2023一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型专题50 样本估计总体-2023一轮数学讲义+题型细分与精练(解析版)

专题50样本估计总体题型一频率分布直方图【例1】某学校调查了400名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，．根据直方图，这400名学生中每周的自习时间不少于25小时的人数是（）A．240B．300C．120D．280【答案】C【解析】由频率分布直方图可知自习时间不少于25小时的频率为，故这400名学生中每周的自习时间不少于25小时的人数为（人）；故选：C【变式1-1】某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60)元的学生有60人，则下列说法正确的是（）A．样本中支出在[50，60)元的频率为0.03B．n的值为200C．样本中支出不少于40元的人数为132D．若该校有2000名学生，则一定有800人支出在[50，60)元【答案】BC【解析】样本中支出在[50，60)元的频率为，故A错误；样本中支出不少于40元的人数为，故C正确；，故n的值为200，故B正确；若该校有2000名学生，则可能有0.3×2000＝600人支出在[50，60)元，故D错误.故选：BC【变式1-2】某高职院校对年单招参考的名学生数学成绩进行统计，得到样本频率分布直方图（如图），则数学成绩在分以下的学生人数是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由频率分布直方图可知，数学成绩在分以下的学生人数为，故选：D.【变式1-3】某大品牌家电公司从其全部200名销售员工中随机抽出50名调查销售情况，销售额都在区间（单位：百万元）内，将其分成5组：，，，，，并整理得到如下的频率分布直方图，据此估计其全部销售员工中销售额在区间内的人数为（）A．16B．22C．64D．88【答案】C【解析】由题意得，，解得，所以销售额在区间内的频率为，所以全部销售员工中销售额在区间内的人数为，故选：C【变式1-4】在一次高二数学单元评估中，共有500名同学参加调研测试，经过评估，这500名学生的得分都在之间，其得分的频率分布直方图如图，则得分在之间的学生人数是（）A．150B．200C．250D．300【答案】B【解析】由频率分布直方图，，，所以得分在之间的频率为，人数为．故选：B．【变式1-5】为了研究人们生活健康情况，某市随机选取年龄在15~75岁之间的1000人进行调查，得到频率分布直方图如图所示，其中，利用分层抽样从年龄在，，，，，之间共选取20名市民书写生活健康的报告，其中选取年龄在市民的人数为（）A．2B．3C．4D．7【答案】D【解析】由频率分布直方图得解得，，所以年龄在，，，，，内的人数分别为150，300，350，100，50，50，利用分层抽样选取的人数分别为3，6，7，2，1，1，故选：D．题型二总体百分位数的估计【例2】下列关于分位数的说法正确的是（）A．分位数不是中位数B．总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是C．它是四分位数D．它只适用于总体是离散型的数据【答案】C【解析】由百分位数的意义可知，将一组数据从小到大排序，并计算相应的累计百分位，则某一百分位所对应数据的值就称为这一百分位的百分位数；分位数是中位数，分位数表示至少有的数据项小于或等于这个值，且至少有的数据项大于或等于这个值，第50百分位数又称第二个四分位数，所以选项A，B，D错误.故选：C【变式2-1】某射击运动员7次的训练成绩分别为:86，88，90，89，88，87，85，则这7次成绩的第80百分位数为（）A．88.5B．89C．91D．89.5【答案】B【解析】7次的训练成绩从小到大排列为：85，86，87，88，88，89，90，因为，所以第80百分位数为从小到大排列的数据中的第个数据，即89，故选：B【变式2-2】某数学老师记录了班上8名同学的数学考试成绩，得到如下数据：90，98，100，108，111，115，115，125.则这组数据的分位数是（）A．100B．111C．113D．115【答案】D【解析】由知，这组数据的分位数是按从小到大排列的第6个位置的数，所以这组数据的分位数是115.故选：D【变式2-3】下表为12名毕业生的起始月薪：毕业生123456789101112起始月薪285029503050288027552710289031302940332529202880根据表中所给的数据计算75%分位数为（）A．2950B．3050C．3130D．3000【答案】D【解析】由小到大排列12个数据为2710，2757,2850,2880,2880,2890,2920,2940,2950,3050,3130,3325；因为，所以75%分位数为，故选：D【变式2-4】某地一年之内12个月的降水量从小到大分别为：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，则该地区的月降水量20%分位数和75%分位数为（）A．51，58B．51，61C．52，58D．52，61【答案】B【解析】把每月的降水量从小到大排列为:46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，因为，所以该地区的月降水量的分位数为，因为，所以该地区的月降水量的分位数为.故选：B【变式2-5】某工厂名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是，，，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】这组数据按从小到大的顺序排列为，，，，，，，，，，，．因为，所以这组数据的第百分位数是．故选：D题型三6种特征数的计算【例3】已知一组数据、、、的中位数为，则该组数据的方差为_______．【答案】【解析】因为数据、、、的中位数为，则.若，则这组数据的中位数为，不合乎题意，所以，，则这组数据的中位数为，可得，所以，这组数据的平均数为，方差为.