB与平面AC；（7）平面A1B与平面AC.【变式2-1】下列命题中，正确命题的个数为()①平面的基本性质1可用集合符号叙述为：若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则必有l∈α；②四边形的两条对角线必相交于一点；③用平行四边形表示的平面，以平行四边形的四条边作为平面的边界线．A．0个B．1个C．2个D．3个【变式2-2】文字语言叙述“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号表述是()A．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(A⊂α,A⊂a))⇒A⊂αB．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊂α,A∈a))⇒A∈αC．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∈α,A⊂a))⇒A∈αD．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∈α,A∈a))⇒A⊂α【变式2-3】如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则()A．l⊂αB．l⊄αC．l∩α＝MD．l∩α＝N题型三基本事实与推论理解【例3】下列说法错误的是（）A.平面与平面相交，它们只有有限个公共点B.经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面C.经过两条相交直线，有且只有一个平面D.如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合【变式3-1】（多选）下列说法中错误的是（）A．不共面的四点中，任意三点不共线B．三条两两相交的直线在同一平面内C．有三个不同公共点的两个平面重合D．依次首尾相接的四条线段不一定共面【变式3-2】若一直线上有两点在已知平面外，则下列结论中正确的是（）A.直线上所有的点都在平面外B.直线上至少有一个点在平面内C.直线上有无数多个点都在平面内D.直线上有无数多个点都在平面外【变式3-3】下列命题中，正确的命题是（）A．任意三点确定一个平面B．三条平行直线最多确定一个平面C．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行题型四四点共面的证明【例4】如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H，分别为AB，AC，BD，CD的中点.求证E，F，G，H，四点共面.【变式4-1】如图，已知ABCD−A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且【变式4-2】如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：E、C、D1、F四点共面。【变式4-3】下列如图所示是正方体和正四面体，分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________．题型五多线共面的证明【例5】已知：AB∩AC＝A，AB∩BC＝B，AC∩BC＝C.求证：直线AB，BC，AC共面．【变式5-1】已知四点和直线，且，，，，求证：直线共面.【变式5-2】证明：两两相交且不共点的四条直线必在同一平面内.【变式5-3】已知一直线与三条平行线都相交，求证：这四条直线在同一个平面内．题型六三线共点的证明证明三线共点的步骤（1）首先说明两条直线共面且交于一点；（2）说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交；（3）得到交线也过此点，从而得到三线共点．【例6】如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：CE、D1F、DA三线共点．【变式6-1】如图，已知平面α，β，且α∩β＝l.设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点(相交于一点).【变式6-2】如图，四面体A-BCD中，E，G分别为BC，AB的中点，证明：EF，BD交于一点.题型七三点共线的证明证明三点共线的方法（1）首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3可知，这些点都在两个平面的交线上．（2）选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上．【例7】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.若A1C交平面DBFE于R