2024年中考数学复习（全国版）专题24 相似三角形及其应用【二十个题型】（举一反三）（原卷版）

专题24相似三角形及其应用【二十大题型】TOC\o"1-3"\h\u【题型1选择或添加条件使两个三角形相似】 4【题型2利用相似的性质求值】 5【题型3利用相似的性质求点的坐标】 6【题型4相似三角形在网格中的运用】 7【题型5与相似三角形有关的证明】 9【题型6利用相似三角形的性质求解决折叠问题】 12【题型7利用相似三角形的性质判断函数图象】 13【题型8尺规作图与相似三角形综合应用】 15【题型9三角板与相似三角形综合应用】 16【题型10平移与相似三角形综合应用】 18【题型11利用相似三角形的性质与判定求线段比值】 19【题型12利用相似三角形的性质与判定求最值】 20【题型13利用相似三角形的性质与判定解决动点问题】 22【题型14利用相似三角形的性质与判定解决存在性问题】 23【题型15相似三角形的常见模型之（双）A字模型】 25【题型16相似三角形的常见模型之（双）8字模型】 26【题型17相似三角形的常见模型之K字模型】 28【题型18相似三角形的常见模型之母子型】 30【题型19相似三角形的常见模型之旋转相似模型】 32【题型20相似三角形的实际应用】 33【知识点相似三角形及其应用】1.相似三角形的性质与判定相似三角形的概念：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似用符号“∽”，读作“相似于”.相似三角形的判定方法：1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．2）两个三角形相似的判定定理：①三边成比例的两个三角形相似；②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；③两角分别相等的两个三角形相似．④斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似.相似三角形的性质：1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.3）相似三角形周长的比等于相似比.4）相似三角形面积比等于相似比的平方.判定两个三角形相似需要根据条件选择方法．有时条件不具备，需从以下几个方面探求：1）条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形；2）两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例；3）两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例；4）条件中若有一组直角，可再找一组等角或两边成比例．2.相似三角形的常见模型模型图形结论证明过程（思路）A字模型①△ADE∽△ABC②AD1)已知DE∥BC则∠ADE=∠ABC而∠A=∠A所以△ADE∽△ABC2)已知∠1=∠2∠A=∠A所以△ADE∽△ABC共边反A字模型①△ABC∽△ACD②AB③AC2=AB•AD剪刀反A字模型①△ABC∽△ADE②AB证明过程参照按照2）8字模型正8字模型①△AOB∽△COD②AO反8字模型①△AOB∽△DOC②AO3)已知AB∥DC则∠A=∠C而∠AOB=∠DOC所以△AOB∽△COD4)已知∠1=∠2∠AOB=∠DOC所以△AOB∽△DOC一线三垂直①△ABC∽△CDE②AB③当点C为BD中点时，△ABC∽△CDE∽△ACE5)∵∠B=∠D=∠ACE=90°∴∠1+∠2=90°∠2+∠3=90°则∠1=∠3由此可得△ABC∽△CDE6)∵△ABC∽△CDE∴ABCD=ACCE而点则ABBC=AC∴△ABC∽△ACE则△ABC∽△CDE∽△ACE三角形内接矩形①△ABC∽△ADG②AD③若四边形DEFG为正方形即DGBC=AMAN则xBC=AN-xAN若已知BC7)∵四边形DEFG为矩形∴DG∥BC而AN⊥BC∴△ABC∽△ADG∠AMG=∠ANC=90°∴ADAB旋转相似模型①△ABD∽△ACE∵△ADE∽△ABC∴∠BAC=∠DAEAD而∠1+∠DAC=∠BAC，∠2+∠DAC=∠DAE∴∠1=∠2∴△ABD∽△ACE3.相似三角形的应用（1）.利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．（2）.利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．（3）.借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．【题型1选择或添加条件使两个三角形相似】【例1】（2023·吉林长春·统考模拟预测）在△ABC中，∠ACB=90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（

