2024年中考数学复习（全国版）专题02 整式与因式分解【十大题型】（举一反三）（原卷版）

专题02整式与因式分解【十大题型】TOC\o"1-3"\h\u【题型1实际问题中的代数式】 3【题型2求代数式的值】 3【题型3整式的加减与幂的运算】 4【题型4整式的乘除】 4【题型5乘法公式的应用】 4【题型6整式的化简求值】 5【题型7提公因式法分解因式】 5【题型8运用公式法分解因式】 6【题型9数式规律探究】 6【题型10数式中的新定义问题探究】 7【知识点整式与因式分解】1.定义(1)代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。(2)单项式：用数或字母的乘积表示的式子叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。(3)多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。单项式与多项式统称整式。(4)同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。(5)合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。2.整式的运算(1)整式的加减：几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项。去括号法则：同号得正，异号得负。即括号外的因数的符号决定了括号内的符号是否改变：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。(2)整式的乘除运算①同底数幂的乘法：am·an=am+n。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。②幂的乘方：(am)n=amn。幂的乘方，底数不变，指数相乘。③积的乘方：(ab)n=anbn。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。④单项式与单项式的乘法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。⑤单项式与多项式的乘法：p(a+b+c)=pa+pb+pc。单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。⑥多项式与多项式的乘法：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫做平方差公式。完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。⑦同底数幂的除法：am÷an=am-n。同底数幂相除，底数不变，指数相减。任何不等于0的数的0次幂都等于1。⑧单项式与单项式的除法：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。⑨多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。注：以上公式及法则在分式和二次根式的运算中同样适用。(3)添括号法则同号得正，异号得负。即括号前的符号决定了括号内各项的符号是否改变：如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。3.因式分解定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。以上公式都可以用来对多项式进行因式分解，因式分解的常用方法：①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。③分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。【题型1实际问题中的代数式】【例1】（2023·湖南长沙·统考中考真题）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（

）A．8x元 B．10(100-x)元 C．8(100-x)【变式1-1】（2023·吉林长春·统考中考真题）2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为公里．（用含x的代数式表示）【变式1-2】（2023·四川德阳·统考中考真题）在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则m=1674【变式1-3】（2023·湖北宜昌·统考中考真题）从前，古希腊一位庄园主把一块边长为a米（a>6）的正方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（

A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定【题型2求代数式的值】【规律方法】求代数式的一般方法：已知字母或代数式的值，直接代入数式求解。已知几个字母之间的关系，将代数式配凑成关于那几个字母之间的关系的式子，再整体代换。当字母的取值不明确时，需将字母的值化简或求解出来，再代入代数式解题。【例2】（2023·江苏南通·统考中考真题）若a2-4a-A．24 B．20 C．18 D．16【变式2-1】（2023·四川乐山·统考中考真题）若m、n满足3m-n-【变式2-2】（2023·广东深圳·统考中考真题）已知实数a，b，满足a+b=6，ab=7，则【变式2-3】（2023·山东·统考中考真题）已知实数m满足m2-m-【题型3整式的加减与幂的运算】【例3】（2023·湖北襄阳·统考中考真题）下列各式中，计算结果等于a2的是（

A．a2⋅a3 B．a5÷【变式3-1】（2023·湖南永州·统考中考真题）若x，y均为实数，43x=2021，47y=2021，则43xy⋅【变式3-2】（2023·内蒙古包头·中考真题）若一个多项式加上3xy+2y2-【变式3-3】（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）当a+b=3时，代数式2(a【题型4整式的乘除】【例4】（2023·台湾·统考中考真题）计算2xA．-7x+4 B．-7x-【变式4-1】（2023·江苏·统考中考真题）计算(x【变式4-2】（2023·海南省直辖县级单位·统考一模）已知长方形的面积为18x3y4+9xA．2x2yC．2x2y【变式4-3】（2023·江苏·统考中考真题）若x+4x-2=x2A．2，-8 B．-2，-8 C．-2，8 D【题型5乘法公式的应用】【例5】（2023·四川泸州·统考中考真题）若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2-10A．3 B．23 C．14 D．【变式5-1】（2023·湖南·统考中考真题）已知y2-my+1是完全平方式，则【变式5-2】（2023·江苏宿迁·统考中考真题）若实数m满足m-20232+【变式5-3】（2023·浙江·统考中考真题）如图，分别以a,b,m,n为边长作正方形，已知

