2023一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型专题91 二项分布与超几何分布（解析版）-2023一轮数学讲义+题型细分与精练

专题91二项分布与超几何分布题型一n重伯努利试验的判断例1．（2022·全国·高二专题练习）下列事件：①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲､乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲､乙两运动员各射击一次，“甲､乙都射中目标”与“甲､乙都没射中目标”；④在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标.其中是伯努利试验的是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【解析】【分析】根据互斥事件、相互独立事件，以及独立重复试验的定义可以判断：①，甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”是一个实验的两个结果，是互斥事件；②是相互独立事件；③是互斥事件；④是独立重复试验.【详解】①和③符合互斥事件的概念，是互斥事件；②是相互独立事件；④是独立重复试验；所以只有④符合题意，故选：D.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关独立重复试验的概念，关键点是需要明确独立重复试验的条件：在相同条件下重复n次；每次试验是相互独立的；每次试验只有两种结果.故只有④符合.规律方法n重伯努利试验的判断依据(1)要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行．(2)每次试验的结果相互独立，互不影响．（多选题）例2．（2022·全国·高二课时练习）(多选)下列事件不是n重伯努利试验的是（

）A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”B．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”C．甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”D．在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标【答案】ABC【解析】【分析】由独立重复试验的定义，依次判断即可【详解】AC符合互斥事件的概念，是互斥事件，不是独立重复试验；B是相互独立事件，但是“甲射中10环”与“乙射中9环”的概率不一定相同，因此不是独立重复试验；D中在相同的条件下，甲射击10次，是独立重复试验故选：ABC例3．（2022·全国·高二课时练习）判断下列试验是不是重伯努利试验.（1）依次投掷四枚质地不同的硬币，次正面向上；（2）某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了次，其中次击中；（3）口袋中装有个白球，个红球，个黑球，依次从中抽取个球，恰好抽出个白球．【答案】（1）不是；（2）是；（3）不是.【解析】【分析】（1）根据伯努利试验的定义判断可得出结论；（2）根据伯努利试验的定义判断可得出结论；（3）根据伯努利试验的定义判断可得出结论.【详解】（1）由于试验的条件不同（质地不同），因此不是重伯努利试验；（2）某人射击且击中的概率是稳定的，因此是重伯努利试验；（3）每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是重伯努利试验．题型二n重伯努利试验概率的求法例4．（2022·全国·高二课时练习）在4重伯努利试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不小于其恰好发生2次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是（

）A．(0，0.6] B．[0.6，1)C．[0.4，1) D．(0，0.4]【答案】D【解析】【分析】随机事件A恰好发生1次的概率不小于其恰好发生2次的概率，根据独立重复试验概率公式列出不等式，可解出范围.【详解】事件A在一次试验中发生的概率为p，因为随机事件A恰好发生1次的概率不小于其恰好发生2次的概率，所以p(1-p)3≥p2(1-p)2，解得p≤0.4，即p的取值范围是(0，0.4].故选：D.规律方法n重伯努利试验概率求解的关注点(1)解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式．(2)运用n重伯努利试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验是否为n重伯努利试验，判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试验的结果只有两种(即要么发生，要么不发生)，在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等，然后用相关公式求概率．例5．