《自动控制原理》课件Ch5-Frequency-response-method

第五章频率响应法5.1频率特性的概念5.2典型环节的频率特性5.4控制系统的频域稳定判据5.5稳定裕度5.7开环系统频率特性与闭环系统性能的关系5.3系统的开环频率特性图的绘制5.6闭环频率特性和频域性能指标基本思想：

通过开环频率特性的图形对系统进行分析。数学模型——频率特性。主要优点：（1）不求解闭环特征方程,可分析系统的稳定性；（2）二阶系统频率特性与暂态性能指标有确切对应关系；（3）频率响应有鲜明的物理意义（有效利用实验法）；（4）不仅适用于线性系统，还可推广到非线性系统；（5）可方便设计出能有效抑制噪声的系统。

一、频率特性的定义式中，为极点。若：则：r(t)c(t)5.1频率特性的概念拉普拉斯反变换为：若系统稳定，则极点都在s左半平面。当，即稳态时：式中，分别为：而上述分析表明，对于稳定的线性定常系统，输入一个正弦信号，它的稳态响应是一个与输入同频率的正弦信号，稳态响应与输入不同之处仅在于幅值和相位。其幅值放大了倍，相位移动了。定义稳态响应与正弦输入信号的相位差为系统的相频特性，它描述系统的稳态响应对不同频率输入信号的相位移特性；定义稳态响应的幅值与输入信号的幅值之比为系统的幅频特性，它描述系统对不同频率输入信号在稳态时的放大特性；频率特性函数的定义：零初始条件的线性系统或环节，在正弦信号作用下，稳态输出与输入的复数比，简称频率特性。表示为：频率特性与传递函数的关系：例：设传递函数为：微分方程为：频率特性为：

数学模型：微分方程、传递函数、脉冲（冲激）响应函数和频率特性。它们之间的关系如下：微分方程频率特性传递函数脉冲函数一般用这两种方法

已知系统的运动方程，输入正弦函数求其稳态解，取输出稳态分量和输入正弦的复数比。1)根椐传递函数来求取；2)通过实验测得。A(ω)称幅频特性，q(ω)称相频特性;G(jω)称为幅相频率特性。二、频率特性的求法三、频率特性的物理意义频率特性表征了系统或元件对不同频率正弦输入的响应特性。q(ω)A(ω)【例】某单位反馈控制系统的开环传递函数为Go(s)=1/(s+1),试求输入信号r(t)=2sin2t时系统的稳态输出y(t)。解：系统的频率特性

=2时，则系统稳态输出为：

y(t)=0.35x2sin(2t-45o)=0.7sin(2t-45o)四、频率特性的图形表示方法3）对数幅相频率特性图※（Nichols图）1）对数频率特性图（Bode图）2)幅相频率特性图（极坐标图或Nyquist图）十倍频程当w从0→+∞变化时，G(jw)的复向量轨迹图.作业：5.4，5.9比例环节积分环节纯微分环节惯性环节一阶微分环节振荡环节5.2典型环节的频率特性（P121）一、比例环节传递函数:频率特性:1.对数频率特性2.幅相频率特性二、积分环节传递函数:频率特性:1.对数频率特性多个积分环节串联：2.幅相频率特性传递函数:频率特性:二、积分环节三、纯微分环节传递函数:频率特性:1.对数频率特性2.幅相频率特性

四、惯性环节传递函数:频率特性:1.对数频率特性

四、惯性环节2.幅相频率特性

传递函数:频率特性:五、一阶微分环节

传递函数:频率特性:1.对数频率特性2.幅相频率特性六、振荡环节（二阶系统）

传递函数:频率特性:1.对数频率特性近似对数幅频特性曲线:相频特性曲线:六、振荡环节（二阶系统）

—转折频率（开环谐振频率）当ω=0时，u(ω)=1,v(ω)=0，起始点在实轴上的（1，j0）处。当ω=ωn时，u(ω)=0,v(ω)=-1/2ζ当ω=∞时，u(ω)=0,v(ω)=0。2.幅相频率特性