）A． B．C． D．【变式1-1】（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，已知△ABC与△ADE中，∠C=∠AED=90°，点E在AB上，那么添加下列一个条件后，仍然不能判定A．∠CAB=∠D B．ACBC=DE【变式1-2】（2023·福建龙岩·统考一模）如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE＝3，DE＝5，BE＝4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于．【变式1-3】（2023·山东潍坊·校考一模）如图所示，AB是⊙O的直径，D、E是半圆上任意两点，连接AD、DE,AE与BDA．DE=BE B．AD=DE C．【题型2利用相似的性质求值】【例2】（2023·河北石家庄·统考一模）如图，在△ABC中，AB=4,BC=6,AC=5，点D，E分别在边BC,AC上，且BD=4．若以CA．103 B．135 C．135或103 D【变式2-1】（2023·重庆大渡口·统考一模）如图，△ABC∽△ACP，若∠A=75°，∠【变式2-2】（2023·四川泸州·统考一模）如图，△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'分别是△

A．4：9 B．9：4 C．2：3 D．3：2【变式2-3】（2023·广东深圳·深圳市高级中学校考二模）如图，平行四边形ABCD中，AB=5，BC=7，tan∠BAD=43，点O为对角线AC，BD交点，点E为CD延长线上一动点，连接OE交AD

A．4033 B．3340 C．3044【题型3利用相似的性质求点的坐标】【例3】（2023·江西九江·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，已如A1,0，B2,0，C0,1，在坐标轴上有一点P，它与A,C两点形成的三角形与△ABC相似，则

【变式3-1】（2013·浙江宁波·中考真题）如图，等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上，∠BCA=90°，AC=BC=22，反比例函数y=3x（x＞0）的图象分别与AB，BC交于点D，E．连接DE，当△BDE∽△BCA时，点E【变式3-2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四十七中学校考一模）如图，直径为13的⊙E，经过原点O，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点，线段OA、OB(OA＞OB)的长分别是方程x2+kx+60＝0的两根．(1)OA：OB＝；(2)若点C在劣弧OA上，连结BC交OA于D，当△BOC∽△BDA时，点D的坐标为．【变式3-3】（2023·浙江绍兴·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边OB，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点A的坐标为8，6，点P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，且满足△PBE∽△CBO，当【题型4相似三角形在网格中的运用】【例4】（2023·上海杨浦·统考三模）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．如图，已知△ABC是6×6的网格图中的格点三角形，那么该网格中所有与△ABC相似且有一个公共角的格点三角形的个数是（

A．1 B．2 C．3 D．4【变式4-1】（2023·贵州遵义·统考一模）如图，正方形网格中每个小正方形的边长均为1，其中，B、C、D、E四点都在网格的格点上，则△ABC的面积为（

A．7.5 B．8 C．253 D．【变式4-2】（2023·福建福州·福建省福州第十九中学校考二模）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，E为BD与正方形网格线的交点，下列结论正确的是（

）A．CE≠12BD B．△ABC≌△【变式4-3】（2023·湖北武汉·统考中考真题）如图是由小正方形组成的8×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，正方形ABCD四个顶点都是格点，E是AD上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．

(1)在图（1）中，先将线段BE绕点B顺时针旋转90°，画对应线段BF，再在CD上画点G，并连接BG，使∠GBE(2)在图（2）中，M是BE与网格线的交点，先画点M关于BD的对称点N，再在BD上画点H，并连接MH，使∠BHM【题型5与相似三角形有关的证明】【例5】（2023·山西·统考中考真题）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC和△DFE，其中∠ACB=∠DEF=90°,∠A=∠D．将△ABC和△DFE按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B

(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；(2)深入探究：老师将图2中的△DBE绕点B逆时针方向旋转，使点E落在△

①“善思小组”提出问题：如图3，当∠ABE=∠BAC时，过点A作AM⊥BE交BE的延长线于点M,BM与AC

②“智慧小组”提出问题：如图4，当∠CBE=∠BAC时，过点A作AH⊥DE于点H

【变式5-1】（2023·山西运城·校联考模拟预测）“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为36°的等腰三角形，如图，在△ABC中，∠A=36°

(1)实践与操作：利用尺规作∠B的平分线，交边AC于点D(2)猜想与证明：请你利用所学知识，证明点D是边AC的黄金分割点．【变式5-2】（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将线段CA绕点C逆时针旋转α角得到线段CD，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，连接BD，分别交