（2022·全国·模拟预测）同时抛掷两枚质地均匀的硬币一次，若两枚硬币都正面向上，就说这次试验成功，则3次试验中至少有2次成功的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先求出一次试验中两枚硬币都正面向上的概率，进而根据独立重复试验求概率的方法求得答案.【详解】在一次试验中，两枚硬币都正面向上的概率为，设X为3次试验中成功的次数，则，故所求概率.故选：B.例6．（2022·安徽·高三开学考试（理））根据历史数据，某山区在某个季节中每天出现雾凇的概率均为p，且在该季节的连续4天中，都不出现雾凇的概率为．据此估计，该地在该季节接下来的连续三天中，恰有一天出现雾凇的概率为（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由题可得，再利用独立重复概率公式即得.【详解】由题意得，，解得，故在该地该季节的连续三天中，恰有一天出现雾凇的概率为．故选：A．题型三二项分布的均值与方差例7．（2022·河南·模拟预测（理））无土栽培由于具有许多优点，在果蔬种植行业得到大力推广，无土栽培的类型主要有水培､岩棉培和基质培三大类.某农科院为了研究某种草苺最适合的无土栽培方式，种植了400株这种草苺进行试验，其中水培､岩棉培､基质培的株数分别为200，100，100.草苺成熟后，按照栽培方式用分层抽样的方法抽取了40株作为样本，统计其单株产量，数据如下：方式株数单株产量（）水培岩棉培基质培x4353z4221y0(1)求x，y，z的值；(2)若从这40株草苺中随机抽取2株，求这2株中恰有1株的单株产量不小于150的概率；(3)以这40株草莓的不同单株产量的频率代替每一株草莓的产量为对应数值的概率，若从这400株草莓中随机抽取3株，用X表示单株产量在内的株数，求X的分布列和数学期望.【答案】(1)x，y，z的值分别为10，1，5；(2)；(3)分布列答案见解析，数学期望：.【解析】【分析】（1）根据分层抽样的性质进行求解即可；（2）根据古典概型公式进行求解即可；（3）根据二项分布的性质进行求解即可.(1)根据分层抽样可知，水培､岩棉培､基质培分别抽取的株数为20，10，10，由，解得，由，解得，由，解得，故x，y，z的值分别为10，1，5；(2)记“这2株中恰有1株的单株产量不小于150g”为事件A，由表可知，单株产量不小于150g的共有株，所以.(3)依题意可知，单株产量在内的概率为，X的所有可能取值为0，1，2，3，则，则，，，，其分布列如下：X0123P所以.规律方法解决此类问题第一步是判断随机变量X服从什么分布，第二步代入相应的公式求解．若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．例8．（2022·安徽·蒙城县第六中学高三开学考试（理））一个袋子中有50个大小相同的球，其中有白球20个，黑球30个，从中有放回的依次摸出5个球作为样本，用X表示样本中白球的个数.(1)求X的分布列和期望；(2)用样本中的白球比例估计总体中白球的比例，求误差不超过0.2的概率.【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望为(2)0.8352【解析】【分析】（1）根据二项分布相关知识求解即可；（2）根据条件得到随机变量的取值，再计算概率即可.(1)对于有放回的摸球，每次摸到白球的概率是0.4，且各次之间的结果是相互独立的，因此，则X的分布列为，X012345P期望.(2)样本中的白球比例是个随机变量，且，所以，用样本中的白球比例估计总体中白球的比例，则误差不超过0.2的概率为0.8352.例9．（2022·河北·石家庄二中高二期末）近年来某村制作的手工艺品在国内外备受欢迎，该村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关，质量把关程序如下：（ⅰ）若一件手工艺品3位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为A级；（ⅱ）若3位行家中仅有1位行家认为质量不过关，再由另外2位行家进行第二次质量把关．若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为B级；若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关，则该手工艺品质量为C级；（ⅲ）若3位行家中有2位或3位行家认为质量不过关，则该手工艺品质量为D级．已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认为质量不过关的概率为，且各手工艺品质量是否过关相互独立．(1)求一件手工艺品质量为B级的概率；(2)求81件手工艺品中，质量为C级的手工艺品件数的方差；(3)求10件手工艺品中，质量为D级的手工艺品最有可能是多少件？【答案】(1)(2)(3)2件【解析】【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算可得；（2）首先求出一件手工艺品质量为C级的概率，设81件手工艺品中质量为C级的手工艺品是X件，则，再根据二项分布的方差公式计算可得；（3）首先求出一件手工艺品质量为D级的概率，设10件手工艺品中质量为D级的手工艺品是ξ件，则，根据二项分布的概率公式求出的最大值，即可得解；(1)解：一件手工艺品质量为B级的概率为．(2)解：一件手工艺品质量为C级的概率为，设81件手工艺品中质量为C级的手工艺品是X件，则，所以．