2024年中考数学复习（全国版）重难点13 几何最值问题2种题型（将军饮马与蚂蚁爬行,16种模型）（解析版）

重难点13几何最值问题2种题型（将军饮马与蚂蚁爬行，16种模型）目录TOC\o"1-3"\n\h\z\u题型01将军饮马题型02蚂蚁爬行题型01将军饮马模型的概述：唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B点宿营.问如何行走才能使总的路程最短.模型一-模型四的理论依据：两点之间线段最短.模型一（两点在河的异侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离.方法：如右图，连接AB，与线段L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长.【将军饮马之模型一专项训练】1．（2021·海南海口·统考一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，△ABC面积为10，则BM+A．52 B．3 C．4 D．【答案】D【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可．【详解】解：由作法得EF垂直平分AB，∴MB＝MA，∴BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），∴MA+MD的最小值为AD，∵AB＝AC，D点为BC的中点，∴AD⊥BC，∵S∴AD∴BM+MD长度的最小值为5．故选：D．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，利用轴对称求线段和的最小值，三角形的面积，两点之间，线段最短，掌握以上知识是解题的关键．2．（2023·山东枣庄·校考模拟预测）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PEA．43 B．23 C．6 D【答案】B【分析】连接BD，PB，根据点B与D关于AC对称，得出PD=PB，从而得出PD+PE=PB+【详解】解：连接BD，PB，如图所示：∵四边形ABCD为正方形，∴点B与D关于AC对称，∴PD=∴PD+∴PD+PE最小值为∵正方形ABCD的面积为12，∴AB=又∵△ABE∴BE=∴PD+PE最小值为23故选：B．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，等边三角形的性质，解题的关键是根据轴对称的性质得出BE的长为PD+3．（2020·山东泰安·中考真题）如图，点A，B的坐标分别为A(2,0),B(0,2)，点C为坐标平面内一点，BC=1，点M为线段AC的中点，连接OM，则

A．2+1 B．2+12 C．【答案】B【分析】如图所示，取AB的中点N，连接ON，MN，根据三角形的三边关系可知OM＜ON+MN，则当ON与MN共线时，OM=ON+MN最大，再根据等腰直角三角形的性质以及三角形的中位线即可解答．【详解】解：如图所示，取AB的中点N，连接ON，MN，三角形的三边关系可知OM＜ON+MN，则当ON与MN共线时，OM=ON+MN最大，∵A(2,0),则△ABO为等腰直角三角形，∴AB=OA2+OB∴ON=12又∵M为AC的中点，∴MN为△ABC的中位线，BC=1，则MN=12∴OM=ON+MN=2+∴OM的最大值为2故答案选：B．

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，解题的关键是确定当ON与MN共线时，OM=ON+MN最大．4．（2022·安徽蚌埠·统考一模）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=8，BC=6，P是△ABCA．325 B．2 C．213-【答案】D【分析】结合题意推导得∠APB=90°，取AB的中点O，以点O为圆心，AB为直径作圆，连接OP；根据直角三角形斜边中线的性质，得OP=OA=OB=12AB=4；根据圆的对称性，得点P在以AB为直径的⊙【详解】∵∠ABC∴∠ABP∵∠PAB∴∠BAP∴∠APB取AB的中点O，以点O为圆心，AB为直径作圆，连接OP，∴OP∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点当点O、点P、点C三点共线时，PC最小在Rt△∵∠OBC=90°，BC=6∴OC∴∴PC最小值为故选：D．【点睛】本题考查了两点之间直线段最短、圆、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、两点之间直线段最短、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解．5．（2020·广东深圳·南山实验教育集团南海中学校考一模）如图，AC,BD在AB的同侧，AC=2,BD=8,AB=8，点M为AB【答案】14【分析】如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′，证明△A′MB′为等边三角形，即可解决问题．【详解】解：如图，作点A关于CM的对称点A'，点B关于DM的对称点B∵∠CMD∴∠AMC∴∠CMA∴∠A∵MA∴ΔA∵CD∴CD的最大值为14故答案为14．【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题模型二（两点在河的同侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，需先走到河边让战马饮水后再到B点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离.方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’，连接AB’,与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB’的长.【将军饮马之模型二专项训练】1．（2022·湖南湘潭·校考模拟预测）如图，菱形草地ABCD中，沿对角线修建60米和80米两条道路AC<BD，M、N分别是草地边BC、CD的中点，在线段BD上有一个流动饮水点P，若要使PM+PN【答案】50【分析】作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P'，连接MP'，当P点与P'重合时，【详解】解：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P'，连接M当P点与P'重合时，MP∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD即Q在AB上，∵MQ∴AC∥∴M为BC∴Q为AB∵N为CD中点，四边形ABCD∴BQ∥CD∴四边形BQNC是平行四边形，∴NQ设AC与BD的交点为点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OC∴BC∴PM+PN故答案为：50．【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置．2（2021下·河南省直辖县级单位·八年级统考期末）如图，在直角坐标系中，点A（2，2），C（4，4）是第一象限角平分线上的两点，点B的纵坐标为2，且BA＝CB，在y轴上取一点D，连接AB，BC，AD，CD，使得四边形ABCD的周长最小，则这个周长的最小值为．【答案】4+2【分析】根据点的坐标和平行线的性质得到∠BAC=45°，从而得到∠B=90°，得出AC=BC=2，作C关于y轴的对称点C′，连接AC′交y轴于D′，则此时，四边形ABCD′的周长最小，这个最小周长的值=AB+BC+AC′，过根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：∵点A（2，2），点B的纵坐标为2，∴AB∥x轴，∵OC是第一象限的角平分线∴∠BAC=45°，∵CA=CB，∴∠ACB=∠BAC=45°，∴∠B=90°，∵C（4，4）∴B（4，2），∴AB=BC=2，作C（4，4）关于y轴的对称点C′（-4，4），连接AC′交y轴于D′，则此时，四边形ABCD′的周长最小，且CD=C′D，则这个最小周长的值=AB+BC+AC′，∵C′（-4，4），A（2，2）∴AC∴四边形ABCD的最小周长值=AB+故答案为：4+2【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，坐标与图形的性质，勾股定理，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．3．（2022下·广东湛江·八年级统考期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（