(1)当α=60°时，求∠(2)当α≠60°时，试写出线段BG与CE(3)若F为线段CA的中点，求DG的长．【变式5-3】（2023·贵州遵义·校考一模）（1）【问题发现】如图1所示，△ABC和△ADE均为正三角形，B、D、E三点共线．猜想线段BD、CE之间的数量关系为______；∠

（2）【类比探究】如图2所示，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°，AC=BC，AE=DE，B、D、E三点共线，线段

（3）【拓展延伸】如图3所示，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，BC=8，DE为△ABC的中位线，将△ADE绕点

【题型6利用相似三角形的性质求解决折叠问题】【例6】（2023·浙江杭州·临安市锦城第四初级中学校考三模）如图，将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，点C，D的对应点分别为点E，F，且点F在矩形内部，MF的延长线交边BC于点G，EF交边BC于点H．EN=2，AB=4，，当GH=2HN时，【变式6-1】（2023·广东茂名·统考二模）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在边AC上，AD=BD，将△DBC沿BD折叠，BC的对应边BC'交AC于点P，连接A【变式6-2】（2023·浙江杭州·校考三模）如图，在菱形ABCD中，点E为BC中点，连接AE，DE，将△ABE沿直线AE折叠，使点B落在DE上的点B'处，连接AB'并延长交CD于点F

【变式6-3】（2023·吉林松原·校联考三模）小英用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，点D在斜边AB上，连接CD，将△ADC沿CD折叠，点A

【题型7利用相似三角形的性质判断函数图象】【例7】（2023·新疆乌鲁木齐·统考模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P与点B,C都不重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E．设BP=x，B．C．D．【变式7-1】（2023·广东潮州·校考一模）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC（为定值），点P为AB的中点．点D沿AB从点A运动到点B，过点D作DE⊥AB交AC于E，设A，D两点间的距离为A．B． C． D．【变式7-2】（2023·河北沧州·统考模拟预测）在平行四边形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，已知AE=2，且∠CBF=∠EAF，设EF=x，BF=

A．

B．

C．

D．

【变式7-3】（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，AF∥BC，点D在线段AC上运动，DE⊥AC交射线AF于点E，连接BD，CE，设线段BD的长为x

B．

C．

D．

【题型8尺规作图与相似三角形综合应用】【例8】（2023·河北沧州·校考模拟预测）如图，在△ABC中，用尺规按①到③①以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于F、E两点；②分别以F、E为圆心，大于12FE为半径画弧，两弧相交于点③作射线AG，交BC于点D；结论Ⅰ：线段AD上必有一点M，使得S△结论Ⅱ：ABAC对于结论Ⅰ和结论Ⅱ，下列判断正确的是(

)

A．结论Ⅰ和结论Ⅱ都对 B．结论Ⅰ和结论Ⅱ都不对C．结论Ⅰ对，结论Ⅱ不对 D．结论Ⅰ不对，结论Ⅱ对【变式8-1】（2023·湖南邵阳·校联考三模）已知△ABC中，∠BAC=90°，用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形，其作法不正确的是（）A． B．C． D．【变式8-2】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AC为对角线，∠BAC=∠BCD=90°，请用尺规在AC边上找一点【变式8-3】（2023·广东广州·统考一模）如图：△ABC中，∠C=45°，点D在AC上，且∠ADB=60°，AB为△BCD外接圆的切线．（1）用尺规作出△BCD的外接圆（保留作图痕迹，可不写作法）；（2）求∠A的度数；（3）求ADDC【题型9三角板与相似三角形综合应用】【例9】（2023·浙江丽水·统考中考真题）一副三角板按图1放置，O是边BC(DF)的中点，BC=12cm．如图2，将△ABC绕点O顺时针旋转60°，AC与EF相交于点G【变式9-1】（2023·江苏无锡·无锡市江南中学校考二模）如图，将两块三角板OAB（∠OAB=45°）和三角板OCD（∠OCD=30°）放置在矩形BCEF中，直角顶点O重合，点A、D在EF边上，AB=6．（1）若点O到BC的距离为6，则点O到EF的距离为；（2）若BC=3AD，则△OCD外接圆的半径为．【变式9-2】（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图，将一块直角三角板的直角顶点E放在正方形ABCD的对角线AC上（不与点A，C重合，其中的一条直角边经过点D，另一条直角边与射线BC相交于点F．