(3)解：一件手工艺品质量为D级的概率为，设10件手工艺品中质量为D级的手工艺品是ξ件，则，则，．由解得，所以当时，，即，由解得，所以当时，，所以当时，最大，即10件手工艺品中质量为D级的最有可能是2件．题型四利用超几何分布的公式求概率例10．（2022·湖南·高二课时练习）50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n至少为________．【答案】15【解析】【分析】根据超几何分布概率公式列出不等式，进而解出n.【详解】用X表示中奖票数，P(X≥1)＝，所以，解得n≥15.故答案为：15.规律方法超几何分布是一种常见的随机变量的分布，所求概率分布问题由明显的两部分组成，或可转化为明显的两部分.例11．（2022·全国·高二课时练习）在含有5件次品的10件产品中，任取4件，则取到的次品数X的分布列为P(X＝r)＝________.【答案】，r＝0,1,2,3,4【解析】【分析】根据超几何分布的概率公式即可得出答案.【详解】解：由题意可知，X服从超几何分布，则P(X＝r)＝，r＝0,1,2,3,4.故答案为：，r＝0,1,2,3,4例12．（2022·全国·高二课时练习）某导游团有外语导游10人，其中6人会说日语，现要选出4人去完成一项任务，则有2人会说日语的概率为________．【答案】【解析】【分析】根据超几何分布概率公式即可求得答案.【详解】有2人会说日语的概率为.故答案为：.题型五超几何分布的分布列例13．（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（理））近年来，某市为促进生活垃圾分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾桶．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾桶中的生活垃圾，总计400吨，数据统计如下表（单位：吨）．厨余垃圾桶可回收物桶其他垃圾桶厨余垃圾602020可回收物104010其他垃圾3040170(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；(2)若处理1吨厨余垃圾需要5元，处理1吨非厨余垃圾需要8元，请估计处理这400吨垃圾所需要的费用；(3)某社区成立了垃圾分类宣传志愿者小组，有7名女性志愿者，3名男性志愿者，现从这10名志愿者中随机选取3名，利用节假日到街道进行垃圾分类宣传活动（每名志愿者被选到的可能性相同）．设为选出的3名志愿者中男性志愿者的个数，求随机变量的分布列及数学期望．【答案】(1)(2)2900元(3)分布列见解析，【解析】【分析】（1）由题表可得厨余垃圾共有吨，其中投入厨余垃圾桶的有吨，根据古典概型即可求出结果；（2）由题表可得这吨垃圾由吨厨余垃圾，吨非厨余垃圾，根据题意，即可求出结果；（3）由题意可知随机变量服从超几何分步，根据超几何分步即可求出分布列和期望.(1)解：由题表可得厨余垃圾共有吨，其中投入厨余垃圾桶的有吨，所以厨余垃圾投放正确的概率；(2)解：由题表可得这吨垃圾由吨厨余垃圾，吨非厨余垃圾，则处理费用为（元）所以估计处理这吨垃圾需要元；(3)解：随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，，所以的分布列为0123所以所以选出的3名志愿者中男性志愿者个数的数学期望为.规律方法解决超几何分布问题的两个关键点(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．(2)超几何分布中，只要知道M，N，n就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列．例14．（2022·辽宁·瓦房店市高级中学高二期末）共享电动车（sharedev）是一种新的交通工具，通过扫码开锁，实现循环共享.某记者来到中国传媒大学探访，在校园喷泉旁停放了10辆共享电动车，这些电动车分为荧光绿和橙色两种颜色，已知从这些共享电动车中任取1辆，取到的是橙色的概率为，若从这些共享电动车中任意抽取3辆.(1)求取出的3辆共享电动车中恰好有一辆是橙色的概率；(2)求取出的3辆共享电动车中橙色的电动车的辆数X的分布列与数学期望.【答案】(1)；(2)分布列见解析，数学期望为.【解析】【分析】（1）先求出两种颜色的电动车各有多少辆，然后根据超几何分布求概率的方法即可求得答案；（2）先确定X的所有可能取值，进而求出概率并列出分布列，然后根据期望公式求出答案.(1)因为从10辆共享电动车中任取一辆，取到橙色的概率为0.4，所以橙色的电动车有4辆，荧光绿的电动车有6辆.记A为“从中任取3辆共享单车中恰好有一辆是橙色”，则.(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.所以，，，.所以分布列为0123数学期望.例15．（2022·北京八中高二期末）某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语；2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列和数学期望．【答案】(1)(2)分布列见解析；【解析】【分析】（1）利用组合的知识计算出基本事件总数和满足题意的基本事件数，根据古典概型概率公式求得结果；（2）确定所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可计算出每个取值对应的概率，进而得到分布列和数学期望.