）A．4 B．42 C．25 D【答案】D【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线AC对称，连接BM交AC于N′，N′即为所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的长即可．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴点B与D关于直线AC对称，∴DN=BN，连接BD，BM交AC于N′，连接DN′，∴当B、N、M共线时，DN+MN有最小值，则BM的长即为DN+MN的最小值，∴AC是线段BD的垂直平分线，又∵CD=4，DM=1∴CM=CD-DM=4-1=3，在Rt△BCM中，BM=C故DN+MN的最小值是5．故选：D．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出D关于直线AC的对称点，由轴对称及正方形的性质判断出D的对称点是点B是解答此题的关键．4．（2022·湖北黄石·统考中考真题）如图，等边△ABC中，AB=10，点E为高AD上的一动点，以BE为边作等边△BEF，连接DF，CF，则∠BCF=【答案】30°/30度5【分析】①△ABC与△BEF为等边三角形，得到BA=BC，BE=②过点D作定直线CF的对称点G，连CG，证出△DCG为等边三角形，CF为DG的中垂线，得到FD=FG，FB+FD【详解】解：①∵△ABC∴BA=BC，∴∠BAE∵△BEF∵∠EBF=∠ABC∴∠ABE∠CBF∴∠ABE在△BAE和△BA∴△BAE得∠BAE故答案为：30°．②（将军饮马问题）过点D作定直线CF的对称点G，连CG，∴△DCG为等边三角形，CF为DG的中垂线，FD∴FB+连接BG，∴FB+又DG=∴△BCG∵BC=10，CG∴BG=5∴FB+FD的最小值为故答案为：53【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，将军饮马，线段垂直平分线的判定及性质，勾股定理等内容，熟练运用将军饮马是解题的关键，具有较强的综合性．5．（2022上·福建莆田·八年级莆田二中校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点C在直线MN上，∠BCN=30°，点P为MN上一动点，连接AP，【答案】15【分析】如图，作B关于MN的对称点D，连接AD,BD,CD，AP+BP的值最小，则MN交AD于P，由轴对称易证∠CBP=∠CDP【详解】如图，作B关于MN的对称点D，连接AD,∵AP则MN交AD于P，由轴对称可知：CB=CD，∴∠∴∠CBP∵∠BCN∴∠BCD∴△BCD∵AC∴AC∴∠CAD∵∠ACB=90°，∴∠CAD∴∠CBP故答案为：15．【点睛】本题考查等边三角形判定和性质、轴对称的性质、最短路径问题、等腰三角形的性质；熟练掌握相关性质的联系与运用，会利用最短路径解决最值问题是解答的关键．6．（2020·全国·九年级专题练习）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A1,0、B4,0，与y轴交于点C0,3，点D为OC的中点，点E、F分别为x轴正半轴和抛物线对称轴上的动点，连接DE【答案】当四边形CDEF周长最小时，点E的坐标53,0，点F的坐标为【分析】作点D关于x轴的对称点D'，作点C关于抛物线对称轴的对称点C'，连接C'D'，交对称轴于点F，交x轴于点E【详解】如图，作点D关于x轴的对称点D'，作点C关于抛物线对称轴的对称点C'，连接C'D'，交对称轴于点F，交x轴于点E∴此时四边形CDEF的周长为CD+∴此时四边形CDEF的周长最小，最小值为CD+∵A1,0，∴抛物线对称轴为直线x=∴C∵D为OC的中点，∴∴D设直线C'D'将点C'、D'的坐标代入可得5∴直线C'D'令y=0，则x=53，∴点令x=52，则y=34，∴当四边形CDEF周长最小时，点E的坐标53,0，点F的坐标为【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式，四边形与二次函数的结合，线段的和差最值与二次函数的结合，将不共线的线段转化为共线为解题关键．7．（2015·贵州贵阳·统考中考真题）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD=3．（1）求MP的值；（2）在AB边上有一个动点F，且不与点A，B重合．当AF等于多少时，△MEF的周长最小？（3）若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ=2．当四边形MEQG的周长最小时，求最小周长值．（计算结果保留根号）【答案】（1）5；（2）1611；（3）7+5【分析】（1）由折叠的性质和矩形性质以得PD=PH=3，CD=MH=4，∠H=∠D=90°，利用勾股定理可计算出MP的长；（2）如图1，作点M关于AB的对称点M′，连接M′E交AB于点F，利用两点之间线段最短可得点F即为所求，过点E作EN⊥AD，垂足为N，则AM=AD﹣MP﹣PD=4，所以AM=AM′=4，再证明ME=MP=5，利用勾股定理计算出MN=3，NM′=11，得出△AFM′∽△NEM′，利用相似比即可计算出AF；（3）如图2，由（2）知点M′是点M关于AB的对称点，在EN上截取ER=2，连接M′R交AB于点G，再过点E作EQ∥RG，交AB于点Q，易得QE=GR，而GM=GM′，于是MG+QE=M′R，利用两点之间线段最短可得此时MG+EQ最小，于是四边形MEQG的周长最小，在Rt△M′RN中，利用勾股定理计算出M′R得出，从而得到四边形MEQG的最小周长值．【详解】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴CD=AB=4，∠D=90°，∵矩形ABCD折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，∴PD=PH=3，CD=MH=4，∠H=∠D=90°，∴MP=32+（2）如图1，作点M关于AB的对称点M′，连接M′E交AB于点F，则点F即为所求，过点E作EN⊥AD，垂足为N，∵AM=AD﹣MP﹣PD=12﹣5﹣3=4，∴AM=AM′=4，∵矩形ABCD折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，∴∠CEP=∠MEP，而∠CEP=∠MPE，∴∠MEP=∠MPE，∴ME=MP=5，在Rt△ENM中，MN=ME2-E∴NM′=11，∵AF∥ME，∴△AFM′∽△NEM′，∴AM'N解得AF=1611即AF=1611时，△MEF（3）如图2，由（2）知点M′是点M关于AB的对称点，在EN上截取ER=2，连接M′R交AB于点G，再过点E作EQ∥RG，交AB于点Q，∵ER=GQ，ER∥GQ，∴四边形ERGQ是平行四边形，∴QE=GR，∵GM=GM′，∴MG+QE=GM′+GR=M′R，此时MG+EQ最小，四边形MEQG的周长最小，在Rt△M′RN中，NR=4﹣2=2，M′R=112+2∵ME=5，GQ=2，∴四边形MEQG的最小周长值是7+55考点：1．几何变换综合题；2．动点型；3．最值问题；4．翻折变换（折叠问题）；5．综合题；6．压轴题．8．（2022·山东烟台·统考一模）问题提出：在一平直河岸l同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离分别是4km和3km，AB=akm(a方案设计：某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d1，且d1=PB+BA(km)（其中BP⊥l于点P）；图2是方案二的示意咨图，设该方案中管道长度为d2，且d2(1)在方案一中，d1=______km（用含(2)在方案二中，组长小宇为了计算d2的长，作了如图3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d2=_______km(3)①当a=4时，比较大小：d1_______d2（填“＞”、“＝”或“②当a=7时，比较大小：d1______d2（填“＞”、“＝”或“(4)请你参考方框中的方法指导，就a（当a>1方法指导当不易直接比较两个正数m与n的大小时，可以对它们的平方进行比较：∵m2-n∴(m2-当m2-n2>0当m2-n2=0当m2-n2<0【答案】(1)a+3(2)a(3)①＜；②＞(4)见解析【分析】（1）由题意可以得知管道长度为d1=PB+BA（km），根据BP⊥l于点P得出PB=3，故可以得出d1的值为a+3．（2）由条件根据勾股定理可以求出KB的值，由轴对称可以求出A′K的值，在Rt△KBA′由勾股定理可以求出A′B的值a2（3）①把a=4代入d1=a+3和d2=a2②把a=7代入d1=a+3和d2=a2（4）分类进行讨论当d1＞d2，d1=d2，d1＜d2时就可以分别求出a的范围，从而确定选择方案．【详解】（1）解：∵如图1，由题意得：d1=PB+BA=a+3；故答案为：a+3；（2）因为BK2=a2-1，A'B2=BK2+A'K2=a2-1+72=a2+48，所以d2=a2故答案为：a2（3）①当a=4时，d1=7，d2=8，d1＜d2；②当a=7时，d1=10，d2=97，d1＞d2；故答案为：＜，＞；（4）d12-d22=（a+3）2-（a2+48）2=6a①当6a-39＞0，即a＞132时，d12-d22＞0∴d1-d2＞0，∴d1＞d2；②当6a-39=0，即a=132时，d12-d22=0∴d1-d2=0，∴d1=d2；③当6a-39＜0，即a＜132时，d12-d22＜0∴d1-d2＜0，∴d1＜d2综上可知：当a＞132当a=132当1＜a＜132【点睛】本题考查了轴对称的性质的运用，最短路线问题数学模式的运用，勾股定理的运用，数的大小的比较方法的运用，综合考查了学生的作图能力，运用数学知识解决实际问题的能力，以及观察探究和分类讨论的数学思想方法．模型三：如图，将军同部队行驶至P处，准备在此驻扎，但有哨兵发现前方为两河AB、BC的交汇处，为防止敌军在对岸埋伏需派侦察兵到河边观察，再返回P处向将军汇报情况，问侦察兵在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离.数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得∆PMN周长最小.方法：如右图，分别作点P关于直线AB、BC的对称点P’、P’’，连接P’P’’，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段P’P’’的长.【将军饮马之模型三专项训练】1．（2020·全国·九年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，CD上的点，连接AE，（1）如图①，AB=AD，∠BAD=120°，