(1)试猜想线段DE、EF之间的数量关系为__________；(2)试猜想图中此时线段CE、CD、CF之间的数量关系，并说明理由；(3)作射线DF交直线AC于点G，若AB=4，CF=1，请直接写出【变式9-3】（2023·陕西咸阳·统考二模）【计算与推理】（1）如图1，AB∥CF，AC与DF交于点E，E为DF的中点，AB=10，CF=6，则（2）数学课上张老师拿了两块相似比为2:1的大三角板ABC和小三角板EDC，按如图2所示位置放置，使60°角的顶点C重合．试判断BD:【操作与探究】（3）现有一块足够大的木板，为参加学校科技节比赛，小明想在这块木板上裁出一个等边三角形（△CEF第一步：用两块大小不一的含60°角的直角三角板ABC和ADE按如图3所示位置放置，使60°角的顶点A重合，分别延长DE、BC交于点P，连接BD，得到△BDP第二步：取BD的中点F，分别连接EF、CF，CE，得到△CEF请问，按上述操作，裁得的△CEF

【题型10平移与相似三角形综合应用】【例10】（2023·海南海口·统考一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【变式10-1】（2023·浙江温州·校联考三模）如图在矩形ABCD中，AB=27，AD=8，E是AD上一点，连结BE，过C作CF⊥BE于点F．将△ABE向右下方向平移到△IHC的位置，I在BC上，四边形CDEF向左下方向平移到四边形HIBG的位置．若重新组成的矩形CFGH与矩形ABCD全等，则DE的长为．△ABE内有一点O，平移后对应点为点

【变式10-2】（2023·山西晋城·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD是BC边上的中线．将△ABC沿AD方向平移得到△A'B'C'．A'C'与BC相交于点E

【变式10-3】（2023·河南驻马店·统考三模）如图，在等边三角形ABC中，AC=4，E为AB的中点，在CB延长线上截取BD=BE，将△DEB沿BC向右平移，点B的对应点为G，当平移后的△DEG和△ABC重叠部分的面积是△DEG

【题型11利用相似三角形的性质与判定求线段比值】【例11】（2023·广东深圳·校考一模）如图①，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为BC边上的一点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点F(1)若AE=2BE，求证：(2)如图②，若AB=2，DE⊥【变式11-1】（2023·河北唐山·统考一模）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE∶EC＝2∶3，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则DF∶BF等于（

）A．2∶5 B．2∶3 C．3∶5 D．3∶2【变式11-2】（2023·江苏连云港·统考一模）如图，点E、F分别在平行四边形的边BC、AD上，BE=DF，点P在线段AB上，AP:PB=2:3，过点P作BC的平行线交边CD于点M，将△ABE分成S1和S2两部分，将△【变式11-3】（2023·吉林四平·校联考三模）在△ABC中，D，E分别为AB，AC上一点，BE，CD交于点F

(1)设△ABE的面积为S1，△ACD的面积为S①如图①，连接DE．若∠A=90°，求证：②如图②，若∠FBC=45°，∠FCB(2)如图③，若∠A=90°，CE=kAB，BD=【题型12利用相似三角形的性质与判定求最值】【例12】（2023·广东深圳·校考模拟预测）已知矩形ABCD中，AB=6,AD=8,P为CD边上动点，连接AP，过P作PM⊥AP，在AP上截取PM=34PN，过P作【变式12-1】（2023·湖北黄石·统考中考真题）如图，抛物线y=-23x2+23x+4与坐标轴分别交于(1)A，B，C三点的坐标为____________，____________，____________；(2)连接AP，交线段BC于点D，①当CP与x轴平行时，求PDDA②当CP与x轴不平行时，求PDDA(3)连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB【变式12-2】（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值时，APPC

【变式12-3】（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点P在边AB上，D、E分别为BC、PC的中点，连接DE．过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两点．连接DG，交PC于点H．

(1)∠EDC的度数为；(2)连接PG，求△APG的面积的最大值；(3)PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；(4)求CHCE【题型13利用相似三角形的性质与判定解决动点问题】【例13】（2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点M、N分别是边AD、BC的中点，某一时刻，动点E从点M出发，沿MA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动；同时，动点F从点N出发，沿NC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接EF，过点B作EF的垂线，垂足为H．在这一运动过程中，点H所经过的路径长是．【变式13-1】（2023·四川达州·统考二模）如图，正方形ABCD中，AB=6，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=5，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE

(1)求证：AE=(2)若A，E，O三点共线，如图2，连接OF，求线段OF的长．(3)求线段OF长的最小值．【变式13-2】（2023·重庆·校联考模拟预测）如图，面积为15的菱形ABCD，AB=5，点E从点B出发沿折线B-C-D向终点D运动，过点E作点E所在的边（BC或CD）的垂线，交菱形其它的边于点F(1)如图1，点G在AC上，求证：FA=(2)若EF=FG，当EF过AC中点时，求(3)已知FG=4，设点E的运动路程为S，当S满足什么条件时，以G、C、H为顶点的三角形与△【变式13-3】（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，点D为边AC的中点．动点P从点A出发，沿折线AB—BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P不与点A、C重合时，连结PD．作点A关于直线PD的对称点A'，连结A'（1）线段AD的长为．（2）用含t的代数式表示线段BP的长．（3）当点A'在△ABC内部时，求（4）当∠AA'D与【题型14利用相似三角形的性质与判定解决存在性问题】【例14】（2023·湖北十堰·统考中考真题）已知抛物线y=ax2+bx+8过点B

(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接AB,BC，点D在线段AB上（与点A,B不重合），点F是OA的中点，连接FD，过点D作DE⊥FD交BC于点E，连接EF，当△DEF(3)如图2，点P是抛物线上对称轴右侧的点，Hm,0是x轴正半轴上的动点，若线段OB上存在点G（与点O,B不重合），使得【变式14-1】（2023·山东青岛·校考模拟预测）附加题：如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BD⊥AC于点D，且BD=8cm．点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cms；同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，速度为1cms，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于点P、交BC(1)当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形？(2)设四边形PQCM的面积为ycm2，求y与(3)是否存在某一时刻t，使S四边形PQCM=(4)连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．【变式14-2】（2023·湖北宜昌·校联考模拟预测）如图，已知平行四边形ABCD中，AD=5，AB=5，tanA=2，点E是射线AD上一动点，过点E作EF⊥AD，垂足为点E，交射线AB于点F，交射线CB于点G