(1)名同学中，会法语的人数为人，从人中选派人，共有种选法；其中恰有人会法语共有种选法；选派的人中恰有人会法语的概率.(2)由题意可知：所有可能的取值为，；；；；的分布列为：数学期望为题型六超几何分布的综合应用例16．（2022·北京·高三期末）2022年7月11日18时，中央气象台发布暴雨橙色预警，这是中央气象台2022年首次发布暴雨橙色预警.中央气象台预计，7月11日至13日，华北地区将出现2022年以来的最强降雨.下表是中央气象台7月13日2：00统计的24小时全国降雨量排在前十的区域.北京密云山东乐陵河北迁西山东庆云北京怀柔河北海兴河北唐山天津渤海A平台河北丰南山东长清180毫米175毫米144毫米144毫米143毫米140毫米130毫米127毫米126毫米126毫米(1)从这10个区域中随机选出1个区域，求这个区域的降雨量超过135毫米的概率；(2)从这10个区域中随机选出3个区域，设随机变量X表示选出的区域为北京区域的数量，求X的分布列和期望：(3)在7月13日2：00统计的24小时全国降雨量排在前十的区域中，设降雨量超过140毫米的区域降雨量的方差为，降雨量在140毫米或140毫米以下的区域降雨量的方差为，全部十个区域降雨量的方差为.试判断，，的大小关系.（结论不要求证明）【答案】(1)(2)分布列答案见解析，数学期望：(3)【解析】【分析】（1）由表格可得雨量在135毫米以上的区域共有6个，进而可得结果；（2）得出的所有取值，分别计算其概率，即可得分布列和期望；（3）结合方差的意义可得结果.(1)设这个区域降雨量在135毫米以上为事件，区域降雨量在135毫米以上的区域共有6个，所以答：这个区域降雨量在135毫米以上的概率为(2)由题意分析可知，，.随机变量的分布列为：所以随机变量的数学期望为：.(3).规律方法超几何分布均值的计算公式若一个随机变量X的分布列服从超几何分布，则E(X)＝eq\f(nM,N).例17．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二期末）某超市举办有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有个红球，个白球的甲箱和装有个红球，个白球的乙箱中，各随机摸出个球，若都是红球，则可获得现金元；若只有个红球，则可获得现金元；若没有红球，则不获奖.球的大小重量完全相同，每次抽奖后都将球放回且搅拌均匀.(1)若某顾客有次抽奖机会，求该顾客获得现金元或元的概率；(2)若某顾客有次抽奖机会，求该顾客在次抽奖中一共获得现金元的概率.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）设“该顾客获得现金元或元”，为顾客抽一次奖所获奖金，则可求出，，从而可求出；（2）首先计算1次抽奖时，，的值，然后可求出该顾客在次抽奖中一共获得现金元的概率.(1)设“该顾客获得现金元或元”，为顾客抽一次奖所获奖金，则，，所以.所以该顾客获得现金元或元的概率为.(2)设“该顾客在两次抽奖中一共获得现金元”，由（1）知，，，所以.所以该顾客在次抽奖中一共获得现金元的概率.例18．（2022·全国·高二单元测试）在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该厂质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.（1）规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩.现利用分层随机抽样的方法从样本口罩中随机抽取8个口罩，再从抽取的8个口罩中随机抽取3个，记其中一级口罩的个数为，求的分布列及均值.（2）甲计划在该型号口罩的某网络购物平台上参加店的一个订单“秒杀”抢购，乙计划在该型号口罩的某网络购物平台上参加店的一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单均由个该型号口罩构成.假定甲､乙两人在，两店订单“秒杀”成功的概率均为，记甲､乙两人抢购成功的订单总数量､口罩总数量分别为，.①求的分布列及均值；②求的均值取最大值时，正整数的值.【答案】（1）分布列答案见解析，；（2）①分布列答案见解析，；②的值为2.【解析】【分析】（1）可得的可能取值为0，1，2，求出取不同值的概率，即可得出分布列，求出期望；（2）①可得的可能取值为0，1，2，求出取不同值的概率，即可得出分布列；②利用基本不等式可求出.【详解】（1）结合频率分布直方图，得用分层随机抽样抽取8个口罩，其中二级､一级口罩的个数分别为6，2，所以的可能取值为0，1，2.，，，所以的分布列为012所以.（2）①由题意，知的可能取值为0，1，2.，，，所以的分布列为012所以.因为，所以，当且仅当时取等号.所以取最大值时，的值为2.【同步练习】一、单选题1．（2022·全国·高三阶段练习（理））研究示，某地区实施人工降雨以后降水量超过200mm的率为.现在由于干旱，要对该地区连续4天使用人工降雨，则在这4天中至少有2天降水量超过200mm的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用独立重复试验概率公式即得.【详解】依题意，所求概率为.故选：B.2．