2023-2024学年河南省郑州十一中高一（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年河南省郑州十一中高一（下）月考数学试卷（4月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.(1+iA.1−i B.1+3i 2.正方形ABCD的边长为1，则|A.1 B.3 C.3 D.3.一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，则截面不可能的图形为(

)A. B. C. D.4.在锐角△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，若b=2aA.30° B.45° C.60°5.已知向量a=(1,m)，b=A.−8 B.−6 C.6 6.如图，△A′B′C′是水平放置△ABC的直观图，其中B′A.2

B.2

C.6

7.如图在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AE=A.13AD−23AB 8.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且2A.(12,2) B.(2二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O

A.AB+AD=AC B.10.下列结论正确的为(

)A.正四棱柱是长方体的一类

B.四面体最多有四个钝角三角形

C.若复数z1，z2满足z12=z22，则|z111.中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S=14[c2a2−(c2+a2−bA.△ABC周长为5+7 B.C=π3

C.△12.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是(

)A.圆柱的侧面积为4πR2 B.圆锥的侧面积为5πR三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知复数z满足z=1+2i，则14.已知平面向量a=(2,−1)，b=15.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，B=60°，a16.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球围成的几何体，如图所示，已知正四面体ABCD的棱长为1，若一个正方体能够在勒洛四面体中随意转动，则正方体的棱长的最大值为______．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

求m为何实数时，复数z=m2+m−6+(m2−18.(本小题12分)

设向量a=(x,1)，b=(2,x+1)，其中x∈R．

(19.(本小题12分)

△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．acosC+3asinC=b20.(本小题12分)

如图，梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90°，AD=a21.(本小题12分)

在①2acosA=bcosC+ccosB；②tanB+tanC+3=3tanBtanC这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．

在△ABC中，a，b，c分别是角22.(本小题12分)

仰望星空，时有流星划过天际，令我们感叹生命的短暂，又深深震撼我们凡俗的心灵．流星是什么？从古至今，人们作过无数种猜测．古希腊亚里士多德说，那是地球上的蒸发物，近代有人进一步认为，那是地球上磷火升空后的燃烧现象．10世纪波斯著名数学家、天文学家阿尔⋅库希设计出一种方案，通过两个观测者异地同时观察同一颗流星，来测定其发射点的高度．如图，假设地球是一个标准的球体，O为地球的球心，AB为地平线，有两个观测者在地球上的A，B两地同时观测到一颗流星S，观测的仰角分别为∠SAD=α，∠SBD=β，其中，∠DAO=∠DBO=90°，为了方便计算，我们考虑一种理想状态，假设两个观测者在地球上的A，B两点测得α=30°，β=

答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．

直接计算即可．【解答】

解：原式=2−1+32.【答案】D

【解析】【分析】本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，属于基础题．

可画出图形，根据向量数乘的几何意义和向量加法的平行四边形法则即可得出答案．【解答】

解：如图，AB+2AD=AE，

3.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查球内接多面体、棱柱的结构特征．注意截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．

当截面的角度和方向不同时，球的截面不相同，应分情况考虑即可．

【解答】

解：当截面平行于正方体的一个侧面时得C，

当截面过正方体的体对角面时得B，

当截面不平行于任何侧面和对角面时得A，

但无论如何都不能截出D，

故选：D．4.【答案】A

【解析】解：把b=2asinB利用正弦定理化简得：sinB=2sinAsinB，

∵sinB≠0，A5.【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查了平面向量垂直的坐标运算，属于基础题．

根据平面向量垂直的坐标运算求解．

【解答】

解：∵a=(1,m)，b=(3,−2)，

∴6.【答案】C

【解析】解：在△A′B′C′中，B′C′=C′A′=1，∠B′A′C′=45°，

由余弦定理得：B′C′2=A′C′2+A′B′2−7.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了平面向量的加减法，属简单题．

由平面向量的加减法即可求解．

【解答】

解：ED=AD−AE=A8.【答案】C

【解析】解：△ABC中，由余弦定理得，a2=b2+c2−2bccosA，且△ABC的面积为S=12bcsinA，

由2S=a2−(b−c)2，得bcsinA=2bc−2bccosA，化简得9.【答案】AC【解析】解：对于A项，由平面向量加法的平行四边形法则得AB+AD=AC，故A正确；