(1)如图当点E在边AD上时．①求证△AEF②当S△DCE=4(2)当点E在边AD的延长线上时，是否存在这样的点E使△AEF与△CFG相似？如果存在求出此时AE的长度【变式14-3】（2023·贵州毕节·统考中考真题）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x（1）填空：点A的坐标为_________，点D的坐标为_________，抛物线的解析式为_________；（2）当二次函数y=x2+bx+c的自变量：满足m（3）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使△PAC是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P【题型15相似三角形的常见模型之（双）A字模型】【例15】（2023·湖北武汉·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，D是AB上一点，点E在BC上，连接CD【变式15-1】（2023·江苏·三模）在△ABC中，AB=mm>0，D为AB上一点，过D作DE∥BC交AC于点E，连接CD【变式15-2】（2023·江苏·三模）在△ABC中，AB=mm>0，D为AB上一点，过D作DE∥BC交AC于点E，连接CD【变式15-3】（2023·福建泉州·一模）如图，正方形ABCD边长为3，点E是AD上一点，且AE=1，连接BE，过C作CF⊥BE，垂足为F，CF交对角线BD于G，将△BCG沿CG翻折得到△HCG，CH交对角线BD于【题型16相似三角形的常见模型之（双）8字模型】【例16】（2023·辽宁鞍山·二模）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝AC，∠ADC＝α，点E为射线BA上一动点，且AE＜AB，连接DE，将线段DE所在直线绕点D顺时针旋转α交BA延长线于点H，DE所在直线与射线CA交于点G．（1）如图1，当α＝60°时，求证：△ADH≌△CDG；（2）当α≠60°时，①如图2，连接HG，求证：△ADC∽△HDG；②若AB＝9，BC＝12，AE＝3，请直接写出EG的长．【变式16-1】（2023·上海奉贤·模拟预测）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD．（1）求证：△BND∽△CNM；（2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN．【变式16-2】（2023上·河南郑州·二模）如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求AN:【变式16-3】（2023·湖南常德·一模）如图1，ΔABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点．（1）求证：∠BDE=∠ACD；（2）若DE=2DF，过点E作EG//AC交AB于点G，求证：AB=2AG；（3）将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”，“点F是DE与AC的交点”改为“点F是ED的延长线与AC的交点”，其它条件不变，如图2．①求证：AB·BE=AD·BC；②若DE=4DF，请直接写出SΔABC:SΔDEC的值．【题型17相似三角形的常见模型之K字模型】【例17】（2023·陕西西安·一模）（1）如图1，∠ABC=90°，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为E、F，AE=4，BE=2，BF=3（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，点E、F、M分别在AB、BC、AD上，∠EMF（3）如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=15，BC=20，点E、F分别在边AB、BC上，∠【变式17-1】（2023·江苏苏州·三模）如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接PB，过点P作PE⊥PB，交DC于点E，已知AD=3，AC=5．设(1)AB=___________；当x=1时，求(2)试探究：PEPB是否是定值?(3)当△PCE是等腰三角形时，请求出x【变式17-2】（2023·河南开封·一模）某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后，在等腰△ABC中，其中AB=AC，如图第一步，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA的延长线和AC于点E，F，如图2；第二步，分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧相交于点D，作射线AD第三步，以D为圆心，DA的长为半径画弧，交射线AE于点G；(1)填空；写出∠CAD与∠GAD的大小关系为___；(2)①请判断AD与BC的位置关系，并说明理由．②当AB=AC=6,BC=2时，连接(3)如图3，根据以上条件，点P为AB的中点，点M为射线AD上的一个动点，连接PM，PC，当∠CPM=∠B【变式17-3】（2023·辽宁·统考一模）已知△ABC和△DCE中，AB＝AC，DC＝DE，BF＝EF，点B，C，E都在同一直线上，且△ABC和△DCE在该直线同侧．（1）如图①，若∠BAC＝∠CDE＝90°，请猜想线段AF与DF之间的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；（2）如图②，若∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，请直接写出线段AF与DF之间的数量关系和位置关系；（3）如图③，若∠BAC＝α，∠CDE＝180°﹣α，且BC＞CE，请直接写出线段AF与DF之间的数量关系和位置关系（用含α的式子表示）．【题型18相似三角形的常见模型之母子型】【例18】（2023·山东淄博·一模）如图，在△ABC中，AB=AC=5，∠BAC=120°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM=∠ACB，点D为边BC（不含端点）上的任意一点，在射线CM上截取CE=BD，连接【变式18-1】（2023·山东滨州·一模）如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，直线OB交⊙O于点E、D，连接EC、CD．（1）试判断直线AB与⊙O的位置关系，并加以证明；（2）求证：BC（3）若tanE=12，⊙O的半径为【变式18-2】（2023·福建三明·二模）如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与AC相交于点H，连接DG．以下四个结论：①∠EAB＝∠BFE＝∠DAG；②△ACF∽△ADG；③AH⋅④DG⊥AC．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）【变式18-3】（2023·江苏苏州·模拟预测）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足∠1=∠2，则称点P为这个三角形的“理想点”．(1)如图①，若点D是△ABC的边AB的中点，AC=22，AB=4，试判断点D是不是△ABC(2)如图②，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，若点D是△ABC【题型19相似三角形的常见模型之旋转相似模型】【例19】（2023·河南周口·模拟预测）观察猜想(1)如图1，在等边△ABC中，点M是边BC上任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等边△AMN，连接CN，则∠ABC与∠(2)类比探究如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上任意一点（不含端点C），（1）中其它条件不变，（1(3)拓展延伸如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是边BC上任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC【变式19-1】（2023·四川成都·二模）如图，正方形ABCD的边长为8，线段CE绕着点C逆时针方向旋转，且CE=3，连接BE，以BE为边作正方形BEFG，M为AB边的中点，当线段FM的长最小时，tan∠【变式19-2】（2023·河南周口·二模）在△ABC中，CA=CB，∠ACB=α，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接(1)观察猜想如图①，当α=60°时，BDCP的值是_______，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是(2)类比探究如图②，当α=90°时，请写出BDCP的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数，并就图【变式19-3】（2023·河南郑州·统考一模）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