（1）若a=3,b=4，则图1（2）若图1阴影部分的面积为3，图2四边形ABCD的面积为5，则图2阴影部分的面积是．【题型6整式的化简求值】【例6】（2023·湖南·统考中考真题）先化简，再求值：2-a2+a【变式6-1】（2023·广西玉林·统考中考真题）已知ab=a+b+1，则（a﹣1）（b﹣1）=．【变式6-2】（2023·北京·中考真题）已知x2-4【变式6-3】（2023·湖北随州·统考模拟预测）先化简，再求值：(a-2b)【题型7提公因式法分解因式】【规律方法】确定公因式的方法：若各项系数都是整数，取各项系数的最大公因数作为公因式的系数。取各项相同的字母（或多项式因式）作为公因式的字母（或多项式因式），相同字母（或多项式因式）取最低次幂。【例7】（2023·湖南·中考真题）因式分解：x2+x=．【变式7-1】（2023·湖南永州·统考中考真题）2a2与4ab【变式7-2】（2023·湖北黄石·统考中考真题）因式分解：xy-【变式7-3】（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）因式分解：x2+【题型8运用公式法分解因式】【规律方法】因式分解的三个步骤：先看有无公因式，有公因式的先提取公因式。提公因式后再看多项式的项数①若多项式为两项，则考虑用平方差公式因式分解；②若多项式为三项，则考虑用完全平方公式因式分解；③若多项式有四项或四项以上，则考虑综合运用上面的方法；（3）若上面方法都不能分解，则考虑把多项式重新整理、变形，再按上面步骤进行因式分解。【例8】（2023·湖南益阳·统考中考真题）下列因式分解正确的是（

）A．2a2-C．4a2-【变式8-1】（2023·浙江宁波·统考一模）分解因式：4+4m+【变式8-2】（2023江苏南京·统考中考模拟）因式分解：xx-2【变式8-3】（2023·河北·统考中考真题）若k为任意整数，则(2k+3)2A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除【题型9数式规律探究】【规律方法】以规律探索为背景，经过逻辑推理求解数学问题，要求具有更高的抽象思维能力和推理能力，对思维的严谨性要求更高。【例9】（2023·四川德阳·统考中考真题）在“点燃我的梦想，数学皆有可衡”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：第1次操作后得到整式串m，n，n-第2次操作后得到整式串m，n，n-m，第3次操作后…其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式中各项之和是（

）A．m+n B．m C．n-【变式9-1】（2023·四川巴中·统考中考真题）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了(a1

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(当代数式x4-12x3+54xA．2 B．-4 C．2或4 D．2或【变式9-2】（2023·浙江·统考中考真题）观察下面的等式：32-12=8×1，52-(1)尝试：132-(2)归纳：2n+12-2n(3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的．【变式9-3】（2023·甘肃·统考中考真题）观察等式：2+22=23-2；2+22+23=2A．2S2-S B．2S2【题型10数式中的新定义问题探究】【例10】（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m-n>1，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，16=52-32，16就是一个智慧优数，可以利用m2【变式10-1】（2023·四川广安·统考中考真题）定义一种新运算：对于两个非零实数a、b，a※b=xa【变式10-2】（2023·广西·统考中考真题）定义：形如a+bi的数称为复数（其中a和b为实数，i为虚数单位，规定i2=-1），a称为复数的实部，b称为复数的虚部．复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数．例如(1+3i)2=12+2×1×3A．﹣6 B．6 C．5 D．﹣5【变式10-3】（2