（2022·四川自贡·一模（理））同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为，则的数学期望是（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【解析】【分析】求出同时抛掷2枚质地均匀的硬币1次，2枚硬币均正面向上的概率，再利用二项分布的期望公式计算作答.【详解】同时抛掷2枚质地均匀的硬币1次的不同结果有：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，共4个，它们等可能，同时抛掷2枚质地均匀的硬币1次，2枚硬币均正面向上的事件A，有一个结果，则，因同时抛掷2枚质地均匀的硬币1次，事件A有发生与不发生两个不同结果，因此，同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，事件A发生次数，则，所以的数学期望是1.故选：A3．（2022·安徽省亳州市第一中学高二期末）已知随机变量X服从二项分布X~B(4，)，（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用二项分布概率计算公式，计算出正确选项.【详解】∵随机变量X服从二项分布X~B(4，)，∴.故选：D.4．（2022·全国·模拟预测）某口罩生产厂生产了一批N95型口罩，已知每只口罩检验合格的概率为0.8，对不合格的口罩进行一次技术精加工，加工后每只口罩检验合格的概率为0.3，不合格的作为废品处理.现从这批N95型口罩中任选一只，则得到合格口罩的概率为（

）A．0.78 B．0.86 C．0.88 D．0.90【答案】B【解析】【分析】根据题意可得出任选一只为合格口罩分第一次检验合格和经过精加工后检验合格两种情况，从而可求出答案.【详解】由题意可知，任选一只为合格口罩分第一次检验合格和经过精加工后检验合格两种情况，所以得到合格口罩的概率为.故选：B.5．（2022·四川成都·一模（理））已知某篮球运动员每次罚球命中的概率为0.4，该运动员进行罚球练习（每次罚球互不影响），则在罚球命中两次时，罚球次数恰为4次的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用二项分布的概率即可得解.【详解】由已知命中的概率为0.4，不命中的概率为罚球4次，命中两次，说明第4次命中，前3次命中1次故概率故选：C6．（2022·全国·高二课时练习）为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，有关部门要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先求得该产品能销售的概率，易知X的所有可能取值为﹣320，﹣200，﹣80，40，160，然后利用二项分布求解.【详解】由题意得该产品能销售的概率为，易知X的所有可能取值为﹣320，﹣200，﹣80，40，160，设表示一箱产品中可以销售的件数，则，所以，所以，，，故，，故选：B．7．（2022·全国·高二课时练习）一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个球，其中红球个数的数学期望是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】记同时取出的2个球中红球的个数为X，则，再根据超几何分布的期望公式计算可得；【详解】解：记同时取出的2个球中红球的个数为X，则X服从参数为，，的超几何分布，所以．故选：C8．（2022·全国·高二课时练习）某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方．为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示：用时/秒[5,10]（10,15]（15,20]（10,15]男性人数1522149女性人数511177以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立．若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概率最大）是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】【分析】由条件求出1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，设设随机抽取的20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数为，则，由此可得，再求其最大值，并确定对应的的值.【详解】根据题意得，1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率为，设随机抽取的20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数为，则，其中，，当时，由，得，化简得，解得，又，所以，所以这20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数最有可能是4．故选：C．二、多选题9．（2022·辽宁·瓦房店市高级中学高二期末）一个不透明的口袋中有8个大小相同的球，其中红球5个，白球1个，黑球2个，则下列选项正确的有（