（2）如图②，∠BAD=120°，当△AEF（3）如图③，若四边形ABCD为正方形，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，若BE=3，DF【答案】（1）见解析；（2）∠AEF+∠AFE=120°；（3【分析】（1）延长FD到点G,使DG=BE，连接AG，首先证明△ABE≌△ADG，则有AE=AG，∠（2）分别作点A关于BC和CD的对称点A'，A″，连接A'A″，交BC于点E，交CD于点F，根据轴对称的性质有A'E=AE，A″F=AF，当点A（3）旋转△ABE至△ADP的位置，首先证明△PAF≌△EAF【详解】（1）证明：如解图①，延长FD到点G，使DG=BE，连接在△ABE和△AB∴△ABE∴AE=AG∵∠BAD=120°，∴∠BAE∴∠EAF在△EAF和△AE∴△EAF∴EF=FG（2）解：如解图，分别作点A关于BC和CD的对称点A'，A″，连接A'A″，交BC于点E由对称的性质可得A'E=∴此时△AEF的周长为AE∴当点A'、E、F、A″在同一条直线上时，A'∵∠DAB∴∠A∵∠EA'∴∠AEF+∠AFE（3）解：如解图，旋转△ABE至△∴∠PAEAP=AE，∠PAF在△PAF和△AP∴△PAF∴EF∴EF【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，轴对称的性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．2．（2019下·河南南阳·七年级统考期末）（1）【问题解决】已知点P在∠AOB内，过点P分别作关于OA、OB的对称点P1、①如图1，若∠AOB=25∘②如图2，连接P1P2分别交OA、OB于C、D，若∠③在②的条件下，若∠CPD=α度（90<α<180），请直接写出∠（2）【拓展延伸】利用“有一个角是60∘的等腰三角形是等边三角形”这个结论，解答问题：如图3，在ΔABC中，∠BAC=30∘，点P是ΔABC内部一定点，AP=8，点E、F分别在边AB、AC上，请你在图3中画出使ΔPEF周长最小的点E【答案】（1）【问题解决】①50∘；②∠AOB=41∘；③∠AOB=【分析】（1）①连接OP，由点P关于直线OA的对称点P1，点P关于直线OB的对称点P2，可得∠POA=∠P1OA，∠POB=∠P2OB，再由∠P1OP2=∠POA+∠P1OA+∠POB+∠P2OB=2（∠POA+∠POB）=2∠AOB,即可求得∠AOB的度数；②由∠CPD=98∘，根据三角形的内角和定理可得∠1+∠2=82∘；由轴对称的性质得，∠P1=∠3，∠P2=∠4，再由三角形外角的性质可得∠2=∠P1+∠3=2∠3，∠1=∠P2+∠4=2∠4，所以∠3+∠4=12∠1+∠2=41∘，即可求得∠MPN=139∘；由轴对称的性质可得∠PMO=∠PNO=90∘，由四边形的内角和为360°即可求得∠AOB=41∘；③【详解】（1）①连接OP，∵点P关于直线OA的对称点P1，点P关于直线OB的对称点P∴∠POA=∠P1OA∴∠P1OP2=∠POA+∠P1OA+∠故答案为50°；②如图2，∵∠CPD∴∠1+∠2=82由轴对称的性质得，∠P1=∠3∵∠2=∠P1+∠3=2∠3∴∠3+∠4=1∴∠MPN由轴对称的性质得，∠PMO∴∠AOB=③∠AOB如图2，∵∠CPD∴∠1+∠2=180由轴对称的性质得，∠P1=∠3∵∠2=∠P1+∠3=2∠3∴∠3+∠4=1∴∠MPN由轴对称的性质得，∠PMO∴∠AOB=360∘故答案为∠AOB（2）如图所示，ΔPEF的周长最小，周长最小值为8．①画点P关于边AB的对称点P1②画点P关于边AC的对称点P2③连结P1P2，分别交AB、AC于点E、此时ΔPEF的周长最小，周长最小值为8．【点睛】本题考查了轴对称作图及最短路径问题，熟练线段垂直平分线的性质是解决本题的关键，解题时注意数形结合思想的应用．3．（2021上·江苏南京·九年级校联考期中）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝°．【答案】80【分析】作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，根据轴对称确定最短路线问题，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A1+∠A2，再根据轴对称的性质和角的和差关系即可得∠MAN．【详解】如图，作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，连接AM、AN，则此时△AMN的周长最小，∵∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，∴∠BAD＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，∴∠A1+∠A2＝180°﹣130°＝50°，∵点A关于BC、CD的对称点为A1、A2，∴NA＝NA2，MA＝MA1，∴∠A2＝∠NAD，∠A1＝∠MAB，∴∠NAD+∠MAB＝∠A1+∠A2＝50°，∴∠MAN＝∠BAD﹣（∠NAD+∠MAB）＝130°﹣50°＝80°，故答案为：80．【点睛】本题考查了轴对称的最短路径问题，利用轴对称将三角形周长问题转化为两点间线段最短问题是解决本题的关键．模型四如图，深夜为防止敌军在对岸埋伏，将军又派一队侦察兵到河边观察，并叮嘱观察之后先去存粮位置点Q处查看再返回P处向将军汇报情况，问侦察在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离.数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得四边形PQNM周长最小.方法：如右图，分别作点P、点Q关于直线AB、BC的对称点P’、Q’，连接P’Q’，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段(PQ+P’Q’)的长.【将军饮马之模型四专项训练】1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点A（a，3）、B（b，1）都在双曲线y=3x上，点C、D分别是x，y轴上的动点，则四边形ABCD的周长最小值为【答案】6【详解】思路引领：先把A点和B点的坐标代入反比例函数解析式中，求出a与b的值，确定出A与B坐标，再作A点关于y轴的对称点P，B点关于x轴的对称点Q，根据对称的性质得到P点坐标为（﹣1，3），Q点坐标为（3，﹣1），PQ分别交x轴、y轴于C点、D点，根据两点之间线段最短，此时四边形PABQ的周长最小，然后利用两点间的距离公式求解可得．答案详解：分别把点A（a，3）、B（b，1）代入双曲线y=3x得：a＝1，b＝则点A的坐标为（1，3）、B点坐标为（3，1），如图，作A点关于y轴的对称点P，B点关于x轴的对称点Q，则点P坐标为（﹣1，3），Q点坐标为（3，﹣1），连接PQ分别交x轴、y轴于C点、D点，此时四边形ABCD的周长最小，四边形ABCD周长＝DA+DC+CB+AB＝DP+DC+CQ+AB＝PQ+AB=(-1-3＝42+2＝62，故答案为：62．2．（2023下·陕西西安·七年级高新一中校考阶段练习）如图，正方形ABCD中，点G是BC边上一定点，点E、F、H分别是边AD、AB、CD上的动点，若CG=14BC=1，则四边形