【变式3-1】已知一组数据为，，，，，，则该组数据的方差是_________.【答案】【解析】由题意首先求得平均数，然后求解方差即可.由题意，该组数据的平均数为，所以该组数据的方差.【变式3-2】一组数据1，a，4，5，8的平均数是4，则这组数据的方差为_______【答案】【解析】由平均数的计算公式，可得，可得，所以方差.【变式3-3】（多选）一组数据6，7，8，a，12的平均数为8，则此组数据的（）A．众数为8B．极差为6C．中位数为8D．方差为【答案】BD【解析】由题可得，∴，∴此组数据众数为7，极差为，中位数为7，方差为.故选：BD.【变式3-4】已知某样本数据分别为1，2，3，a，6，若样本均值，则样本方差______．【答案】【解析】由题设，，可得，所以.【变式3-5】已知一组样本数据，且，平均数，则该组数据的方差为______【答案】2【解析】由题意知，又==2题型四方差、标准差说明数据的波动情况【例4】甲、乙两位同学的5次数学学业水平模拟考试成绩的方差分别为10.2和14.3，则以下解释比较合理的是（）A．甲比乙的成绩稳定B．乙比甲的成绩稳定C．甲、乙的成绩稳定性无差异D．甲比乙的成绩的标准差大【答案】A【解析】由已知甲乙的方差知：，即甲比乙的成绩稳定，甲比乙的成绩的标准差小，所以A正确，B、C、D错误.故选：A【变式4-1】在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续天，每天新增疑似病例不超过人”，根据过去天甲、乙、丙、丁四地新增病例数据，一定符合该标志的是（）A．甲地：总体均值为，总体方差为B．乙地：总体均值为，中位数为C．丙地：总体均值为，总体方差大于D．丁地：中位数为，总体方差为【答案】A【解析】对于A，假设至少有一天的疑似病例超过人，此时方差，这与题设矛盾，所以假设不成立，故A正确；对于B，平均数和中位数不能限制某一天的病例不超过人，故B不正确；对于C，当总体方差大于，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小，故C错误；对于D，中位数为，总体方差为，如，平均数为，方差，满足题意，但是存在大于的数，故D错误.故选：A.【变式4-2】下列数字特征不能反映样本数据的分散程度、波动情况的是（）A．极差B．平均数C．方差D．标准差【答案】B【解析】对于A，极差表示一组数据最大值与最小值的差，极差越大数据越分散，极差越小数据越集中，故极差能反映样本数据的离散程度大小，故不选A；对于B，平均数是表示一组数据集中趋势的量数，是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数，它是描述数据集中位置的一个统计量，故平均数不能反映样本数据的分散程度、波动情况，故选B；对于C，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，即方差能反映样本数据的离散程度大小，故不选C；对于D，标准差是方差的算术平方根，标准差反映样本数据的离散程度大小，不选D．【变式4-3】为迎接2022年冬奥会，某校在体育冰球课上加强冰球射门训练，现从甲、乙两队中各选出5名球员，并分别将他们依次编号为1，2，3，4，5进行射门训练，他们的进球次数如折线图所示，则在这次训练中以下说法正确的是（）A．甲队球员进球的中位数比乙队大B．乙队球员进球的中位数比甲队大C．乙队球员进球水平比甲队稳定D．甲队球员进球数的极差比乙队小【答案】C【解析】由题图，甲队数据从小到大排序为，乙队数据从小到大排序为，所以甲乙两队的平均数都为5，甲、乙进球中位数相同都为5，A、B错误；甲队方差为，乙队方差为，即，故乙队球员进球水平比甲队稳定，C正确.甲队极差为6，乙队极差为4，故甲队极差比乙队大，D错误.故选：C【变式4-4】某学生2021年共参加10次数学竞赛模拟考试，成绩分别记为，，，…，，为研究该生成绩的起伏变化程度，选用一下哪个数字特征最为合适（）A．，，，…，的平均值；B．，，，…，的标准差；C．，，，…，的中位数；D．，，，…，的众数；【答案】B【解析】根据平均数、中位数、众数的概念可知，平均数、中位数、众数描述数据的集中趋势，标准差描述数据的波动大小估计数据的稳定程度.故选：B.【变式4-5】某年的足球联赛上，甲队每场比赛平均失球数是个，全年比赛失球个数的标准差为；乙队每场比赛平均失球数是个，全年比赛失球个数的标准差为，下列说法正确的是（）A．甲乙两队相比，乙队很少失球B．甲队比乙队技术水平更稳定C．平均来说，甲队比乙队防守技术好D．乙队有时表现很差，有时表现又非常好【答案】C【解析】乙队平均失球大于甲队平均失球，所以选项A错误；乙队失球个数的标准差小于甲队失球个数的标准差，选项B和D错误，甲队每场比赛平均失球数个，小于乙队每场比赛平均失球数个，所以平均来说，甲队比乙队防守技术好.故选：C【变式4-6】如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为和，样本标准差分别为和，样本极差分别为和，则（）A．，，B．，，C．，，D．，，【答案】B【解析】观察图形可知，样本A的数据均在之间，样本B的数据均在之间，由平均数的计算可知，样本极差样本B的数据波动较小，故，故选：B题型五同时加减或乘除一个数后的数据特征变化【例5】设一组样本数据的平均数为100，方差为10，则的平均数和方差分别为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依题意，所以，.故选：D【变式5-1】若，，…，的方差为，则，，…，的方差为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，，…，的平均数为，方差为，则，，可得，，…，平均数为：，则，，…，的方差：，故选：D.【变式5-2】有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中（，2，…，n），则（）A．两组样本数据的样本标准差相同B．两组样本数据的样本中位数相同C．两组样本数据的样本平均数相同D．两组样本数据的样本众数相同【答案】A【解析】数据，，…，的样本平均数是，标准差是，样本中位数是，众数是，所以数据（，2，…，n）的平均数是，标准差，