最小相位统频率特性特点：1.零、极点全部位于s左半平面的系统称为最小相位系统。2.最小相位系统和非最小相位系统的对数频率特性：因此，这两个系统的幅频特性完全相同。相频特性其中最小相位系统的幅频特性和相频特性一一对应最小相位系统的相位变化最小非最小相位系统最小相位系统作业5.05.15.3系统的开环频率特性图的绘制一、系统的开环对数频率特性图（Bode图）当n个环节串联时：绘制方法I：（各环节的Bode图求和）①将G(s)化为时常数形式；②分别绘出各环节的Bode图； ③将②中各Bode图求和，即得折线频率特性图； ④转折频率处修正：一、控制系统的开环对数频率特性图（Bode图）Note：①低频段取决于系统的型数n【斜率-n，相角-90n°】； ②高频段取决于n-m；【斜率-(n-m)，相角-90(n–m)°】.绘制方法II：（不求和，直接绘图）①计算转折频率w1,w2,…,标于图上；②画低频段（第一个转折频率之前的频段）的渐近线即积分环节线，其特点为：斜率为-n的直线；

，w=1处，幅值为20lgK； ③低频段后，每过一个转折频率，斜率改变一次。一、控制系统的开环对数频率特性图（Bode图）例：已知某最小相位系统的对数幅频特性图如下：（1）写出系统的传递函数；（2）计算截止频率wc【注：L(wc)=0】一、控制系统的开环对数频率特性图（Bode图）作业：5.2，5.3，5.5，5.6，5.8可得奈氏曲线的起点形状：1.起点（取决于型数n）：二、系统的开环幅相特性图（Nyquist图、极坐标图）

幅相特性图：当w从0→+∞变化时，G(jw)的复向量轨迹图，由起点、终点和与负实轴交点决定。分析可得如下结论：奈氏曲线沿方向进入原点。2.终点（取决于）：，此时的频率特性与分子、分母多项式阶次之差有关。终点处幅值：终点处相角：1.起点（取决于型数n）；二、系统的开环幅相特性图（Nyquist图、极坐标图）3.与负实轴交点。

奈氏曲线与实轴的交点：wg—交界角频率（穿越频率）2.终点（取决于）；1.起点（取决于型数n）；（crossoverfrequency）二、系统的开环幅相特性图（Nyquist图、极坐标图）Nyquist曲线的对称性对称于实轴，因此，画出的Nyquist曲线，的Nyquist曲线与的Nyquist曲线对称地可以画出整个的Nyquist曲线。5.4控制系统的频域稳定判据（P135）稳定的定义：任何系统在扰动的作用下都会偏离原平衡状态产生初始偏差。所谓稳定性就是指当扰动消除后，由初始状态恢复原平衡状态的能力；若系统可恢复平衡状态，则称系统是稳定的，否则是不稳定的。稳定的充分必要条件：系统的特征根都具有负实部。时域稳定判据：劳斯判据，霍尔维茨判据※。频域稳定判据：Nyquist判据（奈氏判据），Bode判据Nyquist判据是利用开环幅相特性曲线（Nyquist图）判断闭环稳定性的图解方法；Bode判据是利用开环对数频率特性曲线（Bode图）判断系统闭环稳定性的图解方法；以上两判据均可用于判断闭环系统的绝对稳定性，也能计算系统的相对稳定指标和研究改善系统性能的方法。Nyquist判据Bode判据5.4控制系统的频域稳定判据（P135）F(s)的特点：F(s)的零点就是控制系统的闭环极点；F(s)的极点就是控制系统的开环极点。一、Nyquist稳定判据思想：利用图解的方法来确定F(s)位于s右半平面的零点，从而归纳出判别系统稳定性的奈氏判据。分两种情况考虑:

1）开环传递函数中没有积分环节（即s=0的开环极点）；

2）开环传递函数中含有积分环节（即s=0的开环极点）。控制系统的闭环极点HarryNyquist(1889–1976)1）开环传递函数中没有积分环节（不含s=0的极点）

中各零、极点指向测试点的向量为:辐角原理（柯西定理、映射定理）：若F(s)在s平面上除了有限个奇点外，它总是解析的，则当动点s’在s平面上顺时针方向绕不通过任何极点和零点的封闭曲线一周时，F(s)也在复平面上映射出一条闭合曲线。s平面闭合路径F(s)平面轨迹

当沿路径顺时针移动一周时，未被包围的零、极点对应的向量的净相角变化等于零。若仅包围F(s)的零点：

被包围的零点，其相角变化了，即顺时针绕坐标原点一圈。

若顺时针包围F(s)的1个零点，则顺时针包围F(s)的原点1圈。

若顺时针包围F(s)的Z个零点，则顺时针包围F(s)的原点Z圈。s平面闭合路径F(s)平面轨迹

若仅包围F(s)的极点

若顺时针包围F(s)的P个极点，则逆时针包围F(s)的原点P圈。

若顺时针包围F(s)的Z个零点和P个极点，则顺时针包围F(s)的原点Z-P圈。

若顺时针包围F(s)的Z个零点，则顺时针包围F(s)的原点Z圈。s平面闭合路径F(s)平面轨迹

F(s)在s右半平面的零点个数=控制系统在s右半平面闭环极点的个数F(s)在s右半平面的极点个数=控制系统在s右半平面开环极点的个数Nyquist选取了包围整个s右半平面的曲线进行研究：