【答案】3【分析】如图，作点G关于CD的对称点G1，作点G1关于AD的对称点G2，作点G关于AB的对称点G3，连接G2G3交AB于点F，交AD于点E，连接EG1，交CD于点H【详解】解：如图，作点G关于CD的对称点G1，作点G1关于AD的对称点G2，作点G关于AB的对称点G3，连接G2G3交AB于点F，交AD于点E，连接EG1，交CD

由对称的性质知，GH=∴HG+EH=G1H+EH≥同理可得：GH+EH+EF+FG≥G2G3∵CG=14BC∴BC=CD=4，由对称的性质知，CG1=CG=1，BG3∴∠G∵FG=∴△FG∴BF=∴GF故答案为：32【点睛】本题考查了轴对称的性质，正方形性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用作轴对称图形解决最值问题是解题关键．3．（2023上·黑龙江大庆·九年级校考期中）如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC

(1)直接写出点E、F的坐标；(2)连接EF交BD于点G，求△BGE(3)在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值和直线MN的函数解析式；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)E(3,1)；F(2)△BGE的面积为(3)在x轴、y轴上存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小；四边形MNFE的周长最小为5+5；直线MN的函数解析式：【分析】（1）根据OA=3，OC=2，点E是AB的中点，即可得到点E的坐标；利用折叠性质可得BF=BA=2（2）利用折叠性质可以得到AB=AD=BF=DF=2，DF∥BE，从而得到△DFG∽△（3）如图，作点E关于x轴的对称点为E'，点F关于y轴的对称点为F'，连接E'F'，E'F'与x轴、y轴上交于点M、点N，此时的点M、N使得四边形MNFE的周长最小，利用勾股定理求出E'F'=5，EF=5【详解】（1）解：∵OA=3，OC∴点A(3,0)，点C(0,2)，点∵点E是AB的中点，∴点E(3,1∵将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F∴BF=BA=2点F(1（2）∵△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F∴∠ABD∴AB=AD=即：∠DGF=∠∴△FGEG∴EFEG=∵S△∴S△∴△BGE的面积为1

（3）在x轴、y轴上存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小；如图，作点E关于x轴的对称点为E'，点F关于y轴的对称点为F'，连接E'F'，E'F'与x轴、y轴上交于点M、点

由对称性可知：点E'(3,-1)，点F'(-1,2在Rt△∵BE'=2-(-1)=3∴E'∴ME+又∵EF=BE+四边形MNFE的周长最小为：5+5设直线MN的函数解析式y=∵直线MN经过点E'(3,-1)，点F'3k+直线MN的函数解析式：y=-【点睛】本题考查线段长度与点的坐标的转化，折叠的性质，相似三角形判定与性质及同高转化面积比，待定系数法求函数解析式，线段和最小问题的基本解题思路是利用对称转化为两点之间的距离问题，综合性较强，熟练掌握折叠性质及线段和最小的方法是解决本题的关键．4（2019·天津西青·校联考一模）如图①，将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点A的坐标是3,0，点C的坐标是0,2，点O的坐标是0,0，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F（1）求点E、F的坐标；（2）如图②，若点P是线段DA上的一个动点（点P不与点D，A重合），过点P作PH⊥DB于点H，设OP的长为x，△DPH的面积为S，请求出S（3）如图③，在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？若存在，请求出四边形MNFE周长的最小值及此时点M、N的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）点E的坐标是3,1，点F坐标为1,2；（2）S=x24-x2+141<x<3；（3）存在，【分析】（1）求出CF和AE的长度即可写出点的坐标；（2）用x表示出PD长度，结合三角函数进一步表示DH，PH的长度，运用三角形面积公式即可求解；（3）作点F关于y轴的对称点F′，点E关于x轴的对称点E′，连接E′F′交y轴于点N，交x轴于点M，此时四边形MNFE的周长最小，求出E′和F′的坐标直接求线段长度即可．【详解】解：（1）∵点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，2），∴OA=3，OC=2，根据矩形OABC知AB=OC=2，BC=OA=3，由折叠知DA=DF=OC=2，∴OD=OA-DA=1，∴点F坐标为（1，2），∵点E是AB的中点，∴EA=1，∴点E的坐标是（3，1）；（2）如图2∵将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，∴BF=AB=2，∴OD=CF=3-2=1，若设OP的长为x，则，PD=x-1，在Rt△ABD中，AB=2，AD=2，∴∠ADB=45°，在Rt△PDH中，PH=DH=DP×22=22（∴S=12×DH×PH=12×22（x-1）×22（x-1）=x24-（3）如图3作点F关于y轴的对称点F′，点E关于x轴的对称点E′，连接E′F′交y轴于点N，交x轴于点M，此时四边形MNFE的周长最小，可求，点F（1，2）关于y轴的对称点F′（-1，2），点E（3，1）关于x轴的对称点E′（3，-1），用两点法可求直线E′F′的解析式为：y=-34当x=0时，y=54，当y=0时，x=5∴N（0，54），M（53，此时，四边形MNFE的周长=E′F′+EF=(-1-3)2∴在x轴、y轴上分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小，最小为5+5．【点睛】本题是四边形的综合问题，考查了待定系数法求函数解析式以及利用轴对称求最短路线和勾股定理等知识，掌握根据对称转化为两点之间的距离的问题是解题的关键．模型五、模型六的理论依据：垂线段最短.模型五：已知点P在直线AB、BC的外侧，在直线AB和BC上分别取一点M、N，求PM+PN的最小值方法：如右图，过点P作PN⊥BC，垂足为点N，PN与AB相交于点M，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段PN的长.模型六：已知点P在直线AB、BC的内侧，在直线AB和BC上分别取一点M、N，求PM+PN的最小值方法：如右图，作点P关于直线AB的对称点P’，过点P’作P’N⊥BC，垂足为点N，P’N与AB相交于点M，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段P’N的长.【将军饮马之模型五与模型六专项训练】1．（2015·山东泰安·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=6,BC=8，AD平分∠CAB交BC于D点，E、F【答案】24【分析】在AB上取点F'，使AF'=AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H．因为EF+CE=EF【详解】解：如图所示：在AB上取点F'，使AF'=AF，过点C在Rt△ABC中，依据勾股定理可知∵S∴CH∵AE平分∠CAB∴∠EAF=∠EAF'∵AF'=AF，∴△EAF≌△EAF'∴EF=∴EF+∴当C，E，F'共线，且点F'与H重合时，FE+故答案为245【点睛】本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理的应用、垂线段最短等知识，解题的关键是利用对称，解决最短问题．18．（2022·湖南娄底·统考一模）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=75°，AB=5．点E为边AC上的动点，点F【答案】5【分析】作F点关于AC的对称点F'，连接AF'并延长交BC延长线于点B'，将FE+EB的最小值转化为求B【详解】解：如图作F点关于AC的对称点F'，连接AF'并延长交BC延长线于点B′，作BD⊥AB′于点由对称性可得EF=EF'由垂线段的性质可得B到AB′的最短距离为BD，∴EF+EB=EF'+EB=BF'≥Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠ABC=15°，∴∠BAD=2∠BAC=30°，Rt△ABD中，AB=5，∠BDA=90°，∠BAD=30°，∴BD=52∴线段FE+EB的最小值是故答案为：52【点睛】本题考查了对称的性质，垂线段的性质，30°直角三角形的性质；掌握相关性质是解题关键．2．（2020·新疆乌鲁木齐·校考一模）如图，在矩形ABCD中，BC=10，∠ABD=30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM

【答案】15【分析】如图，过A作AG⊥BD于G，延长AG，使AG=EG，过E作EN⊥AB于N，交BD于【详解】解：如图，过A作AG⊥BD于G，延长AG，使AG=EG，过E作EN⊥AB于N，交∵四边形ABCD为矩形，BC=10，∠∴AD∵AG∴20AG∴AG∵AE∴∠E∴EN∴AM即AM+MN的最小值为故答案为：15.【点睛】本题考查的是矩形的性质，锐角三角函数的应用，同时考查利用轴对称与垂线段最短求线段和的最小值问题，解题的关键是掌握以上知识．3．（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）如图，直线y=43x+4交两坐标轴于A，B两点，点P

【答案】125/2.4/【分析】根据点到直线的最小距离CP⊥AB，再根据一次函数与坐标轴的交点坐标得到OB=4，OA【详解】解：当CP⊥AB时，∴OP∵直线y=43∴B0，4∴OB=4，OA∴AB=∵∠AOB∴S△AOB=∴12∴OP故答案为125

【点睛】本题考查了点到直线的最小距离，一次函数与坐标轴的交点坐标，勾股定理，直角三角形的面积，学会求一次函数与坐标轴的交点坐标是解题的关键．4．（2023·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐八一中学校考一模）菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，点P、Q分别是BC、BD上的动点，CQ+【答案】2【分析】过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，在直角三角形BEC中，勾股定理即可求解．【详解】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，∵菱形ABCD的边长为2，∠ABC∴Rt△∴PQ+QC的最小值为2故答案为：2【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握轴对称的性质求线段和的最小值是解题的关键．5．（2022下·四川德阳·八年级四川省德阳市第二中学校校考阶段练习）如图，点M是菱形ABCD的边BC的中点，P为对角线BD上的动点，若AB＝2，∠A＝120°，则PM＋PC的最小值为（

）A．2 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】连接AM、AC，AM交BD于P，此时PM+PC最小，连接CP，由菱形的性质可知C和A关于BD对称，AP=CP，由条件易证△ABC是等边三角形，根据三线合一可知AM⊥BC，再根据勾股定理可求AM的值，即可求解．【详解】解：连接AM、AC，AM交BD于P，此时PM+PC最小，连接CP，∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，AC⊥BD，∴C和A关于BD对称，∴AP=PC，∵∠A=120°，∴∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=AB=2，∵M是BC的中点，∴AM⊥BC，∴∠BAM=30°，∴BM=1，∴AM=AB∴PM+PC=AM=3．故选B．【点睛】本题考查了将军饮马类型的求最小值问题，涉及菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确找到P的位置．6．（2021上·河南南阳·八年级南阳市第十三中学校校考阶段练习）如图所示，在△ABC中，AB=AC，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，△ABC的面积为12，BC=4【答案】8【分析】连接AD，AM，由EF是线段AB的垂直平分线，得到AM=BM，则△BDM的周长=BD+BM+DM=AM+DM+BD，要想△BDM的周长最小，即要使AM+DM的值最小，故当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD，由此再根据三线合一定理求解即可．【详解】解：如图所示，连接AD，AM，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AM=BM，∴△BDM的周长=BD+BM+DM=AM+DM+BD，∴要想△BDM的周长最小，即要使AM+DM的值最小，∴当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD，∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，BD=∴S△∴AD=6，∴△BDM的周长最小值=AD+BD=8，故答案为：8．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三线合一定理，解题的关键在于能够根据题意得到当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD．模型七、模型八的理论依据：在三角形中两边之差小于第三边.模型七（两点在同侧）：在直线L上求一点P，求|PA-PB|的最大值方法：如右图，延长射线AB，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB模型八（两点在异侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值.方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’，延长射线AB’，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB’【将军饮马之模型七与模型八专项训练】1．（2020上·贵州黔东南·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，EF是BC的垂直平分线．点P是EF上的动点，则|PA-PB|的最大值为【答案】3【分析】由三角形三边关系可知当点P在BA的延长线上时|PA-PB|的值最大．【详解】解：如图所示，延长BA交直线EF于点P，此时|PA-PB|=AB=3最大，故答案为：3．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，确定P的位置是解题的关键．29．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，对角线AC、BD交于点O，BD=8，点E为OD的中点，点F为AB上一点，且AF=3BF，点P为AC

【答案】2【分析】作E的对称点E'，连接FE'并延长交AC于点P'【详解】解：作E的对称点E'，连接FE'并延长交AC于点∴PE=∴PF-当F、E'、P∵在菱形ABCD中，∠ABC∴∠DAB=60°，∴△ABD∴∠DAB=∠DBA∵BD=8∴AB=8∵AF=3∴BF=2∵点E为OD的中点，∴E'为OB∴BE∴BF=∴△B∴E'故答案为2；

【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，菱形的性质，中点的定义，三角形的三边关系，掌握等边三角形的性质及菱形的性质是解题的关键．2．（2023·山东菏泽·统考二模）如图，直线y1=kx+2与反比例函数y2=3