）A．从该口袋中任取3个球，设取出的红球个数为，则数学期望B．每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了3次，设取出的黑球次数为，则数学期望C．从该口袋中任取3个球，设取出的球的颜色有X种，则数学期望D．每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，设拿出的黑球的个数为Y，则数学期望【答案】ABD【解析】【分析】根据给定条件结合随机变量分布列、期望公式，逐项分析、计算判断作答.【详解】对于A，的可能值：0，1，2，3，，，，，则，A正确；对于B，的可能值：0，1，2，3，取球一次取到黑球的概率为，因取球一次有取到黑球和没取到黑球两个结果，因此，,，B正确；对于C，的可能值：1，2，3，，，，则，C不正确；对于D，的可能值：0，1，2，，，，则，D正确.故选：ABD【点睛】方法点睛：判断随机变量是否服从二项分布：一是要看在一次试验中是否只有两种试验结果，且两种试验结果发生的概率分别为，；二是看是否为次独立重复试验，且随机变量是否为某事件在这次独立重复试验中发生的次数10．（2022·江苏省天一中学高二期末）下列关于说法正确的是（

）A．抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量B．某人射击时命中的概率为，此人射击三次命中的次数服从两点分布C．小赵.小钱.小孙.小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则D．已知随机变量服从两点分布，且，，令，则【答案】ACD【解析】【分析】直接利用随机事件，两点分布的和二项分布的区别，条件概率的应用，相互独立事件的定义，逐项判断，即可得到结果．【详解】对于A，抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数可能是0，也可能是1，故出现正面的次数是随机变量，故A正确；对于B：某人射击时命中的概率为，此人射击三次命中的次数服从二项分布而不是两点分布，故B错误；对于C：小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“个人去的景点不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，故，，所以，故C正确；对于D，由于，所以，又，所以，故D正确.故选：ACD.11．（2022·全国·模拟预测）已知随机变量，则下列命题正确的有（

）A．B．C．若甲投篮命中率为，则X可以表示甲连续投篮4次的命中次数D．若一个不透明盒子装有大小相同，质地均匀的10个绿球和30个红球，则X可以表示从该盒子中不放回地随机抽取4个球后抽到的绿球个数【答案】BC【解析】【分析】利用二项分布的期望、方差公式计算判断B，C；利用独立重复试验的意义判断C；求出从盒子中不放回地随机抽取4个球后抽到的绿球个数X的概率判断D作答.【详解】因随机变量，则，，A不正确，B正确；甲连续投篮4次相当于4次独立重复投篮一次的试验，而单次投篮命中率为，则命中次数，C正确；对于D，依题意，，即时的概率随k值的变化而变化，不服从，D不正确.故选：BC12．（2022·辽宁·高二阶段练习）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》给出了著名的杨辉三角，在杨辉三角（左图）中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，第n行所有数之和为；右图是英国生物学家高尔顿设计的模型高尔顿板，在一块木板上钉着若干排相互平行且相互错开的圆柱形钉子，钉子之间留有空隙作为通道，让一个小球从高尔顿板上方的入口落下，小球在下落的过程中与钉子碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉到下方的某一球槽内，如图，小球从高尔顿板第1行的第一个缝隙落下的概率是，第二个缝隙落下的概率是；从第2行第一个缝隙落下的概率是，第二个缝腺落下的概率是，第三个缝隙落下的概率是，小球从第n行第m个缝隙落下的概率可以由杨辉三角快速算出，那么小球从第6行某个缝隙落下的概率可能为（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】【分析】利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率公式，计算m取各个值的概率即可判断作答.【详解】小球落下要经过6次碰撞，每次向左、向右落下的概率均为，小球从第6行第m个缝隙落下，则6次碰撞有次向右，其概率为，，于是得，，，，所以选项A，D不可能，选项B，C可能.故选：BC三、填空题13．（2022·吉林·东北师大附中高二期末）某n重伯努利试验中，事件A发生的概率为p，事件A发生的次数记为X，，，则______．【答案】##0.2【解析】【分析】根据二项分布的均值和方差的计算公式可求解．【详解】依题意得X服从二项分布，则，解得，故答案为：．14．（2022·全国·模拟预测）袋中有3个红球，7个白球，这些球除颜色不同外其余完全相同，从中无放回地任取5个，取出几个红球就得几分，则平均得______分.【答案】1.5##32【解析】【分析】由X服从超几何分布可得.【详解】用X表示所得分数，则X也是取得的红球数，X服从超几何分布，于是.