若顺时针包围F(s)的Z个零点和P个极点，则顺时针包围F(s)的原点Z-P圈。包围原点的圈数。N>0为顺时针，N<0为逆时针。N:奈氏曲线G(jw)顺时针包围(-1,j0)点的圈数Nyquist稳定判据（P137）：1.若系统开环稳定，则闭环稳定的充要条件是：当

从-

+

连续变化时，F(jw)=1+G(jw)曲线顺时针包围原点0圈，即奈氏曲线不包围(-1,j0)点。2.若系统有P个开环右根，则闭环稳定的充要条件是：当

从-

+

连续变化时，F(jw)=1+G(jw)曲线顺时针包围原点-P圈，即奈氏曲线逆时针包围(-1,j0)点P圈。Note：①系统不含积分环节（无s=0开环极点）；②纯虚根归为开环左根。，判断K=20时闭环的稳定性。思考:K=100时，系统的稳定性如何？条件稳定系统:K取特定值时，才稳定的系统。

如何确定使系统稳定的K的取值范围？2）开环传递函数中含有积分环节（含s=0的开环极点）Nyquist路径选为由-jω轴﹑无限小半圆abc﹑jω轴和无限大半圆四部分组成。在无限小半圆上，s可表示为

对应a点结论：s平面无限小圆上的a点映射到G(s)平面上为正虚轴上无穷远处的点a’。令，得2.对应b点s平面无限小圆上的b点变换到G(s)平面上为正实轴上无穷远处的一点b’。3.对应c点s平面无限小圆上的c点变换到G(s)平面上为负虚轴上无穷远处的一点c’。结论：当s沿无限小半圆由a点移动到b点、再移动到c点时，其相角逆时针方向改变了180o，而G(s)的相角则顺时针方向改变了180°若G(s)含有n个积分环节，则在abc过程中G(s)的相角变化：

n*180°

因此，若开环传递函数中含有1个积分环节（极点s=0），则奈氏曲线应该顺时针补画由0-→0+的180°、半径为无穷大的圆弧。补圆原则:开环传递函数中含有n个积分环节，奈氏曲线应该顺时针补画ω由0-→0+的n/2个半径为无穷大的圆周。判断其单位负反馈时的闭环稳定性。Note：s=0视为开环左根。，判断系统的闭环稳定性。，判断系统的闭环稳定性。条件稳定系统:K取特定值时，才稳定的系统；结构不稳定系统:K取任何值，均不稳定的系统。例：单位负反馈系统的开环传递函数为其中，试用奈氏判据判断该系统稳定时，K的取值范围。解：该开环系统的幅频和相频特性表达式当时，当时，作业5.7，5.10，5.11，5.12二、Bode稳定判据奈氏曲线正负穿越负实轴的概念：上→下：正穿越（增大了相角）；下→上：负穿越（减小了相角）。奈氏稳定判据：

Nyquist曲线在（-∞，-1）正负穿越次数相等，则系统闭环稳定。G1稳定，G2不稳定奈氏曲线在的穿越Bode图在wc前对-180°线的穿越G1G2Bode稳定判据：1、若系统开环稳定，则闭环稳定的充要条件是：在Bode图的L(w)>0频段，q(w)正负穿越-180°线的次数相等。2、若系统有P个开环右根，则闭环稳定的充要条件是：在Bode图的L(w)>0频段，q(w)对-180°线的净穿越（正减负）次数为P/2。Note：①从-180°开始的穿越计为1/2次；②若系统开环传递函数有n个积分环节，则应补画从q(0+)+n*90

°

到q(0+)的虚线，并将其视为q(w)的一部分。G1G2Bode稳定判据：1、若系统开环稳定，则闭环稳定的充要条件是：在Bode图的L(w)>0频段，q(w)正负穿越-180°线的次数相等。2、若系统有P个开环右根，则闭环稳定的充要条件是：在Bode图的L(w)>0频段，q(w)对-180°线的净穿越（正减负）次数为P/2。【例】判断下列系统进行单位负反馈时的闭环稳定性。方法1方法2方法3方法4劳斯判据根轨迹Nyquist判据Bode判据【分析】非最小相位系统。【例】判断下列系统进行单位负反馈时的闭环稳定性。1个开环右根，在Bode图的L(w)>0频段，q(w)对-180°线的净穿越（正减负）次数为1/2，因此系统闭环稳定。思考：增大K值，系统的闭环稳定性将如何变化？第五章频率响应法5.1频率特性的概念5.2典型环节的频率特性5.4控制系统的频域稳定判据5.5稳定裕度5.7开环系统频率特性与闭环系统性能的关系5.3系统的开环频率特性图的绘制5.6闭环频率特性和频域性能指标5.5稳定裕度（stabilitymargin）（P143）系统的标称（名义）模型vs.系统的实际模型（含摄动）