对于B项，AC+CD+DO=AD+DO=AO，故B错误；

10.【答案】AB【解析】【分析】本题考查了命题真假的判断，涉及了空间几何体的结构特征的应用，复数的运算以及复数定义的理解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．

利用正四棱柱的定义即可判断选项A，由特殊例子即可判断选项B，由复数的相等的定义以及复数模的运算即可判断选项C，由特殊例子即可判断选项D．【解答】

解：正四棱柱的底面是正方形的直棱柱，所以正四棱柱中是长方体的一类，故选项A正确；

如图所示的四面体中的四个面均是钝角三角形，故选项B正确；

设z1=a+bi，z2=x+yi，因为z12=z22，即a2−b2+2abi=x2−y2+2xyi，

所以a2−11.【答案】BC【解析】解：现有△ABC满足sinA：sinB：sinc=2：3：7，

所以a：b：c=2：3：7，

设a=2t，b=3t，c=7t，

利用余弦定理cosC=a2+b2−c22ab=4t2+9t2−7t212t2=12，

由于C∈(0,π)，

所以C=π3.12.【答案】AB【解析】解：依题意球的表面积为4πR2，

圆柱的侧面积为2π×R×2R=4πR2，所以AC选项正确．

圆锥的侧面积为π×R×R213.【答案】5【解析】【分析】本题考查复数的模的求法，考查运算求解能力，是基础题．

利用复数的模的性质直接求解．【解答】

解：∵复数z满足z=1+2i，

∴14.【答案】5【解析】解：∵a=(2,−1)，b=(−k,2)，若a//b，

则2×215.【答案】2【解析】【分析】本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属基础题．

由题意和三角形的面积公式以及余弦定理得关于b的方程，解方程可得．【解答】

解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，B=60°，a2+c2=3a16.【答案】2【解析】解：若正方体能在勒洛四面体中任意转动，则正方体的外接球能够放入勒洛四面体，

因此，求正方体的棱长最大值，即求其外接球半径最大值，也即勒洛四面体能够容纳的最大球的半径，

此时该球与勒洛四面体的四个曲面均相切，该球的球心即为正四面体ABCD的中心，

设M是底面BCD的中心，O是四面体的中心，外接球半径为R，AM是高，

如图．

BM=23×32=33,AM=AB2−BM2=63，

由BO2=BM2+OM217.【答案】解：(1)当z为实数时，

则m2−2m−15=0，解得m=5或m=−3；

(2)当z为纯虚数时，

则m2+m−6=【解析】(1)结合实数的定义，即可求解；

(2)结合纯虚数的定义，即可求解；

18.【答案】解：(1)因为a=(x,1)，b=(2,x+1)，

所以3a+b=(3x+2,x+4)，

因此|3a+b|=10=(3x+2【解析】(1)根据已知条件，结合向量模公式，即可求解；

(219.【答案】解(1)由正弦定理得sinAcosC+3sinAsinC=sinB+sinC，

所以sinAcosC+3sinAsinC=sin(A+C)+sinC，

所以【解析】(1)利用正弦定理，把边化为角，运用两角和的公式进行化简；

(2)由(1)的结果结合预先定理求出20.【答案】解：在梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD//BC，且AD=a，BC=2a，∠DCB=60°，

∴CD=BC−ADcos60∘=2a,AB=CDsin60°=3a，

∴DD′=AA′−2A【解析】本题考查了旋转体的理解与应用，圆锥与圆柱结构特征的应用，圆锥与圆柱的表面积公式以及体积公式的应用，考查了逻辑推理能力、空间想象能力与化简运算能力，属于中档题．先判断出以l为轴将梯形AB21.【答案】(1)解：若选①2acosA=bcosC+ccosB，

由正弦定理可得2sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)，

即2sinAcosA=sinA，又sinA>0，所以2cosA=1，即cosA=12，

因为A∈(0,π)，所以A=π3；

若选②tanB+tanC+3=3tanBtanC，即tanB+tanC=−3+3tanBtanC，

即tanB+tanC【解析】(1)若选①利用正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公