(1)若y1>y(2)动点Pn,0在x轴上运动．当n为何值时，【答案】(1)x(2)当n为-2时，|PA【分析】（1）由点A的纵坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出点A的坐标，再根据两函数图象的上下位置关系，即可得出当y1>y（2）由点A的坐标利用待定系数法即可求出直线AB的函数解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B、C的坐标，再根据三角形的三边关系即可确定当点P与点B重合时，|PA【详解】（1）解：当y2=3∴点A的坐标为(1,3)，观察函数图象，可知：当x>1∴若y1>y2>0（2）解：将A(1,3)代入y3=k+2，解得：∴直线AB的解析式为y1当x=0时，y∴点C的坐标为(0,2)，∴AC当y1=x∴点B的坐标为(-2,0)．当点P与点B重合时，|PA此时n=-2，|∴当n为-2时，|PA-【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次（反比例）函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的三边关系，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征求出点A的坐标；（2）利用三角形的三边关系确定点P的位置．3．（2023·贵州遵义·统考一模）如图，二次函数y=ax2-2ax+c的图象与x(1)求二次函数的解析式；(2)若点P是对称轴上一动点，当PB-PC有最大值时，求点【答案】(1)y(2)1,-6【分析】（1）把点B、C的坐标分别代入解析式，解方程组，即可求解；（2）连接PA，则PA=PB，根据三角形三边的关系得PB-PC=PA-PC≤AC(当点A、C、P共线时取等号)，延长AC交直线【详解】（1）解：点B、C的坐标分别代入解析式，得9解得a故二次函数的解析式为y=（2）解：y=故该二次函数图象的对称轴为直线x=1∵B∴A如图，连接PA，则PA=∴PB-PC=PA-PC≤AC(延长AC交直线x=1于点P设直线AC的解析式为y=把A-1,0，-解得m=-3∴直线AC的解析式为y=-3当x=1时，y=-3x∴当PB-PC达到最大值时，点P的坐标为【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，抛物线与x轴的交点，利用轴对称和三角形三边的关系解决最短路径问题，找到点P'4．（2020·广东东莞·东莞市长安培英初级中学校考二模）如图，点A（－2，n），B（1，－2）是一次函数y＝kx＋b的图象和反比例函数y＝mx（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出，当kx＋b<mx时，x（3）若C是x轴上一动点，设t＝CB－CA，求t的最大值，并求出此时点C的坐标．【答案】（1）反比例函数的解析式为y=-2x，一次函数的解析式为y=-x-1；（2）-2<x<0或x>1；（3【分析】（1）先将点B(1,-2)代入反比例函数可求出其解析式，从而可得点A（2）根据点A、B的坐标，利用图象法求解即可得；（3）如图（见解析），作点A关于x轴的对称点A'，从而可得点A'的坐标，再根据三角形的三边关系定理得出t取得最大值时，点A'的位置，然后利用两点之间的距离公式可求出t的最大值，又利用待定系数法求出直线A'B【详解】（1）将点B(1,-2)代入反比例函数y=mx则反比例函数的解析式为y当x=-2时，y=-将A(-2,1)，B(1,-2)解得k则一次函数的解析式为y=-（2）kx+b<则结合A(-2,1)，B(1,-2)可得：-故x的取值范围为-2<x<0（3）如图，作点A关于x轴的对称点A则点A'的坐标为A'因此有t由三角形的三边关系定理得：t当且仅当C,A',由两点之间的距离公式得：A即t的最大值为10设直线A'B将A'(-2,-1)，B解得m则直线A'B令y=0得-1则点C的坐标为(-5,0)．【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数的解析式、利用图象法解不等式、三角形的三边关系定理等知识点，较难的是题（3），正确得出t取得最大值时，点A'5．（2016·广东揭阳·统考二模）如图，抛物线y=x2+bx+c过点A3,0,B1,0，交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动(点P不与点A(1)求抛物线的解析式；(2)求点P在运动过程中线段PD长度的最大值；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M使MA-MC最大?若存在，请直接写出点

【答案】（1）y=x2-4x+3；（2）当m=32时，线段【详解】解:(1)∵抛物线y=x2∴9+3b+∴抛物线的解析式为y=(2)令x=0，则y=3，∴点则直线AC的解析式为y=-∵点P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为m(0≤∴点P的坐标为m,∵PD∴点Dm∴PD∵a∴当m=32时，线段PD(3)存在．点M的坐标是2,-3．由抛物线的对称性可知，对称轴垂直平分线段AB∴由三角形的三边关系，MA∴当M、B、C三点共线时MA-MC最大，即为设直线BC的解析式为y=kx+则k解得k∴直线BC的解析式为y=-3∵抛物线y=x2∴当x=2时，y∴点M2,-3，即抛物线对称轴上存在点M2,-3，使6．（2021上·四川自贡·八年级四川省荣县中学校校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1）请在图中作出△ABC关于y轴的轴对称图形△DEF(A,B,C（2）求△ABC（3）在x轴上找一点P，使｜PA－PB｜最大．(在图中标出点P，保留作图痕迹)．【答案】（1）图形见解析，D、E、F点坐标分别为（-2，3）、（-3，1）、（2，-2）．（2）△ABC的面积为【分析】（1）利用关于y轴对称的点的特征，求出D、E、F点坐标，依次连接三点即可得到△DEF（2）分别过点A、C作x轴的平行线，与过点B作的y轴的平行线交于点M、N，将原来的△ABC补成梯形AMNC，利用梯形面积减去两个三角形的面积，即可求得△（3）利用三角形的三边关系，任意两边之差小于第三边，得到PA-PB<AB，当三点共线时，有PA-PB=AB，故可得到【详解】（1）解：∵A（2，3），B（3，1），C（-2，-2）关于y轴的对称点分别是D，E，F∴D、E、F点坐标分别为（-2，3）、（-3，1）、（2，在坐标系中根据坐标找到对应点，将点连接起来，即可得到△DEF如下图所示：（2）解：分别过点A、C作x轴的平行线，与过点B作的y轴的平行线交于点M、N，如下图所示：∴S由各个点的坐标可知：CN=5，BN=3，BM=2，AM=1∴S（3）解：延长AB，与x轴的交点即为点P，答案如下图所示：当A、B、P三点不共线时，一定可以组成三角形，此时必有PA-PB当A、B、P三点共线时，有PA-∴PA-故当A、B、P三点共线时，｜PA－PB｜有最大值，由于P点在x轴上，又在A、B所在的直线上，故点P在AB的延长线与x轴的交点处．【点睛】本题主要是考查了关于y轴对称的点的特征以及割补法求三角形面积、三边关系找最值，熟练掌握关于y轴对称的点的特征，在求解三角形面积，找不到底和高时，熟练应用割补法求面积，遇到两边之差的绝对值取最大值，要考虑从三边关系入手，这些是解决本题的关键．模型九在直线L上求一点P，求|PA-PB|的最小值.方法：如右图，作线段AB的垂直平分线与直线L相交于点P，|PA-PB|最小值为0.模型九的理论依据：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等.【将军饮马之模型九专项训练】1．（2023·广东广州·统考二模）如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，DC=5BD＝5，且△ADC的面积为

A．10 B．12 C．14 D．16【答案】D【分析】利用已知条件可以求出边的长度，再根据“将军饮马”问题，求最短距离即可．【详解】如图1，过A作AE∥BC，作点C关于直线AE对称点C'，交AE于点E，连接BC'，交∴∠BCC

由DC=5∴BD=1，CD∴BC=6∵S△ADC=10∴5×CE=20，解得：∴CC'=8要使△ABC周长最小，则需点A与A'重合时，即点B由勾股定理得：BC'=∴△ABC的周长的最小值是16故选：D．【点睛】本题考查了求线段和最短距离，解题的关键是灵活利用轴对称的有关定理及将军饮马数学模型．2．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC、AB于点E，F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，若三角形CDM的周长的最小值为13，则等腰三角形ABC的面积为（

