2023一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型专题55 空间向量的数量积运算-2023一轮数学讲义+题型细分与精练（解析版）

专题55空间向量的数量积运算题型一空间向量数量积运算1．在棱长为的正方体中，设，，，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】．故选B．2．已知空间向量满足，则的值为________．【答案】【解析】由两边平方得，所以，.故答案为：3．如图，正方体的棱长为1，设，，，求：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）0；（2）1；（3）1【解析】（1）在正方体中，，故（2）由（1）知，（3）由（1）及知，题型二利用数量积求夹角4．已知是夹角为60°的两个单位向量，则=+与b=-2的夹角是（）A．60° B．120° C．30° D．90°【答案】B【解析】由题意得=(+)·(2)==，||=，||=.=.°.故选:B.5．在空间四边形OABC中，连接AC，OB，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求向量与所成角的余弦值．【答案】【解析】，＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－16，∴故答案为：6．已知＝(5,3,1)，＝且与的夹角为钝角，求实数的取值范围．【答案】【解析】由已知得a·b＝5×(－2)＋3t＋1×＝3t－.因为a与b的夹角为钝角，所以a·b＜0且〈a，b〉≠180°.由a·b＜0，得3t－＜0，所以t＜.若a与b的夹角为180°，则存在λ＜0，使a＝λb(λ＜0)，即(5,3,1)＝λ，所以解得t＝－.所以t的取值范围是∪.题型三利用数量积证明垂直关系7．如图所示，已知是所在平面外一点，，求证：在平面上的射影是的垂心．【答案】证明见解析【解析】∵，∴，，，平面，∴．由题意可知，平面，∴，，，∴，∴．同理可证，．∴是的垂心．8．用向量方法证明：在平面内的一条直线，如果与这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也与这条直线垂直（三垂线）【答案】证明见解析；【解析】如图所示，在平面内，是在面内的投影向量，则，由题知，，则，故，所以，即证得结论.9．已知四面体OABC，，．求证：．【答案】证明见解析.【解析】因为,所以,因为，，所以，所以，即.10．如图所示，在四棱锥中，底面，，E是的中点．证明：（1）；（2）平面．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】证明：（1）因为底面，所以，所以，又，所以，又，所以，所以．（2）设，因为，，所以．又，所以，得．因为，，所以，又，所以平面．题型四利用数量积求距离11．如图，在平行四边形中，，，，沿着它的对角线将折起，使与成角，求此时，之间的距离．【答案】或【解析】因为，所以，．因为与成角，所以或．因为，所以，所以．当时，，即；当时，，即．综上，可知，之间的距离为或．12．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠BAD＝120°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6．求PC的长．【答案】7【解析】解：因为，所以，所以．故PC的长为7．13．如图，已知线段平面，平面，且，D与A在的同侧，若，求A，D两点间的距离.【答案】.【解析】因为平面，平面，所以，，所以与的夹角为，因为，，所以，所以，即A，D两点间的距离为.14．在平行四边形ABCD中,AD=4,CD=3,∠D=60°,PA⊥平面ABCD,PA=6,求PC的长.【答案】7【解析】因为,所以||2==()2=||2+||2+||2+2+2+2=62+42+32+2||||cos120°=61-12=49,所以||=7,即PC=7.15．如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,将△ACD沿对角线AC折起,使AB与CD成60°角,求B,D间的距离.【答案】2或【解析】∵∠ACD=90°，∴·=0．同理·=0．∵在三棱锥A-BCD中，AB与CD成60°角，∴<，>=60°或<，>=120°．又=++，∴||2=·=||2+||2