标称模型稳定

实际模型是否仍然稳定？稳定裕度：表征稳定系统稳定程度的量。

指标：增益裕度h，相角裕度g故曰：胜可知，而不可为。不可胜者，守也；可胜者，攻也。守则有余，攻则不足。——《孙子兵法·形篇》故用兵之法：十则围之，五则攻之，倍则战之，敌则能分之，少则能逃之，不若则能避之。——《孙子兵法·谋篇》一、增益裕度h（幅值裕度,gainmargin）h>0

时，系统闭环稳定；h=0

时，系统闭环临界稳定；h<0

时，系统闭环不稳定。对于开环稳定系统：--交界角频率（穿越）开环幅相特性曲线（奈氏曲线）G(jw)与负实轴相交时,其以dB表示的增益倒数。【G(jw)距-1点的“距离”】ujv增益裕度可否为无穷大？二、相角裕度g(phasemargin)对于开环稳定系统：②对于开环不稳定的系统不能用增益裕度和相角裕度来判断系统的稳定性。在工程上一般取相角裕度为30~60度，增益裕度大于6dB。

，则系统闭环稳定；，则系统闭环不稳定。jvu①对于最小相位系统，h>0和g>0是同时满足或同时不满足的，所以可只用其一表示系统的稳定裕度，常用相角裕度g

。使幅相特性曲线的增益交界点穿过-1点，必须绕原点顺时针旋转的角度。【例】求如下系统的稳定裕度。

【分析】稳定裕度：增益裕度和相位裕度。

增益裕度相角裕度直接计算理论上可行，实际操作难！根据Bode图确定稳定裕度的方法三、根据Bode图确定稳定裕度详细步骤见P145相角裕度增益裕度【例】求如下系统的稳定裕度。

【分析】绘制Bode图，数形结合求得截止频率。

增益裕度相角裕度根据Bode图确定稳定裕度①增益裕度h②相角裕度g【解】开环增益增大，稳定裕度如何变化？作业：5.125.6

闭环频率特性和频域性能指标(P146)一、频域性能指标

1.开环频域性能指标系统闭环后：绘制开环截止频率；交界角频率；2.闭环频域性能指标（1）零频振幅比M(0)指零频(w=0)时，系统稳态输出与输入的振幅比。M(0)与1之差的大小，反映了系统的稳态精度。（2）谐振峰值Mr是指幅频特性M(w)的最大值.反映了系统的平稳性（相对稳定性）。（4）频带宽度ωb是指幅频特性M(ω)从M(0)衰减到0.707M(0)时所对应的频段宽度，简称带宽，也称闭环截止频率ωcc

。

ωb反映了系统的快速性，其值越大，系统的快速性越好。闭环幅频特性曲线

（3）谐振频率ωr是系统产生谐振峰的频率。顶部不平；后沿不陡；低通有谐振峰例：频带宽度ωb对系统暂态性能的影响。闭环幅频特性曲线

单位阶跃响应曲线

M(w)wwb1wb20.707二、闭环频域指标与时域指标之间的关系对于二阶系统(1)相位裕度和超调量之间的关系越大系统的平稳性越好。(2)阻尼系数和谐振峰值之间的关系欲求谐振峰值，令若，则系统闭环无谐振。稳态精度高！(3)频带宽度和调整时间ts之间的关系增大带宽，则系统平稳性变好。（较快结束振荡调整过程）(4)相角裕度和闭环谐振峰值Mr之间的关系增大有利于削弱系统的闭环谐振，改善平稳性。对于高阶系统工程近似计算公式：越大系统快速性越好!越大系统平稳性越好！1）直接计算，计算机绘图；2）等M圆：闭环幅频特性曲线；等N圆：闭环相频特性曲线。三、闭环频率特性曲线的绘制※5.7开环频率特性与闭环系统性能的关系(P154)一、“高增益”与“三频段”原则-“高增益”原则难实现，采用“三频段”原则。低频段(第