）A．78 B．39 C．42 D．30【答案】D【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，可得AD⊥BC，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD【详解】解：如图：连接AD，交EF于点M，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC∴AD⊥BC∵EF是线段AC∴点C关于直线EF的对称点为点A，AM=∴此时△CDM∴CM∴AD∴S故选：D．【点睛】本题考查的是轴对称−最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形的面积，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．3．（2022·安徽六安·校考模拟预测）某数学探究小组探究一个动点问题，如图，在△ABC中，P为边AC上一个动点，点D在边AB上，已知ADBD=15

请完成下列探究：（1）当PD=AD时，PAAC（2）连接PB，若AB=12，则△PBD周长的最小值为【答案】13【分析】（1）过点D作DM⊥AC于点M，根据题意得出ADAB（2）由（1）得ADAB=16，确定BD=10，作点D关于直线AC的对称点D'，则AC上任意一点到点D、D'的距离都相等，即总有PD=PD'，当点P在BD'与AC的交点处时，PB+P【详解】解：（1）过点D作DM⊥AC于点

则∠AMD∵ADBD∴ADAB∵∠A∴△ADM∴AMAC∴AM=当PD=AD时，∴PA=2∴PAAC故答案为：13（2）若AB=12，由（1）得AD∴AD=∴BD=作点D关于直线AC的对称点D'，则AC上任意一点到点D、D'的距离都相等，即总有∴当点P在BD'与AC的交点处时，PB+PD∵BD为定长10，∴此时，PB+PD+BD的值最小，即

此时，连接AD'，过点D'作D∵点D与点D'关于直线AC∴AC垂直平分DD∴AD=AD∴∠D∴∠DA∴△AD∴AD'=∴BH=在Rt△D在Rt△B∴△PBD周长的最小值为B故答案为：231【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理解三角形及等边三角形的判定和性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．4．（2023·陕西渭南·统考二模）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，BC边上的高AD为4，则△

【答案】8【分析】作BC的垂直平分线，交AB于点N，交BC于点M，连接CN，则△ABC周长=AN+CN+AC+BC，当点D与点【详解】解：如图所示，作BC的垂直平分线，交AB于点N，交BC于点M，连接CN，

∵MN垂直平分BC，∴BN=∴△ABC周长==∵在△ACN中，AN∴AN+当点D与点M重合时，AN+

∴△ABC周长=∴△ABC周长的最小值=2∵∠BAC=60°∴△ABC∵AD为BC边上的高，AD=4∴AB=∴△ABC周长的最小值=3×故答案为：83【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是正确作出辅助线，确定当△ABC模型十：如图，一条宽度相同的河流两侧有A、B两个营地，将军令下属在河流间搭建一座垂直于河岸的桥梁MN，使得AM+MN+NB之和最短，在何处搭建桥梁才能完成任务呢？方法：如右图，将点A向下平移MN的单位长度得到点A’，连接A’B，交n于点N，过点N作MN⊥m，垂足为点M，点M和点N即为所求，最短距离为A’B+MN模型十一：线段MN在直线L上可移动，且MN=a，当MN移动到什么位置时，求AM+MN+NB最小值.方法：如右图，将点A向右平移a个单位长度得点A’，作B关于直线L的对称点B’，连接A’B’，交直线L于点N，将点N向左平移a个单位长度得点M，点M和点N即为所求，最短距离为A’B’+MN模型十、十一的理论依据：平行四边形的性质+两点之间线段最短.【将军饮马之模型十与模型十一专项训练】1．（2023·江苏盐城·统考三模）如图，在▱ABCD中，AB=4，AD=9，M、N分别是AD、BC边上的动点，且∠ABC=∠MNB

【答案】129+4/【分析】由∠MNB=60°可知MN为定长，在AD、【详解】解：作ME∥AB交BC于点E，在AD取DF=MN，连接EF，延长AB至点B'，使BB'

∵AB∴∠MEN∴△MEN∴ME∵▱ABCD∴AD∴四边形ABEM为平行四边形，

同理得四边形BB'EM∴ME=EN=MN∴BMRt△B'HA中，Rt△B'∴BM即BM+MN+故答案为：129+4【点睛】本题考查平移类最短路径，为造桥选址模型，即沿一个方向平移的定长线段两端到两个定点距离和最小，解题的关键是需要理清楚是否含有定长平移线段，且利用平移求出最短路径位置．2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，▱ABCD中，AB=3，AD=2，∠DAB=60°，DF⊥AB，BE⊥CD；垂足分别为点F和E．点G和H分别是DF

【答案】7+2/【分析】过点E作EI∥AD交AB于点I，连接HI．易求出AF=1，DF=3，DE=GH=BF=2．易证四边形AGHI为平行四边形，得出AG=HI，即说明当HI+CH最小时，【详解】解：如图，过点E作EI∥AD交AB于点I，连接

∵▱ABCD中，∠DAB=60°∴∠ADF∴AF=∴BF=AB-∵DF⊥AB，∴GF∥∵GH∥∴四边形GHBF为平行四边形，∴GH=同理可得出BF=∵AB∥DE，∴四边形ADEI为平行四边形，∴AI=∴四边形AGHI为平行四边形，