故答案为：1.515．（2022·全国·高三专题练习）一个口袋内有个大小相同的球，其中个红球和个白球，已知从口袋中随机取出个球是红球的概率为，,若有放回地从口袋中连续次取球(每次只取1个球)，在次取球中恰好次取到红球的概率大于，则________.【答案】【解析】【分析】由题意次取球中恰好次取到红球的概率大于，根据次独立重复试验概率计算公式列出不等式可求出的范围，进而求出的具体数值；然后由随机取出个球是红球的概率为列式即可求出的值.【详解】次取球中恰好次取到红球的概率大于，，，，，，，又，，，又从口袋中随机取出个球是红球的概率为，，故答案为：16．（2022·广东·佛山市顺德区华侨中学高二期中）甲乙两队进行篮球决赛，采取五局三胜制，假设每一局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，如果甲队先赢一局，则甲赢下比赛的概率为___________.【答案】【解析】【分析】因为甲已经取胜一局，所以只需要考虑剩下的情况，分为前三局全胜，前四局胜三局，打完五局胜三局，进而求得答案.【详解】因为甲已经取胜一局，所以只需要考虑剩下的情况，若前三局甲胜，甲获胜的概率为，若打完四局后甲获胜，第四局甲必须获胜，甲获胜的概率为，若打完五局后甲获胜，第五局甲必须获胜，甲获胜的概率为，所以甲获胜的概率是.故答案为：.四、解答题17．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）某省食品药品监管局对15个大学食堂的“进货渠道合格性”和“食品安全”进行量化评估，满分为10分，大部分大学食堂的评分在7~10分之间，以下表格记录了它们的评分情况：分数段食堂个数1383(1)现从15个大学食堂中随机抽取3个，求至多有1个大学食堂的评分不低于9分的概率；(2)以这15个大学食堂的评分数据评估全国的大学食堂的评分情况，若从全国的大学食堂中任选3个，记X表示抽到评分不低于9分的食堂个数，求X的分布列及数学期望.【答案】(1)(2)分布列见解析，【解析】【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求概率.（2）由题设可得，故利用二项分布可求的分布列，利用公式可求其期望.(1)设至多有1个大学食堂的评分不低于9分为事件，则.所以至多有1个大学食堂的评分不低于9分的概率为.(2)任意一个大学食堂，其评分不低于9分的概率为，故，所以，，，，的分布列为：0123.18．（2022·全国·高二单元测试）溺水､校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.在竞赛中，甲､乙两个中学代表队相遇，假设甲队3人回答正确的概率均为，乙队3人回答正确的概率分别为，，，且两队各人回答问题正确与否互不影响.(1)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率；(2)求甲队总得分X的分布列和数学期望.【答案】(1)；(2)分布列见解析，.【解析】【分析】（1）利用独立事件的乘法公式及互斥事件加法公式求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率；（2）由题意有，利用二项分布概率公式求各可能值对应的概率，进而写出分布列，再根据分布列求期望即可.(1)由题设，甲队得2分，即2人答对1人答错，概率为，乙队得1分，即1人答对2人答错，概率为，所以甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.(2)由题设，，且，，，，甲队总得分X的分布列如下：0123所以.19．（2022·山东淄博·高三阶段练习）为庆祝中国共产党建党100周年，某单位举办了以“听党召唤，使命在肩”为主题的知识竞赛活动，经过初赛､复赛，小张和小李进入决赛，决赛试题由3道小题组成，每道小题选手答对得1分，答错得0分，假设小张答对第一､第二､第三道小题的概率依次是，，，小李答对每道小题的概率都是.且他们每道小题解答正确与否相互之间没有影响，用X表示小张在决赛中的得分，用Y表示小李在决赛中的得分.(1)求随机变量X的分布列和数学期望E（X），并从概率与统计的角度分析小张和小李在决赛中谁的得分能力更强一些；(2)求在事件“”发生的条件下，事件“”的概率.【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：，小李的得分能力更强一些(2)【解析】【分析】（1）结合相互独立事件、独立重复试验的知识计算出的分布列以及，由此作出判断.（2）利用条件概型概率计算公式，计算出事件“”的概率.(1)由题设知X的可能取值为0，1，2，3所以；，，所以随机变量X的分布列为X0123P数学期望而，所以，所以，小李的得分能力更强一些.(2)设“”为事件A，“”为事件B，因为；；，，，所以，所以在的条件下，的概率是.20．（2022·黑龙江·哈师大附中高三期末（理））某班组织同学开展古诗词背诵活动，老师要从10篇古诗词中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能过关，某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的古诗词的数量的概率分布及数学期望；(2)他能过关的概率．【答案】(1)分布列见解析，(2)【解析】【分析】（