∴AG=∴AG+∴当HI+CH最小时，∵当点I，H，C三点共线时，HI+∴此时AG+

∵AD∥∴BC∥∵CE∥∴四边形BCEI为平行四边形，∴BH=12∵AB=3，AI∴BI=1∴HI=∴CI=∴AG+GH+CH故答案为：7+2【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，含30度角的直角三角形，勾股定理，平行线的判定，两点之间线段最短等知识．正确作出辅助线，理解当点I，H，C三点共线时，HI+CH最小，即此时3（2022上·广东广州·八年级统考期末）在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2(1)如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE；(2)如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长；(3)如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积．【答案】(1)见解析(2)4(3)4【分析】（1）由“SAS”可证△ABP≌△QCE，可得AP=QE；（2）要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ=EG最小，然后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，那么先证明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的长度；（3）要使四边形PQNM的周长最小，由于PQ是定值，只需PM+MN+QN的值最小即可，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，由面积和差关系可求解．【详解】（1）解：证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=4，BC=AD=8，∵点E是CD的中点，点Q是BC的中点，∴BQ=CQ=4，CE=2，∴AB=CQ，∵PQ=2，∴BP=2，∴BP=CE，又∵∠B=∠C=90°，∴△ABP≌△QCE（SAS），∴AP=QE；（2）如图②，在AD上截取线段AF=PQ=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，∴∠GEH=45°，∴∠CEQ=45°，设BP=x，则CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x，在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，∴CQ=EC，∴6-x=2，解得x=4，∴BP=4；（3）如图③，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，连接FP交AD于T，∴PT=FT=4，QC=BC-BP-PQ=8-3-2=3=CH，∴PF=8，PH=8，∴PF=PH，又∵∠FPH=90°，∴∠F=∠H=45°，∵PF⊥AD，CD⊥QH，∴∠F=∠TMF=45°，∠H=∠CNH=45°，∴FT=TM=4，CN=CH=3，∴四边形PQNM的面积=12×PF×PH-12×PF×TM-12×QH×CN=12×8×8-1【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称求最短距离，直角三角形的性质；通过构造平行四边形和轴对称找到点P和点Q位置是解题的关键．4．（2022·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，A（3，0），B（0，4），D为边OB的中点.(1)若E为边OA上的一个动点，求△CDE(2)若E、F为边OA上的两个动点，且EF=1，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.【答案】(1)13(2)23,0【分析】（1）作点D关于x轴的对称点D'，连接CD'与x轴交于点E，连接DE，先求出直线CD'的关系式，得出点E的坐标，求出AE=2，根据勾股定理求出CD（2）将点D向右平移1个单位得到D'（1,2），作D'关于x轴的对称点D″（1,-2），连接CD″交x轴于点F，将点F向左平移1【详解】（1）解：如图，作点D关于x轴的对称点D'，连接CD'与x轴交于点E，连接DE∵在矩形OACB中，OA=3，OB=4，D为OB的中点，∴D（0，2），C（3，4），D'设直线CD'为y=kx＋b，把C（3，4），得3k＋b=4，b=-2，解得∴直线CD'为令y=0，得x=1，∴点E的坐标为（1，0）.∴OE=1，AE=2，利用勾股定理得CD=DE=CE=∴△CDE周长的最小值为：13+（2）解：如图，将点D向右平移1个单位得到D'（1,2），作D'关于x轴的对称点D″（1,-2），连接CD″交x轴于点F，将点F向左平移1理由如下：∵四边形CDEF的周长为CD＋DE＋EF＋CF，CD与EF是定值，∴DE＋CF最小时，四边形CDEF周长最小，∵DD'∥∴四边形DD∴DE=根据轴对称可知，D'∴DE＋设直线CD″的解析式为y=kx＋b，把C（3，4），得3k＋b∴直线CD″的解析式为令y=0，得x=∴点F坐标为53∴点E坐标为23【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，将军饮马问题，根据题意作出辅助线，找出最短时动点的位置，是解题的关键．5（2023·陕西西安·西安市庆安初级中学校联考模拟预测）在▱ABCD中，AB⊥AC，点E在边AD

(1)如图1，AC交BE于点G，GH⊥AE，若BE平分∠ABC，且∠(2)如图2，点F在对角线AC上，且AF=AB，连接BF，过点F作FH⊥BE于点H，连接(3)如图3，线段PQ在线段BE上运动，点R在BC上，连接CQ，PR．若BE平分∠ABC，∠DAC=30°【答案】(1)5(2)见解析(3)21【分析】（1）由▱ABCD得到∠ABC=60°，根据角平分线求出∠ABE=∠CBE=30°，且∠ACB=∠DAC=30°（2）过点A作AJ⊥AH于点A，交FH的延长线于点J．得∠BAF=∠BHF=∠BHJ=90°，∠AFB=∠ABF=45°，推出点A，B，（3）取AB的中点M，AE的中点N，连接PM，NQ，MN，则MN∥BE，MN=12BE=32．证得四边形PMNQ是平行四边形，得PM=NQ．在Rt△ABC中，BC=2AB，得BC【详解】（1）解：在▱ABCD中，∠∴∠ABC∵BE平分∠ABC∴∠ABE=∠CBE∴CG∵∠ABE∴AG=∵∠DAC∴CD=2+4×33∴SΔ（2）证明：如图1，过点A作AJ⊥AH于点A，交FH的延长线于点

∵FH⊥∴∠BAF∴点A，B，F，H四点共圆，∴∠BHA∴∠AHJ∴△AHJ∴AH=∴JH=∵AB=∴△ABH∴BH=∵FJ=∴BH=（3）解：如图2，取AB的中点M，AE的中点N，连接PM，NQ，MN，则由题意，得PQ=∴PQ∥∴四边形PMNQ是平行四边形，∴PM=在▱ABCD中，∠∴∠ACB在Rt△ABC中，∵点M为AB的中点，∴BC=4∵BC=4∴BM=∵BE平分∠ABC∴∠PBM∵BP=∴△PBM∴PR=∴NQ=∴CQ+∵CQ+∴CQ+PQ+如图2，过点C作CS⊥AD于点

由（1），得∠ABE∴AE=∴AM=∵∠DAC∴AD=2CD=2∴SD=∴NS=∴CN=∴CQ+PQ+【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理，综合掌握各图形的判定和性质是解题的关键．题型02蚂蚁爬行蚂蚁爬行模型的概述：蚂蚁在某几何体的一个顶点，爬行到另外一个相对的顶点去吃食物，求所走的最短路径是多少。蚂蚁爬行模型的实质：两点之间，线段最短。模型一：蚂蚁沿着长方体表面爬行，从点A到点B的最短距离：解题方法：在长方体问题中，我们需要将长方体展开，然后利用两点之间线段最短画图求解。如果长方体的长、宽、高各不相同，一般分三种情况讨论。分类讨论示意图展开图最短距离小结前+上AB=a最小值取决于ab，bc，ac的大小左+上AB=b前+右AB=c【蚂蚁爬行之模型一专项训练】1．（2023·江苏常州·校考一模）如图，是一个棱长为1的正方体纸盒，若一只蚂蚁要沿着正方体纸盒的表面，从顶点A爬到顶点B去觅食，则需要爬行的最短路程是（

）A．3 B．2 C．5 D．3【答案】C【分析】根据正方体展开图的特点，将正方体展开，然后利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示，将正方体展开，则AC=2，BC∴由勾股定理得AB=∴需要爬行的最短路程是5，故选C．【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确将正方体展开，利用勾股定理进行求解是解题的关键．2．（2020·陕西西安·校考模拟预测）如图，长方体的长EF为3cm，宽AE为2cm，高CE为4cm，B是GF的中点，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点D爬到点B，那么它需要爬行的最短距离是（

）A．5cm B．29cm C．(22+3)【答案】B【分析】若要求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【详解】解：（1）如图展开时，CD=2cm，GF=4cm，CG=3cm，∵B是GF的中点，∴GB=2cm，∴CB=5cm，∴DB=（2）如图展开时，CD=2cm，GF=4cm，CG=3cm，GB=2cm，∴DG=5cm，∴DB故选：B．【点睛】本题是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．3．（2020·内蒙古呼伦贝尔·统考二模）如图，正方体的棱长为2，B为一条棱的中点．已知蚂蚁沿正方体的表面从A点出发，到达B点，则它运动路程最短时，CD的长是（

）

A．1 B．12 C．13 D【答案】B【分析】根据正方体的性质可得CD∥EB，AC=EC，即C为AE中点，推出CD是△ABE的中位线，根据正方体的边长为2，B为一条棱的中点，得出EB=1，即可得出CD．【详解】解：画出展开图如下，

由正方体的性质可得CD∥EB，AC=EC，即C为AE中点，∴CD是△ABE的中位线，∴CD=12EB∵正方体的边长为2，B为一条棱的中点，∴EB=1，∴CD=12故选：B．【点睛】本题考查了中位线的性质，正方体的性质，得出CD是△ABE的中位线是解题关键．4．（2014·全国·九年级统考专题练习）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（

）

A．521 B．25 C．105+5【答案】B【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1，

∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：AB=只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2，

∵长方体的宽为10，高为20，